专题04 幂函数、指数函数与对数函数（七大题型+好题推送）（期中真题汇编，上海专用）高一数学上学期

专题04 幂函数、指数函数与对数函数（七大题型+好题推送） 7大高频考点概览 考点01 幂函数的定义 考点02 幂函数的图象和性质 考点03 指数函数的定义与图像 考点04 指数函数的性质 考点05 对数函数的定义与图像 考点06 对数函数的性质 考点07 幂指对函数性质的综合应用 地 城 考点01 幂函数的定义 1．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中) 幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·上海市顾村中学··期中) 已知幂函数图象经过点，则= . 3．(24-25高一上·上海市曹杨第二中学··期中) 已知是幂函数，其图象经过第一、三象限，则 . 地 城 考点02 幂函数的图象和性质 4．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 下列图象中，最符合函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中) 幂函数的图象一定经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限和原点 D．第二、四象限和原点 6．(24-25高一上·上海市上海大学附属中学··期中) 不等式 的解集为 ． 地 城 考点03 指数函数的定义与图像 7．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 已知指数函数的图象经过点，则 ． 8．(24-25高一上·【课后练】 4.2.1指数函数的定义与图像··期中) 若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 9．(22-23高一上·上海市第二中学··期中) 若指数函数的图像经过点，则其解析式为 ． 地 城 考点04 指数函数的性质 10．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 已知a，b是非零实数，且，则下列不等式中一定成立的有（    ）个． ①    ②    ③ A．0 B．1 C．2 D．3 11．(24-25高一上·上海市杨思高级中学··期中) 已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数 12．(24-25高一上·上海市大同中学··期中) 设，“”是“”的一个（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要 地 城 考点05 对数函数的定义与图像 13．(24-25高一上·上海市第三女子中学··期中) 函数的定义域为 ． 14．(24-25高一上·上海市松江一中··期中) 若代数式有意义，则其中实数的取值范围是 ． 15．(22-23高一上·上海市浦东新区··期中) 已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是 . 地 城 考点06 对数函数的性质 16．(24-25高一上·上海市朱家角中学··期中) 已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 已知，将x、y、z从小到大排列，并用“<”连接： ． 18．(24-25高一上·上海市控江中学··期中) 已知，则的取值范围为 地 城 考点07 幂指对函数性质的综合应用 19．(24-25高一上·上海市行知中学··期中) 如图，图像①②③④所对应的函数不属于，中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 20．(24-25高一上·上海市上海大学附属中学··期中) 已知幂函数的图象不经过第二象限，并且函数（且）恒过定点的纵坐标为，则 21．(24-25高一上·上海市晋元高级中学··期中) （1）已知指数函数（且在区间上的最大值与最小值之和等于，求实数的值. （2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上严格递减.若.求实数的取值范围. 【好题推送】 1．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中) 已知，则下列命题为假命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．(24-25高一上·上海交通大学附属中学··期中) 已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．(24-25高一上·上海市杨浦区复旦大学附属中学··期中) 命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同，则命题m是命题n的（     ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也非必要 4．(21-22高一上·上海交通大学附属中学··期中) 若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为 ． 5．(24-25高一上·上海市大同中学··期中) 已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则 ． 6．(24-25高一上·上海市行知中学··期中) 已知实数满足，则的取值范围是 . 7．(24-25高一上·上海市大同中学··期中) 函数（且）的图象过定点 ． 8．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中) 关于的不等式的解集为 . 9．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中) 已知指数函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 10．(24-25高一上·上海市松江一中··期中) 已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂函数、指数函数与对数函数（七大题型+好题推送） 7大高频考点概览 考点01 幂函数的定义 考点02 幂函数的图象和性质 考点03 指数函数的定义与图像 考点04 指数函数的性质 考点05 对数函数的定义与图像 考点06 对数函数的性质 考点07 幂指对函数性质的综合应用 地 城 考点01 幂函数的定义 1．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中) 幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 2．(24-25高一上·上海市顾村中学··期中) 已知幂函数图象经过点，则= . 【答案】 【分析】代入求解幂函数的解析式，即可代入求解. 【详解】将代入中可得，故，故 因此， 故答案为： 3．(24-25高一上·上海市曹杨第二中学··期中) 已知是幂函数，其图象经过第一、三象限，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可. 【详解】因为是幂函数， 所以,即，所以或， 当时，易知该幂函数的图象经过第一、三象限，满足题意； 当时，易知该幂函数的图象经过第一、二象限，不满足题意. 故答案为：. 地 城 考点02 幂函数的图象和性质 4．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 下列图象中，最符合函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象判断即可. 【详解】由，函数的定义域为，排除BC， 因为，所以函数的图象呈现下凸的趋势，排除D. 故选：A. 5．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中) 幂函数的图象一定经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限和原点 D．第二、四象限和原点 【答案】C 【分析】根据幂函数的解析式确定图象特征即可判断得解. 【详解】幂函数是定义在R上的奇函数，其图象经过第一、三象限和原点. 故选：C 6．(24-25高一上·上海市上海大学附属中学··期中) 不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】由的单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为在上单调递增，， 所以，解得. 故答案为： 地 城 考点03 指数函数的定义与图像 7．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 已知指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义及图象经过点求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：4. 8．(24-25高一上·【课后练】 4.2.1指数函数的定义与图像··期中) 若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 【答案】/0.015625 【分析】先根据已知求出参数的值，然后将代入函数表达式即可求解. 【详解】由题意，注意到且，所以解得， 所以指数函数解析式为， 当时，. 故答案为：. 9．(22-23高一上·上海市第二中学··期中) 若指数函数的图像经过点，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】设指数函数的解析式为，(且)，代入计算即可得解. 【详解】设指数函数的解析式为，(且)， 因指数函数fx的图像经过点， 则，即，则其解析式为. 故答案为：. 地 城 考点04 指数函数的性质 10．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 已知a，b是非零实数，且，则下列不等式中一定成立的有（    ）个． ①    ②    ③ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①：根据指数函数单调性分析判断；对于②③：举反例说明即可. 【详解】对于①：因为在定义域内单调递增，且，可得，故①正确； 对于②③：例如，满足， 但，即，且均无意义，故②③错误； 所以一定成立的有1个. 故选：B. 11．(24-25高一上·上海市杨思高级中学··期中) 已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数 【答案】3 【分析】由已知条件，并结合指数函数的单调性分类讨论即可求解. 【详解】当时，函数在区间上单调递增，， 因为最大值比最小值大，所以， 解得或（舍）， 当时，函数在区间上单调递减，， 所以， 此时方程无解，即不存在. 故答案为：. 12．(24-25高一上·上海市大同中学··期中) 设，“”是“”的一个（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可得结论. 【详解】当时，在上单调递增，又，所以，即， 所以“”是“”的一个充分条件， 当时，均满足， 所以“”是“”的一个不必要条件， 所以，“”是“”的一个充分非必要条件. 故选：A. 地 城 考点05 对数函数的定义与图像 13．(24-25高一上·上海市第三女子中学··期中) 函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数的真数大于、分式分母不为求解出结果. 【详解】因为，所以，解得， 所以定义域为， 故答案为：. 14．(24-25高一上·上海市松江一中··期中) 若代数式有意义，则其中实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数符号中，真数大于0，即可得到结果． 【详解】若代数式有意义，则需满足， 即，∴或， 则x的取值范围是． 故答案为：． 15．(22-23高一上·上海市浦东新区··期中) 已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是 . 【答案】9 【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解. 【详解】因为对数函数（且）的图象经过点， 所以解得， 所以， 因为该函数图象经过点，所以解得， 故答案为:9. 地 城 考点06 对数函数的性质 16．(24-25高一上·上海市朱家角中学··期中) 已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知不等式的解集为，即可得或，解对数不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 可知不等式的解集为， 若，可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 17．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 已知，将x、y、z从小到大排列，并用“<”连接： ． 【答案】 【分析】设，将指数式化为对数式整理可得，结合对数函数单调性分析判断即可. 【详解】设，可知， 则，可得， 因为在定义域内单调递增， 则，即， 且，所以. 故答案为：. 18．(24-25高一上·上海市控江中学··期中) 已知，则的取值范围为 【答案】 【分析】利用对数函数单调性解不等式即得. 【详解】由，得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 地 城 考点07 幂指对函数性质的综合应用 19．(24-25高一上·上海市行知中学··期中) 如图，图像①②③④所对应的函数不属于，中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】由函数过点，和过点即可得解. 【详解】因为， 所以函数过点，和过点. 所以由图可得③所对应的函数不属于，和中的函数. 故选：C. 20．(24-25高一上·上海市上海大学附属中学··期中) 已知幂函数的图象不经过第二象限，并且函数（且）恒过定点的纵坐标为，则 【答案】8 【分析】由幂函数的一般形式得到或，根据图象不经过第二象限确定的值；根据函数图象过定点求出的值，代入即可. 【详解】幂函数， ，解得或， 当时，不经过第二象限；当时，经过第二象限， ， 又函数（且）恒过定点，所以， . 故答案为：8. 21．(24-25高一上·上海市晋元高级中学··期中) （1）已知指数函数（且在区间上的最大值与最小值之和等于，求实数的值. （2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上严格递减.若.求实数的取值范围. 【答案】（1）2或  （2） 【分析】（1）指数函数一定是单调函数，故在端点处取最大最小值，代入等式即可求得实数的值； （2）由幂函数的单调性得到指数的不等式，解出的取值范围，求出指数值，由指数函数图像的性质解不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）指数函数在区间上单调， ∴， ∴或 （2）由题意可知，∴，又∵， ∴或， 当时，，为偶函数， 当时，，为偶函数， ∴，的定义域为， ∴， ∴， ∴ 【好题推送】 1．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中) 已知，则下列命题为假命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断A，应用幂函数及指数函数的单调性判断C，D，应用特殊值法判断B. 【详解】对于A，因为，所以，故正确； 对于B，若，则，故不正确； 对于C，因为在上单调递增， 所以，可得，故正确； 对于D，因为，所以， 又因为在上为单调递减函数， 2．(24-25高一上·上海交通大学附属中学··期中) 已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据幂函数定义确定，确定或，再根据条件：函数在上是增函数，确定，确定或，再根据函数为奇函数验证的值即可求解. 【详解】因为函数幂函数， 所以，解得或， 因为函数在上是增函数， 所以，解得，所以（舍去）， 因为函数是奇函数，当时，幂指数，不合题意； 当时，幂指数，为奇函数，符合题意； 所以满足条件的为. 故选：A 3．(24-25高一上·上海市杨浦区复旦大学附属中学··期中) 命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同，则命题m是命题n的（     ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也非必要 【答案】B 【分析】利用常见的幂函数和可说明不充分，再说明必要性即可. 【详解】若两个幂函数相同，则它们的图像完全重合，有无数个公共点， 自然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以； 反之，若两个幂函数有三个公共点，例如和， 它们有三个公共点，，，但这两个幂函数并不相同，所以. 综上所述，命题是命题的必要不充分条件. 故选：B 4．(21-22高一上·上海交通大学附属中学··期中) 若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1）,代入计算即可得解. 【详解】解：设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1）， ∴， 解得， ∴. 故答案为：. 5．(24-25高一上·上海市大同中学··期中) 已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则 ． 【答案】. 【分析】利用幂函数的定义和性质可得，再应用对数运算律计算即可． 【详解】由幂函数， 故有，则 解得，或， 当时，与坐标轴有交点不合题意. 所以，，满足条件， 故答案为：． 6．(24-25高一上·上海市行知中学··期中) 已知实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得，计算的取值范围，利用函数的单调性即可得到结果. 【详解】∵，， ∴， ∴， 由得，即， ∵，在上为减函数， ∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 7．(24-25高一上·上海市大同中学··期中) 函数（且）的图象过定点 ． 【答案】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，即， 此时， 所以函数（且）的图象过定点. 故答案为： 8．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中) 关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据指数函数的性质，把原不等式转化成，再通过分类讨论去掉绝对值符号，从而求得不等式的解集． 【详解】， 当时，，所以此时不等式无解； 当时，； 当时，，所以此时不等式无解. 综上可知，原不等式的解集为. 故答案为： 9．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中) 已知指数函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根题意设且，解出即可； （2）换元令，结合指数函数值域转化为一元二次方程有两个不等的正根求解即可. 【详解】（1）设且， 由，可得，又，， . （2）由（1）知， 又方程有两个不同的实数解， 有两个不同的实数解，设， 有两个不同的正实数解， ，解得， 实数的取值范围为. 10．(24-25高一上·上海市松江一中··期中) 已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)不存在，使得结论成立，理由见解析 【分析】（1）变形得到，利用对数函数的单调性、定义域求解出不等式解集； （2）利用换元法，可化为在上恒成立，参变分离，结合基本不等式求解； （3）先由定义域得到，研究在上的单调性，得到在上的最大值必在端点处产生，从而得到不等式组，无解，故不存在，使得结论成立． 【详解】（1）由已知得， 即，因为是增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为； （2）由题意令，因为，所以， 所以不等式在上恒成立， 可化为在上恒成立， 分离参数得，因为，当且仅当时取等号， 则要使原式恒成立，只需即可，即实数的取值范围为； （3）首先要使函数在上有意义，需，所以， 易知函数在上的最大值必在端点处产生， 故只需，或， 由①得或4，由②得，故无解，舍去； 由④得或，由③得，故无解，舍去； 综上可知，不存在a使结论成立． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $