精品解析：2025—2026学年浙教版九年级上册数学期末考试押题卷

九年级上册数学期末考试押题卷浙教版2025—2026学年 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中是二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 实心铁球投入水中，会沉入水底 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 明天太阳从西边升起 D. 抛出一枚硬币，落地后正面朝上 3. 若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是 A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 4. 对于的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为：直线 C. 当时，随增大而减小 D. 函数的最小值是 5. 如图，弦CD与直径AB相交，连接BC、BD，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 6. 若将抛物线向下平移2个单位长度，则新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 相等的弦所对的弧相等． B. 平分弦的直径平分弦所对的两条弧． C. 过三点能作一个圆． D. 在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等． 8. 如图，地板由方砖组成，一个小球在地板上自由滚动并随机地停在某块方砖上，则小球落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（ ） A. 8 B. C. 6 D. 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 一个不透明的口袋中装有若干个红球和30个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则通过计算可以估计出口袋中红球约_______个． 12. 如图，点，，三点上，，，_________． 13. 二次函数的部分对应值如表所示，若时，则的取值范围是_______． x … 0 1 3 5 … y … 7 … 14. 如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正______边形． 15. 对一批衬衫进行抽检，统计合格衬衫的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 估计任抽一件衬衫是合格品的概率是_______．（结果精确到） 16. 已知抛物线 经过 和 两点， 则图象的顶点坐标为______． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 如图，，是的两条弦，且． （1）求证：； （2）连接，，求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）将绕点逆时针旋转后对应得到，请写出点的坐标． （2）请在图中画出绕点顺时针旋转后的，并求出旋转过程中点所经过的路径长（结果保留根号和． 19. 一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个白球、2个红球． （1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率； （2）现再将个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求的值． 20. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点． （1）若，求的度数； （2）若D是的中点，且，求阴影部分（弓形）的面积． 21. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为． （1）直接写出袋中黄球的个数； （2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率． 22. 已知二次函数的图像经过点、． （1）试确定此二次函数的表达式； （2）求顶点坐标及对称轴； （3）判断点是否在这个二次函数的图像上，并说明理由． 23. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 24. 已知关于的二次函数，经过点，. （1）若此函数图象过点，求这个二次函数表达式； （2）若时，，求值； （3）若，当，且时，求证：． 25. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． （1）填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______； （2）是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当二次函数自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上册数学期末考试押题卷浙教版2025—2026学年 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，就是二次函数，依据定义即可判断． 【详解】A、是二次函数，故正确； B、是一次函数，故错误； C、是反比例函数，故错误； D、不二次函数，故错误． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，是一个基础题目． 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 实心铁球投入水中，会沉入水底 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 明天太阳从西边升起 D. 抛出一枚硬币，落地后正面朝上 【答案】A 【解析】 【分析】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A. 是必然事件，故该选项符合题意， B. 是随机事件，故该选项不符合题意， C. 不可能事件，故该选项不符合题意， D．是随机事件，故该选项不符合题意． 故选A． 【点睛】该题考查的是对必然事件，随机事件，不可能事件的概念的理解．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是 A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm， ∴d＜r， ∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内， 故选C． 4. 对于的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为：直线 C. 当时，随增大而减小 D. 函数的最小值是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中说法是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意，明确题意，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∵ 该函数的顶点坐标为，原选项错误，不符合题意； 、∵， ∴对称轴为直线，原选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴当时，随的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、∵，， ∴函数的最大值为，原选项错误，不符合题意； 故选：． 5. 如图，弦CD与直径AB相交，连接BC、BD，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，求出∠A＝90°﹣∠ABC＝40°，由圆周角定理得出∠BDC＝∠A＝40°即可． 【详解】解：连接AC，如图所示： ∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BDC＝∠A＝40°； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 6. 若将抛物线向下平移2个单位长度，则新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记二次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据上加下减的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，则新抛物线的表达式为， 故选：B． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 相等的弦所对的弧相等． B. 平分弦的直径平分弦所对的两条弧． C. 过三点能作一个圆． D. 在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等． 【答案】D 【解析】 【分析】根据确定圆的条件，弧、圆心角、弦之间的关系，垂径定理的判定进行一一判断即可，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧分劣弧和优弧，故不一定相等，故此选项不符合题意； B．平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的两条弧，故此选项不符合题意； C．过不在同一直线上的三点可以画一个圆，故此选项不符合题意； D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等，故此选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，地板由方砖组成，一个小球在地板上自由滚动并随机地停在某块方砖上，则小球落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的求解，先计算阴影区域的面积和总面积，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：根据图示， ∵阴影区域的面积等于5块方砖的面积，总面积等于9块方砖的面积， ∴小球最终停留在阴影部分的概率是：． 故选：A． 9. 如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（ ） A. 8 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先根据题意可知，，结合垂径定理可知，进而由勾股定理可解得的值；再结合折叠的性质可知弧和弧所在的圆为等圆，进而可得，易知，由等腰三角形的性质可得，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后解得，最后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵的半径为，，点为的三等分点，且， ∴，，， ∴， ∵将弧沿折叠， ∴弧和弧所在的圆为等圆， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 一个不透明口袋中装有若干个红球和30个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则通过计算可以估计出口袋中红球约_______个． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解分式方程等知识，由摸到红球的频率稳定在附近得到红球的概率，进而利用概率公式求出红球的个数即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设红球的个数为个， ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴口袋中得到红球的概率为， ∴， 解得：， 红检验是原方程的解， ∴红球的个数为个， 故答案为：． 12. 如图，点，，三点在上，，，_________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； 由平行线所夹内错角相等得，再由圆周角定理得，即可求解． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，内错角相等）； 又（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， ． 故答案为： 13. 二次函数的部分对应值如表所示，若时，则的取值范围是_______． x … 0 1 3 5 … y … 7 … 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题首先根据表格确定二次函数的对称轴及顶点坐标，然后结合表格即可求解． 【详解】解：根据表格知二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，结合表格可得的取值范围是． 14. 如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形． 【详解】解：如图，连接OB， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴这个多边形是正六边形． 故答案为：六． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出． 15. 对一批衬衫进行抽检，统计合格衬衫的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 估计任抽一件衬衫是合格品的概率是_______．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此可解． 【详解】解：抽取件数为1000时，合格频率趋近于，估计衬衣合格的概率为． 故答案为：． 16. 已知抛物线 经过 和 两点， 则图象的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象具有对称性和二次函数的对称轴，可以求得b的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线 经过 和 两点， ∴， 解得：， ∴， ∴该函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 如图，，是的两条弦，且． （1）求证：； （2）连接，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，圆周角定理，解题的关键是： （1）根据在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等，据此求解即可； （2）根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得出，然后根据平行线的判定即可得证． 【小问1详解】 证明：∵ ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图， 由（1）知：， ∵所对的弧是，所对的弧是， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）将绕点逆时针旋转后对应得到，请写出点的坐标． （2）请在图中画出绕点顺时针旋转后的，并求出旋转过程中点所经过的路径长（结果保留根号和． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、点的坐标、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作出点A、B、C的对应点、、，再根据点的位置写出坐标即可． （2）先利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，绕点逆时针旋转后对应得到， ∴，，． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， ∵ ∴由勾股定理得，， 旋转过程中点所经过的路径长为． 19. 一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个白球、2个红球． （1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率； （2）现再将个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求的值． 【答案】（1）两次摸出的球恰好都是红球的概率 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率问题： （1）先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球恰好都是红球的所占的结果数，然后根据概率公式求解； （2）根据概率公式得到，解出方程，即可． 【小问1详解】 解：根据题意，画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好都是红球的占2种， 所以两次摸出的球恰好都是红球的概率； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 故． 20. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点． （1）若，求的度数； （2）若D是的中点，且，求阴影部分（弓形）的面积． 【答案】（1）50° （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，利用互余计算出，然后计算出的度数，则根据圆心角定理得到的度数； （2）利用斜边上的中线性质得到，再判断为等边三角形，则，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积进行计算． 【小问1详解】 解：连接，如图， ，， ， ， ， ， 的度数为； 【小问2详解】 解：过点作于点， 是的中点，， ， ， 为等边三角形， ，， 阴影部分的面积； 【点睛】本题考查了扇形面积的计算、圆心角定理、互余、等边三角形等知识点：求不规则图形的面积，转化用规则的图形面积进行求解；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；利用角的正弦值求边长，解题的关键是将不规则图形面积转为规则图形面积求解． 21. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为． （1）直接写出袋中黄球的个数； （2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率． 【答案】（1）袋中黄球的个数1个 （2）“取出至少一个红球”的概率为 【解析】 【分析】本题考查了概率的实际应用，掌握概率公式以及树状图或列表法是解题关键． （1）设袋中的黄球个数为x个，根据任意摸出一个球是蓝球的概率为，即可建立方程求解； （2）画出树状图，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：设袋中的黄球个数为x个， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴袋中黄球个数1个； 【小问2详解】 解：画树状图得： 一共有种等可能的情况数，其中“取出至少一个红球”的有种， 则“取出至少一个红球”概率是． 22. 已知二次函数的图像经过点、． （1）试确定此二次函数的表达式； （2）求顶点坐标及对称轴； （3）判断点是否在这个二次函数的图像上，并说明理由． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 （3）点在这个二次函数的图像上，见解析 【解析】 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数一般式改为顶点式，二次函数的性质，掌握利用待定系数法求函数解析式和二次函数的性质是解题关键． （1）将、代入，求解即可； （2）将（1）所求一般式改为顶点式即可解答； （3）令，求出y的值，即可判断． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问3详解】 解：点在这个二次函数的图像上． 理由：∵当时，， ∴点在这个二次函数的图像上． 23. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】（1）； （2）将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； （3）捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价范围是． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．解决本题的关键是根据二次函数的性质求出二次函数的最值，从而解决利润最大的问题． 根据销售单价每上涨元，每天销量减少个，列出与之间的函数关系式，根据规定销售单价不低于元，且不高于元可得自变量的取值范围； 根据利润销量单件利润可以得到，利用二次函数的性质求出最大利润； 根据捐款后每天剩余利润不低于元，可以得到，求出方程的解，再根据自变量的取值范围确定销售单价的范围． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： 整理得：， 配方得：， ，抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大， 又， 当时，有最大值，最大值为， 将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：根据题意可得：剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于元， ， ， 解方程， 可得：，， 又，， 要使捐款后每天剩余利润不低于元，则， 答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 24. 已知关于的二次函数，经过点，. （1）若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； （2）若时，，求的值； （3）若，当，且时，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，理解函数图象上点的坐标特征是解答的关键． （1）将点代入函数表达式中求解即可； （2） 先求得函数图象的对称轴为直线，再根据对称性求得，进而代值求解即可； （3）求，结合条件判断与0的大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵此函数图象过点， ∴， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由得，该函数的图象的对称轴为直线， ∵若时，， ∴点A、B关于直线对称， ∴，解得， 将代入函数表达式中，得， 解得； 【小问3详解】 证明：由题意， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 25. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． （1）填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______； （2）是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 【答案】（1） （2）存在，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由对称轴为直线， 点的坐标为，得，用待定系数法可求得抛物线的解析式为即可得顶点； （2）设， 可得 根据是以为斜边的直角三角形，有 即可解得或； （3）由抛物线对称轴为直线分三种情况： ①当 即 时， 随的增大而减小，可得 ②当 即 时， 时最小值为这种情况不存在最小值为；③当 时，随的增大而增大，有 ，分别解方程可得答案. 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线 ， 点的坐标为， ∴， 将代入得： ，解得 ∴抛物线的解析式为， 当 时， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：存在点， 使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 设， 在中，令 得 ， ∴， ∵， ，， ， 是以AC为斜边的直角三角形， ， ， 解得或 ∴或； 【小问3详解】 解：由抛物线对称轴为直线分三种情况： ①当 即 时，随的增大而减小， 时，取得最小值， ， 解得 (舍去)或 ， ∴此时 ； ②当 即时， 时最小值为 ， ∴这种情况不存在最小值为； ③当时， 随的增大而增大， 时， 取最小值， ， 解得(舍去)或 ； ∴此时 ， 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $