专题08 期中解答压轴题（五大题型）（期中真题汇编，上海专用）高一数学上学期

专题08 期中解答压轴题（五大题型） 5大高频考点概览 考点01 集合与逻辑 考点02 等式与不等式 考点03 幂、指数与对数 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 考点05 函数的概念、性质及应用 地 城 考点01 集合与逻辑 1．(24-25高一上·上海市控江中学··期中) 已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)若集合具有性质，求的最小值； (2)已知集合具有性质，求证： ①对任意的都有；    ②； (3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析；(3)，理由见解析 2．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中) 定义集合，对任意的，，定义，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述两个集合的特征：， (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求中元素个数的最大值． 3．(24-25高一上·上海市延安中学··期中) 已知集合具有性质：对任意与至少有一个属于集合； (1)判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； (3)已知具有性质，求的值； 4．(19-20高一上·北京市顺义区牛栏山第一中学··期中) 对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”. （1）判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）； （2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； （3）若集合是“可分集合”. ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值. 5．(24-25高一上·上海市行知中学··期中) 对于元素为正整数集合如果去掉集合A中任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“求真集合”： (1)判断集合{1，2，3}是否为“求真集合”，并说明理由； (2)求证：四个元素为正整数的集合定不是“求真集合”： (3)求证：“元素为正整数集合 为求真集合”是“为奇数”的充分非必要条件. 6．(24-25高一上·上海市大同中学··期中) 若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 地 城 考点02 等式与不等式 7．(24-25高一上·上海市上海师范大学附属中学··期中) 教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理:若一元二次方程的两个根为，则，. 证明：因为一元二次方程的两个根为， 所以二次三项式可以因式分解为， 由于，从而等式恒成立. 该等式两边的对应项系数应相等.因此，. (1)类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； (2)已知关于的方程有三个实数根满足，求实数的值； (3)已知关于的方程有三个实数根满足，求的取值范围. 8．(20-21高一上·吉林省长春市第二中学··期中) 已知关于x的不等式，其中. （1）当时，求不等式的解集A； （2）当时，求不等式的解集A； （3）对于时，不等式的解集A，若满足（其中为整数集）.试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由. 9．(22-23高一上·上海市建平中学··期中) 定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． (1)设，都是正实数，且，求； (2)解不等式：； (3)设，都是正实数，求的最小值． 10．(24-25高一上·上海市上海师范大学附属中学··期中) （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围. 11．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中) 设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 12．(23-24高一上·上海市南汇中学··期中) 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 地 城 考点03 幂、指数与对数 13．(24-25高一上·云南省昭通一中教研联盟··期中) （1）计算； （2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数.（参考数据：） 14．(21-22高一上·上海市复兴高级中学··期中) （1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 15．(21-22高一上·上海市奉贤区致远高级中学··期中) （1）证明对数换底公式：当时，（其中且，且）； （2）证明：是无理数. 16．(16-17高一上·上海市上海外国语大学附属外国语学校··期中) 若函数的定义域为，满足对任意，有.则称为“形函数”；若函数定义域为，恒大于0，且对任意，恒有，则称为“对数形函数”. （1）当时，判断是否是“形函数”，并说明理由； （2）当时，判断是否是“对数形函数”，并说明理由； （3）若函数是形函数，且满足对任意都有，问是否是“对数形函数”？请加以证明，如果不是，请说明理由. 17．(辽宁省沈阳市2023届高一下学期教学质量监测数学试题) 指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间上的平均变化率随t的增大而增大． 已知实数a，b，满足． (1)比较和的大小； (2)当时，比较和的大小； (3)当时，判断的符号． 地 城 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 18．(24-25高一上·上海市松江一中··期中) 已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．(24-25高一上·北京市北京大学附属中学元培学院··期中) 已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 21．(24-25高一上·上海市控江中学··期中) 设常数，，. (1)已知的图象过点求实数的值； (2)当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围. 地 城 考点05 函数的概念、性质及应用 22．(19-20高一上·上海市复旦大学附属中学··期中) 已知函数，其中． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）记点，求证：存在实数，使得点在函数图像上的充要条件是； （3）对于给定的非负实数，求最小的实数，使得关于的不等式对一切恒成立. 23．(24-25高一上·上海交通大学附属中学··期中) 已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中． 变换：，其中． (1)若，，对进行变换后得到函数，解方程． (2)若，对进行变换后得到函数，解不等式． (3)若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数， 24．(24-25高一上·上海市莘庄中学··期中) 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”． (1)求证：函数是“局部奇函数”； (2)若函数是定义域为上的“局部奇函数”，求实数取值范围； (3)类比“局部奇函数”，写出“局部偶函数”的定义，并由此判断函数是这两种函数吗？说明理由． 25．(24-25高一上·上海市杨浦区复旦大学附属中学··期中) 设，则称为的“域反函数”. (1)若，若是幂函数，求：的“域反函数”的定义域与值域； (2)若，试判断的“域反函数”的奇偶性，并据此猜想出一条普适结论（无需证明）； (3)是否存在整数a使得 (其中a，c为常数，b为素数)的“域反函数”在R上为偶函数，且满足恒成立，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由. 26．(24-25高一上·上海市建平中学··期中) 已知函数的定义域为D，若存在常数k（），使得对D内的任意，且，都有成立，则称为D上的“k-严格利普希茨”函数. (1)判断函数，是否为“2-严格利普希茨”函数，并说明理由； (2)若函数（）为“k-严格利普希茨”函数，求常数k的取值范围； (3)若是上的“1-严格利普希茨”函数，且满足，判断是否存在，，使得成立，如果存在，请写出一个满足条件的函数和，的值；如果不存在，请说明理由. 27．(24-25高一上·上海市复旦大学附属中学··期中) 若函数的定义域、值域均为，则称为上的方正函数； (1)若为区间的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由； (3)设，，求非负实数的取值范围，满足：存在实数，使得均为上的方正函数． 28．(24-25高一上·上海市莘庄中学··期中) 设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； (3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 期中解答压轴题（五大题型） 5大高频考点概览 考点01 集合与逻辑 考点02 等式与不等式 考点03 幂、指数与对数 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 考点05 函数的概念、性质及应用 地 城 考点01 集合与逻辑 1．(24-25高一上·上海市控江中学··期中) 已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)若集合具有性质，求的最小值； (2)已知集合具有性质，求证： ①对任意的都有；    ②； (3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析；(3)，理由见解析 【分析】（1）由性质定义列不等式组求参数范围，结合即可得最小值； （2）根据定义，即可证，应用累加法即可证； （3）首先应用放缩有求得，同理可得恒成立，假设得出矛盾，再讨论并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值. 【详解】（1）集合具有性质，则对任意的，都有，即， ，解得且，可得的最小值是. （2）①由题意，，又， ，可得， ②由①可得. （3）由（2）知，，又，可得，因此，同理，， 又，，则也均成立. 当时，取，则，可知. 又当时，，则，即. 因此集合中元素个数的最大值为7. 【点睛】关键点睛：第二问，根据定义得为关键；第三问，应用放缩法确定，同理得到恒成立为关键. 2．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中) 定义集合，对任意的，，定义，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述两个集合的特征：， (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求中元素个数的最大值． 【答案】(1)；；(2)；(3) 【分析】本题需要理解题目给出的特征的定义，灵活运用集合的性质进行求解.应用转化与化归的方法. 【详解】（1）由题意,. （2）根据题意，中的元素的形式为，其中， 可将作为两个元素之间的差异或距离，为了简单起见，不妨将简化为一个由和排列而成的位数的形式； 当时，一共有个元素，根据集合的互异性，代入公式计算得到，即其特征值. 可列举为可以用各位数字相减的方式计算两个元素之间的距离. 当时，，即元素间的最小距离变为，可以通过添加或者的方式将四位数变为五位数， 此时可以给原本的距离为的两个元素分别添加不同的数字的方式保持集合中元素的数量不减少，并将最小距离变为. 故满足题意的集合中元素个数最大为. （3）由小问2可得，满足，且的集合中元素数量最大为16. 下面考虑，，与之前操作同理，通过增加一位数的方式为距离为的两元素之间的距离增加为， 以此类推，当，时，进行同样操作即可保证元素个数不减少. 又由可知，通过增加位数进行的操作不会使得元素之间距离变小， 即满足，的集合中元素在进行添加位数的操作之前必定满足，， 满足，的集合中的元素个数不会大于满足，的集合中元素的个数， 故满足，最大值为. 【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题． 3．(24-25高一上·上海市延安中学··期中) 已知集合具有性质：对任意与至少有一个属于集合； (1)判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； (3)已知具有性质，求的值； 【答案】(1)M具有性质，不具有性质；(2)；(3) 【分析】（1）由新定义判断即可； （2）由定义知,，可得，再由，， 可分析出，即得解. （3）由得，再由，可得，， 即可得到，用累加法即可得到 一般结论，进而得到答案. 【详解】（1）集合中，因为,，所以集合具有性质. 集合中，因为，所以集合不具有性质. （2）因为，且具有性质，所以,， 则，又因为，所以，则， 由集合的互异性知，而， 所以，故. （3）先证明一般结论： 具有性质，则. 因为具有性质， 所以 ,则，则. 又因为，所以 又因为，所以，则， 所以. 所以， 即， 所以具有性质，则， 所以. 【点睛】关键点点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 4．(19-20高一上·北京市顺义区牛栏山第一中学··期中) 对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”. （1）判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）； （2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； （3）若集合是“可分集合”. ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值. 【答案】（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；（2）见解析；（3）①见解析；②最小值是7 【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论； （2）不妨设，若去掉的元素为，则有①，或者②；若去掉的元素为，则有③，或者④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论； （3）①设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.分类讨论为奇数和为偶数的情况，分析可得集合中元素个数为奇数；②结合（1）（2）问，依次验证当时，当时，当时集合是否为“可分集合”，从而证明结论. 【详解】（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”； （2）不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④. 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾. 因此当时，集合一定不是“可分集合”； （3）①设集合所有元素之和为. 由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数. 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数. 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“可分集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数. 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②当时，显然任意集合不是“可分集合”. 当时，第（2）问已经证明集合不是“可分集合”. 当时，集合，因为： 3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13， 1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11， 则集合是“可分集合”. 所以集合中元素个数的最小值是7. 【点睛】本题考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于难度较高的创新题. 5．(24-25高一上·上海市行知中学··期中) 对于元素为正整数集合如果去掉集合A中任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“求真集合”： (1)判断集合{1，2，3}是否为“求真集合”，并说明理由； (2)求证：四个元素为正整数的集合定不是“求真集合”： (3)求证：“元素为正整数集合 为求真集合”是“为奇数”的充分非必要条件. 【答案】(1)不是，理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】(1)根据新定义的集合运算去列举分析即可判断； (2)根据新定义的集合运算，结合反证法来证明即可； (3)利用新定义，结合去掉任意数总可以分为两个和相等的集合，来讨论总和奇偶性，通过奇数偶数运算性质来分析判断充分不必要条件. 【详解】（1）对于集合 ， 去掉1时, 根据剩余的两个元素组成的集合分两个交集为空集，且两个集合的所有元素之和相等，显然，所以不满足题意， 去掉2时，根据剩余的两个元素组成的集合分两个交集为空集，且两个集合的所有元素之和相等，显然，所以不满足题意， 去掉3时，根据剩余的两个元素组成的集合分两个交集为空集，且两个集合的所有元素之和相等，显然，所以不满足题意， 所以集合 }不是"求真集合"； （2）不妨设 ， 假设集合是“求真集合”，则满足去掉任意一个元素，都有剩余元素组成两个交集为非空，且集合内元素之和相等， 去掉，则只能有 ， 去掉, 则只能有， 这样上面两个等式就恒成立，即，这显然与相矛盾， 所以四个元素的集合一定不是“求真集合”； （3）设集合所有元素之和为， 由去掉任意一个元素，都有剩余元素组成两个交集为非空，且集合内元素之和相等可知，均为偶数， 因此均为奇数或偶数， 如果为奇数, 则也均为奇数， 由于, 所以为奇数， 如果为偶数, 则均为偶数， 此时设则也是"求真集合"， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的"求真集合"， 此时各项之和也为奇数, 则集合中元素个数为奇数， 而当为奇数时，例如集合 ，并不是求真集合. 综上所述,元素为正整数集合为求真集合”是“为奇数”充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：根据新下定义的集合，采用列举分析法即可得到证明和判断； 对于第三问则需要利用好总和与任意项之差为偶数思想，结合奇数偶数运算性质来推理判断. 6．(24-25高一上·上海市大同中学··期中) 若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 【答案】(1) (2)①可能成立，，②不可能成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可； （2）①可以举出实例，②可以利用反证法进行证明； （3）用反证法进行证明，假设对任意，对任意，都有，结合题意推出矛盾，即可得结果. 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为 （2）①可能成立，举例如下:; ②不可能成立，证明如下:假设②成立，不妨设中元素的最大值为中元素的最小值为，由题可知:，所以，因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以，因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即②不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素，设，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么， 又因为， 所以， 则中必有一个集合至少包含中的3个元素， 不妨设这3个元素为，由假设可知:， 对任意，存在， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，所以存在，存在，使得 【点睛】方法点睛：对于集合新定义证明类题目，要能正确理解题意，再采取合适的方法进行求解，列举法和反证法是经常使用的方法，先假设条件不成立，再通过逻辑推理得到矛盾，从而证明出结论. 地 城 考点02 等式与不等式 7．(24-25高一上·上海市上海师范大学附属中学··期中) 教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理:若一元二次方程的两个根为，则，. 证明：因为一元二次方程的两个根为， 所以二次三项式可以因式分解为， 由于，从而等式恒成立. 该等式两边的对应项系数应相等.因此，. (1)类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； (2)已知关于的方程有三个实数根满足，求实数的值； (3)已知关于的方程有三个实数根满足，求的取值范围. 【答案】(1)设有三个不相等的实数根, ；(2)；(3) 【分析】（1）根据举例化简计算即可； （2）根据（1）得到三个根的关系求解即可； （3）利用方程的根与函数的零点的关系，然后利用三次函数的图像求解即可. 【详解】（1）设有三个不相等的实数根 则可分解因式为 打开括号得 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （2）由（1）可知， 易知 因为， 所以有 （3）由（1）可知 所以 由三次函数的图像可知，，先增再减再增， 有三个实数根 即函数，的三个交点的横坐标， 我们先画出， 如图我们现在来找单调区间， 当时，由 解得，或，（舍去） 当时，由 同理解得，. 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增； 由图易知，当，，有最大值，当，时，有最小值 即 【点睛】关键点点睛：我们需要确定函数的图像，利用三个根的关系，确定单调区间，然后再确定的取值范围. 8．(20-21高一上·吉林省长春市第二中学··期中) 已知关于x的不等式，其中. （1）当时，求不等式的解集A； （2）当时，求不等式的解集A； （3）对于时，不等式的解集A，若满足（其中为整数集）.试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由. 【答案】（1）（2）答案见解析（3）能， 【解析】（1）直接解一元二次不等式即得； （2）根据k的正负，两根的大小分类讨论求解不等式即可； （3）对分类讨论，若，则中会有无穷个数，当时，不等式的解集是一区间，从而有有限个数． 【详解】（1）当时，不等式为， 即， ∴， 即解集为； （2）当时，由原不等式可得， ， ， 当k >0且k≠2时， 由得或， 当k<0时，，由可得， . （3）由(1)(2)知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限; 当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集. 因为，当且仅当时取等号， 所以当k=―2时，集合B的元素个数最少. 此时， 故集合. 【点睛】关键点点睛：本题考查解一元二次不等式，解一元二次不等式通常要掌握“三个二次”之间的关系．要注意分类讨论二次项系数的正负，要利用判别式讨论相应的二次方程是否有实数解，在有实数解的情况下还要讨论两根的大小，这样才能得出正确的结论． 9．(22-23高一上·上海市建平中学··期中) 定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． (1)设，都是正实数，且，求； (2)解不等式：； (3)设，都是正实数，求的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）分段讨论得出，然后解不等式即可； （3）设出后由基本不等式进行求解. 【详解】（1）由题意得，即，当且仅当时等号成立， 故； （2）令，得， 当时，当时， 而即恒成立， 故， 可化为或或， 解得，故原不等式的解集为； （3）设，由题意得， 则， 当且仅当即时等号同时成立， 故的最小值为． 10．(24-25高一上·上海市上海师范大学附属中学··期中) （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据条件，因式分解得，对分类讨论，再利用一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况，当时，直接代入验证即可，时，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据条件得到，再由，得到或，再利用基本不等式和的性质，即可求解. 【详解】（1）由得到， 当时，由得到，当时，由得到， 当时，由得到， 综上所述，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. （2）由得到， 由得到或， 当时，得到恒成立，所以满足题意， 当时，得到，解得，不合题意， 当时，由题有，解得或， 综上，实数的取值范围为或. （3）由，得到， 由题知的两根为和， 则且，得到， 又由，且，得到，即， 解得或， 当时，，所以， 令，易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，此时， 综上所述，正实数的取值范围为或. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，利用一元二次不等式的解法得到且，从而得到，通过求得的取值范围，利用基本不等式和的性质求解. 11．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中) 设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2；(2)：(3)答案见解析 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 12．(23-24高一上·上海市南汇中学··期中) 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)时，取得最小值． 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【详解】（1）因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题． 地 城 考点03 幂、指数与对数 13．(24-25高一上·云南省昭通一中教研联盟··期中) （1）计算； （2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数.（参考数据：） 【答案】（1）；（2）4次 【分析】（1）利用分数指数幂和对数的运算性质，根式与分数指数幂的互化，化简计算即得； （2）设经过次过滤，产品达到市场要求，依题列出不等式，利用对数函数的单调性化简估算即可. 【详解】（1） ； （2）设经过次过滤，产品达到市场要求， 则有，即， 两边取对数，， 即， 则得， 故使产品达到市场要求的过滤的最少次数为4次. 14．(21-22高一上·上海市复兴高级中学··期中) （1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验. 【详解】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 15．(21-22高一上·上海市奉贤区致远高级中学··期中) （1）证明对数换底公式：当时，（其中且，且）； （2）证明：是无理数. 【答案】见解析 【分析】(1)设，然后对数式化指数式代入原式右边化简即可； (2)有理数可以表示为两个不可约分的整数的比，由此可用假设法来证明﹒ 【详解】（1）证明：令，所以， 所以． （2）证明：用反证法证明． 假设是有理数．设，其中与是互素的正整数． 于是． 两边平方，得． 所以是3的倍数，即也是3的倍数． 不妨设，得，即，所以是3的倍数，即也是3的倍数． 于是与有公因数3，这与与是互素的正整数矛盾． 所以假设不成立，是无理数﹒ 16．(16-17高一上·上海市上海外国语大学附属外国语学校··期中) 若函数的定义域为，满足对任意，有.则称为“形函数”；若函数定义域为，恒大于0，且对任意，恒有，则称为“对数形函数”. （1）当时，判断是否是“形函数”，并说明理由； （2）当时，判断是否是“对数形函数”，并说明理由； （3）若函数是形函数，且满足对任意都有，问是否是“对数形函数”？请加以证明，如果不是，请说明理由. 【答案】（1）不是；详见解析（2）是；详见解析（3）是，详见解析 【分析】（1）由，作差化简，得到当，同号时，此时，即可得到结论； （2）因为恒成立，可利用分析法和函数的新定义，作出判定和证明． （3）由的新定义和，得到，进而得到，再根据对数的运算性质，即可求解． 【详解】（1）由题，函数， 则 当，同号时，此时， 此时不满足，所以不是型函数． （2）因为恒成立， 要证对任意，，， 即证对任意，，， 即证对任意，，． 因为， 所以是对数型函数 （3）函数是对数型函数．证明如下： 因为是型函数，所以对任意，，有， 又由对任意，有，所以， 所以，所以， 所以， 所以是对数型函数． 【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，其中解答中认真审题，把握函数的新定义，合理运用新定义和对数的运算的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 17．(辽宁省沈阳市2023届高一下学期教学质量监测数学试题) 指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间上的平均变化率随t的增大而增大． 已知实数a，b，满足． (1)比较和的大小； (2)当时，比较和的大小； (3)当时，判断的符号． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）分析可得，，结合对数函数单调性分析运算，注意讨论和； （2）方法一：利用反证法证明；方法二：构建函数，，结合单调性分析运算；方法三：构建，结合单调性分析运算； （3）构建，结合单调性分析可得，再根据题意结论分析可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意得：，，则， 所以， 当时，则在定义域内单调递减，解得， 所以； 当时，则在定义域内单调递增，解得， 所以； 综上所述：， 即，所以． （2）当时，则， （方法一）①假设，则，即， 由，且，所以，则， 所以，与已知矛盾，故假设不成立； ②假设，则，即， 由，且，所以，则， 同理可得，与已知矛盾，假设不成立； ③当，则， 可得，符合题意； 由①②③可得：． （方法二）设，则b是的零点， 对，且， ∵，，在单调递增，则， 可得， 即，故在单调递增， ∴有唯一的零点b， 设， 对，且， ∵，都在单调递增，则， 可得， 即，故在单调递增， 且， 故函数零点存在性定理知在存在唯一的零点， 则满足，即， 可得，即， 故，即， 所以的零点即为的零点b， 所以，即． （方法三）两边除以b可得：，变形得：， 构建， 对，且， ∵，都在单调递增，则， 可得， 即，故在上单调递增，且， 由（1）可知：当时，则， 所以，，所以． （3）设， 对，且， ∵，都在单调递增，则， 可得， 即，故在单调递增， ∵，且，即， ∴， 由（2）得，则，故； 由指数函数在区间上的平均变化率，随t的增大而增大， 所以指数函数在区间上的平均变化率小于在区间上的平均变化率，即， 化简得，所以，解得或（舍去）； 所以，故． 【点睛】关键点点睛：在处理方程、不等式问题时，我们常常构建函数，利用函数单调性结合零点存在性定理分析运算.这是问题函数化的关键． 地 城 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 18．(24-25高一上·上海市松江一中··期中) 已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)不存在，使得结论成立，理由见解析 【分析】（1）变形得到，利用对数函数的单调性、定义域求解出不等式解集； （2）利用换元法，可化为在上恒成立，参变分离，结合基本不等式求解； （3）先由定义域得到，研究在上的单调性，得到在上的最大值必在端点处产生，从而得到不等式组，无解，故不存在，使得结论成立． 【详解】（1）由已知得， 即，因为是增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为； （2）由题意令，因为，所以， 所以不等式在上恒成立， 可化为在上恒成立， 分离参数得，因为，当且仅当时取等号， 则要使原式恒成立，只需即可，即实数的取值范围为； （3）首先要使函数在上有意义，需，所以， 易知函数在上的最大值必在端点处产生， 故只需，或， 由①得或4，由②得，故无解，舍去； 由④得或，由③得，故无解，舍去； 综上可知，不存在a使结论成立． 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 19．(24-25高一上·北京市北京大学附属中学元培学院··期中) 已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 20．(24-25高一上·湖南省怀化市兴才高级中学··期中) 18．函数，满足，且在时恒成立. (1)求a、c的值； (2)若，解不等式； (3)是否存在实数m，使函数在区间上有最小值？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2) 答案见解析； (3)存在，或. 【来源】上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中数学试题 【分析】（1）由，得，再由在上恒成立得判别式小于等于0可得； （2）由（1）得，从而化不等式为,再讨论可得; （3），假设存在实数，使函数在区间上有最小值，从而讨论函数单调性确定最小值,从而解得. 【详解】（1）由,得， 因为在上恒成立，即在上恒成立， 所以且， 所以， 所以， 所以， 所以. （2）由(1)得， 因为， 所以， 由得， 所以， 所以，当时，不等式的解为， 当时，不等式无解， 当时，不等式的解为； 综上所述:当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为空集； 当时，原不等式的解集为. （3）因为， 所以的图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线， 假设存在实数，使函数在区间上有最小值， ①当，即时，函数在区间上是增函数，所以， 即， 化简得:， 所以， 解得或， 因为,所以. ②当,即时,函数的最小值为， 即， 化简得:，解得或， 因为，所以或都舍去. ③当，即时，在区间上是减函数， 所以的最小值为， 即， 化简得:， 解得或， 因为，所以. 综上,存在实数,当或时， 函数在区间上有最小值. 【点睛】方法点睛：一元二次不等式恒成立问题,含参的一元二次不等式及动轴动区间的二次函数的最值问题的方法是分类讨论. 21．(24-25高一上·上海市控江中学··期中) 设常数，，. (1)已知的图象过点求实数的值； (2)当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，求出值即可； （2）将，代入解析式，得，利用换元法结合二次函数的单调性求出函数的最小值，根据已知条件有，即可求解； （3）利用换底公式化方程为，利用换元法及韦达定理得，根据解出的范围即可. 【详解】（1）因为图象过点，所以， 所以，解得. （2）当时，， 因为，所以， 令，则有，， 函数的对称轴为，所以， ，所以， 因为对任意，都有恒成立， 所以，所以，即实数的取值范围为：. （3）因为，则， 化为， 整理有：， 因为，所以， 所以原式可化为：， 令，则有， ， 所以方程有两个根，设为、，且，， 所以，， ， 又因为， 所以，因为，所以， 所以，即，， ，，，， 又因为，所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换底公式以及换元法得到：，然后利用解出的范围. 地 城 考点05 函数的概念、性质及应用 22．(19-20高一上·上海市复旦大学附属中学··期中) 已知函数，其中． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）记点，求证：存在实数，使得点在函数图像上的充要条件是； （3）对于给定的非负实数，求最小的实数，使得关于的不等式对一切恒成立. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）先求定义域，当时，判断奇偶性，当时，利用奇偶性的定义判断与的关系即可判断；（2）先证充分性，取，代入，即可得出结论；再证必要性，直接把代入放缩即可得出结论；（3）由于可知：具有如下两个性质：1）对任意，均有；2）对任意负实数，不等式的解集为；①当时，利用性质1），2）得出的最小值为0；②当时，利用性质1），2）得出的最小值为，即可得出结论. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，为偶函数； 当时，由，， 得，且， 为非奇非偶函数． （2）证明：充分性：已知， 取 则 ， 所以点在函数图像上． 必要性：已知存在实数，使得点在函数图像上， 则. （3）由于可知： 具有如下两个性质： 1）对任意，均有； 2）对任意负实数，不等式的解集为， ①当时，的最小值为0，理由如下： 若，取，， 由性质2）可知，，即不满足， 由性质1）可知，满足． ②当时，的最小值为，理由如下： 若，取， 由性质2）可知，， 即不满足， 若， 当时，由性质1）可知：， 当时， ，由性质2）， 所以对任意恒成立， 即满足. 综上：． 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判断，利用函数的单调性求最值问题以及求函数的充要条件问题.主要考查了学生的理解分析问题和解决问题的能力.属于较难题. 23．(24-25高一上·上海交通大学附属中学··期中) 已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中． 变换：，其中． (1)若，，对进行变换后得到函数，解方程． (2)若，对进行变换后得到函数，解不等式． (3)若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数， 【答案】(1)；(2)或；(3)证明见解析 【分析】（1）根据函数的变换可得函数解析式，解方程即可； （2）根据函数的变换可得函数解析式，即可得不等式，分情况解不等式即可； （3）根据函数变化可得函数解析式，由可得，由，可知且，结合函数在上是严格增函数，可知当时，，即可得，再利用定义法证明函数单调性. 【详解】（1）由已知可得， 又， 即，解得； （2）由已知， 又，即， 由已知， 则当，即时，， 解得或，即或； 当，即时，，即，不等式恒成立，即； 综上所述，或； （3）由题意对函数先作变换可得， 再作变换，得到函数， 对函数先作变换可得， 再作变换，得到函数， 所以对任意，， 当时，，又函数在上是严格增函数， 则，即， 由于，可知且，若其中，则， 即当时，， 任取，令， 存在，使， 由函数在上是严格增函数，可知，则， 依此类推可得，即， 即函数在上是严格增函数. 24．(24-25高一上·上海市莘庄中学··期中) 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”． (1)求证：函数是“局部奇函数”； (2)若函数是定义域为上的“局部奇函数”，求实数取值范围； (3)类比“局部奇函数”，写出“局部偶函数”的定义，并由此判断函数是这两种函数吗？说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部偶函数”；是“局部偶函数”，不是“局部奇函数”，理由见解析 【分析】（1）根据题意分析方程，即的解的情况，即可得证； （2）根据题意分析可得在上有解，根据条件得，，从而转化成在上有解，或在上有解，即可求解； （3）由“局部奇函数”的定义类比可得“局部偶函数”的定义，再分析，的解得情况，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 若，即，整理可得：，解得：， 所以方程有解，则函数是“局部奇函数”. （2）因为函数是定义域为上的“局部奇函数”， 则在上有解， 当时，，，当时，，， 又时，，所以， 又，易知，，即不是的解， 当时，由，得到， 当且仅当时取等号，所以， 当时，由，得到，当且仅当时取等号， 综上，实数取值范围. （3）根据题意“局部偶函数”的定义为：对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部偶函数”． 对于函数，， 当时，成立，即为“局部偶函数”， 若为局部奇函数，因为，， 则，， 设，则，即， 整理得到，解得，不合题意， 设，则，解得，不合题意， 设，则，解得，即，不合题意， ∴不是局部奇函数， 故是“局部偶函数”不是“局部奇函数”. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解“局部奇函数”的定义，在定义域内存在实数，满足，将函数问题转化为方程有解问题，即可求解. 25．(24-25高一上·上海市杨浦区复旦大学附属中学··期中) 设，则称为的“域反函数”. (1)若，若是幂函数，求：的“域反函数”的定义域与值域； (2)若，试判断的“域反函数”的奇偶性，并据此猜想出一条普适结论（无需证明）； (3)是否存在整数a使得 (其中a，c为常数，b为素数)的“域反函数”在R上为偶函数，且满足恒成立，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)函数为奇函数，猜想：为奇函数的充要条件是其“域反函数”为奇函数，为偶函数的充要条件是其“域反函数”为偶函数. (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据函数是幂函数可得实数的值，根据域反函数的定义以及常见幂函数的定义域和值域可求函数的定义域和值域； （2）根据函数奇偶性的定义判断，再据此给出猜想即可； （3）根据（2）可得函数为偶函数，则，利用二次函数的图象与性质列不等式，解得，进而判断. 【详解】（1）由函数是幂函数，得，解得，则， 因此函数，由域反函数的定义得： 当时，，此时自变量应满足； 当时，，此时自变量应满足，解得； 综上，的域反函数的定义域为，且， 当时，由幂函数的性质可知； 当时，幂函数单调递增，则； 因此函数的值域为，即函数的域反函数的值域为. （2）由，得， 根据定义得，化简得， 故函数的定义域为，又，则函数为奇函数； 又函数的定义域为，且，则函数为奇函数； 猜想：为奇函数的充要条件是其“域反函数”为奇函数，为偶函数的充要条件是其“域反函数”为偶函数. 证明如下： 若是奇函数，所以当时，有，即. 同理，当时，有，即. 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，由于是奇函数，所以， 那么，也满足， 所以对于所有在其定义域内的x，都有，所以是奇函数. 类似地，可证明当是奇函数时，是奇函数， 所以为奇函数的充要条件是其“域反函数”为奇函数， 同理可证：为偶函数的充要条件是其“域反函数”为偶函数. （3）不存在整数满足题意，理由如下： 由（2）可知是偶函数，又为素数，则，故， 又由恒成立，得，解得， 故不存在整数满足条件. 26．(24-25高一上·上海市建平中学··期中) 已知函数的定义域为D，若存在常数k（），使得对D内的任意，且，都有成立，则称为D上的“k-严格利普希茨”函数. (1)判断函数，是否为“2-严格利普希茨”函数，并说明理由； (2)若函数（）为“k-严格利普希茨”函数，求常数k的取值范围； (3)若是上的“1-严格利普希茨”函数，且满足，判断是否存在，，使得成立，如果存在，请写出一个满足条件的函数和，的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)是“2-严格利普希茨”函数，不是“2-严格利普希茨”函数，理由见解析； (2)；(3)不存在，，使得成立，理由见解析 【分析】（1）对于，有，满足要求，对于，举出反例； （2）任取，分子有理化，得到，求出，得到； （3）不妨设，分和两种情况，得到，从而得到结论. 【详解】（1）是“2-严格利普希茨”函数， 不是“2-严格利普希茨”函数，理由如下： 定义域为R，任取， ， 故是“2-严格利普希茨”函数； 的定义域为R，任取， ， 当，此时， 故不是“2-严格利普希茨”函数； （2）任取， ， 由于，故， 故，， 要想恒成立，则， 故常数k的取值范围是； （3）不存在，，使得成立，理由如下： 是上的“1-严格利普希茨”函数， 故对任意的，，且，有， 不妨设，当时，， 当时，由于，，故， 故 ， 综上，恒成立， 不存在，，使得成立. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 27．(24-25高一上·上海市复旦大学附属中学··期中) 若函数的定义域、值域均为，则称为上的方正函数； (1)若为区间的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由； (3)设，，求非负实数的取值范围，满足：存在实数，使得均为上的方正函数． 【答案】(1)；(2)不存在；理由见解析；(3) 【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值. （2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况. （3）根据对称轴与区间的关系，分类讨论函数在上的单调性与最值.结合方正函数的定义，先由两个函数的相同最值，建立方程组并求解，再结合对称轴范围分析的存在情况. 【详解】（1）因为， 函数图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增， 由题意，为区间的方正函数， 所以当时，； 当时，，解得或（舍去）. 因此，若为区间的方正函数，则实数的值为. （2）对函数， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又当时，， 所以函数在上单调递减， 由图象对称性可知，函数在上单调递减. 如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数， 则，即，又， 显然，所以，，所以， 即，解得，这与矛盾. 故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数. （3）当时，. 若，则在上单调递增，在上单调递减， 由函数是上的方正函数， 则，解得. 此时，也为上的方正函数； 若，则，，不满足题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 由函数是上的方正函数， 则，解得. 此时，也为上的方正函数； 故当时，存在实数，使得均为上的方正函数； 当时，函数图象开口向上，且对称轴为. ①若即，函数在上单调递增， 由方正函数的概念，可知，即， 解得，所以由，解得. 此时，图象开口向下，对称轴为， 由，则函数在上单调递减， 且，， 所以在上的值域为，故也是上的方正函数. 即当时，存在实数，使得均为上的方正函数． ②若，即， 由，则由方正函数概念， ，且. 又由，， 可知，且也是方正函数， 则，且， 故. 所以联立，解得， 不满足条件，故此时无解； ③若，即， 由，则由方正函数概念， ，且. 与②同理可得， ， 所以联立，解得， 不满足条件，故此时无解； ④若即，函数在上单调递减， 由方正函数的概念，可知，即， 解得，所以，解得. 此时，，抛物线的对称轴为， 由可知函数在上单调递增， 且，， 所以在上的值域为，故也是上的方正函数. 即当时，还存在实数，使得均为上的方正函数． 综上所述，当非负实数的取值范围为时， 存在实数，使得均为上的方正函数． 【点睛】方法点睛：函数定义域与值域相同的问题，一般处理方法是：通过函数单调性的分析，确定函数的最大（小）值在何处取到，从而建立方程组，以方程组的求解为突破口，再加以验证条件是否满足即可. 28．(24-25高一上·上海市莘庄中学··期中) 设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； (3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是，峰点为；(2)；(3) 【分析】（1）以一元二次函数的单调性进行判断即可解决； （2）先满足单调性要求，再满足值域的要求，逐步递进即可解决； （3）在按参数t分类讨论时要注意不重不漏的原则，逐步求得t的取值范围. 【详解】（1）函数的图像是开口向下，对称轴为的抛物线， 则在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数， 故是上的“含峰函数”，峰点为. （2）记函数，，， 则在区间[m，2]上是严格增函数，在区间上是严格减函数，则， 且有，得到， 则， 当时，的最小值为，则， 又，故， 当时，的最小值为，解得， 综上，实数的取值范围是. （3）记，设任意，且， 则 当时，由，且， 可知，， 则，即， 则为上严格减函数，不符合题目要求； 当时，由，且， 可知，， 则，即 则为上严格增函数，不符合题目要求； 当时， 设任意，且，此时，， 则，即，为上严格增函数； 设任意，且，此时， 则，即，为上严格减函数； 故是上峰点为的“含峰函数”. 综上，t的取值范围为. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $