专题07 期中填选压轴题（五大题型）（期中真题汇编，上海专用）高一数学上学期

专题07 期中填选压轴题（五大题型） 5大高频考点概览 考点01 集合与逻辑 考点02 等式与不等式 考点03 幂、指数与对数 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 考点05 函数的概念、性质及应用 地 城 考点01 集合与逻辑 1．(22-23高一上·上海市控江中学··期中) 若集合，则 . 2．(24-25高一上·上海市曹杨第二中学··期中)已知全集为无理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，若中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割.对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（   ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 3．(19-20高一上·上海市杨浦高级中学··期中)已知均为非零实数，则“”是“关于的不等式与解集相同”的 ． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(24-25高一上·上海市实验学校··期中)已知：集合或集合，，则是的（     ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 5．(24-25高一上·上海市位育中学··期中)设，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(23-24高一上·上海市闵行区六校联考··期中)对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 7．(23-24高一上·上海市第二中学··期中)已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 8．(24-25高一上·上海市七宝中学··期中)已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有 个. 9．(23-24高一上·上海市第二中学··期中)已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 10．(23-24高一上·上海市华东师范大学第二附属中学··期中)定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和，可以表示下列集合中的 （填序号） ①；②；③. 11．(24-25高一上·上海市上海师范大学附属中学··期中)若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 12．(24-25高一上·上海市控江中学··期中)已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为 地 城 考点02 等式与不等式 13．(24-25高一上·上海市大同中学··期中) 已知、、，若对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·上海市嘉定区中光高级中学··期中)设，点、分别是直线与上的任意动点，若时，皆有，则的最小值为 ． 地 城 考点03 幂、指数与对数 15．(24-25高一上·上海市上海师范大学附属嘉定高级中学··期中) 关于的方程的解集为 ． 16．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（    ）． A．607 B．608 C．609 D．610 17．(24-25高一上·上海市金山中学··期中) 对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则为（     ） A． B． C． D． 地 城 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 18．(24-25高一上·上海市闵行中学··期中) 已知函数，则的值域为 . 19．(24-25高一上·上海市七宝中学··期中) 已知函数(常数)在区间上是严格减函数，且在上存在自变量使得函数值为正，则满足条件的整数的所有取值为 . 20．(24-25高一上·上海市杨浦区复旦大学附属中学··期中) 命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同，则命题m是命题n的（     ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也非必要 21．(24-25高一上·上海市南洋模范中学··期中) 设不等式的解集为M，设函数 （且）与x轴有两个交点时实数的取值集合为N，则 22．(24-25高一上·上海市控江中学··期中) 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是 地 城 考点05 函数的概念、性质及应用 23．(24-25高一上·上海市复旦大学附属中学··期中) 已知，若存在，使得不等式能成立，则实数的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 24．(24-25高一上·上海市复旦大学附属中学··期中) 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 25．(22-23高一上·上海市浦东复旦附中分校··期中) 若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 26．(24-25高一上·上海市进才中学··期中) 设函数， 集合，则下列命题正确的有 . ①当时，集合； ②当时，； ③当，则的取值范围是； ④若（其中），则. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中填选压轴题（五大题型） 5大高频考点概览 考点01 集合与逻辑 考点02 等式与不等式 考点03 幂、指数与对数 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 考点05 函数的概念、性质及应用 地 城 考点01 集合与逻辑 1．(22-23高一上·上海市控江中学··期中) 若集合，则 . 【答案】 【分析】联立解方程组即可得答案. 【详解】联立，解得 即 故答案为：. 2．(24-25高一上·上海市曹杨第二中学··期中)已知全集为无理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，若中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割.对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（   ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【分析】根据题意，依次举例对四个选项逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，将无理数集划分为两个非空的子集与， 且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素， 对于A中，若集合， 则集合没有最大元素，中有一个最小元素，所以A正确； 对于B中，若集合， 则集合没有最大元素，中也没有最小元素，所以B正确； 对于D中，若集合， 则集合中有一个最大元素，中没有最小元素，所以D正确； 对于C中，无论怎样“优分割”，都不可能使得集合中有最大元素，且中有最小元素，所以C不正确. 故选：C. 3．(19-20高一上·上海市杨浦高级中学··期中)已知均为非零实数，则“”是“关于的不等式与解集相同”的 ． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过可知所得两个不等式不等价，充分性不成立；通过反例与解集均为，可知必要性不成立，从而得到最终结论. 【详解】若，则，即 与的解集不同，故充分性不成立 若， 不等式解集均为，此时，故必要性不成立 综上所述：“”是“关于的不等式与解集相同”的既不充分也不必要条件 故选 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，证明充分性或必要性不成立时，常采用特殊值的方式，找到反例来进行说明. 4．(24-25高一上·上海市实验学校··期中)已知：集合或集合，，则是的（     ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据集合间的关系，结合充分条件和必要条件即可求解. 【详解】若，满足，，但不成立， 所以是的不充分条件； 若，则或， 所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：C 5．(24-25高一上·上海市位育中学··期中)设，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义可得. 【详解】当时，取，，得不到 “且” 故“”不是“且”的充分条件， 当且时，取，，得不到， 故“”不是“且”的必要条件， 故“”是“且” 既不充分也不必要条件， 故选：D 6．(23-24高一上·上海市闵行区六校联考··期中)对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 【答案】17 【分析】从定义出发，抓住a，b的奇偶性对16进行分拆，当a，b同是奇数或偶时，将16分拆为两个同奇偶数的和；若a，b一奇一偶时，将16分拆为一个奇数与一个偶数的积，再计算组数即可. 【详解】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16； 当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个. 故答案为：17. 7．(23-24高一上·上海市第二中学··期中)已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 【答案】 【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得. 【详解】由题意知，集合的“交替和”为. 集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集. 这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个， 设为； 则这个非空子集中含元素的集合，也共有个， 这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即. 对中的任意集合，记， 则“交替和”，其中， 由，则集合的“交替和”为 ， 则集合与集合的“交替和”之和为， 下面举例说明： 如集合与集合， 的“交替和”为， 的“交替和”为 ， 即集合与集合的“交替和”之和为. 综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和， 且每组中“交替和”之和都为，共有组. 故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可， 综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为 . 故答案为：. 【点睛】“对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见. 8．(24-25高一上·上海市七宝中学··期中)已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有 个. 【答案】1008 【分析】根据题中条件先用表示出，得到，再由，求出范围，即可得出结果. 【详解】因为，且，所以， 即，整理得，所以， 故或（舍去），则，， 令，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1008. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据和，用表示出，再由集合满足的条件，求解即可. 9．(23-24高一上·上海市第二中学··期中)已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 【答案】 【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得. 【详解】由题意知，集合的“交替和”为. 集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集. 这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个， 设为； 则这个非空子集中含元素的集合，也共有个， 这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即. 对中的任意集合，记， 则“交替和”，其中， 由，则集合的“交替和”为 ， 则集合与集合的“交替和”之和为， 下面举例说明： 如集合与集合， 的“交替和”为， 的“交替和”为 ， 即集合与集合的“交替和”之和为. 综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和， 且每组中“交替和”之和都为，共有组. 故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可， 综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为 . 故答案为：. 【点睛】“对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见. 10．(23-24高一上·上海市华东师范大学第二附属中学··期中)定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和，可以表示下列集合中的 （填序号） ①；②；③. 【答案】①②③ 【分析】根据新定义运算逐个判断即可. 【详解】由nand定义知的意义是集合的补集与补集的并集，即， 则或，或， 所以或 或， 所以， 综上，，， . 故答案为：①②③ 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求解决问题. 11．(24-25高一上·上海市上海师范大学附属中学··期中)若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 【答案】或 【分析】分，和三种情况，当和时，直接求出集合，再结合条件，可知不合题意，当时，注意到，结合条件得到或，即可求解. 【详解】当时，由，得到，解得， 又只有个元素，所以不合题意， 当，由，得到或， 又，若，则的解集为或，显然不合题意， 若，要使只有个元素，则或， 解得或， 故答案为：或. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于时的处理，利用二次函数的性质，结合及条件，得到或，即可求解. 12．(24-25高一上·上海市控江中学··期中)已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为 【答案】或 【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合A的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： ①当时，因为，则， 且，可得， 又因为，则且， 可得：， 则，解得； ②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去； ③当，即时，可得：且， 可得，解得； 综上所述：或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类. 地 城 考点02 等式与不等式 13．(24-25高一上·上海市大同中学··期中) 已知、、，若对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式恒成立得中有一个恒大于等于0，另外两个同正同负或同为0，进而得，再根据绝对值三角不等式即可得答案. 【详解】若对于任意的实数，不等式恒成立， 则， 所以中有一个恒大于等于0，另外两个同正同负或同为0， ①，所以 ，所以， ②，所以 ，因为无解， 所以不符合题意； ③， 因为不可能恒成立，故无解； 所以，所以，所以， 所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于对不等式变形后得到三个数中有一个恒大于等于0，另两个数需同正同负同为0时需满足的条件. 14．(24-25高一上·上海市嘉定区中光高级中学··期中)设，点、分别是直线与上的任意动点，若时，皆有，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】根据题设有，，进而有恒成立，则求得，代入目标式求最小值. 【详解】由题设，，且恒成立， 所以在上恒成立， 则，整理得，故， 所以， 当，时，最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：问题化为在上恒成立为关键. 地 城 考点03 幂、指数与对数 15．(24-25高一上·上海市上海师范大学附属嘉定高级中学··期中) 关于的方程的解集为 ． 【答案】 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 16．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（    ）． A．607 B．608 C．609 D．610 【答案】B 【分析】由题意求出的近似值，可将写成的形式，即可得到结果. 【详解】因为，则， 即，所以的位数为. 故选：B. 17．(24-25高一上·上海市金山中学··期中) 对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用取整函数的性质得到的取值情况，即可得到答案. 【详解】设，若是整数，则. 若不是整数，则，从而，故，这就得到. 而原式为，在中恰有是整数，所以其中有个不是整数. 故. 故选：C. 地 城 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 18．(24-25高一上·上海市闵行中学··期中) 已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法结合指数函数的性质即可得解. 【详解】由题意，而关于单调递减， 从而， 所以的值域为. 故答案为：. 19．(24-25高一上·上海市七宝中学··期中) 已知函数(常数)在区间上是严格减函数，且在上存在自变量使得函数值为正，则满足条件的整数的所有取值为 . 【答案】 【分析】先分离常数，然后再利用复合函数的单调性判断方式以及该函数的函数值为正求出的取值即可. 【详解】由题可知 因为函数(常数)在区间上是严格减函数， 所以 因为在上存在自变量使得函数值为正 所以，解得. 又因为， 所以或. 故答案为： 20．(24-25高一上·上海市杨浦区复旦大学附属中学··期中) 命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同，则命题m是命题n的（     ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也非必要 【答案】B 【分析】利用常见的幂函数和可说明不充分，再说明必要性即可. 【详解】若两个幂函数相同，则它们的图像完全重合，有无数个公共点， 自然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以； 反之，若两个幂函数有三个公共点，例如和， 它们有三个公共点，，，但这两个幂函数并不相同，所以. 综上所述，命题是命题的必要不充分条件. 故选：B 21．(24-25高一上·上海市南洋模范中学··期中) 设不等式的解集为M，设函数 （且）与x轴有两个交点时实数的取值集合为N，则 【答案】 【分析】解对数不等式得出集合M，设函数)和函数，把函数（且）与x轴有两个交点问题转化为两函数图象有两个交点，利用数形结合求出集合N，然后利用交集的概念求得答案． 【详解】由，得， 解得，从而． 设函数)和函数， 则函数（且）与x轴有两个交点，就是函数)的图象与函数的图象有两个交点． 当时，如图，由图可知，两函数图象只有一个交点，不符合题意； 当时，如图，因为函数的图象过点，而直线与y轴的交点一定在点的上方，所以两图象一定有两个交点． 综上，实数a的取值范围是，从而． 则． 故答案为：． 22．(24-25高一上·上海市控江中学··期中) 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程根的分布，求出的取值范围. 【详解】因为函数为“半缩函数”， 所以存在，使得在上的取值范围是， 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以有两个不等的实数根， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根， 可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 故答案为： 地 城 考点05 函数的概念、性质及应用 23．(24-25高一上·上海市复旦大学附属中学··期中) 已知，若存在，使得不等式能成立，则实数的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数，讨论函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再结合的取值范围，求的取值范围 【详解】设， 则，所以函数为奇函数； 当时，在上单调递增. 所以函数函数在上为增函数. 所以. 所以. 所以，时能成立. 因为，所以或. 所以或. 故选：B 【点睛】方法点睛：解这种函数不等式的问题，不要急于代入函数解析式，转化成代数不等式，而是应该分析函数的性质，利用函数性质把函数不等式转化为代数不等式. 24．(24-25高一上·上海市复旦大学附属中学··期中) 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据负荷函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 由. 所以函数的定义域为：. 故答案为： 25．(22-23高一上·上海市浦东复旦附中分校··期中) 若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意可得能够取到大于等于的所有数，然后对分类求解得答案． 【详解】解：因为函数的值域为， 所以能够取到大于等于的所有数， 当时，不合题意； 当时，则，解得； 综上可得. 故答案为：． 26．(24-25高一上·上海市进才中学··期中) 设函数， 集合，则下列命题正确的有 . ①当时，集合； ②当时，； ③当，则的取值范围是； ④若（其中），则. 【答案】①④ 【分析】对于①，画出的图象，当时，解得或，数形结合解得； 对于②，当时，，解得，②错误； 对于③，令，不妨设，此时满足，但，③错误； 对于④，分析出至少一个为负值，不妨令，对应的解只有一个，为，故要对应3个解，故，则，，结合，求出，④正确. 【详解】对于①，画出的图象，如下： 当时，，解得或， 显然由图象可知，需令，解得， 需令，解得，故，①正确； 对于②，当时，，解得， 由图象可知，需令，解得，故，②错误； 对于③，令，则， ，解得， 设的两根分别为，则， 不妨设， 当，即，由图象可知，， 当，即，令，解得， 满足，但此时，③错误； 对于④，（其中）， 由于，故至少一个为负值，不妨令， 对应的解只有一个，为，故要对应3个解， 故，此时设对应的3个解分别为， 则，，故， 又，故，解得， 则，④正确. 故答案为：①④ 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $