专题03 幂、指数与对数（五大题型+好题推送）（期中真题汇编，上海专用）高一数学上学期

专题03 幂、指数与对数（五大题型+好题推送） 5大高频考点概览 考点01 指数幂的拓展 考点02 幂的基本不等式 考点03 对数的定义 考点04 对数的运算性质 考点05 对数的换底 地 城 考点01 指数幂的拓展 1．(24-25高一上·上海市上海师范大学第二附属中学··期中) 代数式化成分数指数幂为 ． 【答案】； 【分析】先将根式化为分数指数幂，再化成负分数指数幂即可求解. 【详解】； 故答案为：； 2．(24-25高一上·上海市延安中学··期中) 当时，化简： . 【答案】； 【分析】根据将根式化简、去绝对值计算即可得出结果； 【详解】由可得； 故答案为：； 3．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中) 若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用指数幂的运算求解. 【详解】解：因为，且，所以， 所以， 故答案为： 地 城 考点02 幂的基本不等式 4．(24-25高一上·新增考点补充··期中)已知实数，有理数时，求证： ； 【提示】注意幂的基本不等式的题设“实数”； 【证明】依据不等式性质，得，则；命题成立； 【说明】通过本题进一步理解“幂的不等式”的前提、条件与结论；据此，结合指数幂运算性质，可归纳得二级结论： （1）当实数，有理数时，不等式成立 （2）当实数，有理数时，求证： ； 5．(24-25高一上·新增考点补充··期中)设，求证：。 【提示】注意：指数幂的运算特点与运算法则； 【解析】因为，所以且， 由幂的基本不等式，得； 因此， 又因为，所以，原不等式成立； 【说明】通过本题说明：务必研读“沪教版2020”，用好新教材；因为，本题证明中用到的“幂的基本不等 式：当，时，”是“沪教版2020”必修 第一册的“特点”之一【注：与以往教材明显不同】。 6．(24-25高一上·新增考点补充··期中)当，且时，比较：与的大小。 【提示】先利用做商法得出，再分①和②两种情况判断和的大小即可得出结论； 【答案】； 【解析】， ①当时，即，时，，所以，； ②当时，即，时，，所以，； 综上所述，当，且时，. 【说明】本题主要考查了利用做商法比较大小的问题；注意结合分类讨论； 地 城 考点03 对数的定义 7．(24-25高一上·上海市上海师范大学第二附属中学··期中) 指数式化成对数式为 ． 【答案】 【分析】根据指数式与对数式互化关系即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 8．(23-24高一上·天津市弘毅中学·期中) 已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由对数的定义求出，，代入，利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则，， 则， 因此可得， 故答案为：. 9．(24-25高一上·上海市金山中学··期中) “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（     ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【分析】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 地 城 考点04 对数的运算性质 10．(24-25高一上·上海市上海师范大学第二附属中学··期中) 已知，用含的代数式表示 ． 【答案】 【分析】根据对数运算来求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 11．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中) 设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：例如， 则， 此时，故D错误； 故选：D. 12．(24-25高一上·上海市上海大学附属中学··期中) 成立”是“成立”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．既非充分也非必要 D．充要 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质将对数进行转化，注意使对数有意义的条件，然后根据充分、必要条件的定义作出判断即可 【详解】成立，则，分为或两种情况， 若，则成立，能推出成立， 但，则成立，不能推出， 而成立一定能推出成立， 所以“成立”是“成立”的必要而不充分条件， 故选：B 地 城 考点05 对数的换底 13．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中) 已知，，则 .（结果用表示） 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 14．(24-25高一上·上海市松江一中··期中) 已知，则 ．（用的代数式子表示） 【答案】 【分析】根据对数的运算即可得． 【详解】由，，则． 故答案为：． 15．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中) 已知e是自然对数的底，求值： 【答案】/ 【分析】利用对数的换底公式求解. 【详解】解：， 故答案为： 【好题推送】 1．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中)下列表达式正确的是（    ） A． B．，，，， C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合的关系判断AC；利用对数的概念及换底公式的意义判断B；利用平方根的意义判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，而，与不一定相等，因此不一定等于，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，当时，，D错误. 故选：A 2．(24-25高一上·新增考点补充··期中)若实数，，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【提示】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【答案】A 【解析】因为实数，，满足，，， 所以， 又因为，，则，所以，； 同理，，所以，；则；故选：A． 【说明】本题主要考查作商法比较大小； 3．(24-25高一上·广东省广州市天河区··期中) 20．大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】根据题意可得，， 两式相减得，所以， 所以，所以. 故选：C. 4．(24-25高一上·上海市七宝中学··期中)定义“正对数”： ，现有四个命题： ①若，，则；      ②若，，则； ③若，，则；   ④若，，则； 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由“正对数”的定义分别对、分，；，两种情况进行推理判断①；通过举反例说明判断②③④. 【详解】对于命题①，当时，，，，则； 当时，，，，则， 因此，，命题①正确； 对于命题②，取，，， 此时，②错误； 对于命题③，取，， ， 此时，③错误； 对于命题④，取，， 而，此时，④错误， 所以真命题的个数为1. 故选：A 5．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中)化简 ． 【答案】 【分析】将根式化为分式指数幂的形式，再结合指数幂运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 6．(24-25高一上·上海市松江二中··期中)已知常数，函数经过点、．若，则 ． 【答案】4 【分析】先根据点在函数上化简得出，，再结合已知得出则，最后因为求值即可. 【详解】函数经过点、， 则，，解得，， ，则，因为，解得． 故答案为：4. 7．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中)课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理． 实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足： ． 已知满足：和，其中互不相等， 则 ． 【答案】 【分析】结合二、三次方程的韦达定理建立关于的等量关系，整体消元解方程组可得. 【详解】由题意互不相同，则互不相同. 即互不相同. 由已知， 可得是方程的三个不同的实数根. 由一元三次方程的韦达定理得 ，即①， 由，且为一常数， 则是方程的两不等根， 则由韦达定理可得，②， 联立①②解得. 故答案为：. 8．(24-25高一上·上海市顾村中学··期中)设，， 则 . 【答案】/ 【分析】结合指、对运算的性质分部求解，利用立方和公式及已知条件对化简求值；利用换底公式对化简求值；利用对数恒等式对化简求值等；再然后做加减混合运算即可得. 【详解】由式子有意义可知，且，故，且. 由，，得， 则； 又； ； ； 则原式； 故答案为：. 9．(24-25高一上·新增考点补充··期中)已知，， 求证：对于任意给定的实数，； 【提示】注意要证明的不等式结构，构建与幂的基本不等式的联系； 【证明】方法1：因为， 又因为，所以，对于任意给定的实数，均有①， 再由，，由幂的基本不等式，可得②， 由①②得，故不等式成立； 方法2：由， 因为，，， 所以，（等号，，则不可能），即原不等式成立； 【说明】本题的证明是幂的基本不等式与不等式性质的综合应用； 10．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中) （1）求出下列式子中的x的取值范围：； （2）设x、，利用反证法证明：若，则或. 【答案】（1）或；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用对数的定义列出不等式组求解得答案. （2）利用反证法，结合不等式性质证明命题. 【详解】（1）由，得，解得或， 所以的x的取值范围是或. （2）假设且，则，与已知矛盾， 则假设是错的，所以或. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 幂、指数与对数（五大题型+好题推送） 5大高频考点概览 考点01 指数幂的拓展 考点02 幂的基本不等式 考点03 对数的定义 考点04 对数的运算性质 考点05 对数的换底 地 城 考点01 指数幂的拓展 1．(24-25高一上·上海市上海师范大学第二附属中学··期中) 代数式化成分数指数幂为 ． 2．(24-25高一上·上海市延安中学··期中) 当时，化简： . 3．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中) 若，且，则的值为 ． 地 城 考点02 幂的基本不等式 4．(24-25高一上·新增考点补充··期中)已知实数，有理数时，求证： ； 5．(24-25高一上·新增考点补充··期中)设，求证：。 6．(24-25高一上·新增考点补充··期中)当，且时，比较：与的大小。 地 城 考点03 对数的定义 7．(24-25高一上·上海市上海师范大学第二附属中学··期中) 指数式化成对数式为 ． 8．(23-24高一上·天津市弘毅中学·期中) 已知，且，则的值为 ． 9．(24-25高一上·上海市金山中学··期中) “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（     ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 地 城 考点04 对数的运算性质 10．(24-25高一上·上海市上海师范大学第二附属中学··期中) 已知，用含的代数式表示 ． 11．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中) 设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·上海市上海大学附属中学··期中) 成立”是“成立”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．既非充分也非必要 D．充要 地 城 考点05 对数的换底 13．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中) 已知，，则 .（结果用表示） 14．(24-25高一上·上海市松江一中··期中) 已知，则 ．（用的代数式子表示） 15．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中) 已知e是自然对数的底，求值： 【好题推送】 1．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中)下列表达式正确的是（    ） A． B．，，，， C． D． 2．(24-25高一上·新增考点补充··期中)若实数，，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·广东省广州市天河区··期中) 20．大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．(24-25高一上·上海市七宝中学··期中)定义“正对数”： ，现有四个命题： ①若，，则；      ②若，，则； ③若，，则；   ④若，，则； 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中)化简 ． 6．(24-25高一上·上海市松江二中··期中)已知常数，函数经过点、．若，则 ． 7．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中)课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理． 实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足： ． 已知满足：和，其中互不相等， 则 ． 8．(24-25高一上·上海市顾村中学··期中)设，， 则 . 9．(24-25高一上·新增考点补充··期中)已知，， 求证：对于任意给定的实数，； 10．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中) （1）求出下列式子中的x的取值范围：； （2）设x、，利用反证法证明：若，则或. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $