24.2点和圆、直线和圆的位置关系 知识清单 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 知识点汇总： 1.点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 文字语言 符号语言 图示 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径；到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径；到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径；到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 2.圆的确定条件 过一点作圆：经过一个点A作圆，只要以点A外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数多个. 过两点作圆：经过两个点作圆，只要以线段的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数多个. 过不在同一条直线上的三点作圆：经过不在同一条直线上三点作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此圆心在线段AB,BC的垂直平分线的交点O处，以O为圆心，以OA（或OB,OC）长为半径可作出经过三点的圆，这样的圆有且只有一个. 3.三角形的外接圆 定义：经过三角形的三个顶点可以作出一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做该圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形外接圆的圆心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. 三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径. 三角形外心的位置； 三角形类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 外心位置 内部 斜边中点 外部 图示 三角形外接圆的作法：分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形外接圆的圆心，以交点为圆心，以圆心到任意一个顶点的距离作为半径作圆，即可得到该三角形的外接圆. 4.反证法 概念：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法，反证法是一种间接证明命题的方法. 用反证法证明命题的一般步骤： （1）否定结论：假设命题的结论不成立； （2）推出矛盾：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）肯定结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确. 5.直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点 直线和圆只有一个公共点 直线和圆没有公共点 图形 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 直线名称 割线 切线 总结 直线与相交 直线与相切 直线与相离 【例1】在中，，当为下列各值时，以点为圆心，为半径的圆与直线有何位置关系？为什么？ （1）；（2）；（3）. 答案：（1）相离；（2）相切；（3）相交. 6.切线的判定定理和性质定理 定理 内容 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； （2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心 【例2】如图，中，，以为圆心，5为半径的与相交，求证是的切线. 【例3】如图，与相切于点C点，的直径是8，，求 的长. 答案： 7.切线长及切线长定理 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间切线的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【例4】如图，AE、AD、BC分别切于点 E、D、F，若 AD=20，求的周长． 答案：周长为40 【例5】如图，PA、PB是的两条切线，切点分别为点A、B，若直径，求弦AB的长． 答案： 8.三角形的内切圆 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心即是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形内心的性质：（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等；（2）三角形的一个顶点与三角形的内心的连线平分三角形的一个角. 三角形内切圆的作法：先作出三角形的两条角平分线，以两条角平分线的交点为圆心，交点到一边的距离为半径作圆，即可得到三角形的内切圆. 三角形外心与内心的区别：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，外心不一定在三角形内；三角形的内心到三角形的三边的距离相等，内心一定在三角形内. 【例6】如图，内切于，切点为．已知，，连结，那么等于（ ） A． B． C． D． 9.圆和圆的位置关系 两圆的位置关系（两圆的半径分别为，） 图形 公共点个数 数量关系 相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离 外离 无 内含 无 相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切 外切 1 内切 1 相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交 2 典型例题： 题型一：直线与圆的位置关系的应用 【例7】如果直线与圆没有公共点，求的取值范围. 答案： 题型二：切线性质的应用 【例8】如图，AB 是的直径，过BC的中点D，且于E． （1） 求证：DE是的切线； （2） 若，， 求的直径． 答案：（1）略；（2） 题型三：切线长定理的应用 【例9】如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点． 求证：（1）AB=AD；（2）DE=BC． 题型四：三角形外心、内心的应用 【例10】已知点是的外心，，求的度数. 答案：或 学科网（北京）股份有限公司 $