专题01 空间向量的运算及坐标表示10大重点题型归纳（必考50题专项训练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

专题01 空间向量的运算及坐标表示10大重点题型归纳（必考50题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间向量的线性运算 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）求为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案. 【解答过程】原式 . 故选：B. 2．（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可. 【解答过程】由题意， , 故选：A. 3．（24-25高二·全国·课后作业）化简 . 【答案】 【解题思路】利用空间向量的数乘运算法则即可得解. 【解答过程】 . 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量数乘运算即可求得答案； （2）根据向量的线性运算，即可求得答案. 【解答过程】（1） . （2） . 5．（24-25高二·江苏·课后作业）如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量共线，加法与减法运算求解即可； （2）根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可； （3）根据化简求值即可. 【解答过程】（1）解：因为为的重心，为边的中点， 所以 ， 所以 （2）解：因为分别为边和的中点， 所以 （3）解： . 题型2 空间向量的共线、共面问题 6．（24-25高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【解答过程】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C. 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【解题思路】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【解答过程】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 8．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【解题思路】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【解答过程】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 9．（24-25高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【答案】 【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答. 【解答过程】因为，，则有， 又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线， 因此，解得， 所以实数k的值是. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据空间向量的基本运算，证明即可. 【解答过程】（1）因为分别为的中点， 所以，． （2）因为， ， 所以，故四点共面． 题型3 空间共线向量定理的推论及应用 11．（24-25高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【解答过程】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【解题思路】根据三点共线的推理即可求得，. 【解答过程】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B. 13．（24-25高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【答案】 【解题思路】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【解答过程】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 14．（24-25高二上·全国·课前预习）已知三点共线，为直线外空间任意一点，若，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用共线向量定理，可设，结合向量的减法运算，求得，利用平面向量分解的唯一性，得到，进而证得. 【解答过程】由三点共线，得， 即． 整理得． 又因为， 所以． 所以． 15．（24-25高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【解题思路】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【解答过程】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 题型4 空间共面向量定理的推论及应用 16．（25-26高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论. 【解答过程】空间向量共面定理：， 若不共线，且共面，其充要条件是. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点不共面； 对C，由可得， 因为，所以四点不共面； 对D，由可得， 即，因为，所以四点共面. 故选：D. 17．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【解题思路】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解答过程】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 18．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 【答案】 【解题思路】根据空间向量基本定理判断向量共面，可得解. 【解答过程】由题知， 即， 又，，，四点共面， 所以，解得. 故答案为：. 19．（2025高二上·全国·专题练习）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 【答案】(1)共面 (2)不共面 【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； （2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； 【解答过程】（1）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若， 即， 又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面. （2）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若，此时， 根据空间向量的共面定理，可得点与不共面． 20．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【解答过程】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 题型5 空间向量数量积的综合应用 21．（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】根据向量的线性运算可得，结合八面体的特性计算数量积即可. 【解答过程】由正八面体的性质可得，，则， ． 故选：D. 22．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对于A，根据向量的线性运算法则利用基底，，表示即可判断，对于B，由，结合模的性质及数量积的运算律求，即可判断，对于C，由基底，，表示，计算，即可判断，对于D，计算，，利用向量夹角公式求即可判断. 【解答过程】对于A， ，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以 ， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以 ,D正确， 故选：D. 23．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【解题思路】设，连接，根据向量的线性运算法则，化简得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【解答过程】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， ， 所以 . 故答案为：. 24．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【解题思路】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 25．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）根据，可表示出； （2）先确定的模长以及两两之间的夹角，然后根据计算出， 再根据展开计算求得结果. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以 . （2）因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以 ， 所以 . 题型6 空间向量基本定理及其应用 26．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解题思路】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【解答过程】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 27．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 【解答过程】由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 28．（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在三棱锥中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用表示为 ．    【答案】 【解题思路】运用向量的运算法则，结合几何图形表示即可. 【解答过程】，N为BC的中点，M为PA的中点，继续运算， ， 整理得到. 故答案为：. 29．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【解答过程】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 30．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明： （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解答过程】（1）证明： ， ，，，四点共面. （2） ， ，，， . 题型7 求空间点的坐标 31．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间直角坐标系的对称性，即可求解. 【解答过程】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C. 32．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解. 【解答过程】由题意，长方体中，，，， 可得， 因为点为的中点，由中点公式可得，点的坐标为. 故选：A. 33．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是 ． 【答案】 【解题思路】根据空间直角坐标系点关于平面的对称点的坐标变换特征求解即可. 【解答过程】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为， 故答案为：. 34．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，求： (1)点关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点关于坐标原点对称的点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【解题思路】（1）根据点关于面对称性质求解； （2）根据点关于线对称性质求解； （3）根据点关于点对称性质求解； 【解答过程】（1）设点关于坐标平面的对称点为， 则点在轴上的坐标及在轴上的坐标与点的坐标相同，而点在轴上的坐标与点在轴上的坐标互为相反数． 所以，点关于坐标平面的对称点的坐标为． 同理，点关于，坐标平面的对称点的坐标分别为，． （2）设点关于轴的对称点为， 则点在轴上的坐标与点的坐标相同，而点在轴上的坐标及在轴上的坐标与点在轴上的坐标及在轴上的坐标互为相反数． 所以，点关于轴的对称点的坐标为． 同理，点关于轴、轴的对称点的坐标分别为，． （3）点关于坐标原点的对称点的坐标为． 35．（24-25高二下·江苏·课后作业）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标. 【答案】答案见解析 【解题思路】取的中点E，连接OE，由题意可证OD，OE，两两垂直，则以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，即可写出各点坐标. 【解答过程】解：取的中点E，连接OE， 在矩形中，是中点，所以，则， 由题可知平面，所以OD，OE，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz， 因为，且，所以， 则O，E，A，D四点共面，平面xOz， x轴，z轴，， ，，，. 题型8 空间向量运算的坐标表示 36．（24-25高二下·江苏扬州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【解答过程】若，，则. 故选：D. 37．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量的坐标运算计算即可. 【解答过程】空间向量，则. 故选：D. 38．（23-24高二上·北京延庆·期中）已知，则 . 【答案】 【解题思路】应用空间向量坐标表示的线性运算律计算即可. 【解答过程】因为， 所以. 故答案为：. 39．（24-25高二·全国·课后作业）已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）利用空间向量坐标的线性运算可得结果； （3）利用空间向量数量积的坐标运算可求得结果. 【解答过程】（1）. （2）. （3）， 所以. 40．（24-25高二上·湖南娄底·阶段练习）已知向量． (1)求 (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量坐标运算和模的公式计算； （2）利用数量积的公式计算. 【解答过程】（1）∵，， ∴，，. （2）设与的夹角为，则， ，，，， ∴， ∴向量与夹角的余弦值为． 题型9 用坐标法求解平行、垂直问题 41．（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）已知非零向量和互相垂直，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用代入坐标计算即得． 【解答过程】由可得， 解得. 故选：C． 42．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，若与共线，则（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得. 【解答过程】由向量，共线， 故存在，使得，即， 解得，，所以． 故选：C． 43．（24-25高二下·上海·阶段练习）向量 且 ，则实数 . 【答案】 【解题思路】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【解答过程】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为：. 44．（24-25高二上·广东深圳·期中）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值； （2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值． 【解答过程】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 45．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知 (1) ，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【解题思路】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． 【解答过程】（1）由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． （2）因为、、，，， 所以，， 则. （3）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 题型10 用坐标法求空间向量的数量积、夹角或模长 46．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【解答过程】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 47．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将三棱锥补全为长方体，利用勾股定理求出长方体的长宽高，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法计算即可. 【解答过程】如图所示，将三棱锥补全为长方体，设长方体的长宽高分别为， 则有，解得， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 故， 所以， 则当时，取得最小值， 此时. 故选：B. 48．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知向量且共面，则 ． 【答案】3 【解题思路】根据共面，确定的值，再根据向量的运算和模的概念求值. 【解答过程】因为共面，所以存在，使， 即 . 所以， 所以. 故答案为：3. 49．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解； （3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解. 【解答过程】（1）∵， ， . （2）， ， 则. （3）， ， ， 则， 所以向量与的夹角为. 50．（24-25高二上·广西·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3). 【解题思路】（1）根据向量模的坐标表示计算； （2）由向量垂直的数量积为0求解； （3）由向量夹角公式计算． 【解答过程】（1）由题可得，则. （2），， ，， 即，则. （3），，，， ， 向量与夹角的余弦值为. 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的运算及坐标表示10大重点题型归纳（必考50题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间向量的线性运算 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）求为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·全国·课后作业）化简 . 4．（24-25高二上·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 5．（24-25高二·江苏·课后作业）如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 题型2 空间向量的共线、共面问题 6．（24-25高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 8．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 9．（24-25高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 题型3 空间共线向量定理的推论及应用 11．（24-25高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 13．（24-25高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 14．（24-25高二上·全国·课前预习）已知三点共线，为直线外空间任意一点，若，求证：． 15．（24-25高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 题型4 空间共面向量定理的推论及应用 16．（25-26高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 18．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 19．（2025高二上·全国·专题练习）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 20．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 题型5 空间向量数量积的综合应用 21．（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 22．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 24．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 25．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 题型6 空间向量基本定理及其应用 26．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 27．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在三棱锥中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用表示为 ．    29．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 30．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 题型7 求空间点的坐标 31．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 33．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是 ． 34．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，求： (1)点关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点关于坐标原点对称的点的坐标． 35．（24-25高二下·江苏·课后作业）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标. 题型8 空间向量运算的坐标表示 36．（24-25高二下·江苏扬州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二上·北京延庆·期中）已知，则 . 39．（24-25高二·全国·课后作业）已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 40．（24-25高二上·湖南娄底·阶段练习）已知向量． (1)求 (2)求向量与夹角的余弦值． 题型9 用坐标法求解平行、垂直问题 41．（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）已知非零向量和互相垂直，则的值是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，若与共线，则（   ） A．12 B．9 C． D． 43．（24-25高二下·上海·阶段练习）向量 且 ，则实数 . 44．（24-25高二上·广东深圳·期中）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 45．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知 (1) ，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 题型10 用坐标法求空间向量的数量积、夹角或模长 46．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知向量且共面，则 ． 49．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 50．（24-25高二上·广西·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $