专题23.8 图形与坐标（举一反三讲义）数学华东师大版九年级上册

专题23.8 图形与坐标（举一反三讲义） 【华东师大版】 【题型1 用坐标确定位置】 2 【题型2 根据平移前的点求平移后的点】 6 【题型3 根据平移后的点求平移前的点】 9 【题型4 根据平移前后关系求值】 13 【题型5 根据平移确定点的位置】 14 【题型6 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 17 【题型7 作图——轴对称变换】 19 【题型8 利用轴对称设计图案】 24 【题型9 位似变换】 27 知识点1 用坐标表示平移 （1）点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)或(x-a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)． （2）图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 知识点2 轴对称与坐标变化 （1）关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数;反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称。 （2）关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数;反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称。 知识点3 平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 【题型1 用坐标确定位置】 【例1】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标的位置为，目标的位置为，现有一个目标的位置为，且与目标的距离为5，则为 ． 【答案】120或300 【分析】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键． 设中心点为点O，，由勾股定理逆定理可知，且C有两个方向，即可确定C的位置，即可得到答案． 【详解】解： 如图：设中心点为点O，在中， ， ， 是直角三角形，且 ∴C的位置为：或． 故答案为：120或300 【变式1-1】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图是五子棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，白棋④的坐标为，则黑棋①的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置．根据白棋②的坐标得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，可建立如图所示平面直角坐标系： 则黑棋①的坐标是， 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东临沂·期中）春天到了，七年级2班组织同学们到人民公园春游，李明、张华利用平面直角坐标系画出人民公园示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表，每个小正方形的对角线长为），规定正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且景点A和景点B的坐标分别是和．李明、张华分别对景点C的位置进行了描述，则下列判断正确的是（   ） 李明：景点C的坐标是； 张华：景点C在景点D的北偏东方向，相距处． A．只有李明说得对 B．只有张华说得对 C．两人说得都对 D．两人说得都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系和方位角的知识，理解并掌握相关知识是解题关键．根据景点A和景点的坐标确定平面直角坐标系的原点，即可判定李明的说法；根据方位角的知识判定张华的说法． 【详解】解：根据景点A和景点的坐标分别是和，可知平面直角坐标系的原点在景点处，故李明的说法正确； 根据所规定的正东、正北方向，可知景点在景点D的南偏西方向，相距处，故张华的说法不对； 综上分析可知：只有李明说得对． 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·期中）如图，每个小正方形网格的边长表示 ． A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走 就到达学校． (1)以学校为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，规定一个单位长度代表长，在图中建立平面直角坐标系； (2)在（1）中建立的平面直角坐标系中，B同学家的坐标是 ； (3)在你所建立的平面直角坐标系中，如果C 同学家的坐标为 ，请你在图中描出表示C同学家的点． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，写出直角坐标系中点的坐标，坐标系中描点，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据A同学上学时从家出发，先向东走，再向北走，确定原点的位置，再画出直角坐标系即可； （2）根据建立的平面直角坐标系，写出B的坐标即可； （3）根据坐标的意义，结合C 同学家的坐标为 描点即可，注意一个小正方形网格的边长表示50 m． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示； （2）解：根据建立的平面直角坐标系可知B同学家的坐标是， 故答案为：； （3）解：表示C同学家的点如图所示： 【题型2 根据平移前的点求平移后的点】 【例2】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立、用坐标表示表示位置及平面直角坐标系中点的平移，由题意，建立平面直角坐标系，求出“马”位于点，再由点的平移即可得到答案，熟记平面直角坐标系坐标表示位置及点的平移是解决问题的关键． 【详解】解：根据“帅”位于点，“炮”位于点，建立平面直角坐标系，如图所示： ∴“马”位于点， ∴将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点，则点在 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．根据平移的性质，向左平移，则横坐标减；向上平移，则纵坐标加． 【详解】解： 先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点， ，， 点的坐标是， 点在二象限 故答案为：二． 【变式2-2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，平行四边形顶点、、的坐标分别是，，，将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形变化－平移，先画出平行四边形，得出，然后根据平移的性质可得点的坐标． 【详解】解：如图， 由图可知，， ∴将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·北京·期中）如图所示，已知，，三点坐标．将三角形平移至三角形处，点A，B，C的对应点分别为点，，，其中点的坐标为． (1)①在图中画出平移后的三角形； ②其中三角形上一点平移后对应点的坐标为______； (2)求三角形的面积； (3)设点Q在y轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点Q的坐标． 【答案】(1)①见解析；②； (2)； (3)或． 【分析】本题考查作图-平移变换，涉及到三角形面积公式以及方程的应用，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据平移的性质作图即可； ②由题意知三角形向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度得到三角形，结合平移的性质可得答案； （2）直接利用割补法求三角形的面积即可； （3）设点的坐标为，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图，三角形即为所求； ②由题意知，三角形向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度得到三角形， ∴ 三角形上一点平移后对应点的坐标为； 故答案为：； （2）三角形的面积为； （3）设点的坐标为， ∵ 三角形与三角形的面积相等， ∴， 解得或， ∴ 点的坐标为或． 【题型3 根据平移后的点求平移前的点】 【例3】（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，第二象限有一点，将点水平向右平移3个单位长度得到点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移变换以及点的坐标，根据题意得出，进而根据平移得出点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵第二象限有一点，将点水平向右平移3个单位长度得到点， ∴ 故选：A． 【变式3-1】（24-25七年级下·贵州·期末）在平面直角坐标系中,将点P(x,y)向右平移3个单位,再向上平移2个单位长度后与点Q(-1,2)重合,则点P的坐标为 . 【答案】（-4，0） 【分析】逆向思考，把点（-1，2）先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后可得到P点坐标． 【详解】在坐标系中，点Q（-1，2）先向左平移3个单位得（-4，2），再把（-4，2）向下平移2个单位后的坐标为（-4，0），则P点的坐标为（-4，0）． 故答案为（-4，0）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 【变式3-2】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的，平移前点的坐标为． (1)画出平移前的，并写出点和点的坐标； (2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标为_______； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见详解，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，图形变换， （1）先得出，再结合，可知是由先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的，据此画出，即可求解； （2）根据是由先向右平移4个单位，再下平移3个单位得到的，即可求解； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）如图可知：， ∵， ∴将先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求；   ， 由图可知：，； （2）解：解：根据题意得：是由先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的， ∴点在内的对应点的坐标是． 故答案为：； （3）解：的面积 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据平移得到关于的方程，求出的值即可解题． 【详解】将点平移后点的坐标为， 由题可得：，解得：， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平移，二元一次方程组，掌握平移规律是解题的关键． 【题型4 根据平移前后关系求值】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）把点向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度到一个位置后坐标为，则m，n，a，b之间存在的关系是 ； （2）将点向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点，则 ． 【答案】 ， 【分析】（1）根据点平移的规律，得到平移后点的坐标，又因为已知平移后点坐标，得到等量关系即可求解； （2）根据点平移的规律，得到平移后点的坐标，又因为已知平移后点坐标，得到等量关系即可求解x，y值，即可求解的值； 【详解】解：（1）∵点向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，得到点坐标为, 为平移后点的坐标； ∴,； 故答案为：，． （2）∵将点向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点坐标为，为平移后的点坐标， ∴解得：． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右加，左减；纵坐标上加，下减． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·专题练习）将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，根据点的平移规则，左减右加，上加下减，求出的值，即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式4-2】（24-25七年级下·吉林通化·阶段练习）将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，掌握点的坐标平移特点“左减右加，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：由平移可得：，， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，新定义，根据卫星点的定义列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 此时，，， 则点的卫星点为和， ∵这两个卫星点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等）， ∴， 解得，， 故答案为：． 【题型5 根据平移确定点的位置】 【例5】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，将一个横、纵坐标都是整数的点，沿平行（或垂直）于坐标轴的直线平移1个单位长度，称为该点走了1步．点，，各走了若干步后到达同一点P，当点P的坐标为 时，三个点的步数和最小，为 ． 【答案】 6 【分析】根据网格的特点求解即可． 【详解】如图所示，    当点P的坐标为时， 点A先向上走1步，再向右走1， 点B向下走3步，点C向左走1步， ∴此时三个点的步数和最小，为6步． 故答案为：，6． 【点睛】此题考查了坐标与图形，点的平移，解题的关键是熟练掌握网格的特点． 【变式5-1】（24-25八年级下·全国·期中）将点向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的平移，点在坐标轴上的特点，根据将点向上平移1个单位得到点Q，点Q在x轴上，可得出，进而可求出m的值，进一步即可求出点P的坐标． 【详解】解：将点向上平移1个单位得到点Q， 则 ∵点Q在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：D． 【变式5-2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则P（m+2，2m+1）在第 象限． 【答案】三 【分析】根据向右平移横坐标加，y轴上的横坐标为0列方程求解出m的值，可得出点P的坐标，根据象限的特征即可得出结果． 【详解】点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上， ， ， ， 点P的坐标为（-1，-5）， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【变式5-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）如图，在第一象限内有两点，将线段平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ． 【答案】或． 【分析】设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在轴上，在轴上；②在轴上，在轴上．此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：设平移后点、的对应点分别是、． 分两种情况： ①在轴上，在轴上； 则横坐标为0，纵坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； ②在轴上，在轴上． 则纵坐标为0，横坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点平移后的对应点的坐标是或． 故答案为：或． 【题型6 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 【例6】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，如果三个顶点的坐标分别是，，，关于轴成轴对称的图形是，关于轴成轴对称的图形是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点，先利用两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，再利用两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 简记：关于谁对称谁不变． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是，点关于x轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系中对称的点的坐标变化规律，理解横纵坐标的变化规律是解题关键．根据关于y轴对称点的坐标特征：横坐标取相反数，纵坐标不变即可求解。 【详解】解：关于轴的对称点的坐标为：， 故选：B． 【变式6-2】（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 【变式6-3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了新定义，直角坐标系的点的特征，三角形的面积公式．根据对称性质由已知点坐标求得，，的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得的值便可． 【详解】解：根据题意得，，，， ，， 的面积为1， ， 解得或3， 故答案为：1或3． 【题型7 作图——轴对称变换】 【例7】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标未知，图中已经画出y轴． (1)在正方形网格中画出x轴，标出原点O，并直接写出点C的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出关于x轴对称的．并直接写出的坐标． 【答案】(1)轴及原点O 见详解， (2)见详解；，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，作轴对称图形； （1）由点A的坐标为，确定原点，即可确定轴，写出的坐标，即可求解； （2）作出，写出坐标，即可求解； 能根据已知点的坐标建立直角坐标系，会作轴对称图形是解题的关键． 【详解】（1）解：轴及原点O，如图， ； （2）解：如图， 为所求作； ，，． 【变式7-1】（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】本题考查作图—轴对称图形， （1）根据轴对称的性质，得出的三个顶点各个对应点，再顺次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征求解即可； 熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所作，点的坐标为； （2）点关于轴的对称点的坐标为． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点落在格点上，以B为原点建立平面直角坐标系，将关于y轴对称得到． (1)在网格中建立以B为原点的平面直角坐标系，并画出； (2)点C关于轴的对称点的坐标为_______； (3)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了轴对称、坐标与图形： （1）根据题意，建立如图所示平面直角坐标系，再根据关于y轴的对称点的坐标的特点即可求解； （2）根据关于轴的对称点的坐标的特点即可求解； ②依题意可设点，则，进而可得，则可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． ； （2）解：点C关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； （3）解：依题意可设点， 则， 解得：， 点的坐标为或． 【变式7-3】（24-25八年级上·河南郑州·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，，与关于某直线成轴对称． (1)在网格内画出平面直角坐标系，并画出； (2)设l是过点C且平行于x轴的直线，点A关于直线l的对称点的坐标是 ； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系即可．由题意知与关于y轴对称，根据轴对称的性质画图即可． （2）结合轴对称的性质可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：（1）画出平面直角坐标系如图所示， 可知与关于y轴对称． 如图，即为所求． （2）由题意得，点A关于直线l的对称点A′的坐标是． 故答案为：． （3）的面积为． 【题型8 利用轴对称设计图案】 【例8】（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中有四个点，它们的横、纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点的横、纵坐标仍是整数（不在坐标轴上），则移动后点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了轴对称图形．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，描点画图即可得解． 【详解】解：如图所示： ，，，，（在坐标轴上，舍去）， 故答案为：或或． 【变式8-1】（24-25八年级上·北京·期末）如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    【答案】点 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，根据平面直角坐标系的性质，找到坐标原点，即可． 【详解】解：其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 如图所示：点和点关于轴对称， ∴当原点为点时，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 故答案为：点．    【变式8-2】如图，平面直角坐标系中有四个点，他们的横纵坐标均为整数，若在次平面直角坐标系内移动点至第四象限处，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点横纵坐标仍是整数，则点的坐标可以为 （写出一个即可） 【答案】答案不唯一 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标. 【详解】解：如图当在以x=2的直线上时，图形为轴对称图形， 又因为在第四象限，且横纵坐标是整数，且当时四点构成三角形， ∴的横坐标为2,纵坐标为不等于-1的负整数即可. 故答案为：答案不唯一. 【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，坐标与图形.关键是掌握轴对称图形的定义，根据3个定点所在位置，找出的位置．特别注意当时四点构成三角形要舍去. 【变式8-3】在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子的位置如图所示，它们的坐标分别是和．    (1)如图，添加棋子，使四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴； (2)在其他格点位置添加一颗棋子，使，四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子所在位置的坐标（写出2个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据轴对称的性质，确定对称轴的位置即可； （2）根据轴对称图形的定义：沿着一直线折叠后，直线两旁的部分能重合是轴对称图形，然后添加一颗棋子P即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求．    （2）如图：    点或．（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义． 【题型9 位似变换】 【例9】（2025·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，以点O为位似中心，将线段放大得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系位似变换．利用点和点的坐标特征得到相似比，把放大2倍得到，然后把点的横纵坐标都乘以2得到点坐标． 【详解】∵线段两端点坐标分别为，以原点O为位似中心，将线段放大后得到对应线段，若的坐标为， ∴对应点在原点的两侧，且位似比为，则的坐标为 ． 故选：A. 【变式9-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，． (1)以点为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． (2)的坐标为 ． (3)若点是内任意一点，则位似变换后对应点坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图—位似变换、位似图形的性质，熟练掌握位似图形的作法是解答本题的关键． （1）根据位似变换的知识作图即可； （2）根据（1）中的图形，即可得出的坐标； （3）位似变换后的内任意一点根据相似比，横纵坐标各扩大3倍． 【详解】（1）如图所示： （2）解：由图可知，的坐标为． 故答案为：． （3）解：相似比为， 位似变换后的内任意一点的横纵坐标各扩大3倍， 是位似变换后对应点坐标为 【变式9-2】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标为，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的性质，即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小， ∴点的对应点的坐标是， 故选：． 【变式9-3】（24-25九年级上·河北衡水·期中）如果方格中，三角形的顶点O和A的位置用数对表示分别为、． (1)在方格中过点画出边的平行线． (2)画出三角形绕点顺时针方向旋转后的图形，并涂上阴影． (3)用数对分别表示新三角形中、的位置分别是：（ ， ）、（ ， ） (4)①以点为位似中心，在位似中心的同侧画出的位似图形，使它与的位似比为，并涂上阴影． ②缩小后的面积是原来面积的 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)13，8，9，8 (4)①见解析；② 【分析】本题考查作图位似变换、平行线的判定和性质，利用旋转设计图案，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据旋转的性质画出图形即可； （3）根据、的位置即可得到结论； （4）①根据位似图形的性质，画图即可； ②结合相似图形的性质可得答案． 【详解】（1）解：（1）如图，直线即为所求； （2）如图，即为所求； （3）新中、， 故答案为：13，8；9，8； （4）①如图所示； ②∵与的位似比为， ∴缩小后的面积是原来面积的， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.8 图形与坐标（举一反三讲义） 【华东师大版】 【题型1 用坐标确定位置】 2 【题型2 根据平移前的点求平移后的点】 3 【题型3 根据平移后的点求平移前的点】 4 【题型4 根据平移前后关系求值】 5 【题型5 根据平移确定点的位置】 6 【题型6 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 6 【题型7 作图——轴对称变换】 7 【题型8 利用轴对称设计图案】 9 【题型9 位似变换】 10 知识点1 用坐标表示平移 （1）点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)或(x-a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)． （2）图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 知识点2 轴对称与坐标变化 （1）关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数;反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称。 （2）关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数;反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称。 知识点3 平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 【题型1 用坐标确定位置】 【例1】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标的位置为，目标的位置为，现有一个目标的位置为，且与目标的距离为5，则为 ． 【变式1-1】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图是五子棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，白棋④的坐标为，则黑棋①的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东临沂·期中）春天到了，七年级2班组织同学们到人民公园春游，李明、张华利用平面直角坐标系画出人民公园示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表，每个小正方形的对角线长为），规定正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且景点A和景点B的坐标分别是和．李明、张华分别对景点C的位置进行了描述，则下列判断正确的是（   ） 李明：景点C的坐标是； 张华：景点C在景点D的北偏东方向，相距处． A．只有李明说得对 B．只有张华说得对 C．两人说得都对 D．两人说得都不对 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·期中）如图，每个小正方形网格的边长表示 ． A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走 就到达学校． (1)以学校为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，规定一个单位长度代表长，在图中建立平面直角坐标系； (2)在（1）中建立的平面直角坐标系中，B同学家的坐标是 ； (3)在你所建立的平面直角坐标系中，如果C 同学家的坐标为 ，请你在图中描出表示C同学家的点． 【题型2 根据平移前的点求平移后的点】 【例2】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【变式2-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点，则点在 象限． 【变式2-2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，平行四边形顶点、、的坐标分别是，，，将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·北京·期中）如图所示，已知，，三点坐标．将三角形平移至三角形处，点A，B，C的对应点分别为点，，，其中点的坐标为． (1)①在图中画出平移后的三角形； ②其中三角形上一点平移后对应点的坐标为______； (2)求三角形的面积； (3)设点Q在y轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点Q的坐标． 【题型3 根据平移后的点求平移前的点】 【例3】（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，第二象限有一点，将点水平向右平移3个单位长度得到点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·贵州·期末）在平面直角坐标系中,将点P(x,y)向右平移3个单位,再向上平移2个单位长度后与点Q(-1,2)重合,则点P的坐标为 . 【变式3-2】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的，平移前点的坐标为． (1)画出平移前的，并写出点和点的坐标； (2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标为_______； (3)求的面积． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点B的坐标是 ． 【题型4 根据平移前后关系求值】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）把点向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度到一个位置后坐标为，则m，n，a，b之间存在的关系是 ； （2）将点向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点，则 ． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·专题练习）将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ． 【变式4-2】（24-25七年级下·吉林通化·阶段练习）将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点，，则 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 【题型5 根据平移确定点的位置】 【例5】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，将一个横、纵坐标都是整数的点，沿平行（或垂直）于坐标轴的直线平移1个单位长度，称为该点走了1步．点，，各走了若干步后到达同一点P，当点P的坐标为 时，三个点的步数和最小，为 ． 【变式5-1】（24-25八年级下·全国·期中）将点向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则P（m+2，2m+1）在第 象限． 【变式5-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）如图，在第一象限内有两点，将线段平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ． 【题型6 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 【例6】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，如果三个顶点的坐标分别是，，，关于轴成轴对称的图形是，关于轴成轴对称的图形是，则点的坐标为 ． 【变式6-1】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 【变式6-3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则 ． 【题型7 作图——轴对称变换】 【例7】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标未知，图中已经画出y轴． (1)在正方形网格中画出x轴，标出原点O，并直接写出点C的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出关于x轴对称的．并直接写出的坐标． 【变式7-1】（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点落在格点上，以B为原点建立平面直角坐标系，将关于y轴对称得到． (1)在网格中建立以B为原点的平面直角坐标系，并画出； (2)点C关于轴的对称点的坐标为_______； (3)若点在轴上，且，求点的坐标． 【变式7-3】（24-25八年级上·河南郑州·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，，与关于某直线成轴对称． (1)在网格内画出平面直角坐标系，并画出； (2)设l是过点C且平行于x轴的直线，点A关于直线l的对称点的坐标是 ； (3)求的面积． 【题型8 利用轴对称设计图案】 【例8】（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中有四个点，它们的横、纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点的横、纵坐标仍是整数（不在坐标轴上），则移动后点的坐标为 ． 【变式8-1】（24-25八年级上·北京·期末）如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    【变式8-2】如图，平面直角坐标系中有四个点，他们的横纵坐标均为整数，若在次平面直角坐标系内移动点至第四象限处，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点横纵坐标仍是整数，则点的坐标可以为 （写出一个即可） 【变式8-3】在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子的位置如图所示，它们的坐标分别是和．    (1)如图，添加棋子，使四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴； (2)在其他格点位置添加一颗棋子，使，四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子所在位置的坐标（写出2个即可）． 【题型9 位似变换】 【例9】（2025·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，以点O为位似中心，将线段放大得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，． (1)以点为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． (2)的坐标为 ． (3)若点是内任意一点，则位似变换后对应点坐标为 ． 【变式9-2】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标为，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25九年级上·河北衡水·期中）如果方格中，三角形的顶点O和A的位置用数对表示分别为、． (1)在方格中过点画出边的平行线． (2)画出三角形绕点顺时针方向旋转后的图形，并涂上阴影． (3)用数对分别表示新三角形中、的位置分别是：（ ， ）、（ ， ） (4)①以点为位似中心，在位似中心的同侧画出的位似图形，使它与的位似比为，并涂上阴影． ②缩小后的面积是原来面积的 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $