精品解析：期末素养综合测试卷(一)考试内容：第1章至第6章2025-2026学年苏科版七年级数学上册

期末素养综合测试卷（一） 考试内容：第1章至第6章 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各平面图形绕虚线旋转一周，能得到球是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法：①一定是负数；②一定是正数；③倒数等于它本身的数是；④绝对值等于它本身的数是1；⑤平方等于它本身的数是1．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列各式中与多项式不相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. 3÷9×（）＝－3 C. 8÷（）＝－32 D. 3×23＝24 5. 下列说法正确的是（ ） A. 与互为相反数 B. 用一平面截一个正方体，截面的形状可能是七边形 C. 与是同类项，则 D. 若是方程的解，则a的值为7 6. 已知a、b、c数轴如图所示 ，那么化简得（ ） A. b－a－2c B. －b－a C. b－a D. 2c－b－a 7. 如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：在数轴上点M所表示的数是m，点所表示的数是，则称点是点M的“伴随点”．已知点是点的伴随点，点是点的伴随点，点是点的伴随点…以此类推，若点所表示的数为4，则点所表示的数为（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______． 10. 经过五边形一个顶点最多可以画出________条对角线． 11. 如果 是关于x，y的五次三项式，那么________． 12. 如图，点C、D在线段上，点C为中点，若，，则______． 13. 蓝光唱片的容量约为 ，一张普通唱片的容量约为25 GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的________倍．（用科学记数法表示） 14. 如图， ，，，为垂足，则图中与互余的角有________个． 15. 某年级组织学生乘车赴革命教育基地参观，若全部租用8座的客车x辆，则余下6人无座位；若全部租用12座的客车，则可少租用1辆，此时最后一辆12座的客车有空余的座位，则乘坐最后一辆12座的客车的人数是________．（用含x的代数式表示） 16. 已知、、均为不等于0的有理数，则的值为______． 三、解答题（共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 20. 某教辅书中一道整式运算的参考答案破损看不见了，形式如下： 解：原式＝ ＝ （1）求破损部分的整式； （2）若|x－2|＋（y＋3）2＝0，求破损部分整式的值 21. 如图，是一个食品包装盒的表面展开图． （1）请写出这个包装盒的几何体的名称： ； （2）根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 22. 在如图所示的方格纸中画图并标上相应的字母． （1）请过点画线段的平行线． （2）请过点画线段的垂线，垂足为H． （3）若方格纸中每个小正方形的边长都为1，连接，则三角形的面积等于 ． 23. 在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是网约车的收费标准（打车费=起步费+里程费+远途费+市场费）． A网约车 起步费 6元 里程费 元/公里 远途费 超过10公里后，超出部分加收1元/公里 时长费 元/分钟 若本题中A网约车的平均车速均为40公里/时，请回答以下问题： （1）若乘车里程数为10公里，则时长费是 元，打车费是 元； （2）若打车费为元，可乘坐的里程数是多少公里？ 24. （1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是，的中点． ①若，则　 　cm； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则　 　度． ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系．请说明理由． 25. 我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． （1）下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 （2）若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 26. 受自行车尾灯设计的启发，某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录． 探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录 项目背景 如图1，两个互相垂直的平面镜（），根据光的反射定律，法线，分别垂直于平面镜，反射角等于入射角，即， ，，，， （① ）． ，（② ）， ． ， ． ∴ 实验探究 如图2，在同一平面内，两块平面镜的夹角为，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角为；多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记录，得到多组和的值，数据如下： 建立模型 根据表中信息，猜想与之间的关系为③ （由项目背景知，） 请你结合活动记录完成以下任务． （1）①中推理依据是 ，②中的推理依据是 ． （2）③应填 ，并说明理由． 27. 如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． （1）______，______； （2）若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． （3）若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末素养综合测试卷（一） 考试内容：第1章至第6章 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各平面图形绕虚线旋转一周，能得到球的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．根据每一个几何体的特征，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故不符合题意； B、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故符合题意； C、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是梭形，故不符合题意； D、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列说法：①一定是负数；②一定是正数；③倒数等于它本身的数是；④绝对值等于它本身的数是1；⑤平方等于它本身的数是1．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、倒数、有理数的乘方，熟记各运算法则和性质是解题关键．根据绝对值的性质、倒数的定义、有理数乘方运算逐个判断即可得． 【详解】解：①不一定是负数，故原说法错误； ②一定是非负数，故原说法错误； ③倒数等于它本身的数是，故原说法正确； ④绝对值等于它本身的数是0或正数，故原说法错误； ⑤平方等于它本身的数是1或0，故原说法错误， 故正确的有1个， 故选：A． 3. 下列各式中与多项式不相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解答本题的关键．去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，与题干中的多项式不相等，符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意． 故选：B． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. 3÷9×（）＝－3 C. 8÷（）＝－32 D. 3×23＝24 【答案】B 【解析】 【详解】A. ，正确，不符合题意； B. 3÷9×（）＝3××（）=，故此选项符合题意，符合题意 C. 8÷（）＝8×（-4）=－32，正确，不符合题意； D. 3×23＝3×8=24，正确，不符合题意； 故选：B 5. 下列说法正确的是（ ） A. 与互为相反数 B. 用一平面截一个正方体，截面的形状可能是七边形 C. 与是同类项，则 D. 若是方程的解，则a的值为7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，截一个几何体，同类项以及一元一次方程的解，掌握相关定义是解答本题的关键． 选项A根据相反数的定义判断即可；选项B根据正方体的特征判断即可；选项C根据同类项的定义判断即可；选项D根据一元一次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A．与互为相反数，故本选项不合题意； B．正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形，故本选项不合题意； C．与是同类项，可得，，解得，则，故本选项不合题意； D．若是方程的解，即，解得的值为7，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 已知a、b、c在数轴如图所示 ，那么化简得（ ） A. b－a－2c B. －b－a C. b－a D. 2c－b－a 【答案】C 【解析】 【分析】根据图中有理数a、b、c在数轴上的表示，判断a、b、c之间的关系，根据绝对值的定义化简式子即可． 【详解】由图可知a＞b＞0，c＜0， ∴|c-b|=b-c， |a-c|=a-c， ∴|c-b|-|a-c|=b-c-（a-c）=b-c-a+c=b-a， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用数轴可以比较有理数的大小，数轴上从左往右的点表示的数就是按从小到大的顺序，以及绝对值的定义解答问题，难度适中． 7. 如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余．先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 定义：在数轴上点M所表示的数是m，点所表示的数是，则称点是点M的“伴随点”．已知点是点的伴随点，点是点的伴随点，点是点的伴随点…以此类推，若点所表示的数为4，则点所表示的数为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，依次求出点所表示的数，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现这列数从点所表示的数开始按4，，，循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知， 因为点所表示的数为4， 所以，即点所表示的数为； 同理可得， 点所表示的数为 点所表示的数为 点所表示的数为4； ．．． 由此可见，这列数从点所表示的数开始按4，，，循环出现， 因为， 所以点所表示的数为； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可． 【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近， 其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短 故答案为：两点之间，线段最短． 10. 经过五边形的一个顶点最多可以画出________条对角线． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查多边形的对角线问题，熟知过n多边形的一个顶点最多可以画条对角线是解答的关键．据此求解即可． 【详解】解：经过五边形的一个顶点最多可以画出条对角线， 故答案为：2． 11. 如果 是关于x，y的五次三项式，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中次数最高的项的次数为多项式的次数．根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：多项式是关于，的五次三项式， ，， ． 故答案为：． 12. 如图，点C、D在线段上，点C为中点，若，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据线段图，先求出的长，就可以求出的长． 【详解】解：∵点C为中点， ∴， ∴． 故答案为：3 【点睛】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的性质，得出是解本题的关键． 13. 蓝光唱片的容量约为 ，一张普通唱片的容量约为25 GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的________倍．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 利用科学记数法的定义列式计算即可． 【详解】解：， 则， 即蓝光唱片的容量是普通唱片的倍， 故答案为：． 14. 如图， ，，，为垂足，则图中与互余的角有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，余角的概念，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 先根据，可得出，，再由平行线的性质可知，故，由此可得出结论． 【详解】解：，， ，． ， ， ． 即与互余的角有，共3个， 故答案为：3． 15. 某年级组织学生乘车赴革命教育基地参观，若全部租用8座的客车x辆，则余下6人无座位；若全部租用12座的客车，则可少租用1辆，此时最后一辆12座的客车有空余的座位，则乘坐最后一辆12座的客车的人数是________．（用含x的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了列代数式，正确表示出总人数是解题关键． 先求出总人数，再用总人数减去12座坐满的人数进而得出答案． 【详解】解：∵ 全部租用8座的客车x辆，则余下6人无座位， ∴一共有人， ∵全部租用12座的客车辆，最后一辆客车有空余的座位， ∴乘坐最后一辆12座客车的人数是． 故答案为：． 16. 已知、、均为不等于0的有理数，则的值为______． 【答案】3，-3，1，−1． 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论． 【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3； (2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3； (3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1； 同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1． (4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1； 同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1． 故答案为：3，-3，1，−1． 【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论． 三、解答题（共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是含乘方分有理数的混合运算．熟练掌握含乘方的有理数的混合运算的运算顺序和法则，是解本题的关键． （1）化简符号，根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 19. 已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同解方程，一元一次方程的求解，正确计算是解题的关键．先求出方程的解，再代入，求出a的值即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 将代入， 得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 20. 某教辅书中一道整式运算的参考答案破损看不见了，形式如下： 解：原式＝ ＝ （1）求破损部分的整式； （2）若|x－2|＋（y＋3）2＝0，求破损部分整式的值 【答案】（1）－2y2＋x；（2）-16 【解析】 【分析】（1）设破损部分的整式为A，根据题意，由原式确定出关系式，列出算式，然后去括号合并得到结果； （2）利用绝对值和偶次方的非负性求出x与y的值，代入A计算即可得到结果 【详解】解：（1） 设破损部分的整式为A， A＝－11x＋8y2＋4（2x－y2）－2（3y2－2x） ＝－11x＋8y2＋8x－4y2－6y2＋4x ＝－2y2＋x； （2）∵|x－2|＋（y＋3）2＝0， ∴x－2＝0，y＋3＝0， 解得x＝2，y＝－3， 则原式＝－18＋2 ＝－16 21. 如图，是一个食品包装盒表面展开图． （1）请写出这个包装盒的几何体的名称： ； （2）根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【答案】（1）直三棱柱 （2）72． 【解析】 【分析】本题考查了几何体展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 【小问1详解】 解：这个包装盒为直三棱柱； 故答案为：直三棱柱； 【小问2详解】 解：． 22. 在如图所示的方格纸中画图并标上相应的字母． （1）请过点画线段的平行线． （2）请过点画线段的垂线，垂足为H． （3）若方格纸中每个小正方形的边长都为1，连接，则三角形的面积等于 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、平行线的判定、垂线的判定、三角形的面积，熟练掌握平行线与垂线的判定是解答本题的关键． （1）取格点，连接，即可得平行线． （2）取格点，连接，即可得垂线． （3）利用割补法可求得答案． 【小问1详解】 解：如图，平行线即为所求； 【小问2详解】 解：如图，垂线即为所求； 【小问3详解】 解：如图，连接，， 面积为． 故答案为：9． 23. 在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是网约车的收费标准（打车费=起步费+里程费+远途费+市场费）． A网约车 起步费 6元 里程费 元/公里 远途费 超过10公里后，超出部分加收1元/公里 时长费 元/分钟 若本题中A网约车的平均车速均为40公里/时，请回答以下问题： （1）若乘车里程数为10公里，则时长费是 元，打车费是 元； （2）若打车费为元，可乘坐的里程数是多少公里？ 【答案】（1）3，21 （2）13公里 【解析】 【分析】考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的实际应用， （1）根据时长费及打车费的计费方式进行计算即可； （2）设乘坐里程数为公里，然后用的式子表示出打车费，再根据“打车费为元”列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵乘车里程数为公里， ∴时长费是：（元）， 打车费是：（元）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设乘坐的里程数为公里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴可乘坐的里程数是公里． 24. （1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是，的中点． ①若，则　 　cm； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则　 　度． ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系．请说明理由． 【答案】（1）①16；②不变，的长度始终等于 （2）①90；②，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①先求，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可；②设，则，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义可得：，，，， ①由，可得，即可求解；  ②设，则，结合，即可求解． 【详解】解：（1）①，，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， 故答案为：； ②不变，的长度始终等于， 设， ， ， 点和点分别是，的中点， ，， ； （2）设，， 射线和射线分别平分和， ，，，， ①，， ，即， ， ； 故答案为：； ②，和之间的数量关系是：，理由如下： 设， 则， ， ， ． 25. 我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． （1）下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 （2）若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 【答案】（1）①③ （2）①，；②11 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据“友好多项式”的概念将各项多项式相加求解判断即可； （2）①首先计算，然后根据“友好多项式”的概念得到，，即可求出、的值； ②将，代入求解即可． 【小问1详解】 ①∵，是常数， ∴与互为“友好多项式”； ②，不是常数， ∴与不互为“友好多项式”； ③，是常数， ∴与互为“友好多项式”； 综上所述，互为“友好多项式”的是①③； 【小问2详解】 ①∵多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”， ∴ ∴， ∴，； ②∵， ∴多项式、的“友好值”． 26. 受自行车尾灯设计的启发，某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录． 探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录 项目背景 如图1，两个互相垂直的平面镜（），根据光的反射定律，法线，分别垂直于平面镜，反射角等于入射角，即， ，，，， （① ）． ，（② ）， ． ， ． ∴ 实验探究 如图2，在同一平面内，两块平面镜的夹角为，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角为；多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记录，得到多组和的值，数据如下： 建立模型 根据表中信息，猜想与之间的关系为③ （由项目背景知，） 请你结合活动记录完成以下任务． （1）①中的推理依据是 ，②中的推理依据是 ． （2）③应填 ，并说明理由． 【答案】（1）等角的余角相等；三角形的内角和等于 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定和性质，角平分线定义，四边形内角和，是解决本题的关键． （1）根据余角性质，三角形内角和性质回答即可； （2）结合光的反射，得，得，得，即可解答． 【小问1详解】 解：，，，， （等角的余角相等）． ，（三角形的内角和等于）， ． ， ． ∴， 故答案为：等角的余角相等；三角形的内角和等于； 【小问2详解】 解：， 理由：如图，为法线， 则， 在中，， ， 在中，， 在四边形中，， ， 即． 27. 如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． （1）______，______； （2）若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． （3）若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】（1）8；2 （2）9秒 （3）6秒或10秒 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； 【小问2详解】 解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； 【小问3详解】 解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $