专题01 集合与逻辑（十大题型+好题推送）（期中真题汇编，上海专用）高一数学上学期

专题01 集合与逻辑（十大题型+好题推送） 10大高频考点概览 考点01 集合的含义与表示 考点02 集合的基本关系 考点03 集合的运算 考点04 利用文氏图解题 考点05 根据集合的关系与运算求参数 考点06 集合的新定义问题 考点07 充分、必要条件的判断 考点08 根据充分、必要条件求参数 考点09 反证法 考点10 集合与逻辑综合题 地 城 考点01 集合的含义与表示 1．(24-25高一上·上海交通大学附属中学··期中)在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（    ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 2．(24-25高一上·上海市上海师范大学第二附属中学··期中)已知集合，用列举法表示集合 3．(24-25高一上·上海市黄浦区卢湾高级中学··期中)用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 地 城 考点02 集合的基本关系 4．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 已知集合，则 5．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中)若，则m的取值范围为 6．(24-25高一上·上海市复旦大学附属中学··期中)已知非空集合，且满足：“若则”，则满足条件的集合的个数为 ． 地 城 考点03 集合的运算 7．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中) 已知，是3的倍数，则可用列举法表示为 ． 8．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中)集合，，则 9．(24-25高一上·上海市上海师范大学第二附属中学··期中)设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 利用文氏图解题 10．(24-25高一上·上海市川沙中学··期中) 已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ． 11．(24-25高一上·上海市上海师范大学附属中学··期中)已知全集为，若，则以下结论正确的 有 （填写所有正确结论序号） ①；②；③. 12．(24-25高一上·上海市陆行中学··期中)对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 根据集合的关系与运算求参数 13．(24-25高一上·上海市松江二中··期中)已知集合，集合，若，则实数 14．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中)已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 15．(24-25高一上·上海市上海财经大学附属北郊高级中学··期中)已知全集为R，集合，集合. （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 地 城 考点06 集合的新定义问题 16．(24-25高一上·上海市松江二中··期中)已知集合，集合，其中．若集合B表示的区间为一个闭区间，则a的取值范围为 17．(24-25高一上·上海市延安中学··期中)若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 . 18．(24-25高一上·上海市金山中学··期中)已知集合，，，，其中，2，，，由中元素可构成两个点集和其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质. (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ (3)若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论. 地 城 考点07 充分、必要条件的判断 19．(24-25高一上·上海市上海师范大学附属中学··期中)命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 20．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中) “或”是“”的 条件． 21．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中) 1．设，则“”是“”的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 地 城 考点08 根据充分、必要条件求参数 22．(24-25高一上·上海市普陀区长征中学··期中) 已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 23．(24-25高一上·上海市南汇中学··期中) 已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 24．(24-25高一上·上海市曹杨第二中学··期中) 已知.若是的充分条件，则的取值范围是 . 地 城 考点09 反证法 25．(24-25高一上·上海市第二中学··期中) 若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中 . 26．(24-25高一上·上海市金山区··期中) 用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 27．(23-24高一上·上海市奉贤区··期中) 设、. “若，则或”是一个真命题.用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即： . 地 城 考点10 集合与逻辑综合题 28．(24-25高一上·上海市顾村中学··期中)已知集合，，且，求实数组成的集合为 29．(24-25高一上·上海市金山中学··期中)已知集合，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 30．(24-25高一上·上海市第三女子中学··期中)已知全集为实数集， 集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数m的取值范围． 【好题推送】 1．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中)1．下列叙述正确的个数为（     ） ①对于任何一个集合A，总有； ②，集合，，则“”是“”的充要条件； ③设a、，关于x的方程的解集是； ④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； ⑤若函数是幂函数，且满足，则的值为8. A．2 B．3 C．4 D．5 2．(24-25高一上·上海市南汇中学··期中)已知有限集，如果中的元素满足，就称为"封闭集".给出下列结论: (1)集合是"封闭集" (2)若，且是"封闭集"，则 (3)若为正整数，则不可能是"封闭集" (4)若是正整数，则"封闭集"有且只有一个，且.其中正确的命题个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25高一上·沪教版（2020）必修第一册第第1章 集合与逻辑··随堂练习) 用反证法证明命题：“已知，求证：”时，应假设 ，得出的矛盾为 . 4．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中)14．已知为实数，，，记集合，，若集合的元素个数为3，则集合的元素个数一定有 个. 5．(24-25高一上·上海市行知中学··期中)对于元素为正整数集合如果去掉集合A中任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“求真集合”： (1)判断集合{1，2，3}是否为“求真集合”，并说明理由； (2)求证：四个元素为正整数的集合定不是“求真集合”： (3)求证：“元素为正整数集合 为求真集合”是“为奇数”的充分非必要条件. 6．(24-25高一上·上海市大同中学··期中)若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与逻辑（十大题型+好题推送） 10大高频考点概览 考点01 集合的含义与表示 考点02 集合的基本关系 考点03 集合的运算 考点04 利用文氏图解题 考点05 根据集合的关系与运算求参数 考点06 集合的新定义问题 考点07 充分、必要条件的判断 考点08 根据充分、必要条件求参数 考点09 反证法 考点10 集合与逻辑综合题 地 城 考点01 集合的含义与表示 1．(24-25高一上·上海交通大学附属中学··期中)在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（    ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A； 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项； 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A； 2．(24-25高一上·上海市上海师范大学第二附属中学··期中)已知集合，用列举法表示集合 【答案】； 【分析】根据集合满足的条件，用列举法表示集合即可； 【详解】因为，所以； 故答案为：； 3．(24-25高一上·上海市黄浦区卢湾高级中学··期中)用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 【答案】且； 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且； 地 城 考点02 集合的基本关系 4．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 已知集合，则 【答案】0； 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果； 【详解】因为，所以； 故答案为：0； 5．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中)若，则m的取值范围为 【答案】； 【分析】利用空集的定义，结合一元二次不等式的解集情况，分类列式求出范围； 【详解】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为； 故答案为：； 6．(24-25高一上·上海市复旦大学附属中学··期中)已知非空集合，且满足：“若则”，则满足条件的集合的个数为 ． 【答案】4； 【分析】先根据非空集合，确定集合的个数，再排除不满足条件的集合即可； 【详解】首先：因为非空集合，所以集合的个数为：个， 其中：，，不满足条件：“若则”. 故满足条件的集合的个数为：4. 故答案为：4； 地 城 考点03 集合的运算 7．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中) 已知，是3的倍数，则可用列举法表示为 ． 【答案】； 【分析】根据题意可得，再结合交集运算求解即可； 【详解】由题意可知：， 且是3的倍数，所以； 故答案为：； 8．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中)集合，，则 【答案】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】或， 所以. ， 即，解得或，所以或， 所以. 故答案为： 9．(24-25高一上·上海市上海师范大学第二附属中学··期中)设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集、补集、并集、交集的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，是全集的两个子集，， A选项，，所以A选项错误. B选项，，所以B选项错误. C选项，，所以C选项正确. D选项，，所以D选项错误. 故选：C 地 城 考点04 利用文氏图解题 10．(24-25高一上·上海市川沙中学··期中) 已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ． 【答案】 【分析】根据韦恩图及集合交、补运算求集合即可. 【详解】由题图知：阴影部分为，而或， 所以. 故答案为： 11．(24-25高一上·上海市上海师范大学附属中学··期中)已知全集为，若，则以下结论正确的 有 （填写所有正确结论序号） ①；②；③. 【答案】①②③ 【分析】根据条件得到，可得①正确，再结合韦恩图，即可判断②③的正误. 【详解】因为，得到，所以①正确， 如图，由知，，所以②和③正确，    故答案为：①②③. 12．(24-25高一上·上海市陆行中学··期中)对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义，画出韦恩图即可求解. 【详解】由题意指图（1）中阴影部分构成的集合， 同样指图（2）中阴影部分构成的集合， 所以，， 故选：A； 地 城 考点05 根据集合的关系与运算求参数 13．(24-25高一上·上海市松江二中··期中)已知集合，集合，若，则实数 【答案】0 【分析】由，得到，再结合集合元素互异性即可求解. 【详解】因为， 所以．解得（舍，集合元素互异性）或0． 故答案为：0 14．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中)已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 15．(24-25高一上·上海市上海财经大学附属北郊高级中学··期中)已知全集为R，集合，集合. （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）解不等式，求出集合、，再求. （2）由得到，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）由， 所以，即. 由或，即或，所以或. 所以或. （2）因为或，所以. 由得到. 若即，此时，成立； 若即，由. 综上可知：.所以的取值范围是：. 地 城 考点06 集合的新定义问题 16．(24-25高一上·上海市松江二中··期中)已知集合，集合，其中．若集合B表示的区间为一个闭区间，则a的取值范围为 【答案】 【分析】先根据集合A，得出B集合的最大值和最小值，再结合区间是闭区间得出计算即可求解. 【详解】由题意知，，则的最小值为，最大值为， 所以，又因为， 所以，又集合B表示的区间为一个闭区间， 则，化简可得，又，解得． 故答案为：. 17．(24-25高一上·上海市延安中学··期中)若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 . 【答案】30 【分析】首先要确定“有序好数对”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有30组． 【详解】由三个非零且互不相等的实数，，满足满足且满足， 可得 消去，并整理得， 所以（舍去），，于是有． 在集合中，三个元素组成的所有数对必为整数对， 所以必为2的倍数，且，， 故这样的数对共30组． 故答案为：． 18．(24-25高一上·上海市金山中学··期中)已知集合，，，，其中，2，，，由中元素可构成两个点集和其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质. (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ (3)若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论. 【答案】(1)不具有，具有，, (2)120 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，； （2）利用定义，探讨出与的关系式，再代入求值； （3）分和两种情况，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，从而得到答案. 【详解】（1），则，故不满足定义， 不具有性质， ，，，，，，，满足要求， 故具有性质， 由于，，，故， 由于，，， ，，， 故. （2）依题意，集合的元素构成有序数对共有个， 由，得，又当时，，则当时，， 因此集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 所以中元素的个数最多为. （3）集合具有性质， 对于，根据定义可知：，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素， 那么， 中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 对于，根据定义可知，，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 综上，. 地 城 考点07 充分、必要条件的判断 19．(24-25高一上·上海市上海师范大学附属中学··期中)命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 【答案】真 【分析】根据数集之间的关系判断真假即可. 【详解】由所有有理数都是实数，知“如果，那么”为真命题. 故答案为：真 20．(24-25高一上·上海市上海中学东校··期中) “或”是“”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合交集、并集的意义判断得解. 【详解】由或，得，而， 所以“或”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 21．(24-25高一上·上海市复旦大学附属复兴中学··期中) 1．设，则“”是“”的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 地 城 考点08 根据充分、必要条件求参数 22．(24-25高一上·上海市普陀区长征中学··期中) 已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 23．(24-25高一上·上海市南汇中学··期中) 已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 24．(24-25高一上·上海市曹杨第二中学··期中) 已知.若是的充分条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系，解不等式组即可得解． 【详解】，， 是的充分条件， 则，解得， 故答案为：． 地 城 考点09 反证法 25．(24-25高一上·上海市第二中学··期中) 若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中 . 【答案】至少有两个钝角 【分析】根据反证法思想作答． 【详解】应假设结论的反面，即假设：至少有两个钝角． 故答案为：至少有两个钝角． 26．(24-25高一上·上海市金山区··期中) 用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 27．(23-24高一上·上海市奉贤区··期中) 设、. “若，则或”是一个真命题.用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即： . 【答案】且 【分析】否定结论即可. 【详解】“若，则或”是一个真命题. 用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即“且”. 故答案为：且. 地 城 考点10 集合与逻辑综合题 28．(24-25高一上·上海市顾村中学··期中)已知集合，，且，求实数组成的集合为 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到或，解得，再代入检验. 【详解】因为，所以， 又，， 所以或， 解得或或或， 当时，，，符合题意； 当时，集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 综上可得实数组成的集合为. 故答案为： 29．(24-25高一上·上海市金山中学··期中)已知集合，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）分式不等式等价于，解得即可； （2）分、两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）等价于，解得，则； （2）因为， 当时，，解得，满足题意； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 30．(24-25高一上·上海市第三女子中学··期中)已知全集为实数集， 集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先求解出绝对值不等式的解集为，然后代入表示出并求出，最后根据交集运算求得结果； （2）将问题转化为“⫋”，列出不等式组从而可求的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以或， 由解得，所以， 所以. （2）因为“”是“”的必要非充分条件，所以⫋， 所以，解得， 当时，，满足要求， 综上所述，的取值范围是. 【好题推送】 1．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中)1．下列叙述正确的个数为（     ） ①对于任何一个集合A，总有； ②，集合，，则“”是“”的充要条件； ③设a、，关于x的方程的解集是； ④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； ⑤若函数是幂函数，且满足，则的值为8. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用子集的意义判断①；利用充要条件的定义判断②；由方程的解集判断③；求出面积取最大值的条件判断④；利用幂函数求出函数值判断⑤. 【详解】对于①，空集是任何集合的子集，则，①正确； 对于②，，，则， 反之，若，则，， 因此“”是“”的充要条件，②正确； 对于③，当时，方程的解集是，③错误； 对于④，设矩形的周长为，其长宽分别为，则， 矩形面积， 当且仅当时取等号，此时该矩形为正方形，④正确； 对于⑤，设，由，得，即，解得， 则，因此，⑤错误， 所以正确的个数为3. 故选：B 2．(24-25高一上·上海市南汇中学··期中)已知有限集，如果中的元素满足，就称为"封闭集".给出下列结论: (1)集合是"封闭集" (2)若，且是"封闭集"，则 (3)若为正整数，则不可能是"封闭集" (4)若是正整数，则"封闭集"有且只有一个，且.其中正确的命题个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】(1)利用"封闭集"的定义判断；（2）设，由是方程的两根求解判断；（3）由为正整数时，得到，于是，无解即可判断；（4）由时，得到"封闭集"有且只有一个为，再由时，由“封闭集”A存在的必要条件是判断. 【详解】（1）因为，所以集合是"封闭集"，故正确； （2）因为是"封闭集"，所以，设是方程的两根，则，解得或，故错误； （3）不妨设中， 由，得， 当时，即有， 所以，于是，无解，即不存在满足条件的“复活集” ，正确； （4）当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能， 因为，则，所以"封闭集"有且只有一个为； 不妨设中， 由，得， 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，故正确； 故选：C 3．(24-25高一上·沪教版（2020）必修第一册第第1章 集合与逻辑··随堂练习) 用反证法证明命题：“已知，求证：”时，应假设 ，得出的矛盾为 . 【答案】 （或） 【详解】由题意假设，则，，， 因为，所以， 即，所以， 因为不论q为何值，都大于等于0，即假设不成立，所以. 由以上分析过程可知：反设为，得出的矛盾为. 同理可得出矛盾. 综上：反设为， 得出的矛盾为或. 4．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中)14．已知为实数，，，记集合，，若集合的元素个数为3，则集合的元素个数一定有 个. 【答案】3 【分析】利用一元二次方程根的判别式，结合函数的表达式,通过集合的元素个数为3，得到 关系即可判断； 【详解】若集合的元素个数为3，则方程有三个不等实根, 则有, 所以方程一定有这一个根，且不是方程的根， 又，所以有两个不等于的根， 所以集合的元素个数也一定为3. 故答案为：3 5．(24-25高一上·上海市行知中学··期中)对于元素为正整数集合如果去掉集合A中任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“求真集合”： (1)判断集合{1，2，3}是否为“求真集合”，并说明理由； (2)求证：四个元素为正整数的集合定不是“求真集合”： (3)求证：“元素为正整数集合 为求真集合”是“为奇数”的充分非必要条件. 【答案】(1)不是，理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】(1)根据新定义的集合运算去列举分析即可判断； (2)根据新定义的集合运算，结合反证法来证明即可； (3)利用新定义，结合去掉任意数总可以分为两个和相等的集合，来讨论总和奇偶性，通过奇数偶数运算性质来分析判断充分不必要条件. 【详解】（1）对于集合 ， 去掉1时, 根据剩余的两个元素组成的集合分两个交集为空集，且两个集合的所有元素之和相等，显然，所以不满足题意， 去掉2时，根据剩余的两个元素组成的集合分两个交集为空集，且两个集合的所有元素之和相等，显然，所以不满足题意， 去掉3时，根据剩余的两个元素组成的集合分两个交集为空集，且两个集合的所有元素之和相等，显然，所以不满足题意， 所以集合 }不是"求真集合"； （2）不妨设 ， 假设集合是“求真集合”，则满足去掉任意一个元素，都有剩余元素组成两个交集为非空，且集合内元素之和相等， 去掉，则只能有 ， 去掉, 则只能有， 这样上面两个等式就恒成立，即，这显然与相矛盾， 所以四个元素的集合一定不是“求真集合”； （3）设集合所有元素之和为， 由去掉任意一个元素，都有剩余元素组成两个交集为非空，且集合内元素之和相等可知，均为偶数， 因此均为奇数或偶数， 如果为奇数, 则也均为奇数， 由于, 所以为奇数， 如果为偶数, 则均为偶数， 此时设则也是"求真集合"， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的"求真集合"， 此时各项之和也为奇数, 则集合中元素个数为奇数， 而当为奇数时，例如集合 ，并不是求真集合. 综上所述,元素为正整数集合为求真集合”是“为奇数”充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：根据新下定义的集合，采用列举分析法即可得到证明和判断； 对于第三问则需要利用好总和与任意项之差为偶数思想，结合奇数偶数运算性质来推理判断. 6．(24-25高一上·上海市大同中学··期中)若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 【答案】(1) (2)①可能成立，，②不可能成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可； （2）①可以举出实例，②可以利用反证法进行证明； （3）用反证法进行证明，假设对任意，对任意，都有，结合题意推出矛盾，即可得结果. 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为 （2）①可能成立，举例如下:; ②不可能成立，证明如下:假设②成立，不妨设中元素的最大值为中元素的最小值为，由题可知:，所以，因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以，因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即②不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素，设，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么， 又因为， 所以， 则中必有一个集合至少包含中的3个元素， 不妨设这3个元素为，由假设可知:， 对任意，存在， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，所以存在，存在，使得 【点睛】方法点睛：对于集合新定义证明类题目，要能正确理解题意，再采取合适的方法进行求解，列举法和反证法是经常使用的方法，先假设条件不成立，再通过逻辑推理得到矛盾，从而证明出结论. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $