专题05 函数的奇偶性（人教版）（期中真题汇编，重庆专用）高一数学上学期人教A版

专题05 函数的奇偶性 6大高频考点概览 考点01 函数奇偶性的定义 考点02 利用奇偶性求函数解析式 考点03 函数的对称中心对称轴问题 考点04 函数奇偶性单调性综合运用 考点05抽象函数奇偶性单调性问题 考点06幂函数的概念及性质 地 城 考点01 函数奇偶性的定义 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆西藏中学校·期中)设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)已知是奇函数，且，则下列答案正确的是（   ） A． B． C． D．的值不能确定 3．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校·期中)在下列函数中，在上递增的偶函数是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一上·重庆巴蜀中学校·期中)设定义在上函数满足为偶函数，为奇函数，，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 7．(23-24高一上·重庆南开中学校·期中)下列函数既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)下列命题正确的有（     ） A．与是同一个函数 B．是偶函数 C．是单调递减函数 D．的单调递增区间为 9．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)函数的定义域为，其图象上任一点满足．则下列命题中正确的是（    ） A．函数可以是奇函数； B．函数一定是偶函数； C．函数可能既不是偶函数，也不是奇函数； D．若函数值域是，则一定是奇函数． 三、填空题 10．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)函数为定义在上的偶函数，且，则 . 11．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)1．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 12．(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校·期中)2．若函数是定义在上的偶函数，则 13．(23-24高一上·重庆南开中学校·期中)3．若函数为奇函数，则实数 ． 四、解答题 14．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)4．判断函数的奇偶性 15．(23-24高一上·重庆永川双石中学校·期中)5．已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的最大值和最小值． 地 城 考点02 利用函数奇偶性求解析式 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·重庆·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·重庆开州区临江中学·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25高一上·山东德州临邑第一中学·期中)已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， . 三、解答题 5．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，． (1)求函数的解析式和最值； (2)已知函数满足，都有成立；若，使得成立，求m的取值范围． 6．(23-24高一上·重庆第七中学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 7．(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校·期中)已知是定义在上的奇函数，且. (1)函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 8．(23-24高一上·重庆永川中学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求在上的解析式； (2)解不等式. 9．(23-24高一上·重庆名校联盟·期中)已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 地 城 考点03 函数的对称中心对称轴问题 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)“定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高一上·重庆朝阳中学·期中)已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C．存在函数，使得对，都有 D． 3．(24-25高一上·重庆实验外国语学校·期中)我们知道，函数的图象关于原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成中心对称的充要条件是函数为奇函数．下列说法正确都有（    ） A．若函数关于对称，则函数满足 B．函数的对称中心为 C．若关于对称，当时，，则当时 D．若关于对称，为偶函数，则为偶函数 4．(23-24高一上·重庆巴蜀中学校·期中)已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（    ） A．的对称中心为 B．关于对称 C．的对称中心为 D．的图象关于对称 三、填空题 5．(24-25高一上·重庆第一中学校·期中)定义在上的函数满足，，若，则 . 6．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)已知“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是，则 . 四、解答题 7．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)已知函数，函数的定义域为. (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 8．(24-25高一上·重庆求精中学·期中)已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”. (1)将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标； (2)求函数图象对称中心的坐标； (3)已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题.（不必证明） 9．(24-25高一上·重庆第八中学校·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数．已知函数． (1)求函数图象的对称中心; (2)已知函数关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 地 城 考点04 函数奇偶性单调性综合运用 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，如，，，令，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．函数的值域为 二、多选题 2．(23-24高一上·重庆第十一中学校·期中)德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805～1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（    ） A． B．的值域为 C．图象关于直线对称 D．图象关于点对称 三、填空题 3．(23-24高一上·重庆永川中学校·期中)已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列命题成立的是 （1） （2）若，则 （3）若，则 （4），，使得 4．(23-24高一上·四川外语学院重庆第二外国语学校·期中)函数，当时的最大值为M，最小值为N，则 ． 5．(23-24高一上·重庆辅仁中学校·期中)定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是 ． 6．(23-24高一上·重庆渝东九校联盟·期中)已知定义在上的函数，函数为偶函数，且对都有，若，则的取值范围是 ． 四、解答题 7．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 8．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性； (3)记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 9．(24-25高一上·重庆第一中学校·期中)已知函数，，函数. (1)当时，求在区间上的值域； (2)若，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)设，问是否存在实数，使得函数图象上存在两个不同的点关于对称？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 10．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)已知是上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明：在上单调递减； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 11．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知，. (1)若是奇函数，求的取值，并直接写出的单调区间； (2)在（1）条件下，若在定义域内存在，，满足，求的取值范围； (3)当时，对任意，且，不等式恒成立，求的取值范围. 12．(23-24高一上·重庆渝东九校联盟·期中)2．已知是定义在上的函数，若满足且． (1)求的解析式； (2)设函数，若对都有成立，求的取值范围． 13．(23-24高一上·重庆名校联盟·期中)3．已知函数，． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若对任意的，恒有成立，求的最大值． 14．(23-24高一上·重庆田家炳中学·期中)4．已知 (1)求函数的解析式； (2)若是定义在上的奇函数，且时，，求函数的解析式； (3)，若不等式恒成立，求实数t的取值范围． 地 城 考点05 抽象函数奇偶性单调性问题 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第一中学校·期中)已知函数是偶函数，，且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 3．(23-24高一上·重庆第十八中学·期中)已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（     ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 5．(23-24高一上·重庆南开中学校·期中)定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．在上单调递减 D．若正数满足，则 6．(24-25高一上·重庆第七中学校·期中)已知函数对任意实数x，y都满足，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D． 7．(23-24高一上·重庆第一中学校·期中)已知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．在定义域上单调递减 C．是奇函数 D．若，则不等式的解集为 8．(23-24高一上·重庆第八中学校·期中)已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．不等式的解集为 D． 三、填空题 9．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)设函数（）的最大值为，最小值为，则= 10．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·)已知定义在上的函数满足，，且当时，，，则关于的不等式的解集为 . 四、解答题 11．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 12．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知定义域在上的函数满足：，且当时，. (1)求，的值； (2)证明是偶函数； (3)解不等式. 13．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)已知函数对任意，，恒有，且当时，，. (1)证明：函数为奇函数； (2)求的值； (3)，时，成立，求实数的取值范围. 地 城 考点06 幂函数的概念及性质 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 2．(24-25高一上·重庆部分学校·期中)若幂函数的图象关于原点对称，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．(24-25高一上·广东惠州泰雅实验高中·期中)若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．4 4．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·重庆实验外国语学校·期中)下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·)已知，则（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高一上·重庆·期中)已知幂函数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(23-24高一上·重庆第一中学校·期中)已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上单调递减 B．若，则是奇函数 C．函数过定点 D．若，则 三、填空题 9．(24-25高一上·重庆第一中学校·期中)已知幂函数在上是减函数，则实数的值为 . 10．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知函数是幂函数且在上单调递增，则实数的值是 . 11．(23-24高一上·重庆永川中学校·期中)已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为 12．(23-24高一上·重庆江北区重庆十八中两江实验中学校·期中)已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数的取值范围为 . 四、解答题 13．(23-24高一上·重庆第十一中学校·期中)对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“最美区间”. (1)求函数的“最美区间”； (2)若存在最美区间函数，求实数的取值范围． 14．(23-24高一上·重庆渝东九校联盟·期中)已知幂函数，且的图像关于原点对称． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 15．(23-24高一上·重庆南开中学校·期中)已知幂函数，且在上单调递增． (1)求实数的值； (2)求函数，的值域． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的奇偶性 6大高频考点概览 考点01 函数奇偶性的定义 考点02 利用奇偶性求函数解析式 考点03 函数的对称中心对称轴问题 考点04 函数奇偶性单调性综合运用 考点05抽象函数奇偶性单调性问题 考点06幂函数的概念及性质 地 城 考点01 函数奇偶性的定义 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆西藏中学校·期中)设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 2．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)已知是奇函数，且，则下列答案正确的是（   ） A． B． C． D．的值不能确定 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性求函数值. 【详解】是奇函数，且，则. 故选：B. 3．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数奇偶性及具体点函数值即可判断. 【详解】，定义域为， 故函数是偶函数， 排除选项A；又，排除C,D, 故选：B. 4．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，定义域为，关于原点对称，因为， 所以为偶函数，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称，因为， 所以为奇函数，因为在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，由对勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，在上单调递减，故D错误. 故选：B. 5．(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校·期中)在下列函数中，在上递增的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的特性，结合单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，由于与时的函数值分别为，显然函数图象关于y轴 不对称，即函数不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，且，则是偶函数，在上单调递增，B是； 对于C，函数的定义域为，且， 函数是奇函数，C不是； 对于D，函数的定义域为，不具奇偶性，D不是. 故选：B 6．(23-24高一上·重庆巴蜀中学校·期中)设定义在上函数满足为偶函数，为奇函数，，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】先根据为奇函数和为偶函数得出对称轴及对称中心，再化简得出周期，最后应用已知函数值即可求解. 【详解】为偶函数，, 为奇函数，,, , , . 故选:C. 7．(23-24高一上·重庆南开中学校·期中)下列函数既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本函数的单调性，结合奇偶性的定义即可逐一求解. 【详解】对于A,函数在单调递减，故不符合要求， 对于B，在单调递减，故不符合要求， 对于D, 为对勾函数，故在单调递增，在单调递减，故不符合要求， 对于C，由于的定义域为，关于原点对称，且故为奇函数， 且函数均为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，符合要求， 故选：C 二、多选题 8．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)下列命题正确的有（     ） A．与是同一个函数 B．是偶函数 C．是单调递减函数 D．的单调递增区间为 【答案】ABD 【分析】对于A：根据函数相等分析判断；对于B：根据偶函数的定义分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：定义域均为，且化简后解析式均为， 所以是同一个函数，故A选项正确； 对于选项B，由，解得， 可知函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以是偶函数，故B选项正确； 对于选项C，因为，所以不是单调递减函数，故C选项错误； 对于选项D，由，解得， 可知函数的定义域为， 因为开口向下且对称轴为， 所以函数的单调递增区间为，故D选项正确. 故选：ABD. 9．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)函数的定义域为，其图象上任一点满足．则下列命题中正确的是（    ） A．函数可以是奇函数； B．函数一定是偶函数； C．函数可能既不是偶函数，也不是奇函数； D．若函数值域是，则一定是奇函数． 【答案】ACD 【分析】结合的奇偶性、值域等知识确定正确答案. 【详解】由的定义域是，得当时，， 当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 作出的图象如图， 函数为该图象的一部分，且只需保证直线与的图象有且仅有一个交点即可，所以A正确； 例如,为非奇非偶函数，所以B错误，C正确; 若函数值域是，则一定是奇函数，D正确. 故选：ACD 三、填空题 10．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)函数为定义在上的偶函数，且，则 . 【答案】20 【分析】利用偶函数的性质计算即得. 【详解】函数为定义在上的偶函数，且， 所以. 故答案为：20 11．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)1．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】利用函数为奇函数可得，利用解析式可求得即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以. 故答案为：. 12．(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校·期中)2．若函数是定义在上的偶函数，则 【答案】1 【分析】利用偶函数的定义及性质，求出值即可. 【详解】函数是定义在上的偶函数，则，解得，经验证符合题意， 所以. 故答案为：1 13．(23-24高一上·重庆南开中学校·期中)3．若函数为奇函数，则实数 ． 【答案】0 【分析】利用奇函数的定义，列式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由为奇函数，得，， 因此，解得， 所以实数. 故答案为：0 四、解答题 14．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)4．判断函数的奇偶性 【答案】非奇非偶函数. 【分析】利用函数奇偶性定义直接判断得解. 【详解】函数有意义，，解得且， 所以函数的定义域为，该定义域关于数0不对称， 所以函数是非奇非偶函数. 15．(23-24高一上·重庆永川双石中学校·期中)5．已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1)奇函数，理由见解析； (2)单调递增，证明见解析； (3)最小值，最大值. 【分析】（1）利用奇偶性定义判断并证明即可. （2）判断单调性，再利用单调性定义推理论证. （3）利用（1）（2）的结论，借助单调性求出最值. 【详解】（1）函数是奇函数，理由如下： 函数的定义域为， ， 所以函数是奇函数. （2）函数在区间上的单调递增，证明如下： ，，， 由，得，，则，即， 所以函数在区间上的单调递增. （3）由（1）（2）知，函数是奇函数，且在上的单调递增， 因此函数在上单调递增， 所以当时，. 地 城 考点02 利用函数奇偶性求解析式 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的定义计算即可. 【详解】因为为上的奇函数，当时， 因为，所以， 所以. 故选：C. 2．(23-24高一上·重庆·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据函数的性质，以及零点的位置，确定或的解集，在求解不等式的解集. 【详解】在区间上，函数单调递增，且， 所以在区间，，在区间，， 因为函数为奇函数，所以， 在区间，，在区间，， 不等式等价于或， 所以不等式的解集为. 故选：C 3．(23-24高一上·重庆开州区临江中学·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先可以求出的最大的单调递增区间为，若函数在区间上单调递增，则当且仅当，由此即可得解. 【详解】因为是定义在R上的奇函数， 所以， 因为当时，， 所以当时，，， 所以由二次函数的单调性可知的最大的单调递增区间为， 若函数在区间上单调递增，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 二、填空题 4．(24-25高一上·山东德州临邑第一中学·期中)已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】先根据奇函数性质求出，然后结合奇函数定义可求时的函数解析式． 【详解】解：是定义域为的奇函数， 当时，， , 即时，， 设，则， ， 是定义域为的奇函数， . 故答案为：. 三、解答题 5．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，． (1)求函数的解析式和最值； (2)已知函数满足，都有成立；若，使得成立，求m的取值范围． 【答案】(1)，最大值为，最小值为； (2). 【分析】（1）由函数的奇偶性，可联立方程组，即可解得的解析式；利用基本不等式，可求得的最值. （2）利用已知等式，可求得的解析式，若，使得成立，则需，即可得到m的取值范围. 【详解】（1）由题意，， 因为，① 所以② 由①②可得， 当，，因为所以，当且仅当取等， 当，， 当，，因为所以，当且仅当取等， 综上的最大值为，最小值为. （2）令，得 令，得 若，使得成立 即 由（1）可知，当，， 所以. 6．(23-24高一上·重庆第七中学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间； （2）根据奇函数定义求解析式； （3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值． 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）根据题意， 令，则，则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即， 所以. （3）当时，， 则， 其对称轴为， 当时，即，则， 当时，即，则， 故. 7．(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校·期中)已知是定义在上的奇函数，且. (1)函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)， (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据得到方程，求出，再根据求出，得到解析式； （2）利用定义法证明单调性. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得，所以，. （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以，故， 所以在上单调递减. 8．(23-24高一上·重庆永川中学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求在上的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意根据奇函数的定义以及当时，，可以求出当时的表达式，从而即可进一步求解. （2）首先根据时，单调递增，从而得到在上是单调增函数，再结合奇函数性质即可将表达式等价转换，解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）设，则，当时，， 因为，所以，即， 又，所以， 所以； （2）时，单调递增，则在上是单调增函数， 不等式可化为， 所以，解得或. 所以不等式的解集为或. 9．(23-24高一上·重庆名校联盟·期中)已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据奇函数的性质解得，然后根据的解析式求解的解析式； （2）根据每段函数的值域求解即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， 由题， 当，， 所以. （2），在单调递增， 所以， ，在单调递增， 所以， 又因为， 所以的值域为. 地 城 考点03 函数的对称中心对称轴问题 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)“定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由奇函数的定义列出方程，代入计算即可得到结果. 【详解】， 由奇函数的定义可知，，所以， 所以有， 整理得：，所以有, 解得：，，所以的对称中心为. 故选：A. 二、多选题 2．(24-25高一上·重庆朝阳中学·期中)已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C．存在函数，使得对，都有 D． 【答案】ABD 【分析】依据函数奇偶性定义即可得出，即可判断A正确；结合奇偶性和对称性计算可得是以8为周期的周期函数，利用周期性计算可得，即B正确，D正确；利用反证法假设C选项成立，可得的函数值不唯一，构不成函数关系，因此假设不成立，即C错误. 【详解】对于A，根据题意由可得； 又为奇函数，联立， 两式相加可得，因此的图象关于点对称，即A正确； 对于B，由A选项可知，又为偶函数，所以， 可得，即，所以， 即是以8为周期的周期函数，可知B正确； 对于C，假设存在函数，使得对，都有， 由，， 可得，，可得； 因此，又， 即的函数值不唯一，构不成函数关系，因此假设不成立，即C错误. 对于D，易知，由可得， 又，所以； 所以，即D正确； 故选：ABD 【点睛】求解函数对称性、奇偶性、周期性等性质综合性问题时，要充分利用已有性质推出第三个性质进行综合运用进而实现问题求解. 3．(24-25高一上·重庆实验外国语学校·期中)我们知道，函数的图象关于原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成中心对称的充要条件是函数为奇函数．下列说法正确都有（    ） A．若函数关于对称，则函数满足 B．函数的对称中心为 C．若关于对称，当时，，则当时 D．若关于对称，为偶函数，则为偶函数 【答案】BCD 【分析】根据给定信息，逐项分析计算判断即得. 【详解】对于A，函数关于对称，则函数满足，A错误； 对于B，函数， ，函数是奇函数， 所以函数的对称中心为，B正确； 对于C，函数的图象关于点对称，则， 即，当时，，而当时，， 因此，C正确； 对于D，函数的图象关于点对称，则， 又为偶函数，则，， 函数是周期为4的周期函数，而， 因此为偶函数，D正确. 故选：BCD 4．(23-24高一上·重庆巴蜀中学校·期中)已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（    ） A．的对称中心为 B．关于对称 C．的对称中心为 D．的图象关于对称 【答案】AB 【分析】根据已知条件，结合函数的奇偶性、对称性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，设 ， 为奇函数， 所以的对称中心为，所以A选项正确. B选项，， 设 ， 为偶函数， 所以关于对称，所以B选项正确. C选项，，设， ，所以不是奇函数，所以C选项错误. D选项，，设， ，所以不是奇函数，所以D选项错误. 故选：AB 三、填空题 5．(24-25高一上·重庆第一中学校·期中)定义在上的函数满足，，若，则 . 【答案】 【分析】根据对称性可得函数的周期，再求出、、、的值后可求目标代数式的值. 【详解】， ，则， 所以是以4为周期的周期函数， 而，故， 所以，关于对称，， 由，所以，，， 所以 , 故答案为：. 6．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)已知“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是，则 . 【答案】 【分析】根据充要条件可得是奇函数，根据奇函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知，是奇函数， 即是奇函数； ， 由，解得. 故答案为： 四、解答题 7．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)已知函数，函数的定义域为. (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）证法一：证明出函数为奇函数，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； 证法二：计算出，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； （2）分析可知，函数的图象关于点对称，根据可求出的值，可得出函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式. 【详解】（1）函数的定义域为， 证法一： ， 所以，， 所以，函数为奇函数， 故函数的图象关于点对称，其对称中心为； 证法二：因为 ， 所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为. （2）因为函数的图象关于点中心对称， 因为，解得， 当时，。 当时，，则 ， 所以，， 综上所述，. 8．(24-25高一上·重庆求精中学·期中)已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”. (1)将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标； (2)求函数图象对称中心的坐标； (3)已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题.（不必证明） 【答案】(1) (2) (3)此命题为假，理由见解析，修改后的命题见解析 【分析】（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为，整理得，为奇函数，利用题设即可下结论． （2）设的对称中心为，由题设知是奇函数，从而求出的值，即可得出图象对称中心的坐标． （3）此命题是假命题．举反例说明：函数的图象关于直线成轴对称图象，但是对任意实数，函数总不是偶函数．修改后的真命题：“函数的图象关于直线成轴对称图象”的充要条件是“函数是偶函数”． 【详解】（1）平移后图象对应的函数解析式为， 整理得，为奇函数， 由题设真命题知，函数图象对称中心的坐标是． （2）设的对称中心为，由题设知函数是奇函数． 设， 则， 由不等式的定义域为，关于原点对称，则，得． 此时（）． 任取，由，即， 解得， 所以函数图象对称中心的坐标是． （3）此命题是假命题． 举反例说明:函数的图象关于直线成轴对称图象， 但是对任意实数，函数，即总不是偶函数． 修改后的真命题:“函数的图象关于直线成轴对称图象”的充要条件是“函数是偶函数”． 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 9．(24-25高一上·重庆第八中学校·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数．已知函数． (1)求函数图象的对称中心; (2)已知函数关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的对称中心为，根据对称性得到关于的方程，解得即可得解； （2）易求得的值域为，设函数的值域为集合，则问题可转化为，分，和三种情况讨论，从而可得出答案. 【详解】（1）设的对称中心为， 由题意，得函数为奇函数， 则， 即， 即， 整理得， 所以，解得， 所以函数的对称中心为； （2）解：因为对任意的，总存在，使得， 所以函数的值域是函数的值域的子集， 因为函数在上是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以的值域为， 设函数的值域为集合， 则原问题转化为， 因为函数关于对称， 又因为，所以函数恒过点， 当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数， 所以函数在上递增， 又， 所以的值域为，即， 又， 所以，解得， 当即时，在上递减，则函数在上也是减函数， 所以函数在上递减， 则， 又， 所以，解得， 当即时， 在上递减，在上递增， 又因函数过对称中心， 所以函数在上递增，在上递减， 故此时，， 要使， 只需要，解得， 综上所述实数m的取值范围为. 【点睛】此类问题可转化为函数值域的包含关系即可. 地 城 考点04 函数奇偶性单调性综合运用 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，如，，，令，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．函数的值域为 【答案】D 【分析】代入具体值即可判断选项A，B；对于C选项字母的代入需要进行拆分化解，得到其周期性；对于D选项在一个周期的范围内分析出其值域即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，, 即，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由C知，为周期函数，且周期为1，不妨设， 当时，， 当时，，此时值域为， 当时，， 故当时，有，故函数的值域为，故D正确. 故选：D. 二、多选题 2．(23-24高一上·重庆第十一中学校·期中)德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805～1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（    ） A． B．的值域为 C．图象关于直线对称 D．图象关于点对称 【答案】BC 【分析】AB选项可根据题意直接得到，C可分为有理数和无理数两种情况推导；D选项，可举出反例. 【详解】A选项，因为0为有理数，故，A错误； B选项，由题意得的值域为，B正确； C选项，当为有理数时，，此时图象关于直线对称， 当为无理数时，，此时图象关于直线对称， 综上，图象关于直线对称，C正确. D选项，由于，且不关于对称，D错误. 故选：BC 三、填空题 3．(23-24高一上·重庆永川中学校·期中)已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列命题成立的是 （1） （2）若，则 （3）若，则 （4），，使得 【答案】(1)(3)(4) 【分析】根据函数的单调性、奇偶性对命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增， 所以，故(1)对， 若，则，得，故(2)错， 若，则或， 因为，所以或，故(3)正确. 因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增， 所以，所以对，只需即可，故(4)正确. 故答案为：(1)(3)(4) 4．(23-24高一上·四川外语学院重庆第二外国语学校·期中)函数，当时的最大值为M，最小值为N，则 ． 【答案】 【分析】 求出的奇偶性即可得出的值. 【详解】由题意， 在中， ， 函数是奇函数，， 在中， 当时的最大值为M，最小值为N， 故答案为：. 5．(23-24高一上·重庆辅仁中学校·期中)定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合奇函数性质以及单调性，去掉外层函数，变成一元二次不等式进行求解. 【详解】因为，即， 根据奇函数的定义可知原不等式为， 且在定义域内单调递减函数，故，解得或， 又因为函数定义域为，故，解得， 综上，，即的范围为. 故答案为：. 6．(23-24高一上·重庆渝东九校联盟·期中)已知定义在上的函数，函数为偶函数，且对都有，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据条件得到函数的对称性和单调性，进而根据函数性质解不等式即可. 【详解】函数为偶函数，即 函数关于直线对称， 又对都有， 函数在上单调递增， 由得， 解得或 故答案为：. 四、解答题 7．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 8．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性； (3)记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3)1或 【分析】（1）根据求出的值，再代入检验即可； （2）由（1）可得，再根据单调性的定义证明即可； （3）结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然，再分、两种情况讨论，分别求出函数的最值，从而得到方程，解得即可. 【详解】（1）因是上的奇函数，故， 当时，，，满足题意. 综上知，. （2）由（1）知，则在上单调递减， 下面用定义证明： 任取且， 则 ， 因为，故，，所以，即， 所以在上单调递减. （3）由于是上的奇函数，结合（2）得在和单调递减，在单调递增， 显然， 当时，在和上单调递减，在上单调递增， 故，， 于是有，解得，舍去； 当时，在单调递增，， ，于是有，整理得， 即，解得或或（舍去）. 综上，实数的值为或. 9．(24-25高一上·重庆第一中学校·期中)已知函数，，函数. (1)当时，求在区间上的值域； (2)若，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)设，问是否存在实数，使得函数图象上存在两个不同的点关于对称？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）当时，，再利用一元二次函数的性质在定区间求值域即可； （2）由题意可知，，利用分离参数求最值问题转化为在上恒成立，再利用的范围求得，即可求出实数的取值范围； （3）将问题转化为方程有解，并分离参数可得：，求出的范围即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则在单调递增；在单调递减； 则， 又，所以的值域为. （2）由题意可知，，即在上恒成立. 分离参数可得：， 由，知，则. （3）由, 若函数图象上存在两个不同点关于对称， 则存在实数，使， 即方程有解， 化简可得：有解， 分离参数可得：， 设，， 则，由在上单调递增， 故，则， 所以. 【点睛】结论点睛：考查不等式的恒成立与有解问题时，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 10．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)已知是上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明：在上单调递减； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数性质，结合已知条件可解；根据单调性的证明步骤逐步证明即可； （2）转化为在上恒成立，求在的最小值即可. 【详解】（1）由题意可知：，得：，经验证得，当时，为奇函数； 所以，对，不妨设， ， 因为，所以，， 则，即， 因此在上单调递减. （2）在上恒成立，即在上恒成立， 所以， 因为在上单调递减，且为上的奇函数， 所以为上单调递减， 所以，所以. 11．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知，. (1)若是奇函数，求的取值，并直接写出的单调区间； (2)在（1）条件下，若在定义域内存在，，满足，求的取值范围； (3)当时，对任意，且，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为，，单调递减区间为，. (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质求出参数的值，即可得到函数解析式，再检验，最后根据对勾函数的性质得到函数的单调区间； （2）结合（1）的单调性求出的取值范围，从而得到对应的的取值范围，再分、的取值区间讨论，即可求出的范围，从而求出的范围； （3）不妨设，从而得到，则在上单调递减，令，结合对勾函数的单调性与函数平移规则，得到的单调区间（部分），从而得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 即，即，即， 所以，此时，定义域为， 且，满足为奇函数， 由对勾函数的性质可知在，上单调递增， 在，上单调递减， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为，. （2）由（1）可知，则，， 所以当时，则； 当时，则； 当，时，则，， 所以，又，所以； 当，时，，， 所以，又，所以； 同理可得，当，时可得； 当，时可得； 综上可得. （3）不妨令，由，可得， 即， 所以在上单调递减， 令 ， 则在上单调递减， 又在上单调递减，在上单调递增， 而的图象是由的图象向左平移个单位得到， 所以在上单调递减，在上单调递增， 要使在上单调递减，则，解得， 即的取值范围为. 12．(23-24高一上·重庆渝东九校联盟·期中)2．已知是定义在上的函数，若满足且． (1)求的解析式； (2)设函数，若对都有成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数为奇函数，由，求得，再由，求得，即可得到的解析式； （2）根据题意，转化为，根据函数的单调性，求得最小值为，进而得到在上恒成立得到在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是定义在上的函数，若满足， 所以函数为奇函数，所以，解得，所以， 又因为，可得，解得，所以， 此时满足， 所以函数的解析式为. （2）解：对都有成立，即为， 不妨设，则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数，最小值为， 又由在上恒成立，只需在上恒成立， 令，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，解得，即实数的取值范围为. 13．(23-24高一上·重庆名校联盟·期中)3．已知函数，． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若对任意的，恒有成立，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)10 【分析】（1）根据奇偶函数的定义分析判断； （2）分析可知原题意等价于“在恒成立”，分、和三种情况讨论，结合对勾函数单调性分析求解. 【详解】（1）当时，， 对于，均有，所以为偶函数； 当时，因为，故不是奇函数； 又因为，， 显然，即，故不是偶函数； 综上所述，当时，是偶函数； 当时，既不是偶函数又不是奇函数． （2）当，，则， 可得，整理得， 可知原题意等价于“在恒成立”， 因为对勾函数在单调递增，则有： 若，则在单调递减， 当时，取最小值，可得， 所以， 当，则，所以； 若，则在单调递增， 当时，取最小值，可得， 所以，当且仅当时，取到最大值． 综上所述：的最大值为. 14．(23-24高一上·重庆田家炳中学·期中)4．已知 (1)求函数的解析式； (2)若是定义在上的奇函数，且时，，求函数的解析式； (3)，若不等式恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用凑配法，求函数的解析式； （2）设，则，再利用函数的奇函数，求函数的解析式； （3）利用的性质推得恒成立，再分类讨论的取值情况，结合基本不等式即可得解.. 【详解】（1）因为， 令，，所以， 则函数的解析式为. （2）当时，， 又为上的奇函数. 所以当时，， 故函数的解析式为. （3）由，可得， 又由幂函数的性质可知在上单调递减， 所以，即， 因为， 当时，不等式可化为，即，显然恒成立， 当时，则，故， 令，则，， 所以恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即t的取值范围为. 地 城 考点05 抽象函数奇偶性单调性问题 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第一中学校·期中)已知函数是偶函数，，且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知函数关于直线对称且在上为单调递减函数，然后利用函数的单调性和对称性即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，即， 可知函数的图象关于直线对称，则， 又因为，且时，恒成立， 可知函数在上为单调递减函数， 可得，即，所以. 故选：B. 2．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【分析】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【详解】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A 3．(23-24高一上·重庆第十八中学·期中)已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令函数，探讨函数的性质，再把不等式等价转化即可求解得答案. 【详解】函数的定义域为R，令函数，则 显然， 函数在R上都单调递增，因此在R上单调递增， 不等式化为， 即，于是，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（     ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】令，求得的值，再令得到；由函数单调性的定义法判断函数的单调性；令，得到，由此递推出；由题中等量关系化简不等式得，由函数单调性列出不等式，解的解集. 【详解】选项A，令，则，则；令，则， 所以，所以不是奇函数，A选项错误； 选项B，，，且，因为，所以； 又因为当时，，所以，所以， 故在上的单调递增，B选项正确； 选项C，令，则有，所以，，，…，， 将以上式子相加可得：，C选项正确； 选项D，因为，所以原不等式可化为； 由选项C可知，所以原不等式可化为； 因为在上单调递增，所以，解得，D选项正确. 故选：BCD. 5．(23-24高一上·重庆南开中学校·期中)定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．在上单调递减 D．若正数满足，则 【答案】ABD 【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D. 【详解】对于任意，， 所以，所以在上单调递增，故选项A正确； 因为的定义域为，所以， 所以为奇函数，所以，由在上单调递增， 所以，故选项B正确； 对于任意， ， 因为，，所以，所以， 所以在上单调递增，故选项C错误； ，即， 又，所以， 因为在上单调递增，所以， 解得，即，故选项D正确. 故选：ABD 6．(24-25高一上·重庆第七中学校·期中)已知函数对任意实数x，y都满足，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D． 【答案】ACD 【分析】令，结合条件可得选项A正确；由得选项B错误；令，可得，选项C正确；令可得，令可判断选项D正确. 【详解】A.令得，，即，解得，选项A正确. B. ∵， ∴不是奇函数，选项B错误. C.令，得， ∴，即， ∴是偶函数，选项C正确. D.令，得， ∴. 令，得， 在中，令，得，选项D正确. 故选：ACD. 7．(23-24高一上·重庆第一中学校·期中)已知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．在定义域上单调递减 C．是奇函数 D．若，则不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用赋值法求出，可判断选项A；根据函数单调性的定义可判断选项B；根据函数奇偶性、对称性和图象变换可判断选项C；借助函数的单调性及题中条件可判断选项D. 【详解】对于选项A：定义在区间上的函数满足：对任意均有 令，可得，解得，故选项A正确； 对于选项B：由可得 任取、，且，则. 由于当时，，，所以，即，故在定义域上单调递增，故选项B错误； 对于选项C：令，由可得，即，所以，即函数关于点对称.而的图象可由图象向左平移个单位得到，所以函数关于点对称，则是奇函数，故选项C正确； 对于选项D：因为，所以，则不等式等价于 由在定义域上单调递增，得，解得，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的图象平移变换、抽象函数的奇偶性和单调性以及抽象不等式的解法.解题关键是：熟练函数奇偶性、对称性知识应用；解答抽象不等式的关键是根据不等式结合函数值情况得到相应不等式，求得结果. 8．(23-24高一上·重庆第八中学校·期中)已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．不等式的解集为 D． 【答案】AB 【分析】根据奇函数的定义，并结合条件，即可判断A；根据奇函数的性质求的值，即可判断B；根据单调性的定义，判断函数的单调性，再求解不等式，判断C；根据奇函数的性质求和，判断D. 【详解】对于A中，令，可得，所以， 令，得到，即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B中，因为为奇函数，所以，故B正确； 对于C中，设，可得， 所以， 又因为，所以，所以，即， 所以在R上单调递增，因为，所以，由，可得， 所以，所以，得到， 所以的解集为，所以C错误； 对于D中，因为为奇函数，所以， 所以， 又，故，所以D错误. 故选：AB 三、填空题 9．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048. 10．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·)已知定义在上的函数满足，，且当时，，，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的定义得为奇函数，根据单调性的定义知在R上单调递增，构造函数，从而为R上的偶函数，且在上单调性递增，原不等式等价于，利用单调性解不等式即可. 【详解】定义在上的函数满足，， 令，可得，所以， 令，得到，即，所以为奇函数， 设，由题意， 所以， 又因为，所以，所以，即， 所以在R上单调递增， 不等式等价于， 令， 因为， 且的定义域为R，所以为R上的偶函数，且在上单调性递增， 由得，所以等价于， 等价于，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关于抽象函数的单调性和奇偶性的判断常常用定义法解决，对于解抽象函数不等式问题，往往要根据式子结构构造函数，利用函数单调性求解即可. 四、解答题 11．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【详解】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 12．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知定义域在上的函数满足：，且当时，. (1)求，的值； (2)证明是偶函数； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）令和计算即可； （2）令结合（1）的结论及偶函数的定义证明即可； （3）令，根据条件判定函数的单调性计算即可解不等式. 【详解】（1）令，则； 令，则； （2）易知函数定义域关于原点对称， 令，则，满足偶函数的定义，证毕； （3）令，易知， 则， 所以在上单调递增， 又为偶函数，所以在上单调递减， 所以， 则， ，即， 即不等式的解集为. 13．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)已知函数对任意，，恒有，且当时，，. (1)证明：函数为奇函数； (2)求的值； (3)，时，成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过赋值法及奇偶性的定义即可证明. （2）令得，再结合抽象函数法则化简求值即可. （3）先根据单调性的定义得在上单调递减，然后利用恒成立法则把问题转化为在上恒成立，分情况讨论二次函数的对称轴，利用函数的单调性求得最值即可求解. 【详解】（1）因为，都有， 所以令，有，解得. 令，有， 所以，所以为奇函数. （2）令时，有，所以， . （3）不妨设，因为时，，所以， 所以，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，所以时，， ，时，， 即时，恒成立， 即在上恒成立，又对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， 则，解得，此时无解； ②当，即时，， 解得，此时； ③当，即时，在上单调递减， 则，解得，此时无解； 综上实数的取值范围为 地 城 考点06 幂函数的概念及性质 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 2．(24-25高一上·重庆部分学校·期中)若幂函数的图象关于原点对称，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用幂函数概念可知系数为1，再检验是否为奇函数即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或, 当时，的图象关于原点对称，符合题意； 当时，的图象关于轴对称，不符合题意. 故选：D. 3．(24-25高一上·广东惠州泰雅实验高中·期中)若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】设，代入点坐标求出解析式再代入值. 【详解】设幂函数，由于图象经过点，所以，即， 所以，则. 故选：D. 4．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式性质比较相关自变量大小，根据幂函数的单调性比较函数值大小 【详解】由，则，又在上单调递增， 所以. 故选：A 5．(24-25高一上·重庆实验外国语学校·期中)下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义以及初等函数的单调性对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知函数的定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数，可得A错误； 对于B，函数定义域为，且满足，为奇函数； 且由幂函数性质可得在区间上为增函数，所以B正确； 对于C，函数的定义域为，且满足，为奇函数； 再根据对勾函数性质可知，其在上单调递减，即C错误； 对于D，函数定义域为，且满足，为偶函数，即D错误. 故选：B 6．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数的单调性判定即可． 【详解】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 7．(23-24高一上·重庆·期中)已知幂函数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先代入求出的值，即可得到函数解析式，再代入求值即可. 【详解】因为，且，即，解得， 所以，则. 故选：A 二、多选题 8．(23-24高一上·重庆第一中学校·期中)已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上单调递减 B．若，则是奇函数 C．函数过定点 D．若，则 【答案】BD 【分析】由为幂函数，可得，求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，得或， 对于A，当时，，则在上单调增，所以A错误， 对于B，当时，，则（），因为，所以是奇函数， 当时，，则，因为，所以是奇函数， 所以时， 是奇函数，所以B正确， 对于C，因为，所以， 当时，，所以函数过定点，所以C错误， 对于D，当时，，则，所以D正确， 故选：BD 三、填空题 9．(24-25高一上·重庆第一中学校·期中)已知幂函数在上是减函数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义以及单调性列式求解即可. 【详解】由题意可得：，解得. 故答案为：. 10．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知函数是幂函数且在上单调递增，则实数的值是 . 【答案】3 【分析】利用幂函数的定义及性质计算即可. 【详解】由题意可知，解之得或， 当时，，此时函数在上单调递减，不符题意； 当时，，满足题意. 故答案为：3 11．(23-24高一上·重庆永川中学校·期中)已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据幂函数的定义与单调性得的值，从而可得不等式为，设函数，结合幂函数的性质列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】由函数为幂函数得，解得或，又 函数在上是减函数，则，即， 所以，所以； 所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12．(23-24高一上·重庆江北区重庆十八中两江实验中学校·期中)已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【分析】根据幂函数的知识求得，根据函数的单调性列不等式来求得的取值范围. 【详解】是幂函数，， 解得或，则或， 由于是偶函数，所以. 则在区间上为单调函数， 所以或，解得或. 故答案为：或 四、解答题 13．(23-24高一上·重庆第十一中学校·期中)对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“最美区间”. (1)求函数的“最美区间”； (2)若存在最美区间函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）推导出，，结合在上单调递增，得到，，求出，，得到答案； （2）根据在上单调递增，得到，转化为为方程在上两个不等的实根，且，换元后结合二次函数的图象，求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，在上的值域为，故， 因为，所以， 故在上单调递增， 所以，即，解得或0（舍去），所以， 同理，解得或1（舍去）， 综上，的“最美区间”是； （2）令，解得， 故的定义域为， 且在上单调递增， 故，， 即为方程在上两个不等的实根，且， 所以，令， 所以在上有两个不等实跟， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 故实数的取值范围是． 14．(23-24高一上·重庆渝东九校联盟·期中)已知幂函数，且的图像关于原点对称． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接根据幂函数的定义及性质求解即可； （2）直接利用幂函数的单调性解不等式. 【详解】（1）函数为幂函数， ，解得或， 当时，是偶函数，关于轴对称，舍去； 当时，是奇函数，关于原点对称， ； （2）明显在上单调递增， 对于，有， 解得或 15．(23-24高一上·重庆南开中学校·期中)已知幂函数，且在上单调递增． (1)求实数的值； (2)求函数，的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)直接利用幂函数的定义和在上单调递增求出. (2)先分离常数确定函数的单调性，再求值域. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以， 解得或， 又在上单调递增， 所以； （2） 由函数的单调性可知在上是单调递增的， 所以 所以，值域为 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $