第四章一次函数同步练2025—2026学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 同步练 一、单选题 1．下列式子中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若点，，是一次函数图象上两点，且，则（   ） A． B． C． D． 3．一次函数的图像向下平移个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点A、D分别在直线和上，轴，B、C都在x轴上，且四边形是长方形，已知点B的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知一次函数，随的增大而增大，则该函数的图象一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 6．如图，在点中，一次函数的图象不可能经过的点是（   ） A． B． C． D． 7．如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用围成的另外三边的总长恰好为，设边的长为，边的长为（），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 8．定义新运算：，则下列关于函数的说法错误的是(   ) A．图象位于第一、三、四象限 B．图象经过点 C．y随x的增大而减小 D．当时，函数值满足 9．已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 10．如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若正比例函数随的增大而减小，则的值是 ． 12．若点在一次函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 13．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．货车出发 时，两车相距． 14．如图，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则的长为 ． 15．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为线段上的两个动点，点P的坐标为，则的周长的最小值为 ． 三、解答题 16．已知水池中有的水，现用一台抽水机抽水，每小时抽水． (1)写出剩余水的体积与抽水时间之间的关系式（不必写出的范围）； (2)6h后池中还有多少水？ 17．一农民伯伯带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题： (1)农民自带的零钱是 元； (2)降价前他每千克土豆出售的价格是 元； (3)若他是按每千克降元将剩余土豆售完，这时他手中的钱是26元，则他一共带了 千克土豆． 18．定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 19．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称两点为同和点．下图中的两点即为同和点． (1)已知点的坐标为． ①在点中，为点的同和点的是_____． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为_____． (2)直线与轴、轴分别交于点，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，直接写出的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“特别距离”，给出如下定义∶若，则点与点的“特别距离”为；若，则点与点的“特别距离”为． 例如∶点，点，因为，所以点与点的“特别距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值(点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线交点)． (1)已知点，为轴上的一个动点． ①若点与点的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“特别距离”的最小值． (2)已知是直线上的一个动点，如图2，点的坐标是，求点与点的“特别距离”的最小值及相应的点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 一次函数 同步练2025—2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D C D B C A A 1．B 【分析】本题考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， B． 对于x的每一个取值，y可能有两个值与之对应，则y不是x的函数， C． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， D． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查的知识点是函数图像的平移规律．先明确一次函数图像平移的规律，再根据题目中向下平移个单位的要求，调整原函数表达式中的常数项，从而得到平移后的函数表达式，最后结合选项判断正确答案． 【详解】解：将函数的图像向下平移个单位长度，根据一次函数图像平移“上加下减”的规律(向下平移时在常数项上减平移单位)， 可得平移后的函数表达式为， 一次函数的图像向下平移2个单位长度，图像对应的函数表达式是． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征． 根据函数解析式求出点D坐标即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴点D的纵坐标为3， 在中，当时，， ∴． 故选：D． 5．C 【分析】先根据一次函数中y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数中y随x的增大而增大， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选C． 6．D 【分析】本题主要考查一次函数的图象，利用、的正负判断一次函数的图象位置是解题的关键，即在中，，，直线经过第一、二、三象限，，，直线经过第一、三、四象限，，，直线经过第一、二、四象限，，，直线经过第二、三、四象限．由条件可判断出直线所经过的象限，再进行判断即可． 【详解】解：一次函数， 令得：， 解之得：， 一次函数与轴的交点为， 故不可能是点， 故选D． 7．B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数表达式，解题关键是掌握找准等量关系．根据题中等量关系列出一次函数表达式，即可求解． 【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为， 即， 所以， 由得，，即， 当时，即，解得， 所以， 故选：B． 8．C 【分析】本题主要考查了新定义运算，一次函数的性质；先根据定义计算出的值，从而得到，再根据一次函数图像的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴图象位于第一、三、四象限，故A正确，不符合题意， 当时，，图象过点，故B正确，不符合题意， ∵， ∴y随x的增大而增大，故C错误，符合题意， 当时，，当时，， ∴当时，函数值满足，故D正确，不符合题意， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性得到，然后分别把四个选项的点的坐标代入解析式求得的值，即可判断． 【详解】解：和是一次函数图象上的两点，且， 随的增大而减小， ， 、将代入得，， ，符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 、将代入得，不成立， ∴该一次函数的图象不经过点，故不符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 故选： 10．A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 11．3 【分析】本题考查了正比例函数的定义及性质，正比例函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．根据正比例函数的定义和性质，即可求解． 【详解】解：由题意得， 且， 解得， 故答案为：3． 12． 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 根据解析式中，可得随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴ y随的增大而减小， ∵，点在一次函数的图象上， ∴， 故答案为：． 13．或 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度，时间，路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． 轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算得出轿车和货车的平均速度；根据题意两车相距 ，可分两种情况讨论，相遇前和相遇后，利用待定系数法求出当时关于的函数关系式，将代入关系式，求出相应的值是相遇前两车相距时的时间，两车相遇后，求出轿车到达终点时，货车离终点的距离为；当时，两车相距，可得方程，解方程即可得到相遇后两车相距时的时间，从而得到答案． 【详解】解：轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 两车相遇前，即时，设与的函数关系式为：， 将和代入得：， 解得：， ， 当时，即， 解得：； 两车相遇后，轿车到达终点时，货车离终点的距离为， ∴当时，两车相距， ， 解得：， ∴货车出发 或，两车相距． 故答案为：或． 14．10 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，令，则，令，则，可得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当时，， ， 即， 当时，， 即， 由勾股定理得，， 故答案为：10． 15． 【分析】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定周长最小时，M，N的位置． 作点P关于y轴的对称点，点P关于直线的对称点N，连接，交于点C，交y轴于点D，连接，此时，的周长最小，为的长；，求出的长，即可解得． 【详解】由直线的函数表达式，得点，， ， 则． 点P的坐标为， ，， 如图， 作点P关于y轴的对称点，点P关于直线的对称点N，则， 连接，交于点C，交y轴于点D， 此时，的周长最小， 的周长． 连接，由对称可知， ， ，， ∴点N的坐标为． ， 的周长的最小值为． 故答案为． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量减去抽水量等于剩余水量是解题关键． （1）根据抽水时间乘以抽水速度，可得抽水量，根据蓄水量减去抽水量，可得剩余水量； （2）根据自变量与函数值的对应关系，将代入可得函数值． 【详解】（1）解：∵池中有水，每小时抽出 ∴剩余水的体积与时间之间的关系式是； （2）当时， 答：6小时后，池中还有的水． 17．(1)5 (2) (3)45 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是读懂函数图象． （1）利用函数图象进行求解即可； （2）根据函数图象，利用单价公式进行求解即可； （3）求出降价后的单价，然后根据函数图象，求出降价后的土豆质量，即可求出总质量． 【详解】（1）解：根据图象可知，农民自带的零钱是5元， 故答案为：5； （2）解：由图象可知，降价前他每千克土豆出售的价格是（元）， 故答案为：； （3）解：降价后的单价为（元）， 此时，降价后的土豆质量为：（千克）， （千克）， 一共带了45千克土豆， 故答案为：45． 18．(1)①；②或或 (2) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①分别令，求出的值，得到的坐标，求出时的值，求出点坐标；②根据，得到，进而得到，进行求解即可； （2）求出点坐标，进而求出点恰好在直线上时的的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴当时，；当时，， 当时，； ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，，当时，， ∴或或； （2）∵， ∴当时，把代入，得：， ∴点， 当直线过点时，直线与关于m的对称函数有两个交点， 将点C的坐标代入得：，解得； ∴当时，直线与关于m的对称函数有两个交点． 19．(1)①R，T；② (2)①；② 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点”的定义并运用是解题的关键． （1）①由同和点的定义可求解；②由同和点的定义可求解； （2）①由同和点的定义，列出等式可求解；②由同和点的定义，列出等式可得，即可求解． 【详解】（1）解：①点的坐标为， ， 点，，， ，，， 点的同和点的是R，T， 故答案为：R，T； ②点在轴上，且，两点为同和点， 点， 故答案为：； （2）解：①直线与轴、轴分别交于点，， 当时，；当时，，解得， 点，点， 点与点为同和点， 设点， ， ， 点坐标为； ②设点坐标为， 点与点为同和点， ， ， 点为线段上一点， ， ， ． 20．(1)①点B的坐标是或；② (2)， 【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了新定义“特别距离”、点的坐标、绝对值等知识，本题综合性强，弄清楚题干中的已知条件，正确理解“特别距离”的定义是解题的关键． （1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为，由“特别距离”的定义可以确定，据此可以求得y的值； ②设点B的坐标为．根据，“特别距离”为即可求得最小值； （2）设点C的坐标为．根据材料可知C、D两点的“特别距离”取最小值时，，据此可以求得最小值和点C的坐标． 【详解】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为． ∵， ∴， 解得或； ∴点B的坐标是或； ②设点B的坐标为， 当点A与点B的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知， ∴， ∴当时，点A与点B的“特别距离”最小，最小值为； （2）解：当点C与点D的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知， ∵C是直线上的一个动点，点D的坐标是， ∴设点C的坐标为， ∴，， ∴若， 解得，此时较大值为； 当， 解得，此时较大值为， ∴当时， ∴点C与点D的“特别距离”的最小值为， 此时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $