13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和定理 　课件　 2025—2026学年人教版数学八年级上册

13.3.1三角形的内角 情境引入 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点） 2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点） 新课导入 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 情境引入 如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度? 想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗? 30+60+90=180 45+45+90=180 思考与探索 想一想 如何进行剪拼，请同学们把三个角拼在一起试试看? 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗? C B A 已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明 问题：有什么方法可以得到180°从刚才拼角的过程你想出办法吗？ １．平角的度数是180° ２．两直线平行时，同旁内角的和是180° 如果△ABC是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把∠A、∠B撕下来再分别放在∠1、∠2的位置上，那么又如何论证∠A+∠B+∠C= 180゜呢？ 2 1 F D C B A 三角形的内角和等于1800. 延长BC到D， 过C作CF∥BA， ∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) ∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换) 证法一 F 2 1 E C B A 三角形的内角和等于1800. 过A作EF∥BC， ∴∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠1 (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) 证法二 C B E A 三角形的内角和等于1800. 过A作AE∥BC， ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) 证法三 新知探究 例 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 三角形的内角和定理的运用 新知探究 【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°， 求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°. 新知探究 北 . A D 北 . C B . 东 E 例 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？ 三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 新知探究 解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80° =100°,∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100° -40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 北 . A D 北 . C B . 东 E 新知探究 【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数. 解：如图， 由题意得BE∥AD,∠BAD=40°， ∠CAD=15°，∠EBC=80°， ∴∠EBA=∠BAD=40°， ∠BAC=40°+15°=55°, ∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-55°-40°=85°． D E 练习 1.下列各组角能构成同一个三角形的三个内角的是( ) A. 34°，36°，50° B.63°，70°，67° C. 95°，80°，5° D.25°，160°，15° 2.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 3.在△ABC中，∠A＋∠B＝100°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C的度数． 解：在△ABC中， ∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝80°， ∠B＝∠C＝40°， ∠A＝100°－∠B＝60° 练习 应用提高 　　1. 如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数． 解：∵AD平分∠CAB，∠BAC=40°， ∴∠DAB= ∠BAC=20°， 在△ABD 中， ∵∠B=75°， ∴∠ADB=180°－∠B－∠BAD =180°－20°－75°=85°． C B D A 应用提高 　　2. 如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛 在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方 向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 解：∠CAB=∠BAD−∠CAD =80°−50°=30°, ∵AD∥BE， ∴∠BAD+∠ABE=180°， 应用提高 ∴∠ABE=180°－∠BAD =180°−80°=100° ∠ABC=∠ABE－∠EBC =100°−40°=60° 在△ABC 中， ∠ACB=180°−∠ABC−∠CAB =180°−60°−30°=90° 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 北 . A D 北 . C B . 东 E 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 拓展应用 北 . A D 北 . C B . 东 E 解：由题意得∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °， 所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB=180 °-∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °, 从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 拓展应用 聪明的你，还有方法吗？ 拓展应用 1 本节课学习了哪些主要内容？ 2 为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180”？ 3 是如何找到三角形内角和定理的证明思路的？ 课堂小结 三角形内角 和定理 三角形三个内角的和等于180° 命题证明步骤 1.写出已知求证（画出图形） 2.写出证明过程 数学方法 辅助线（虚线） 数学思想 转化 把未知转化为已知 把生疏问题转化为熟悉问题 把复杂问题转化为简单问题 三角形的内角和 如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，与∠1互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD C 能力提升题 课堂检测 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形． 证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形. 拓广探索题 课堂检测 直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角互余 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 课堂小结 A B C 1 2 D E $