精品解析： 浙江省宁波市五校2023-2024学年九年级上学期强基联考数学试卷

九年级第一次竞赛联考数学试卷 一、填空题（共20小题，每小题6分，共120分） 1. 设a是从集合｛1，2，3，……，｝中任意抽取的一个数，则的末位数字是7的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意计算，找到规律即可求解． 【详解】解：∵…4个一循环， 又， ∴的末位数字是7的概率是， 故答案为：． 2. 如图，点，是正两边上的点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，当时，的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据相似三角形的性质得到，设，则，解方程组即可得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 3. 抛物线与轴的两个交点间的距离等于的值为___________． 【答案】0或2 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数与x轴的交点问题及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；根据抛物线与x轴的两个交点间的距离得到，然后解方程即可． 【详解】解：由题意：令时，则有，设为该方程的两个根， ∵， ∴， ∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为， 解得：， 故答案为：0或2． 4. 如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出A到B共有多少种走法，然后再计算出从A到C,再由C到B有多少种走法，然后代入概率公式计算即可得出结果. 【详解】解： 先计算出A到B共有多少种走法要向上走两个单位，分成两种情况： 当一次向上走两个单位时，即从4列中选一列，一次向上走2个单位，共有种走法， 当分两次向上走一个单位时，即从4列中选2列，共有种， 所以从从A点到B点共有4+6=10种； 再计算由A到C再到B情况 步骤一从A点到C点，共有3种； 步骤二从C点到B点，共有2种； 所以从A点经过B点再到C点一共种， 所以小明能够不绕路的概率是：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查的是概率的计算，解决本题的关键是如何分步骤完成这项任务. 5. 已知函数（），当和时函数值相等，则当时的函数值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据当和时函数的值相等，得出，根据，，得出，把代入函数求值即可． 【详解】解：∵当和时函数的值相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， 当时． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的函数值，因式分解，掌握二次函数的函数值，因式分解是解题关键． 6. 如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，在中，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示： 在中，， ， ， 当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， 是等边三角形， ， 在中， ，，， ， ， ， ， ， 的最小值为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 7. 不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做出和的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设a，b为整数，若对任意x≤0，都有成立，则a＋b＝________． 【答案】-1 【解析】 【分析】若对任意y≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0成立，则y1=ax+2应为增函数，y2=x2+2b的图象顶点应在x轴下方，且函数与x轴负半轴交于同一点，结合a，b为整数，可得答案． 【详解】观察图象可知：然a≠0，由于x的负半轴上ax+2与x2+2b不同号⇒ax+2与x2+2b在x负半轴上交点相同，推出-=-， ∵a，b为整数， ∴a=1，b=-2， ∴a+b=-1． 故答案为-1． 8. 如图，是的两条弦，是的中点，作，垂足为，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作直径，延长交于，作于，连接，，，设交于，交于．首先证明，再证明，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作直径，延长交于，作于，连接，，，设交于，交于． ，是直径， ，， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， 四边形是矩形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题． 9. 已知为的直径，为半圆的中点，为上的一动点，延长至点，使，若，当点从点运动到点时，线段扫过的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积的计算，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决央问题，属于中考填空题中的压轴题．如图，连接，延长到G，使得，连接，，由，推出，推出点E的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆上的一部分(即弧，)，当点D从点A运动到点C时，线段扫过的面积，由此计算即可解决问题 【详解】解：依题意，为的直径，为半圆的中点，为上的一动点，延长至点，使，如图： 连接，延长到G，使得，连接，， ∵ ∴ ∵当点从点运动到点时，为的直径，为半圆的中点， ∴， ∵， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴点E的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆上的一部分(即弧，)， ∴当点D从点A运动到点C时，线段扫过的面积 故答案为： 10. 如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝_____． 【答案】3． 【解析】 【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长． 【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AB＝CD＝2， 又∵∠BEF＝90°， ∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC， ∴∠FEG＝∠EBC， 又∵∠C＝∠G＝90°， ∴△BCE∽△EGF， ∴＝＝，即＝＝， ∴FG＝EC，GE＝2＝CD， ∴DG＝EC， 设EC＝x，则DG＝x，FG＝x， ∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2， ∴（x）2+x2＝（）2， 解得x2＝9， 即CE2＝9， ∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形． 11. 如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则的最小值为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图，根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质得到，，根据圆周角定理得到点在以为直径的圆上，当点点在点时，点在点；点点在点时，点在点，取的中点，连接交于，则的长度即为的最小值，延长交于，连接根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图， 在中，，，， ， ，， 为的中点， ， ， 点在以为直径的圆上， 当点点在点时，点在点；点点在点时，点在点， 取的中点，连接交于， 则的长度即为的最小值， 延长交于，连接， ∵，， ∴ ，， ， ， 即， 解得：（负值舍去）， 故的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，判断出点所在的圆是解题的关键． 12. 如图，在等腰直角中，，，点是斜边的中点，点、分别为、边上的点，且，，，则的面积为___________． 【答案】97.5 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．设，利用等腰直角三角形的性质得到，，证明，利用相似三角形的性质求得，进而可得，，，过E 作于M，过F作于N，利用等腰直角三角形的判定与性质得到，，然后由求解即可． 【详解】解：设， ∵，点是斜边的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴，，， 过E 作于M，过F作于N， 则，是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ． 故答案为：97.5． 13. 已知，，P是x轴上动点，将B绕P点顺时针旋转得到点C，则AC+CP的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在x轴上取一点M（2，0），连接CM交y轴于N．首先证明△OBP∽△MBC，推出∠MBC＝∠BOP＝90°，推出点C在直线CN上运动，因为BC＝PC，可得AC+PC＝CA+CB，延长BM到B′，使得MB′＝BM，连接AB′交CN于C′，此时AC′+BC′的值最小，最小值＝线段AB′的长； 【详解】解：如图，在x轴上取一点M（2，0），连接CM交y轴于N． ∵A（﹣2，0），B（0，2），M（2，0）， ∴OA＝OB＝OM＝2， ∴△OBM，△PBC都是等腰直角三角形， ∴∠OBM＝∠CBP＝45°， ∴∠OBP＝∠MBC， ∵＝＝， ∴△OBP∽△MBC， ∴∠MBC＝∠BOP＝90°， ∴点C在直线CN上运动， ∵BC＝PC， ∴AC+PC＝CA+CB， 延长BM到B′，使得MB′＝BM，连接AB′交CN于C′，此时AC′+BC′的值最小，最小值＝线段AB′的长， ∵A（﹣2，0），B′（4，﹣2）， ∴AB′＝＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 14. 如图，在中，，，，点D为内一动点，且满足，则的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，如图，在上取一点，使得，连接，，得，推出，求出，可得结论． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 15. 矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先把绕点顺时针旋转，得到，延长交的延长线于点，延长交于点，连接，则四边形为正方形，且，由旋转可得，，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得，，，利用勾股定理可以求出，根据可证，根据相似三角形的性质可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，把绕点顺时针旋转，得到， 延长交的延长线于点，延长交于点，连接， 则四边形为正方形，且， 由旋转可知，， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ，， ，， ， ， 解得：， ， ， ， ， ∴ 在中， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法： ①PO2=PA•PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大； ③当时，BP2=BO•BA； ④△PAB面积的最小值为． 其中正确的是_____（写出所有正确说法的序号） 【答案】③④． 【解析】 【详解】设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0． 联立得：=kx，即x2﹣3kx﹣6=0，∴m+n=3k，mn=﹣6． 设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得： ，解得．∴直线PA的解析式为． 令y=0，得x=，∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）． 同理可得，直线PB的解析式为，直线PB与x轴交点坐标为（，0）． ∵， ∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称． 说法①错误，理由如下： 如图所示， ∵PA、PB关于y轴对称，∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上． 连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′． 假设结论：PO2=PA•PB成立，即PO2=PA′•PB，∴． 又∵∠BPO=∠BPO，∴△POA′∽△PBO． ∴∠POA′=∠PBO．∴∠AOP=∠PBO． 而∠AOP是△PBO的外角，∴∠AOP＞∠PBO．矛盾． ∴说法①错误． ②说法②错误．理由如下： 易知：，∴． 由对称可知，PO为△APB的角平分线， ∴．∴． ∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA+AO）[﹣（）]=（PA+AO）（PA﹣OA）=（PA2﹣AO2）． 如图所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=﹣km，PD=4+km， ∴PA2﹣AO2=（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）=PD2﹣OD2=（4+km）2﹣（﹣km）2=8km+16． ∵m+n=3k，∴k=（m+n）． ∴PA2﹣AO2=8•（m+n）•m+16=m2+mn+16=m2+×（﹣6）+16=m2． ∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA2﹣AO2）=•m2=﹣mn=﹣×（﹣6）=16． ∴（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误． 说法③正确，理由如下： 当时，联立方程组：，得A（，2），B（，﹣1）， ∴BP2=12，BO•BA=2×6=12．∴BP2=BO•BA．故说法③正确． 说法④正确，理由如下： ∵S△PAB=S△PAO+S△PBO=OP•（﹣m）+OP•n=OP•（n﹣m）=2（n﹣m）， ∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为．故说法④正确． 综上所述，正确的说法是：③④． 17. 在矩形中，，，G为上一点，连结交于点E，若，，则的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得，然后证明，可得，然后根据等腰三角形的判定和性质证明，根据勾股定理得，解得，再由，可得，所以，即，可得，进而可以求出的长． 【详解】解：在矩形中， ∵，， ∴=10， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 18. 如图，过作边上的高交延长线于点，若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明△AEC∽△DEA，推出，设，则， ，再证明△ADE∽△CDA，得到，进而求出，，在Rt△BCD中，由勾股定理得：，则，由此求解即可． 【详解】解：∵CD是△ABC中AB边上的高，AE⊥AC， ∴∠CAE=∠ADE=∠ADC=90°， ∵∠E=∠E， ∴△AEC∽△DEA， ∴， ∴， 设，则， ， ∵∠E+∠DAE=90°=∠DAE+∠DAC， ∴∠E=∠DAC， ∴△ADE∽△CDA， ∴， ∴， ∴， ∵AB+2AD=CE， ∴， ∴， ∴， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，二次根式的计算，证明是解题的关键． 19. 如图，矩形中，，点E在上，且，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形，连接，当最小时，的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】如图1，取的中点O，连接，作射线，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在的平分线上，当时，最小，此时，画出图2，根据是以为斜边的等腰直角三角形，证明，可得，设，根据，可得，根据含30度角的直角三角形可得，进而可得结论． 【详解】解：如图1，取的中点O，连接，作射线， ∵四边形是矩形， ， ∵O是的中点， ， ，O是的中点， ， ， ∴B，E，G，F在以O为圆心的圆上， ， ， ， ， 平分， ∴点G在的平分线上， ∴当时，最小， 此时，如图2， 平分， ∴， ， 是以为斜边的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识． 20. 如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为___________，若点在同一直线上，且点到的距离与到的距离相等，则印章区域的边长为___________． 【答案】 ①. 64 ②. 3.5 【解析】 【分析】根据“台灯”的造型及图1，可求出的长，进而可求出矩形的周长；延长经过点E并与相交于点L，连接，可得出四边形是平行四边形，求出长即可解决问题． 【详解】解：由图1可知， 七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为，较小的等腰直角三角形的直角边长为，最小的直角边长为3， 正方形和平行四边形的短边长都是3． 过点N作和的垂线，垂足分别为J，K，且点为的中点， 则，点J为的中点， 又，且是等腰直角三角形， 所以， 故． 又， 所以四边形是矩形， 所以． 又， 所以， 故矩形的周长为． 延长经过点E并与相交于点L，连接， 因为，且， 所以． 又点H到和的距离相等， 所以点H在的角平分线上， 则． 所以， 所以， 又， 所以四边形是平行四边形． 又，， 所以． 所以． 则． 故答案为：64，3.5． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质及矩形的性质，能由图1求出各图形的边长是解题的关键． 二、解答题（3小题，共30分） 21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）当时，的最小值是，求的最大值； 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，顶点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出对称轴，再把把代入，求出，即可作答． （2）先得出抛物线的开口方向向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，再根据对称轴为，且，的最小值是，把代入，求出，再进一步分析，得出的最大值，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为， 把代入得 ∴抛物线的顶点坐标为 【小问2详解】 解：∵抛物线的， ∴抛物线的开口方向向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， 由（1）得对称轴为， ∵，的最小值是， ∴把代入，得， 解得， ∴， ∵， 则把代入， 得， 即的最大值为． 22. 如图1，在中，，，，为上一点，连结，作，交于点，且，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发沿射线运动，过程中满足，设． （1）求关于的函数表达式． （2）连结，， ①当与中的一个内角相等时，的值为___________（直接写出答案）； ②如图2，当点在线段上时，以为邻边作平行四边形，若所在直线平分平行四边形的面积，的面积为___________（直接写出答案）． 【答案】（1） （2）①或或或；②或 【解析】 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质得出，再根据得到，设，则，从而得到，进而推出和的值，从而得到答案； （2）①分三种情况分析：当时，当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质求解即可；②由（1）及①，，分别表示出，，，再由平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： ∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴ ∴， ∵，设 ∴， ∵ ∴． 【小问2详解】 解：①当时， 最小时，点与点重合，此时， 点与点重合时，最大为， 时，，不符合题意， 当时， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，即， 当时，， ∵， ∴， ∵，则， ∴，即， 解得：，即， 当时， ， 或， 综上所述：或或或； ②由（1）及①得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， ∴或， ∵的高为， ∴或． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解直角三角形，相似三角形及全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． 23. 如图1，是半圆的直径，为半圆上的两点，且．连结并延长，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点．与，分别交于点，． ①若的面积为___________（直接写出答案）； ②若是半圆上一动点（不与重合），当是等腰三角形时，的值为___________（直接写出答案）． 【答案】（1） 证明：如图1，连结， 是直径， ． ， ， ， 又， ， ； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由是直径得到，由等弧所对的圆周角相等可得，从而得到，又由得到，从而即可得证； （2）①通过证明，得到，从而求出的长，再通过勾股定理求出的值，最后通过面积公式即可求得答案；②分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，由（1）知，，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②Ⅰ．如图3，当时，则， ， ， ， ， ，， ， 由①知， ； Ⅱ．当时，不合题意； Ⅲ．如图4，当时， ， 设， ， 又， ， ， ， ， ， ， 过作的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，为或． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次竞赛联考数学试卷 一、填空题（共20小题，每小题6分，共120分） 1. 设a是从集合｛1，2，3，……，｝中任意抽取的一个数，则的末位数字是7的概率是_________． 2. 如图，点，是正两边上的点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，当时，的值是___________． 3. 抛物线与轴的两个交点间的距离等于的值为___________． 4. 如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是_________． 5. 已知函数（），当和时函数值相等，则当时的函数值为___________． 6. 如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为_________． 7. 不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做出和的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设a，b为整数，若对任意x≤0，都有成立，则a＋b＝________． 8. 如图，是的两条弦，是的中点，作，垂足为，若，，则_______． 9. 已知为的直径，为半圆的中点，为上的一动点，延长至点，使，若，当点从点运动到点时，线段扫过的面积为___________． 10. 如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝_____． 11. 如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则的最小值为_______________ 12. 如图，在等腰直角中，，，点是斜边的中点，点、分别为、边上的点，且，，，则的面积为___________． 13. 已知，，P是x轴上动点，将B绕P点顺时针旋转得到点C，则AC+CP的最小值是_____． 14. 如图，在中，，，，点D为内一动点，且满足，则的最小值为 _____． 15. 矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则的长为______． 16. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法： ①PO2=PA•PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大； ③当时，BP2=BO•BA； ④△PAB面积的最小值为． 其中正确的是_____（写出所有正确说法的序号） 17. 在矩形中，，，G为上一点，连结交于点E，若，，则的长度为____． 18. 如图，过作边上的高交延长线于点，若，则_________． 19. 如图，矩形中，，点E在上，且，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形，连接，当最小时，的值为__． 20. 如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为___________，若点在同一直线上，且点到的距离与到的距离相等，则印章区域的边长为___________． 二、解答题（3小题，共30分） 21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）当时，的最小值是，求的最大值； 22. 如图1，在中，，，，为上一点，连结，作，交于点，且，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发沿射线运动，过程中满足，设． （1）求关于的函数表达式． （2）连结，， ①当与中的一个内角相等时，的值为___________（直接写出答案）； ②如图2，当点在线段上时，以为邻边作平行四边形，若所在直线平分平行四边形的面积，的面积为___________（直接写出答案）． 23. 如图1，是半圆的直径，为半圆上的两点，且．连结并延长，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点．与，分别交于点，． ①若的面积为___________（直接写出答案）； ②若是半圆上一动点（不与重合），当是等腰三角形时，的值为___________（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $