10.1计数原理与排列组合练习-2026届高三数学一轮复习

10.1　计数原理与排列组合 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2024·徐州模拟)甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有(　　) A.18种 B.48种 C.108种 D.192种 2.已知A，B两个公司承包6项工程，每项工程均被承包且至多被一个公司承包，每个公司至少承包2项，则承包方式共有(　　) A.24种 B.70种 C.48种 D.50种 3.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，则这样的排法种数是(　　) A.5 040 B.36 C.18 D.20 4.(2025·南京模拟)北京大兴国际机场拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题.现有3辆不同的车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有　　　　　　种(　　)  A.16 B.18 C.24 D.32 5.将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的情况种数是(　　) A.10 B.20 C.18 D.40 6.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是(　　) A.90 B.150 C.390 D.420 7.(2024·南通模拟)把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为(　　) A.70 B.99 C.110 D.165 8.某同学计划用他姓名的首字母T，X，身份证的后4位数字(4位数字都不同)以及3个符号α，β，θ设置一个六位的密码.若T，X必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母的相对顺序和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为(　　) A.864 B.1 009 C.1 225 D.1 441 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.下列说法正确的是(　　　　) A.已知=100(n∈N*，n≥2)，则n=13 B.已知=，则x=5 C.4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种 D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 10.有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，下列说法正确的是(　　　　) A.若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种 B.若5位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C.若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种 D.若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少1位同学，则不同的分配方案有150种 11.定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以=.现有2个女生，4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则(　　　　) A.共有种排法 B.若两名女生相邻，则有2种排法 C.若两名女生不相邻，共有4种排法 D.若男生甲位置固定，则有5种排法 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.某员工在开办公室四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由“3”“6”“9”这三个数字组成，则该密码有　　　　　种可能.(用数字作答)  13.10人的身高各不相同，排成前后两排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有　　　　　种排法. 14.A，B，C，D，E，F同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D必须相邻，这样的排队方法有　　　　　种. 【提升练】 15.“四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数11=32+12+12+02.设36=a2+b2+c2+d2，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是(　　) A.26 B.28 C.29 D.30 16.(2024·深圳模拟)三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练(不能传给自己)，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有(　　) A.6种 B.10种 C.11种 D.12种 17.(多选)将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为ai(i＝1，2，…，7)，则下列说法正确的是(　　) A.若a4＝7，a1＋a2＋a3<a5＋a6＋a7，则这样的数列共有360个 B.若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有64个 C.若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个 D.若a1>a2>a3，a3<a4<a5，a5>a6>a7，则这样的数列共有71个 18.(2025·吉林模拟)“冰天雪地也是金山银山”，近几年东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能.某市以“冰雪童话”为主题打造一个圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观.若这16处景观分别用A1，A2，…，A16表示，某游客按照箭头所示方向(不可逆行)可以任意选择一条路径走向其他景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达A6有　　　种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观Ai的不同路线有ai条，其中1≤i≤16，i∈N*，记a2n＋1＝m(1≤n≤7，n∈N*)，则a2i＝　　　　(结果用m表示).  答案精析 1.D　2.D 3.D　[最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有=20(种).] 4.C　[从7个车位里选择4个相邻的车位，共有4种方式，停放的3个车辆，有=6(种)方式，则不同的泊车方案有4×6=24(种).] 5.C　[将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的情况共有=18(种).] 6.C　[若5人中有且仅有3人被录用，满足条件的录用情况有=60(种)， 若5人中有且仅有4人被录用，满足条件的录用情况有··=180(种)， 若5人都被录用，满足条件的录用情况有·+·=150(种)， 综上，符合要求的不同的录用情况种数是60+180+150=390.] 7.D　[当8个相同的篮球只分给其中1人时，有4种分法； 当8个相同的篮球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有=42(种)分法； 当8个相同的篮球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有=84(种)分法； 当8个相同的篮球分给4人时，每人至少一个，此时将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有=35(种)分法. 因此把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数为4+42+84+35=165.] 8.D　[①当符号的个数为0时，六位密码由字母T，X及身份证的后4位数字组成，此时只有1种情况； ②当符号的个数为1时，六位密码由字母T，X，3个数字及1个符号组成. 若末位是符号，则首位是字母T，可能的种数为=48； 若末位是字母X，则可能的种数为=96； ③当符号的个数为2时，六位密码由字母T，X，2个数字及2个符号组成. 若首位和末位均为符号，则可能的种数为=216； 若首位和末位均为字母，则可能的种数为=216； 若首位和末位一个是字母、一个是符号，则可能的种数为+)=864. 故他可设置的密码的种数为1+48+96+216+216+864=1 441.] 9.ACD　[由2n(2n-1)(2n-2)=100n(n-1)，且n≥2，解得n=13，故A正确； 由x+2=2x-5或x+2+2x-5=12，解得x=7或x=5，故B错误； 先排甲，有2种排法，再排其余3人，有种排法，故满足条件的排法有2=12(种)，故C正确； 先排丙、丁两人，有种排法，出现3个空，再排甲、乙两人，有种排法，故满足条件的排法有=12(种)，故D正确.] 10.BCD　[对于A，甲、乙相邻可看作一人，与戊一起排列形成3个空，插入丙、丁两人即可，不同的排法种数为=24，故A错误； 若甲排最左端，则有=24(种)排法，若乙排最左端，则最右端有3人可选，中间三人有=6(种)排法，即3×6=18(种)排法，故满足条件的不同的排法共有24+18=42(种)，故B正确； 五个位置，先排丁、戊两人，有=20(种)排法，余下三个位置甲、乙、丙三人按从左到右就1种排法，故满足条件的不同排法有20种，故C正确； 五人分三组，有3，1，1或2，2，1两种分配方法，若分为3，1，1三组，则有=60(种)方法，若分为2，2，1三组，则有·=90(种)方法，故满足条件的不同排法有60+90=150(种)，故D正确.] 11.ABD　[现有2个女生，4个男生共6名同学围坐成一圈，共有=(种)排法，A选项正确； 若两名女生相邻，则有=2(种)排法，B选项正确； 若两名女生不相邻，共有=12(种)排法，C选项错误； 若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺、逆时针排列，则有=5(种)排法，D选项正确.] 12.36 解析　依题意可知，密码由“3”“6”“9”三个数字组成， 所以四位数密码中有两个位置是同一数字，将这两个位置捆绑，再将3，6，9三个数字全排列， 所以该密码有=36(种)可能. 13.252 解析　由题意可知，每排5人，身高定序，选出5人即按序排好， 第一步，先定前排， 从10人中选5人按身高排好，有=252(种)排法， 第二步，再定后排， 前排选定后，余下5人在后排且定序排好，只有1种排法. 由分步乘法计数原理得，共有252×1=252(种)排法. 14.72 解析　分三步： 第一步，先将除A，B，C三人的其余三人进行排序，有种方法； 第二步，第一步排好后有4个空位，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法； 第三步，将B，C插入剩余三个空位，有种方法. 由分步乘法计数原理得，共有×2×=72(种)排队方法. 15.C　[满足36=a2+b2+c2+d2的自然数a，b，c，d有四组，分别是：6，0，0，0；5，3，1，1；4，4，2，0；3，3，3，3，那么有序数组(a，b，c，d)有+++1=29(个).] 16.B　[设在第n(n≥2，n∈N*)次传球后有an种情况球在丙手中，即经过n次传球后球又被传回给丙，在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有2n种传球方法，故在第n次传球后，球不在丙手中的情况有(2n-an)种，即球在甲或乙手中，只有在这些情况时，在第n+1次传球后，球才会被传回给丙，即an+1=2n-an，由题意可得a2=2，则a3=22-a2=2，a4=23-a3=6，a5=24-a4=16-6=10.] 17.ACD　[由于1＋2＋3＋4＋5＋6＝21为奇数，根据对称性可知这样的数列有·＝360(个)，故A正确； 从2，3，4，5，6，7中选出1个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有个；从2，3，4，5，6，7中选出2个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有个；从2，3，4，5，6，7中选出3个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有个；从2，3，4，5，6，7中选出4个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有个；从2，3，4，5，6，7中选出5个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有个，故满足条件的数列共有＝62(个)，故B错误； 若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有＝144(个)，故C正确； 若a3＝1，则先从其余6个数中任选2个数作为a1，a2且a1>a2，有种方法，剩余4个数中最大的为a5，剩下的3个数任取2个作为a6，a7且a6>a7，有种方法，则这样的数列有＝45(个)；若a3＝2，则先从除去1之外的5个数中任选2个数作为a1，a2且a1>a2，有种方法，剩余4个数中最大的为a5，a7＝1，剩下的2个数任取1个作为a6或a4即可，有种方法，则这样的数列有＝20(个)；若a3＝3，则先从除去1，2之外的4个数中任选2个数作为a1，a2且a1>a2，有种方法，剩余4个数位置固定，有一种排法，其中a6＝2，a7＝1，则这样的数列有＝6(个)，所以满足条件的数列共有45＋20＋6＝71(个)，故D正确.] 18.　8　m－1 解析　由题意知，到达A2共有1种走法， 到达A3共有1＋1＝2(种)走法(一种是经过A2到达A3，一种是直接到达A3)， 到达A4共有1＋2＝3(种)走法(一种是经过A2，一种是经过A3，将到达A2，A3的走法加起来)， 到达A5共有3＋2＝5(种)走法(一种是经过A4，一种是经过A3，将到达A4，A3的走法加起来)， 到达A6共有3＋5＝8(种)走法(一种是经过A4，一种是经过A5，将到达A4，A5的走法加起来)， 故按图中所示方向到达A6有8种不同的打卡路线. 由题意知，a1＝1，a2＝1，a3＝a1＋a2＝2，a4＝a2＋a3＝3，a5＝a3＋a4＝5，…，an＋2＝an＋an＋1(1≤n≤14且n∈N*)， 因为an＋an＋1＝an＋2(1≤n≤14且n∈N*)， 所以a1＋a2＝a3，a3＋a4＝a5，a5＋a6＝a7，…，a2n－1＋a2n＝a2n＋1(1≤n≤7且n∈N*)， 将上式累加可得a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2n－1＋a2n＝a3＋a5＋a7＋…＋a2n＋1(1≤n≤7且n∈N*)， 整理可得a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1， 又a1＝1，a2n＋1＝m， 所以a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－a1＝m－1，即a2i＝m－1. 学科网（北京）股份有限公司 $