专题04 函数的单调性（人教版）（期中真题汇编，重庆专用）高一数学上学期人教A版

专题04 函数的单调性 5大高频考点概览 考点01 函数单调性的定义及证明 考点02 函数的最值值域问题 考点03 分段函数的单调性 考点04 抽象函数的单调性 考点05函数单调性新定义及恒成立问题 地 城 考点01 函数单调性的定义及证明 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆渝北中学·期中)函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（   ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．当时，有三个不同的值与之对应 D．当，时， 【答案】D 【分析】利用图象可判断ABC选项的正误，由图象可得出函数在上的单调性，可判断D选项的正误. 【详解】对于A：由图象可知：函数在没有图象，故定义域不是，故A错误； 对于B：由图象可知函数的值域为，故B错误； 对于C：由图象可知，当时，有2个不同的值与之对应，故C错误； 对于D：由图象可知函数在上单调递减， 所以，当、时，不妨设，则，则，故D正确. 故选：D. 2．(23-24高一上·四川外语学院重庆第二外国语学校·期中)定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性与单调性比较大小. 【详解】由函数图象关于轴对称， 则，， 又函数在区间是单调递减函数， 所以， 即， 故选：B. 二、多选题 3．(24-25高一上·重庆第八中学校·期中)已知函数，则以下结论正确的是（　　） A．的值域是 B．对任意，都有 C．对任意，都有 D．若规定，其中，则 【答案】BD 【分析】A：求出函数的解析式，根据单调性求值域； B C：作出函数图像，根据凸函数性质判断，根据单调性判断； D：根据已知条件推出一般结论，然后求解． 【详解】A：， 函数是奇函数， 当时，， ∴当时，时，， ，即函数的值域为， 故A错误； B，C：，作出图像： 根据图像可知，在，满足，， 在，由对称性可得：满足，故C错误； 若对任意，都有， 则等价为函数为增函数， 当时， 则为减函数，为减函数， 则为增函数， 是奇函数， 在上为增函数，故B正确； D：∵ ， ， 所以 ∴故D正确﹒ 故选：BD 三、填空题 4．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)函数的增区间为 ． 【答案】 【分析】由复合函数的单调性求解即可； 【详解】令，由可得或， 又为增函数，的对称轴为，开口向上， 所以函数的增区间为或， 故答案为：. 四、解答题 5．(24-25高一上·重庆重庆复旦中学教育集团·期中)已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)增区间是，单调递减区间是和 【分析】（1）代入，即可求解； （2）根据函数单调性的定义，作差，即可证明； （3）根据（2）的过程和结果，再分区间讨论. 【详解】（1）由条件可知，，得； （2）， 设， ， ， 因为，所以，，且，则， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）可知，， 当时，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 当，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是和. 6．(24-25高一上·重庆渝高中学·期中)已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调区间． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)单调递减区间：和；单调递增区间为：和. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接画出函数的图象. （2）根据函数的解析式，判断直接代入计算即得. （3）根据分段函数图象，求出函数的单调区间. 【详解】（1）如图所示： （2）； （3）由（1）得到的图象可知，的单调递减区间为和． 单调递增区间为：和. 7．(23-24高一上·重庆开州区临江中学·期中)已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12. (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据二次不等式的解集设函数，然后根据最值求解参数即可解答； （2）利用对勾函数单调性判断，利用单调性定义证明即可. 【详解】（1）因为是二次函数，且的解集是， 所以可设， 且易知，所以在区间上的最大值是， 由已知得，所以，所以. （2），在上单调递增，证明如下： 设，则 ， 其中，所以， 所以，所以在上单调递增. 8．(23-24高一上·重庆杨家坪中学·期中)已知 (1)求函数的值域； (2)用定义证明在区间上是增函数. 【答案】(1)． (2)证明见解析 【分析】（1）对函数化简变形后利用分式的性质可求得答案， （2）任取，，且，然后作差变形，判断符号，从而可证得结论， 【详解】（1）由题意，函数， 因为，所以， 所以的值域为． （2）任取，，且， 则， ，，， ，即， 故函数在区间上是增函数． 地 城 考点02 函数的最值值域问题 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆暨华中学校·期中)下列命题中正确的有（   ）个 ①的最小值是2 ②当时，的最小值是3 ③当时，的最大值是5 ④若正数x，y满足，则的最小值为3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知结合基本不等式及对勾函数单调性检验各选项即可判断. 【详解】令，， 故，而在上单调递增， 故，即，①错误； 时，， 当且仅当，即时取等号，②正确； 当时，， 当且仅当，即时取等号，③正确； 正数x，y满足，则， 当且仅当时取等号，④正确. 故选：C. 2．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（    ） A．-6 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】先利用条件可求得，进而可求的最大值. 【详解】由，得，解得或， 由，得，解得， 又， 所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以的最大值为. 故选：C. 3．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、分式型函数等单调性及基本不等式求各函数在给定区间上的值域. 【详解】A：在上递减，在上递增，值域为，错； B：在上递增，值域为，错； C：在取等号，结合对勾函数性质知，在上的值域为，错； D：在上递增，故值域为，对. 故选：D 4．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由解析式直接确定函数单调性，即可求解. 【详解】由得定义域为； 因为单调递增，单调递减，所以单调递增； 当，，当时，， 所以函数的值域为， 故选：C. 5．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域是 C．函数 D．的最小值为 【答案】D 【分析】设，利用换元法求出，再逐项判断即可； 【详解】设，则， 所以，即， 对于A，不存在，故A错误； 对于B，定义域为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由函数的单调性可得在定义域上为增函数，所以的最小值为，故D正确； 故选：D. 二、填空题 6．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)已知函数在上的最大值为，在上的最大值为． ①当时， ②若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 2 【分析】分段讨论求出函数的最大值；求出及时根，画出图形，数形结合求出的范围. 【详解】函数， ①当时，函数在上单调递减，； 当时，函数在上递减，在上递增，； 当时，函数在上递减，在上递增， 在上递减，； 当当时，函数在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增，，而， 所以； ②要使，则，令，解得：，，，， 由图得，要使函数在上的最大值为，且， 则或，解得， 当时， 由图知，在上最大值， 在上单调递增，最大值，不可能成立， 所以实数的取值范围是， 故答案为：2；. 【点睛】关键点点睛：求出方程的根，画出函数图象，数形结合是求解本问题第2问的关键. 三、解答题 7．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)已知二次函数的图象过，且函数图象顶点的横坐标为． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，解之即可求解； （2）由（1），根据二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】（1）二次函数的图象的对称轴为， 则，解得， 所以二次函数的解析式为； （2）由（1）知，图象的对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 故函数在上的值域为. 8．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. (1)求的解析式； (2)已知，讨论在区间上的最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知两点坐标得到对称轴，即知道顶点坐标，将二次函数设为顶点式，代入一个点坐标求出的值，即可得到的解析式； （2）由二次函数的单调区，讨论不同的取值范围内，得到在区间上的最值. 【详解】（1）因为图象经过两点，且纵坐标相等， 所以的对称轴为，即的顶点为， 设二次函数的顶点式为， 因为，所以， 所以. （2）当时，在上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 所以，； 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，； 9．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求关于的不等式的解集； (2)当，时，函数在上的最小值为6，求实数的值. 【答案】(1) (2)或3． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系，可得韦达定理，即可将不等式变形为求解； （2）先由对称轴结合最值得出或，进而分类讨论这两种情况，结合二次函数的单调性得出实数的值． 【详解】（1）由于的解集为或，故和是一元二次方程的两个根，故，解得， 故变形为， 解得， 故不等式的解为 （2）当，时，，则对称轴方程为，由于，故或，即或， 当时，最小值，解得， 当时，最小值，解得， 综上：或3． 10．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知函数（），． (1)证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； (2)设， ①当时，求在上的最小值； ②若对任意实数r，s，，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2；②. 【分析】（1）由题意（），利用函数的单调性定义证明； （2）①，得到，再令，由求解；②将恒成立，转化为，即求解. 【详解】（1）由题意可得（）. 任取，，且， 则 ， 因为，所以，， 当时，，即，故在区间上单调递减； 当时，，即，故在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）①，易知在上单调递减，故， 令，则，所以， 当且仅当，即时取等号，故； ②因为恒成立，故，即， 由①知，当时，， 令，令， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 故，， 故，得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，即， 得； 当时，在上单调递增， 故，得，即或， 所以 综上，实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒成立，则，转化为，即而得解. 11．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知函数． (1)若函数在单调递减，求的取值范围； (2)当时，设函数在上的最小值为，求的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的性质计算即可； （2）先求出对称轴，分和两种情况讨论，求最小值即可. 【详解】（1）因为二次函数开口向下，对称轴为， 所以函数单调递减区间为， 因为函数在单调递减， 所以，解得； （2）当时，，开口向下，对称轴为， 当，即时，， 当，即时，， 综上所述，. 12．(24-25高一上·重庆第七中学校·期中)若函数 (1)当时，求的解集； (2)设，若时，的最大值为3，求a的值； (3)若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）应用不含参一元二次不等式解法求解集； （2）根据题设有，，讨论其对称轴的位置并结合函数区间最值列方程求参数即可； （3）令有，问题化为，对使恒成立，结合一次函数、二次函数性质求左侧最值，进而求参数范围. 【详解】（1）由题设，即，解集为； （2）由，，其开口向上且对称轴为， 若时，，此时，满足； 若时，，不满足； 综上，； （3）由题设， 又，令，故， 问题化为，对使恒成立， 由调换主元为一次函数，而， 所以在上单调递减，故只需在上， 而，故只需在上， 所以，可得或. 13．(24-25高一上·重庆实验外国语学校·期中)在①不等式解集为，②，且，③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答 问题：已知函数，且______． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）选择①，利用给定解集与方程根的关系求出；选择②，利用对称性及给定函数值求出；选择③，可得，再结合恒成立求出. （2）求出在R上的最小值，可得，再按分类讨论求解. 【详解】（1）选择①，不等式解集为， 则是方程的两个实根， 于是，解得，所以函数的解析式为. 选择②，，且，由，且是图象的对称轴， 则，所以函数的解析式为. 选择③，，，则， 则，所以， 由，， 得，解得，此时， 恒成立，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，当且仅当时取等号， 由函数在区间上的值域为，得，解得， 当时，在上单调递减，则，即， 整理得，，由，得， 解得，无解； 当时，，则， 若，则，此时，满足题意，因此； 当时，在上单调递增，则， 即是方程的两个实根， 因此是方程的根，，不满足，无解， 所以. 地 城 考点03 分段函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)已知函数，若对上的任意实数，（），恒有成立，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案. 【详解】因为函数满足对上的任意实数，（）， 恒有成立，所以函数在上递减， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 2．(24-25高一上·重庆渝北中学·期中)若函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分段函数、二次函数单调性列式求出的范围. 【详解】由函数是上的减函数，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 3．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质即可根据求解. 【详解】为开口向上的二次函数，且对称轴为， 由于函数在上单调递减，故，解得， 故选：D 4．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在定义域上单调递减，则函数各段均单调递减，且左边函数的右端点值大于左边函数左端点值，建立不等式组，解得范围. 【详解】由题可知，解得， 故选：C. 5．(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校·期中)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组求解即得. 【详解】函数在上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 6．(23-24高一上·重庆渝东九校联盟·期中)已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数每段递增，并且左边一段的最高点不高于右边一段的最低点列不等式求解. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以， 解得 故选：C. 二、多选题 7．(23-24高一上·重庆辅仁中学校·期中)已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【分析】由题意可知函数在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答案. 【详解】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减， 则，即，可得， 结合选项可知AB错误，CD正确. 故选：CD. 三、填空题 8．(24-25高一上·重庆西藏中学校·期中)若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【答案】 【分析】令即可求解，再根据已知可得函数是单调递增函数，利用分段函数的单调性的求法即可求解． 【详解】由已知可得：，又由已知可得函数是单调递增函数， 所以有：，解得， 故答案为：；． 9．(23-24高一上·重庆第十八中学·期中)已知函数满足对于任意实数且，都有成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件可得函数在R上单调递减，再由分段函数在R上单调的性质列式求解即得. 【详解】依题意，函数f(x)定义域是R， 因对任意，都有成立，则有函数在R上单调递减， 于是得，解得：， 所以a的取值范围是：. 故答案为：. 四、解答题 10．(24-25高一上·重庆部分学校·期中)给出下列两个结论：①，；②函数在上单调. (1)若结论①正确，求的取值范围； (2)若结论①②都正确，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一次函数，分和两种情况，得到不等式，求出答案； （2）由对称轴得到不等式，求出结论②正确时，的取值范围，从而和（1）中结果求交集，得到答案. 【详解】（1）中，当时，，满足要求， 当时，需满足，解得或， 综上，的取值范围为. （2）若在上单调递增，则，解得. 若在上单调递减，则，解得. 故当结论②正确时，的取值范围为. 综上所述，当结论①②都正确时，的取值范围为与的交集， 即. 地 城 考点04 抽象函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆凤鸣山中学教育集团·期中)若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由题意可以推出函数的单调性，结合函数定义域利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有， 所以函数是上的减函数， 由的定义域为，则在中满足，解得， 当时， ， 则，所以，解得， 故不等式的解集为． 故选：D. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知求出不等式中的范围再解不等式即可. 2．(23-24高一上·重庆第十一中学校·期中)已知函数满足条件：在R上是减函数，若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为能成立，再利用对勾函数的单调性即可得解. 【详解】因为， 所以，， 所以，可化为， 因为在R上是减函数，所以， 所以问题转化为，使成立，即，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，取得最大值， 所以，即. 故选：B. 3．(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校·期中)若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用单调性脱去法则求解不等式即得. 【详解】由函数在上是减函数，，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆渝北中学·期中)已知定义在上的函数满足：，，当时，有，则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数不是“理想函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】按“理想函数”定义依次去计算对，，当下的，并分析其结果即可得得解. 【详解】对于A，因为，所以对，，当时， 有， 故不是“理想函数”.故A正确； 对于B，因为，所以对，，当时， 有 ， 所以当且时， ， 故不是“理想函数”.故B正确； 对于C，因为，所以对，，当时， 有， 故是“理想函数”.故C不正确； 对于D，因为，所以对，，当时， 有， 所以当且时，， 故不是“理想函数”.故D正确. 故选：ABD. 5．(23-24高一上·重庆开州区临江中学·期中)已知函数的定义域是，对都有，且当时，，且，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递减 C． D．满足不等式的的取值范围为 【答案】ACD 【分析】令求的值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明的单调性可判断B；由与计算判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D. 【详解】因为， 令，可得，解得，所以A正确； 令，可得，所以， 任取且，则， 因为，所以，所以， 可得函数在上单调递增函数，所以B不正确； 由 ， ， 所以C正确； 因为，由，可得， 所以， 所以等价于，即， 因为函数在上单调递增函数，可得，解得， 即不等式的解集为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 6．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过分析在与两个区间段内的单调性知，在上单调递增，将抽象不等式转化为具体不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为时，单调递增，且， 因为时，单调递增，且， 所以在上单调递增， 因为，所以， 所以或，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 7．(24-25高一上·重庆礼嘉中学校·期中)已知函数. (1)用定义法证明函数在区间上单调递增； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明函数的单调性. （2）根据函数的单调性，结合函数定义域，把函数不等式转化成代数不等式求解. 【详解】（1）设， 则 ， 因为，所以，，， 所以，故. 即. 所以函数在区间上单调递增. （2）因为函数在区间上单调递增. 所以. 所以实数的取值范围是：. 8．(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校·期中)已知函数的定义域为，且满足.对定义域内的两个任意满足.当时，有. (1)求，的值. (2)若不等式在区间恒成立.求的最大值. 【答案】(1)，； (2)4. 【分析】（1）利用给定的函数等式，结合求解即得. （2）判断函数的单调性，变形给定不等式，再脱去法则，分离参数，利用基本不等式求出的取值范围即得. 【详解】（1）由，，， 得，解得，， 所以，. （2）由，当时，有，得函数在上单调递增， 由（1）知，，则不等式，化为， 即，于是，依题意，，， 即，而当时，，当且仅当，即时取等号， 所以，的最大值为4. 9．(23-24高一上·重庆第一中学校·期中)函数是定义在上的增函数． (1)求的最大值； (2)解不等式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），作差整理可得.进而根据函数的单调性，得出，即可得出答案； （2）根据已知得出，结合函数的单调性以及定义域可得出.求解不等式，即可得出答案. 【详解】（1），则 . 因为， 所以，，. 又因为在上单调递增， 所以，，， 所以，， . 因为，， 所以，， 所以，， 即的最大值为. （2）易知， 则由可得出. 因为在上单调递增，所以. 由可得，. 当时，有，解得，所以； 当时，有，解得或，所以. 综上所述，或. 同理，解，可得或. 所以，由可得，或. 所以，不等式的解集为. 10．(23-24高一上·重庆渝东九校联盟·期中)已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，代入恒等式中求解即可； （2）任取，利用恒等式变形，然后判断符号可得单调性； （3）利用函数单调性，将不等式恒成立转化为恒成立，，然后参变分离，转化为求最值的问题来解答即可. 【详解】（1）令，则， 解得； （2）函数在上单调递增， 证明：任取， 则， 所以， 因为， 所以，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）函数在上单调递增， 所以不等式恒成立，即恒成立，， 当恒成立时，，又，所以， 当恒成立时，， 令，则，且， 所以， 当时，， 所以， 综合得 11．(23-24高一上·重庆南开中学校·期中)已知为定义在上不恒为的函数，对定义域内任意，满足：，．且当时，． (1)证明：； (2)证明：在单调递减； (3)解关于的不等式：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时，，可知，可得，即可得证； （2）利用定义法证明函数单调性， （3）根据函数的定义可知，再根据函数的定义域与单调性解不等式. 【详解】（1）当时，成立， 当时，成立， 当时，，且， 所以，所以，解得， 综上所述，当时，. （2）由（1）得当时，， 任取，，且， 则，，，， 所以， 所以， 即， 所以函数在上单调递减； （3）由（2）得函数在上单调递减， 又， 所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 地 城 考点05 函数单调性新定义及恒成立问题 1．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)（多选题）若定义域为，对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（    ） A．是倒数函数 B．是倒数函数 C．若在上是倒数函数，则 D．若存在，使得在定义域上是倒数函数，则 【答案】AC 【分析】翻译题目可得在定义域上是“倒数函数”当且仅当，其中的值域、的值域分别为，对于AB，直接根据等价命题判断即可，对于C，首先求得，根据倒数函数的定义可得（1）且（2），解出即可判断；对于D，对进行适当划分并分类讨论，由必要性得，反过来验证充分性是否成立即可. 【详解】由题意对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”， 则在定义域上是“倒数函数”当且仅当对任意，存在唯一，使得； 即当且仅当的值域是的值域的子集， 定义的值域、的值域分别为， 所以在定义域上是“倒数函数”当且仅当； 对于A，的值域为，而的值域为，显然满足，故A正确； 对于B，由对勾函数性质可得，的值域为， 而的值域为，不满足，故B错误； 对于C，由题意在上是倒数函数， 首先当时，单调递减，此时， 由倒数函数定义可知，不包含0，即（1）； 从而在时的值域为， 由题意， 所以要满足题意，还需满足（2）； 只需（1）（2）式子同时成立即可，所以当且仅当，解得，故C正确； 对于D，必要性：情形一：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是倒数函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形二：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是倒数函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形三：当时，注意到的对称轴为，则， （i）当时，， 由二次函数性质可知存在使得，即此时， 若在定义域上是倒数函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； （ii）当时，由二次函数性质可知， 即此时，注意到， 若在定义域上是倒数函数， 首先，其次结合，可得应该满足； 充分性：，有， 此时的值域为，，， 故存在，使，此时存在两个，使，不合题意，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决C选项的关键是要依次得出（1）以及（2），解决D选项的关键在于先由必要性求参数，再验证充分性即可. 2．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)（多选题）如图，在中，，点分别在边上，点均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为.则（    ） A．的面积为 B． C． D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，结合图形利用三角形面积公式易得；对于B,C,D,利用三角形相似求出矩形的边，即得的表示式，代值计算，及配方分析即可判断. 【详解】 如图，取的中点，连接，因，则， 且，所以的面积为，故A正确； 过作，垂足为，设与交于点， 因，则. 由矩形可得,从而,则有， 得，则， 所以 ， 则，因，则 的最大值为，故B错误，C，D均正确. 故选：ACD. 3．(23-24高一上·重庆凤鸣山中学教育集团实验中学分校·期中)（多选题）符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数无最大值 D．函数在定义域内是增函数 【答案】AC 【分析】由题设所给条件，结合的范围，对进行化简，作出函数图像，根据函数图像对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】由题知，函数中的为任意实数，所以选项A正确； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，以此类推，作出函数的部分图像，如图所示， 由图知，函数值域为，所以选项B错误，选项C正确； 又由图可知，在定义域上没有单调性，所以选项D错误， 故选：AC. 4．(23-24高一上·重庆巴蜀中学校·期中)已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分段讨论，把恒成立问题转化为函数最值问题，根据二次函数的性质及基本不等式求解. 【详解】当时，， 若恒成立，即恒成立， 即恒成立， ∵，当时取等号， ，当时取等号， ∴； 当时，， 若恒成立，则恒成立， 即恒成立， ∵，当且仅当，即时取等号， ，当且仅当，即时取等号， ∴， 综上，，即的取值范围是. 故答案为：. 5．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. (1)求函数的不动点： (2)设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 【答案】(1)不动点为－2和3 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）令，求出或，得到答案； （2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围； （ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案； 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得， 解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为. 【详解】（1）令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3. （2）（i）令，得， 即，得， 所以有，此方程恰好有两个不同的实数解. ①当，即时，方程化为， 仅有一个实数解，不满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者. 故或或， 解得或. 综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为. （ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1， 当时，，故，， 于是，. 此时函数的对称轴，令. ①当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，无解. ②当时，在单调递增， 当时，，， 即的值域为，不满足题意，舍去. 当时，，故，， 于是，，此时函数的对称轴， 令. ③当时，，在单调递增， 当时，，，即的值域为， 于是有，解得； ④当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，解得. 综上，实数的取值范围为. 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1， 因为，，故取，得， 解得，所以，， 因为，解得， 由（i）知，，故， 故有，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为. 于是由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 6．(24-25高一上·重庆实验外国语学校·期中)定义在上的函数满足：如果对任意的，都有（当且仅当时等号成立），则称函数为定义在上的凹函数；如果对任意的，都有（当且仅当时等号成立），则称函数为定义在上的凸函数，如果函数在定义域上为凹函数或凸函数，则称函数具有凹凸性． (1)判断函数和的凹凸性并用上述定义证明； (2)若函数为定义在上的凹函数，求的取值范围； (3)若是定义在上的凹函数，单调递增，恒正；是定义在上的凸函数，单调递减，恒正，判断函数在上的凹凸性并证明． 【答案】(1)答案与证明见解析 (2) (3)凹函数；证明见解析 【分析】（1）根据凹函数和凸函数的定义判断，分别代入函数表达式进行证明不等式成立； （2）根据凹函数的定义转化为不等式恒成立问题，再分离参数，转化为最值范围问题求解可得； （3）根据定义设出，通过的凹凸性和单调性来分析的凹凸性，利用不等式，，使用放缩法证明可得. 【详解】（1）函数是定义在上的凸函数. 证明：设是区间内任意实数， ，； 由 ，当且仅当时等号成立. 且，， 得， 故函数是定义在上的凸函数. 函数是定义在上的凹函数. 证明：设任意两实数，函数是定义在上的凹函数. ， 由， 得，当且仅当时等号成立. 函数是定义在上的凹函数. （2）若函数为定义在上的凹函数， 则任意，恒成立， 即恒成立， 由 由（1）已证，则， ①当时，，不等式成立，. ②当时，， 则有恒成立. 因为 由，则， 当且仅当时等号成立，由， 可知， 要使对任意恒成立， 则. 综上所述，任意，要使恒成立，则. 故的取值范围为. （3）函数在上是凹函数. 要证明在上是凹函数， 只需证（当且仅当时等号成立）. 证明：设任意， ①当时，则，且. 由是定义在上的凹函数，则； 由是定义在上的凸函数，则， 由单调递增，且得，， 且 由单调递减，且得，， ； 因为 ， 且， 故只需要证明. ， 由，得， 即，又， 则. 故； ②当时，； ③当时，与①同理可证得. 综上所述，对任意的，都有（当且仅当时等号成立）. 故函数在上是凹函数. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于运算与放缩，利用与的凹凸性，利用，两个不等式将所证式子放缩变形后证明即可. 7．(24-25高一上·重庆长寿中学校·期中)已知函数，. (1)当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当，时，解关于的不等式； (3)当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，利用不等式恒成立分离参数，再利用单调性求出函数最值即可. （2）把代入，借助一元二次不等式分段求解即得. （3）由建立方程，作差变形，结合基本不等式及一元二次不等式求解证得. 【详解】（1）当时，，， 对任意，关于的不等式恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 即当时，的最大值为0，则，所以实数的取值范围 （2）当时，不等式，即， 当时，成立，则， 当时，得，即解，解得； 当且时，得，解得， 所以不等式的解集为. （3）由，得， 即， 由点，均为函数与函数图象的公共点， 得， ， 两式相减得， 由，得， 则， 令，则， 整理得，解得， 所以. 8．(23-24高一上·重庆第七中学校·期中)已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）去绝对值，写出分段函数，将不等式转化，即可求解； （2）分和对函数分段，然后由函数在上单调递增得到不等式组，求解不等式组得到实数的取值范围； （3）写出分段函数，不等式对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，然后求出函数在不同区间段内的最小值，求解不等式即可. 【详解】（1）当时，故有， 则，即为或，解得：或， ∴ 不等式的解集为 （2）， 若在上单调递增，则有 ， 解得， ∴ 若在上单调递增，则实数的取值范围为 （3）设 则 不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立． ， 当时，单调递减，其值域为， 由于，所以成立． 当时，由，知， 在处取最小值， 令，得，又，所以 综上，． 9．(23-24高一上·重庆永川中学校·期中)已知函数. (1)解不等式； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）讨论的取值范围确定不等式的解集； （2）将问题转化为两个函数值域的包含关系问题求解. 【详解】（1），所以，令， 若，解得， 当时，，不等式的解集为， 当或时，，此时方程有两根，，且， 此时不等式的解集为， 综上：当时，不等式的解集为； 当或时， （2）记函数，的值域为集合A， ，的值域为集合B； 则对任意的，总存在，使得成立； 因为的图象开口向上，对称轴为，所以当， ，得； 当时，的值域为，显然不满足题意； 当时，的值域为，因为， 所以，解得； 当时，的值域为，因为， 所以，解得； 综上：实数a的取值范围为. 10．(23-24高一上·重庆南开中学校·期中)已知函数． (1)若方程恰有两个不同的正根，求实数的取值范围； (2)若 ①求在上的最大值； ②若，对有：恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）设出方程的两根分别为，根据即可解出； （2）①根据分类讨论函数的单调性，即可求出； ②由①求出，即可解不等式求出. 【详解】（1）设方程两根分别为，因为等价于， 依题意可得，， 解得：，故实数的取值范围为． （2）①设，， 当时，，易知，； 当时，，根据对勾函数的单调性易知， 在上递减，在上递增，而， 所以，， 即． 当时，根据函数单调性的运算可知，在上单调递增， 即，所以，， 因为，所以， ， 综上，. ②根据①可知，，所以依题可得，恒成立， 解得： 或，即实数的取值范围为． 补证：函数在上递减，在上递增． 设，则， 因为，所以，即， 所以函数在上递减， 同理可证，函数在上递增． 【点睛】本题第二问的解题关键是分类讨论，判断函数的单调性以及取最大值的位置，即可得解． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04函数的单调性 ☆5大高频烤点概览 考点01函数单调性的定义及证明 考点02函数的最值值域问题 考点03分段函数的单调性 考点04抽象函数的单调性 考点05函数单调性新定义及恒成立问题 目目 考点01 函数单调性的定义及证明 一、单选题 1.(24-25高一上·重庆渝北中学期中函数s=∫(t的图象如图所示（图象与t正半轴无限接近，但永远不相 交)，则下列说法正确的是() S -10 A.函数s=f(t)的定义域为[-3，+0】 B.函数s=f(t的值域为[0,5 C.当s∈[2,4时，有三个不同的t值与之对应 D.当，2e(-3,-1)(4≠1)时，(4-12)f()-f(12)<0 2.(23-24高一上·四川外语学院重庆第二外国语学校期中)定义在R上函数y=f(x)满足以下条件：①函数 y=f(x)图象关于x=1轴对称，②y=f(x)在区间(-0，是单调递减函数，则f(0),f f(3)的大小 关系为() A.f八2 >f(0)>f(3】 B.f(3)>f0)>f 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c.r D.f(3)>3>r(o) 二、多选题 2425高一上重庆第八中学校期中)已知函数fx=,+x∈R,则以下结论正确的是( A.f(x)的值域是[-1， B.对任意x,∈R,都有(x-x)[f(x)-f(x)门>0 C对任意5eR.都片过：色 2 D.若规定(=f,(到=f((小，其中neN,则5-日 三、填空题 4.(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校期中)函数y=√x2+2x的增区间为 四、解答题 5.(24-25高一上重庆重庆复日中学教育集团期中)已知函数f(x)=x2+0,f(2)=5 (1)求实数a值； (2)判断函数f(x)在(L+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明： (3)求函数∫(x)的单调区间. 6.2425高一上重庆渝高中学期中)已知函数(={时-≥1， -x2+1,x<1 (1)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的单调区间. 7.(23-24高一上·重庆开州区临江中学期中)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且 f(x)在区间[-1,2]上的最大值是12. (1)求f(x)的解析式： (②试判断函数g=f)+8x+4在(V反，+w)上的单调性，并用单调性的定义证明 2x 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2x+1 8.(23-24高一上·重庆杨家坪中学期中)已知gx)= x+1 (1)求函数gx的值域： (2)用定义证明gx在区间[1，+∞)上是增函数 目目 考点02 函数的最值值域问题 一、单选题 1.(24-25高一上·重庆暨华中学校期中)下列命题中正确的有（)个 ①x+5 的最小值是2 Vx2+4 ②当x>1时，x+ 的最小值是3 x-1 ③当0<x<10时，Vx(10-x)的最大值是5 ④若正数，y满足2+=3，则2x+y的最小值为3 x y A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25高一上·重庆第十八中学期中)给定函数.f(x)=-2x+6,gx=-x2+5x,x∈R,用M(x)表示 f(x),gx)中的较小者，记为M(x)=min{f(x,gx)},则M(x的最大值为() A.-6 B.2 C.4 D.6 3.(24-25高一上·重庆第十八中学期中)下列函数中，值域为[1，+0)的是() A.y=x2-2x+1x≥0 B.y=-(<-1) x+1 4o C.y=- D.y=x-+1x≥ 4.(24-25高一上·重庆南开中学·期中)函数y=x-V1-2x的值域为() A.（0 1 B.（-0,l 了4器商-上长货西的大学国中学妆期已陶压数小水+刊-宁+一公+分则下列说法止 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 确的是（) Af0=月 B.f(x的定义域是[0，+o】 C.函数fx)= 一 2 D.到的最小值为号 二、填空题 6.(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团期中)已知函数f(x)=x2-6x+7在1，m(m>)上的最大值为 A,在[m,2m-1]上的最大值为B. ①当1<m≤5时，A= ②若A≥2B,则实数m的取值范围是」 三、解答题 7.(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团期中已知二次函数f(x)=2x2+mx+n的图象过(0,3)，且函 数图象顶点的横坐标为x=-1. (1)求函数∫(x)的解析式： (2)求函数f(x)在区间[-2,3上的值域 8.(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团期中)已知二次函数∫(x)=ax2+bx+c的图象经过A(-1,4),B(3,4 两点，且函数∫(x的最小值是-4. (1)求f(x的解析式： (2)己知meR,讨论f(x)在区间[0，m上的最值 9.(24-25高一上·重庆育才中学校期中)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R) (1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{xx<-4或x>2,求关于x的不等式2bx2-4ax+c>0的解集： (2)当b=-2a=-2,c=3时，函数f(x)在[t,t+1]上的最小值为6，求实数t的值 10.(24-25高一上重庆西南大学附属中学校期中)已知函数f(x)=x+￠(a>0)，g(x)= 1-x 1+x (1)证明：函数f(x)在区间(0，a上单调递减，在区间(a,+o)上单调递增； (2)设h(x)=f[g(x], ①当a=1时，求h(x在(-1,1)上的最小值； 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②若对任意实数n5,15]' 11 h(r)-h(s<h(t)恒成立，求实数a的取值范围. 11.(2425高一上重庆西南大学附属中学校期中)已知函数f(x)=-x2+x-3. (1)若函数f(x)在[1,3]单调递减，求a的取值范围； (2)当a=2时，设函数f(x)在[0，t上的最小值为gt,求gt)的函数表达式. 12.(24-25高一上重庆第七中学校期中)若函数f(x)=ax2-（2a+1)x+2 (1)当a=1时，求f(x)<0的解集； (2)设gx)=f(x)+2ax-x(a>0),若x∈[1,3]时，gx的最大值为3，求a的值； 若=1时，总3}别 双对vm,使得/)32≤8-26-2恒成立，求实数6的取值范嗣 13.(24-25高一上重庆实验外国语学校期中在①不等式f(x)≤0解集为{x1≤x≤b+1},②Hx∈R, f(2+x)=f(2-x)且f(0)=3,③HxeR,2-2x≤f(x)≤2x2-6x+4,三个条件中任选一个，补充在下面 问题中并作答 问题：已知函数f(x)=x2-2bx+c,且 (I)求函数f(x)的解析式： (2)若函数f(x)在区间[m,)上的值域为[m-1,n-1],求m+n的值。 目目 考点03 分段函数的单调性 一、单选题 (a-2)x+3,x≤2 1.(24-25高一上·重庆第二外国语学校期中)已知函数f(x)= a ,若对R上的任意实数X, ,x>2 x 为(x≠x),恒有(x-)[f(x)-f(x)门]<0成立，那么实数a的取值范围是() A.(0,2 B.(0,2 c.j D.日2 2.(24-25高一上·重庆渝北中学期中)若函数f(x)= x2+4ax+5,x≤2 是R上的减函数，则a的取值范围是 2ax+1,x>2 () A.[-2,-1 B.[-2,0 C.（-0,-l D.[-1,0 3.(24-25高一上·重庆育才中学校期中)已知函数f(x)=3x2-2ax+1在[-1,2]上单调递减，则实数a的取值 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 范围为() A.(-0,-3) B.(-0,-3] C.(6,+0) D.[6,+0) 4.(2425高一上重庆南开中学期中)若函数f(x)= 2r<1 在(-0，+o)上单调递增，则实数a的取值 x2-2ax,x≥1 范围为() A B D.(1,+o 6 5.(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校期中)已知函数f(x)= x2+(2a-1)x+1,x≤1 在R上单调递减，则 ax-3,x>1 实数a的取值范围是() B.(-0,0) c.4 D.[-4,0) 1 6.(23-24高一上·重庆渝东九校联盟期中)已知函数f(x) 文一2m-72是R上的增明数，则实数 ,x72 m 1 的取值范围是() Ams日 B.m<0 c. 29 29 D. ≤m<0 12 二、多选题 x2-ax+5,x≤1 7.(23-24高一上重庆辅仁中学校期中)己知函数f(x) a 满足对任意x≠x2,都有 x>1 fx)-f)<0成立，则实数a的取值可以是（） X1-X2 A.-2 B.1 C.2 D.3 三、填空题 -x2+2x,x<1 8.(24-25高一上·重庆西藏中学校期中)若函数f(x)= (4-ax+4a,x≥1 满足对任意实数x≠x2,都有 f(x)-f>0成立，则f-3)= 实数a的取值范围是 x1-x2 [x2-ar+4,x≤1 9.(23-24高一上·重庆第十八中学期中)已知函数f(x)= a 满足对于任意实数x,x2且x≠x2, ,x>1 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 都有)-f<0成立，则a的取值范围是】 X1-x2 四、解答题 10.(24-25高一上·重庆部分学校期中)给出下列两个结论：①x∈[1,3]，mx-2m-4<0；②函数 f(x)=x2-(m+1)x-3在[1,2]上单调 (1)若结论①正确，求m的取值范围； (2)若结论①②都正确，求m的取值范围 目目 考点04 抽象函数的单调性 一、单选题 1.(24-25高一上·重庆凤鸣山中学教育集团·期中若定义在(0，+∞）上的函数f(x)满足对任意的 ,0,+o,且5≠5，都有f)-f<0,则称函数x具有性质P.已知函数f(具有性 x1-x2 质P,则不等式x-2引>儿的解集为() x+2 A.（-0,-1 B.-1,2 C.-0,-1U2,+0）D.(2,+o0 2.Q324高一上重庆第十一申学校期中已知函数/满足条件：f0)=2f八x+川=f叭，f八刘在 R上是减函数，若x∈[1,4]，使fx2)≤16f(mx)成立，则实数m的取值范围是() A.-0,5 B.（-o0,5] C.-0,4 D.（-0,4 3.(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校期中)若函数y=f(x)在R上是减函数，且f(m-2)>f(-m),则 实数m的取值范围是() A.(1,+o∞) B.(-1,+0) C.（-o0,-1) D.(-o∞，1) 二、多选题 4.(24-25高一上·重庆渝北中学期中)已知定义在(0，+0）上的函数f(x)满足：x,x2∈(0，+∞)，当x≠x2 时，有)->0，则称函数∫(x)为理想函数”根据此定义，下列函数不是“理想函数的是() x1-x2 1 A.f(x)=- 2 B.f(=2+ 1 C.f(x)=x- D.f(x=2x-1 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(23-24高一上·重庆开州区临江中学.期中已知函数f(x)的定义域是(0，+o）,对x,y∈(0，+0)都有 x列=x列+f列，且当x>1时，>0，且/ =-1,下列说法正确的是() A.f(1=0 B.函数f(x)在(0，+o)上单调递减 c.f2++6+122+f2o+-0 D.满足不等式1到-：-2引22的瑞取植范固为(2号引 三、填空题 x+2,x≥0 中5高一上重厌第十八中学·期中)已知函数fx三x-2.o’若f5a>f6-a),则实数a的 值范围是 四、解答题 7.(2425高一上重庆礼嘉中学校期中)已知函数f(x)=x2+(x∈[1，+0) (1)用定义法证明函数∫(x)在区间1，+∞)上单调递增； (2)若f(a2)<f(2a+3),求实数a的取值范围. 8.(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校期中)己知函数f(x)的定义域为(0，+o),且满足f(2)=1.对定义域 内的两个任意，满足f)=fx)+f).当≠%时，有）>0 x1-X2 (1)求f①)，f(4)的值 (②)若不等式f)-f+)≤2在区间0，+∞)恒成立求K的最大值 9.(23-24高一上重庆第一中学校期中)函数fx)=x2+0,是定义在(1，+∞)上的增函数. x+1 (1)求a的最大值； (2)解不等式： 6 10.(23-24高一上·重庆渝东九校联盟·期中)已知定义在(0，+∞)上的函数(x)满足：①对任意的 x,ye(0,+0),都有fxy)=∫(x+f(y);②当且仅当x>1时，fx)>0成立. 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求f1: (2)判断并证明f(x的单调性； (3)若对任意的xe[2,4],不等式f(a+x≤fV2x-恒成立，求实数a的取值范围. 11.(23-24高一上·重庆南开中学校期中)已知f(x)为定义在(0，+∞)上不恒为0的函数，对定义域内任意x, y满足：2f(xy)=f(xf(y),f(1=2.且当x>1时，0<f(x<2. (1)证明：fx)>0: (2)证明：f(x)在(0，+o)单调递减； (3)解关于x的不等式：fxf(x-2)>4. 目目 考点05 函数单调性新定义及恒成立问题 1.(24-25高一上·重庆育才中学校期中)（多选题)若f(x)定义域为1，对任意x∈I,存在唯一x2∈1，使 得∫x·∫x2)=1,则称∫(x)在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是() A.f)=1是倒数函数 B.g(x)=x+-是倒数函数 C.若()=2x-l 3 +2在2 上是倒数函数，则m= 3 D.若存在m>0,使得s(x)=ax2+2x-1(a∈R)在定义域[0，m上是倒数函数，则a<-1 2.(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)（多选题)如图，在ABC中，AB=AC=3,BC=2, 点D,G分别在边AC,BC上，点E,F均在边AB上，设DG=x,矩形DEFG的面积为S,且S关于x的函数 为S(x).则() D A.ABC的面积为2√2 B.S1)=22 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.s2)=82 D.S(x的最大值为√2 9 3.(23-24高一上·重庆凤鸣山中学教育集团实验中学分校·期中)（多选题）符号[x]表示不超过x的最大整数， 如2.3引=2，[π=3，[-2.=-3，定义函数f(x)=x-[x],则下列说法正确的是() A.函数∫(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为R C.函数f(x无最大值 D.函数f(x)在定义域内是增函数 [x2-x+4,x≤1， 4.(23-24高一上·重庆巴蜀中学校期中已知函数f(x) 3 设aeR,若关于x的不等式 x+-,x>1. x f)之+a在R上恒成立，则a的取值范围是 5.(24-25高一上重庆南开中学·期中)给定函数f(x),若实数x使得∫x,)=x。,则称x为函数∫(x)的不 动点，若实数x使得ff(x)=x。,则称为函数∫(x的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点 (1)求函数x)=2+6的不动点： x+1 (2)设f(x)=x2+ax-a,aeR,且f(x)恰好有两个稳定点x,和x2 (i)求实数a的取值范围， (i)x∈x,x,],2x,≤ff(x≤2x2,求实数a的取值范围. 6.(24-25高一上·重庆实验外国语学校期中)定义在M上的函数f(x)满足：如果对任意的x,x2∈M,都有 +f】(当且仪当=时等号成立)，则称函数为定义在M上的四函数：知果 对任意的x,M,都有f色[+】（当且仅当=5时等号成立），则称函数到为定 义在M上的凸函数，如果函数f(x)在定义域上为凹函数或凸函数，则称函数f(x具有凹凸性. (1)判断函数f(x)=√x和8x)=x2的凹凸性并用上述定义证明； (2)若函数(x)=x2+a√x为定义在[1,2]上的凹函数，求a的取值范围： (3)若m(x)是定义在M上的凹函数，单调递增，mx恒正；nx)是定义在M上的凸函数，单调递减， 创恒正，为断西数智在M上的挂并正男