13.3.2 三角形的外角 （预习讲义）-2025-2026学年人教版2024数学八年级上册

第13章 三角形 13.3.2 三角形的外角 （预习讲义） 学习目标 1. 了解三角形外角的概念。 2. 理解并掌握三角形外角的性质。 3. 能运用三角形外角的性质解决简单的角度计算和推理问题。 4. 初步体会几何中角的转化思想。 知识点梳理 1. 三角形外角的定义 · 概念： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 · 图形说明： 如图1，把△ABC的一边BC延长到点D，得到∠ACD。像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角（∠ACD），就是三角形的外角。 · （此处应有图：一个三角形ABC，延长BC至D，标出∠ACD为外角） · 理解要点： · 外角的顶点是三角形的一个顶点。 · 外角的一条边是三角形的一边。 · 外角的另一条边是三角形另一边的延长线。 · 一个三角形有多少个外角？ 一个三角形有6个外角。每个顶点处有2个外角，它们是对顶角，大小相等。（在研究外角性质时，通常每个顶点处取一个外角） 2. 三角形外角的性质 · 性质1： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 · 如图1，∠ACD是△ABC的一个外角，它与内角∠A和∠B不相邻，那么∠ACD = ∠A + ∠B。 · 推理过程简述： 因为∠ACB + ∠ACD = 180°（平角定义），且∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），所以∠ACD = ∠A + ∠B。 · 性质2： 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 · 如图1，∠ACD是△ABC的一个外角，那么∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。 · 推理依据： 由性质1，∠ACD = ∠A + ∠B，而∠A和∠B都是大于0°的角，所以∠ACD必然大于∠A，也必然大于∠B。 3. 注意事项 · 在应用外角性质时，要准确判断哪个角是外角，以及这个外角“不相邻的两个内角”是哪两个。 · “不相邻”指的是与外角没有公共顶点的两个内角。 知识点总结 · 三角形的外角定义： 三角形一边与另一边的延长线组成的角。 · 三角形外角的重要性质： 1. 外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （这是计算角度的重要依据） 2. 外角大于与它不相邻的任何一个内角。 （这是比较角的大小的重要依据） · 学习提示： 掌握三角形外角的性质，关键在于理解其推导过程，并能在具体图形中准确识别和运用。 巩固练习 一、选择题 1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，一副三角板按图放置，则∠1的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．75° 4．如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，则、、之间的关系为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，D是延长线上一点，，，则等于（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 9．如图，的度数为　 　度． 10．如图，AB//CD，BE⊥EF于E，∠B=25°，则∠EFD的度数是　 　. 11．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为　 　． 12．如图，将一副直角三角板放置，使含的三角板的较短直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一直线上，则的度数是　 　度． 13．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有　 　．（填序号） 14．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交干点，与的平分线交于点，…，与的平分线相交于点． （1）的度数为　 　； （2）若得到点后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则n的值为　 　． 15．如图所示，∠ABC，∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°， 则∠BOC=　 　，∠D=　 　，∠E=　 　. 三、解答题 16．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射线OM运动．，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC． （1）如图2，当∠OAB=70°，求∠ACB的大小。 （2）在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： （3）如图3，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出∠BAO的度数． 17．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝　 　；（用α的代数式表示，请直接写出结论） （2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 18．如图，中，，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且，连接DE. （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，，求的度数； （3）由（1）和（2）的结果知道和的数量关系是：　 　；当点D在线段BC的延长线上时，上述关系式是否还成立？请直接写出结论. 19．阅读填空，将三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C，我们来研究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系． （1）特例探索： 若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB=　 　度，∠ABP+∠ACP=　 　度． （2）类比探索： ∠ABP、∠ACP、∠A的关系是　 　． （3）变式探索： 如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是　 　． 参考答案 1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．180 10．65° 11． 12．75 13．①②③④ 14．；3 15．120°；30°；60° 16．（1）解： 点为三条内角平分线交点， ，， （2）解：的度数不变，，理由如下： 点为三条内角平分线交点， ，， ， ， ， ， ， 即的度数不变； （3）①点为三条内角平分线交点， ，， ∴， 为的角平分线， ， ∴， ， ， 整理得：； ②设，则，， 为的角平分线， ， ，点为三条内角平分线交点， ，， ， ， 中有一个角是另一个角的2倍，分两种情况： （1），则， 解得，此时， （2），则， 解得，此时， 中有一个角是另一个角的2倍，为 17．（1）2α﹣180° （2）解：结论：∠BPC+∠BQC=180°． 理由：如图②中， ∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB） （360°﹣∠ABC﹣∠ACB） （180°+∠A） =90°∠A， ∴∠Q=180°﹣（90°∠A）=90°∠A， ∵∠BPC=90°∠A， ∴∠BPC+∠BQC=180°． （3）解：延长CB至F， ∵BQ为△ABC的外角∠MBC的角平分线， ∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分线， ∴∠ABF=2∠EBF， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠ECB， ∵∠EBF=∠ECB+∠E， ∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E， 即∠ABF=∠ACB+2∠E， 又∵∠ABF=∠ACB+∠A， ∴∠A=2∠E， ∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ ∠ACB∠NCB =90°， 如果△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°； ②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°； ③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°； ④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°． 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°． 18．（1）解：∵∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∵∠BAD＝70°， ∴∠DAE＝50°， ∴∠ADE＝∠AED＝65°， ∴∠CDE＝180°−50°−30°−65°＝35°； （2）解：∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°， ∴∠E＝70°−15°＝55°， ∴∠ADE＝∠AED＝55°， ∴∠ADC＝40°， ∵∠ABC＝∠ADC＋∠DAB＝70°， ∴∠BAD＝30°； （3）2∠CDE＝∠BAD 19．（1）90；40 （2）∠ABP+∠ACP+∠A=90° （3）∠A+∠ACP－∠ABP=90°． 学科网（北京）股份有限公司 $