专题01 集合与常用逻辑用语（期中真题汇编，重庆专用）高一数学上学期人教A版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01集合与简单逻辑用语 ☆6大高频烤点概览 考点01集合的概念及元素与集合的关系 考点02集合间的基本关系 考点03集合间的基本运算 考点04集合中的新定义问题 考点05充分条件与必要条件 考点06全称量词与存在量词 目目 考点01 集合的概念及元素与集合的关系 一、单选题 1.(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校期中)设集合M={xx≤9，x∈Z,a=6,则() A.agM B.aEM C.aeM D.{aa=2∈M 2.(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中已知集合A={2,3,2,若10eA,则a的值为() A.10 B.2 C.-5 D.5 3.(24-25高一上·重庆渝北区竞成中学校期中)下列集合中有限集的个数为（) (1)二次方程的实数解组成的集合； (2)能被3整除的整数组成的集合： (3)一年之中四个季节的名称组成的集合； (4)偶数组成的集合； A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.(24-25高一上·重庆渝北区竞成中学校期中)下列选项中元素的全体可以组成集合的是() A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济较发达的地区 5.(24-25高一上·重庆长寿中学校期中)给出下列关系，其中正确的个数为() ①5eR:②2ez:®-eN,@e0, A.1 B.2 C.3 D.4 6.(23-24高一上·重庆第八中学校期中)若P={1,2),(1,3},则集合P中元素的个数是() / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1 B.2 C.3 D.4 7.(23-24高一上重庆商务学校期中)若集合M={xx>22,且a=35,则() A.a∈M B.agM C.a∈M D.a2 M 8.(23-24高一上重庆商务学校期中)将集合A={xx2-3x+2=0}用列举法可以表示为() A.1,2 B.(1,2) C.{1,2 D.{1,2} 9.(23-24高一上·重庆商务学校期中)下列叙述能组成集合的是() A.接近0的数 B.数学成绩好的同学 C.中国古代四大发明 D.跑得快的运动员 目目 考点02 集合之间的关系 一、单选题 1.(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)下列各式正确的是（) A.-1c{xx<2 B.{0e{xx<2 C.0e0 D.0∈{0 2.(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中已知集合P={α，b},则下列说法正确的是() A.acP B.acP C.P∈{b D.aep 3.(24-25高一上·重庆部分学校·期中下列结论描述不正确的是() A.π∈Q B.2∈{2} C.0∈Z D.N∈R 4.(24-25高一上·重庆南开中学.期中)下列说法正确的是() B.2Q C.{0,1,2={2,1,0 D.{1,2}{1,2 5.(24-25高一上·重庆重庆复旦中学教育集团期中)集合A={x∈Z0≤⑧<10}有()个非空子集. A.512 B.511 C.1024 D.1023 6.(23-24高一上·重庆商务学校期中)下列关于0与0说法不正确的是() / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.0E0 B.0∈{0 C.{0=0 D.{0)20 7.(23-24高一上重庆松树桥中学校月考)设集合A={xx2-8x+15=0,集合B={xax-1=0,若BcA, 则实数Q取值集合的真子集的个数为() A.2 B.3 C.7 D.8 二、多选题 8.(2425高一上·重庆育才中学校期中)下列命题中正确的是() A.集合{a,b}的真子集有2个 B.{xx是正方形}二{xx是矩形} C.设a,b∈R,A={1,a,B={-1,b},若A=B,则a-b=-2 D.0∈{0 9.(23-24高一上·重庆第七中学校·期中)下列选项中正确的是() A.0e0 B.0≤{0 C.0={x∈R|x2-x+1=0 D.0=0 10.(23-24高一上·重庆荣昌中学校期中)下列说法正确的是() A.任何集合都是它自身的真子集 B.集合{a,b共有4个子集 C.集合{xx=3n+l,n∈Z={xx=3n-2,n∈Z D.集合{xx=1+a2,a∈N={xx=a2-4a+5,a∈N} 三、填空题 11.(24-25高一上重庆南开中学期中)已知数集A={a+1,a,-2},B={a2,2,-2,若A=B,则 a= 12.(24-25高一上重庆万州第三中学等多校联考·期中)设集合A={x,y)x0y=22,x>0,y>0,x,y均为质数 }的子集的个数为」 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校期中)集合M={2,3,4,5}的子集共有个 四、解答题 14.(23-24高一上重庆商务学校期中)已知集合A={xx2-3x+m=0，,集合B={xx-a=0,且2∈A. (1)求m的值： (2)若BsA,求am的值 目目 考点03 集合间的基本运算 一、单选题 1.(24-25高一上重庆暨华中学校·期中)已知集合A={0,1,2,B={0,1},则A∩B=() A.{0,1,2} B.{L,2} C.{0,1} D.{0 2.(24-25高一上·重庆松树桥中学期中)已知全集U={-2,-1,0,1,2,3,4),集合A={x∈Zx2-x<6, B={-2,0,1,3},给出下列4种方式表示图中阴影部分：①{-1,2}②(UB③An(uB)④(cA)nuB),正 确的有几个？() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团期中)集合A={-2,-1,0,1,2,B={x‖x-2≤10，则A∩B=() A.{-1,0,1 B.{0,1,2 C.{0, D.{1,2 4.(24-25高一上重庆渝北区竟成中学校期中)设集合M={x-1≤x≤3，N={x1≤x≤6，则MUN=() A.{x-1≤x≤6 B.{x-1≤x≤1 C.{x1≤x≤3 D.{x-1≤x≤0 5.(24-25高一上重庆部分学校期中)已知全集U={2,3,4,5,6,7,8},A,B是U的两个子集，且 A0B=53,A(0B)=(2,3,63,B=() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.{4,7,8} B.{4,5,7,8} C.{2,3,5,6} D.{3,5,6 6.(24-25高一上·重庆求精中学期中)求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动， 其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心 理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理 社和动漫社，己知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有 ()人 A.16 B.18 C.20 D.24 7.(24-25高一上·重庆礼嘉中学校期中)已知集合U={2,3,4,5,6,A={2,3},B={3,5,6,则图中阴影部 分表示的集合为() A.{2,3,4 B.{2,3,5,6 c.{2 D.{2,3,4,6 8.(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校期中)已知集合M={x0<x≤2，N={x1<x<4,则 MU N=() A.{x0<x<4 B.{x1<x≤2 C.{1,2,3 D.R 9.(24-25高一上·重庆第十八中学期中设全集U={01,2,3,4,5,6,集合M={1,3,4，N={0,3,5,则 M UN=() A.{0,2,6 B.{1,2,3,4,5 C.{1,2,3,4,6 D.U 10.(24-25高一上重庆第十一中学校教育集团期中)设集合A={1,2,5,6,B={2,3,5,6,则AUB=() A.{1,2,3,5,6B.{2,5,6 C.{2,3 D.{5,6 11.(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校期中)定义集合运算A⊙B={mm=x-y,x∈A,y∈B.己知非 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 空集合A和B,且AUBc{1,2,3,4,5,若A⊙B∈B,则满足题意的不同的B的个数为() A.1 B.4 C.7 D.8 12.(24-25高一上·重庆渝北中学期中)已知集合A={x∈Zx≤-1或x≥1}，B={x-1x≤2，则A∩B=() A.{1,2 B.{-1,1,2 C.{0, D.[1,2] 13.(24-25高一上重庆字水中学期中)已知集合A={1,2023,a},B={2023,a,若B={1,则a=() U A.0 B.1 C.2 D.0或1 14.(24-25高一上重庆第八中学校期中若全集U=R,集合A={0,1,2,3,4,5},B={xx03,则 A∩uB=() A.{0,1,2 B.{0,1,2,3 C.{3,4,5 D.{4,5 15.(24-25高一上重庆万州第三中学等多校联考期中已知集合A={xx05,B={x5a01<x<a+11, 且AUB=A,则a的取值范围为() A.(-0,-6] B.[后+ c. D.[3,+o 16.(2425高一上重庆万州第三中学等多校联考期中)已知集合A={x0≤x<4,B={xx>V5,则 A∩B=() A.{xx≥0}B.{xV5<x≤4 C.{x5<x<4 D.{xl0≤x<3 17.(23-24高一上河南中州联盟期末)已知全集U=R,集合A={-2,-1,0,1},B={0,1,2,3},则图中阴影部 分所表示的集合为() C入 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.{-2,-1 B.{-2,1 C.{-2,-1,1 D.{-2,-1,0 二、填空题 18.(2425高一上重庆渝北区竞成中学校期中2,3)∩(2,3,4=一；(0,1U{2,3)= 19.(24-25高一上·重庆渝北区竞成中学校期中)集合A={1,2,3},集合B={2,4,5,则 AUB= 20.(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校期中)已知全集U=R,集合A={x-1≤x≤3，集合 B={x0≤x≤2，求u(AnB)=· 21.(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团期中)某校有26个学生参加了数学小组，17个学生参加了物 理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的 有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘 车去市里参加数理化竞赛，则需要预购买 张车票。 22.(24-25高一上·重庆重庆复日中学教育集团期中)国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名， 据统计，高一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名 语文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学选修 课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，则只想报名物 理选修课的同学有人。 三、解答题 23.(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校期中)已知全集U=R,集合A={x-2<x<3},B={x-3<x≤3 .求：uA,AnB,vAnB). 24.(24-25高一上·重庆重庆复旦中学教育集团期中)己知集合 A={x∈N0<x<5},B={00<x<3},C={x‖x-0<1C. (1)求集合A∩B,BUC; (2)求(RA∩C. 25.(24-25高一上重庆第七中学校期中)已知全集U={xx≤7且x∈N},集合A={1,2,3,6,集合 B={xx<5且x∈Z, (1)求AUB; 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求uAnB. 26.(24-25高一上山西平遥中学月考)已知集合A={x-3≤x<2,B={x1<2x-2<6. (1)求AnB; (2)已知R为实数集，求(RA)UB. 27.(24-25高一上浙江温州育英实验学校、温州第十四高级中学)已知全集U={x∈N|x<10,集合 A={1,2,3,4,B={4,5,6,7,8,9,求： (1)A0B; (2)u(AUB); (3(4)B 目目 考点04 集合的新定义问题 一、单选题 1.(24-25高一上·重庆第一中学月考)含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小 到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{4,6,9}的“交替和”是9-6+4=7；而{5}的交 替和是5，则集合M={x∈Z-5x≤4的所有非空子集的“交替和的总和为() A.2048 B.2024 C.1024 D.512 2.(24-25高一上·重庆巴蜀中学月考)设集合A为非空实数集，集合B={yx,y∈A且x≠y},称集合B为 集合A的积集，则下列结论正确的是() A.当A={1,2,3,4时，集合A的积集B={2,3,4,8,12 B.若A是由5个正实数构成的集合，其积集B中元素个数最多为8个 C.若A是由5个正实数构成的集合，其积集B中元素个数最少为7个 D.存在4个正实数构成的集合A,使其积集B={2,4,5,8,10,16 3.(24-25高一上重庆第十八中学月考)已知集合A={x,x2,x3,x4}且x1<x2<x3<x4,定义集合 B={xx=x-xx,x,∈A,il1,2,3,4,若B=A，给出下列说法：①x+x4<x2+x:②2x=x<;③ 2x,=x2+x4;正确的个数是（) 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.0 B.1 C.2 D.3 二、多选题 4.(24-25高一上重庆第一中学校期中)已知集合A={4,42,4,…an,…},B={b,b2,b,…b,,其中 a,<a2<a<…<an<…,b<b2<b<…<bn<…,且满足：AUB=N,A∩B=0,若对于B中的元素k ，在A中至少存在两个不同元素a,a,…,a（m≥2)，使得k=a,+a,+…+a。,则称集合A具有性质P(k) ,下列选项正确的有() A.若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质P(4) B.若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质P(3) C.若a=1,b≥3，则集合A具有性质P(b】 D.若a=1,b≥4且b为奇数，则集合A具有性质P(b,)和P(b,),但不具有性质P(b2-b,) 三、填空题 5.(22-23高一上·重庆渝东九校联盟·期中)设全集U={1,2,3,4,5,6,用U的子集可表示由0,1组成的6位 字符串，如{1,3表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000， 并规定空集表示的字符串为000000， (1)若N={2,3,6,则N表示的6位字符串为 (2)若B={5,6,集合AUB表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为个. 6.(24-25高一上重庆“名校联盟”)设A是非空数集，若对任意x,y∈A,都有x+y∈A、xy∈A,则称集 合A为一个“完美集，给出以下命题： ①若A是一个“完美集”，且A≠R,则RA也为“完美集”； ②若A、A都是“完美集”，且A,∩A2=⑦，则A∩A2也是“完美集”； ③若A是“完美集”，则A可以是有限集； ④若A、4都是“完美集”，则AUA2也是“完美集” 其中说法正确的序号是 7.(24-25高一上重庆西南大学附属中学校)定义集合P={xa≤x≤b}的“长度”是b-a,其中a,b∈R.已知 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17 集合M= sxs 6 2≤x≤t} 且M,N都是集合{x1≤x≤2的子集，若集合MUN的“长 则t的取值范围是 8.(24-25高一上重庆四川外国语大学附属外国语学校)已知A={a,a2,a,a4,a}，B={a,a,a5,a,a}, a,<a2<a<a4<a,a,∈Z,i=1,2,3,4,5.若AnB={a1,a4}且a,+a4=10,a2>2,AUB中各元素的和为 256,则a1=」 ,集合A= 四、解答题 9.(24-25高一上重庆字水中学期中)设a,b,c为实数，集合S={x(x0a)(x2+bx+c)=0,xeR} (1)若a=2,b=1,c=2,求S; (2)若S={2,求a,b,c满足的条件； (③)设T-a4川cr+bc+川-0xeR,eS,2eI,且架合3T均恰有两个元素，R三元数对ad 10.(24-25高一上·重庆南开中学校)设集合Sn={1,2,3,…,n),若X是Sn的子集，把X中所有元素的和称 为X的"容量”（规定空集的容量为0)，若X的容量为奇（偶）数，则称X为S的奇（偶）子集 (1)写出S4的所有奇子集： (2)求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等； (3)求证：当n≥3时，S的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 11.(24-25高一上·重庆巴蜀中学·月考)对于在平面直角坐标系第一象限内的两点Ax,y,),B(x2,y2作如下 定义：若上≥4，则称点B领先于点A. X, ()试判断点P1,5-V3)是否领先于点1，万-V5),并说明理由； (2)若点B(x2,y2)领先于点Ax,),试证明：点B领先于点C(x+x2,+2) (3)对k∈{1,2,3,3m∈{mm≥2024，m∈N},点(m+3,2027)领先于点(k,m川)，且点(k,n川领先于点(m,2024) 求符合条件的正整数n组成的集合中元素的个数， 目目 考点05 充分条件与必要条件 一、单选题 1.(24-25高一上重庆西南大学附属中学校期中)命题，“关于x的方程ax2+x-1=0的根为正实数”为真命题 专题01 集合与简单逻辑用语 6大高频考点概览 考点01 集合的概念及元素与集合的关系 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合间的基本运算 考点04 集合中的新定义问题 考点05充分条件与必要条件 考点06全称量词与存在量词 地 城 考点01 集合的概念及元素与集合的关系 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断集合与元素的属于关系，集合与集合的包含关系. 【详解】且， ∴，A选项错误，B选项正确， 对于选项C、D，集合与集合的关系是（真）包含或不包含，不能用属于，故错误. 故选：B 2．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与元素的包含关系求解即可. 【详解】因为集合，， 所以，解得， 故选：D 3．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由集合的性质逐个判断即可； 【详解】二次方程的实数解组成的集合，有一个，两个或无，所以为有限集； 能被3整除的整数有无穷多个，所以组成的集合为无限集； 一年之中四个季节的名称为春季，夏季，秋季，冬季，所以组成的集合为有限集； 偶数组成的集合为无限集合； 所以有限集合共有2个， 故选：C. 4．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【分析】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断 【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 5．(24-25高一上·重庆长寿中学校·期中)给出下列关系，其中正确的个数为（   ） ①；②；③；④， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】常见集合的元素特征，判断元素与集合的关系. 【详解】：全体实数，①正确；：整数，②正确；：正整数，③错误；：有理数，④错误. 故选：B. 6．(23-24高一上·重庆第八中学校·期中)若，则集合P中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合和元素的概念进行求解. 【详解】集合P中元素为，，共2个． 故选：B 7．(23-24高一上·重庆商务学校·期中)若集合，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐项分析判断. 【详解】因为，可知，故A正确，B错误； 子集关系是集合与集合之间的关系，故C、D错误. 故选：A. 8．(23-24高一上·重庆商务学校·期中)将集合用列举法可以表示为（　　） A．1，2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的描述法和列举法分析求解. 【详解】对于方程，解得或， 所以，故C正确，ABD错误. 故选：C. 9．(23-24高一上·重庆商务学校·期中)下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【详解】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 故选：C. 地 城 考点02 集合之间的关系 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 2．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由元素与集合的关系和集合与集合的关系，对选项进行判断. 【详解】已知集合， 由集合的包含关系可知，，A选项正确； 由元素和集合的关系可知，，B选项错误； 由集合的包含关系可知，，C选项错误； 由集合的包含关系可知，，D选项错误； 故选：A 3．(24-25高一上·重庆部分学校·期中)下列结论描述不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断即可. 【详解】因为是无理数，则，且，，. 故A错误；BCD正确. 故选：A. 4．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系判断A、B；根据集合的性质判断C；根据集合之间的关系判断D； 【详解】A选项，不是整数，所以，A选项错误； B选项，是无理数，所以，B选项错误； C选项，集合元素的无序性，所以C选项正确； D选项，是点集，是数集，两者没有包含关系，故D错误. 故选：C 5．(24-25高一上·重庆重庆复旦中学教育集团·期中)集合有（    ）个非空子集. A．512 B．511 C．1024 D．1023 【答案】D 【分析】确定集合A中含有的元素个数，即可求得答案. 【详解】集合含有10个元素， 故其有个非空子集， 故选：D 6．(23-24高一上·重庆商务学校·期中)下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 7．(23-24高一上·重庆松树桥中学校·月考)设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出集合，然后分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】由，得，解得或， 所以， 当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 二、多选题 8．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)下列命题中正确的是（    ） A．集合的真子集有2个 B．是正方形是矩形 C．设，，，，若，则 D． 【答案】BCD 【分析】利用真子集的求法可判定A，利用集合间的基本关系可判定B、D，利用集合相等的关系可判定C. 【详解】对于A，易知集合的真子集有个，故A错误； 对于B，所有正方形都是矩形，即是正方形是矩形，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，因为把空集视为元素，所以，故D正确. 故选：BCD 9．(23-24高一上·重庆第七中学校·期中)下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合空集的定义及性质逐项判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，故，A错误； 因为空集为任何集合的子集，故，B正确； 因为方程，所以方程的解集为， 所以，C正确； 因为空集不含任何元素，而是实数，故D错误； 故选：BC. 10．(23-24高一上·重庆荣昌中学校·期中)下列说法正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 【答案】BC 【分析】A选项，举出反例；B选项，根据元素个数求出子集个数；C选项，两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，C正确；D选项，举出，但，D错误. 【详解】对于A，空集不是它自身的真子集，故A错误； 对于B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确； 对于C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确； 对于D，因为，当时，， 所以，但， 故两个集合不相等，故D错误. 故选：BC 三、填空题 11．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)已知数集，，若，则 . 【答案】1 【分析】根据题意分两种情况讨论即可. 【详解】易知，所以或， 若，即，此时，，符合题意； 若，此时，，，舍； 综上，. 故答案为：1 12．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)设集合均为质数的子集的个数为 . 【答案】32 【分析】先求得集合，然后求得子集的个数. 【详解】依题意可得， 则的子集的个数为. 故答案为： 13．(23-24高一上·重庆渝南田家炳中学校·期中)集合的子集共有 个. 【答案】 【分析】根据子集的概念直接判断. 【详解】集合的子集有，，，，，，，，，，，，，，， 共个， 故答案为：. 四、解答题 14．(23-24高一上·重庆商务学校·期中)已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)1或4 【分析】（1）根据题意分析可知2为方程的根，代入运算求解即可； （2）根据题意求集合，结合子集关系分析求解. 【详解】（1）因为，可知2为方程的根， 则，解得. （2）由（1）可得：，且， 若，则或， 所以或4. 地 城 考点03 集合间的基本运算 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆暨华中学校·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由A与B，找出两集合的交集即可. 【详解】，，， 故选：C. 2．(24-25高一上·重庆松树桥中学·期中)已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 3．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解绝对值不等式得集合，再求交集即得. 【详解】由可得，解得，即， 因故. 故选：D. 4．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设. 故选：A 5．(24-25高一上·重庆部分学校·期中)已知全集是的两个子集，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可知，再结合补集和并集运算求解. 【详解】因为，可知， 且，所以. 故选：B. 6．(24-25高一上·重庆求精中学·期中)求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 7．(24-25高一上·重庆礼嘉中学校·期中)已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由Venn图可知：阴影部分表示的集合为，结合交集和补集运算求解. 【详解】由Venn图可知：阴影部分表示的集合为， 因为集合，，，可得， 所以. 故选：C. 8．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的并集运算求解. 【详解】解：因为集合，， 所以， 故选：A 9．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的并补运算求集合. 【详解】由题设，故. 故选：C 10．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的含义即可. 【详解】根据并集的含义知. 故选：A. 11．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】结合集合新定义，讨论中元素个数即可； 【详解】由题意， 又非空集合A和B，且，若， 当中有一个元素时： ，；，； 当中有两个元素时： ，；，；，；，； 当中有三个元素时： ，； 当中有四个元素时： ，； 当中有五个元素时，集合不存在， 所以满足条件的不同的B的个数为8个， 故选：D. 12．(24-25高一上·重庆渝北中学·期中)已知集合或，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集定义直接计算即可得解. 【详解】因为集合或，， 所以或. 故选：B. 13．(24-25高一上·重庆字水中学·期中)已知集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】由补集运算直接求解即可. 【详解】由，且， 可知，且，解得：，符合集合元素特性. 故选：A 14．(24-25高一上·重庆第八中学校·期中)若全集，集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集和交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：A. 15．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果. 【详解】因为，所以. 若，则，即； 若，则解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 16．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集定义计算即可得. 【详解】由，则. 故选：C. 17．(23-24高一上·河南中州联盟·期末)已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知影部分所表示的集合为，再结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】由图知，影部分所表示的集合为， 又，， 所以图中阴影部分所表示的集合为， 故选：A. 二、填空题 18．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中) ； . 【答案】 【分析】利用交集、并集的定义直接求解即可. 【详解】依题意，； 故答案为：； 19．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)集合，集合，则 ． 【答案】 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设，. 故答案为： 20．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)已知全集，集合，集合，求 ． 【答案】 【分析】根据集合交集和补集的概念求解即可. 【详解】因为全集，集合，集合， 所以，， 故答案为： 21．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)某校有26个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购买 张车票． 【答案】32 【分析】根据要写条件，利用韦恩图即可求出总人数. 【详解】依题意，得如图所示的韦恩图， 参加数理化竞赛的学生有人，所以需预购32张车票.    故答案为：32 22．(24-25高一上·重庆重庆复旦中学教育集团·期中)国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名语文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，则只想报名物理选修课的同学有 人． 【答案】 【分析】设只想报名物理选修课的同学有人，求得同时想报名语文和物理选修课的有人，只想报名语文选修课的同学有人，只想报名数学选修课的同学有人，由题意画出Venn图，再由该班共有人数，列出方程，即可求解. 【详解】设只想报名物理选修课的同学有人， 因为有人想报名物理类选修课， 所以同时想报名语文和物理选修课的有人， 因为有21人想报名语文类选修课， 则只想报名语文选修课的同学有人， 因为有29人想报名数学类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人， 同时想报名数学和物理选修课的有15人，则只想报名数学选修课的同学有人， 又没有三类选修课都想报名的同学， 由题意画出Venn图，如图所示：    因为该班共45名同学， 所以，解得， 所以只想报名物理选修课的同学有人. 故答案为：. 三、解答题 23．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)已知全集，集合，．求：，，． 【答案】或；；或. 【分析】由集合的运算定义直接求得结果. 【详解】或； ； 或. 24．(24-25高一上·重庆重庆复旦中学教育集团·期中)已知集合． (1)求集合； (2)求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据交集和并集的概念，即可求解； （2）根据补集和交集的概念，即可求解. 【详解】（1）集合，， 不等式，即，解得，集合， 所以，. （2），则， 所以. 25．(24-25高一上·重庆第七中学校·期中)已知全集且，集合，集合且， (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的定义即可求解， （2）根据集合的补集定义以及交集定义即可求解. 【详解】（1）由且可得， 且，则， 所以； （2），故. 26．(24-25高一上·山西平遥中学·月考)已知集合，． (1)求； (2)已知R为实数集，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解出，再根据交集的定义即可得解； （2）根据补集和并集的定义即可得解. 【详解】（1）由题得． 已知，得． （2）因为或，所以或． 27．(24-25高一上·浙江温州育英实验学校、温州第十四高级中学·)已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用集合交集的运算，即可求出结果； （2）先求出全集，利用集合并集的运算，得到，再利用集合补集的运算，即可求解； （3）用集合补集的运算得到，再利用集合交集的运算，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，又， 所以. （3）因为，， 所以，又，得到. 地 城 考点04 集合的新定义问题 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第一中学·月考)含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将集合的子集两两配对：使且，从而有集合与集合的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有个，即可求解. 【详解】由题知， 将集合的子集两两配对：使且，则符合条件的集合对有个， 又由题设定义有集合与集合的交替和之和为4， 所以交替和的总和为. 故选：A. 2．(24-25高一上·重庆巴蜀中学·月考)设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（    ） A．当时，集合的积集 B．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个 C．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个 D．存在4个正实数构成的集合，使其积集 【答案】C 【分析】利用积集的定义可判断A，设，其中，利用积集定义分析积集中元素的大小关系可判断B和C，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾可判断D. 【详解】对于A，因为，故集合中所有可能的元素有， 即，故A错误； 对于B，设，不妨设， 因为， 所以中元素个数小于等于10个， 如设，则， 所以积集中元素个数的最大值为10个，故B错误； 对于C，因为， 所以中元素个数大于等于7个， 如设， 此时中元素个数等于7个，所以积集中元素个数的最小值为7，故C正确； 对于D，假设存在4个正实数构成的集合，使其积集， 不妨设，则集合的积集， 则必有，其4个正实数的乘积， 又或，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合， 使其生成集，故D错误. 故选：C. 3．(24-25高一上·重庆第十八中学·月考)已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由集合的新定义结合，可得,由此即可求解. 【详解】因为集合且, 若，则中也包含四个元素,即 剩下的，， 对于①:由得,故①错误; 对于②：由得,故②错误; 对于③：由得,故③正确; 故选：B 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆第一中学校·期中)已知集合，，其中，，且满足：，，若对于中的元素，在A中至少存在两个不同元素，使得，则称集合A具有性质，下列选项正确的有（    ） A．若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质 B．若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质 C．若，，则集合A具有性质 D．若，且为奇数，则集合A具有性质和，但不具有性质 【答案】ACD 【分析】对于ABC：根据性质的定义直接判断即可；对于D：结合选项C判断性质，分和两种情况，判断；分和两种情况，判断. 【详解】A选项，显然，，且，所以A正确； B选项，，，但A中没有两个或两个以上元素和为3，所以B错误； C选项，因为，，是中元素的最小者， 可知集合中一定有这些元素， 且，则集合A具有性质，所以C正确； D选项，因为，且为奇数，是中元素的最小者， 可知集合A中一定有这些元素， 且，则集合A具有性质， 是中元素的第二小者， 1.若，因为，则，所以集合A具有性质； 2.若，则A集合中一定有这些元素， 且，则集合A具有性质； 综上所述：集合A具有性质. 因为为奇数，则 ①若，则，此时； ②若，则，此时； 综上：集合不具有性质，所以D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 三、填空题 5．(22-23高一上·重庆渝东九校联盟·期中)设全集，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000． （1）若，则表示的6位字符串为 ． （2）若，集合表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为 个． 【答案】 100110 4 【分析】（1）先求出，然后根据字符串的定义求解即可， （2）由已知可求得，而，从而可求出集合A 【详解】（1）因为，，所以， 所以表示的6位字符串为100110. （2）因为集合表示的字符串为011011，所以，又， 所以集合A可能为，，，，即满足条件的集合B的个数为4. 故答案为：（1）100110，（2）4 6．(24-25高一上·重庆“名校联盟”·)设是非空数集，若对任意，都有、，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题： ①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”； ②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”； ③若是“完美集”，则可以是有限集； ④若、都是“完美集”，则也是“完美集”. 其中说法正确的序号是 . 【答案】②③ 【分析】利用反证法判定①；利用性质的定义证明②即可；举特例判断③，；举反例说明④错误. 【详解】对于①，若是“完美集”，且， 假设也是“完美集”，设，在中任取一个，， 此时可证得，否则若，由于也具有性质， 则，与矛盾，故， 由于具有性质，也具有性质，所以， 而，这与矛盾， 故当且具有性质时，则不是“完美集”， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故①错误. 对于②，取，则，，，， 又，具有性质，，，，， ，， 所以是“完美集”，故②正确； 对于③，集合是“完美集”，故可以是有限集，故③正确; 对于④，取，， ，，但，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 7．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·)定义集合的“长度”是，其中a，R.已知集合，，且M，N都是集合的子集，若集合的“长度”大于，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据区间长度定义得到关于的范围，再根据并集的区间长度大于，分类讨论得到关于的不等式，解出即可. 【详解】因为都是集合的子集， 所以，解得， 又，可知集合M的“长度”为，， 要使集合的“长度”大于， 若，则，所以， 又，所以； 若，则，所以， 又，所以； 则的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 8．(24-25高一上·重庆四川外国语大学附属外国语学校·)已知，，，，.若且，，中各元素的和为256，则 ，集合 . 【答案】 1 【分析】先由条件，且五个自然数的大小关系，得出，求出的值，再由，求出的值，进而确定出或，再分两种情况考虑即可. 【详解】由，且， 得到只可能，即或0，当时，，而，则，故舍去， 则，又， ，且， 或， ①若时，，不合题意； ②若时，此时，， 因，从而， 又，则，当时，无整数解， 当时，， 所以 综上，. 故答案为：1；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分析出，从而得到，继而有或，最后分类讨论即可. 四、解答题 9．(24-25高一上·重庆字水中学·期中)设为实数，集合. (1)若，求S； (2)若，求满足的条件； (3)设，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 【答案】(1) (2)，，或， (3) 【分析】（1）代入，解方程求解可得； （2）由2是方程的根得，再按是否为方程的根分类讨论即可； （3）先分析方程的一次项系数及方程的二次项系数均不为0，再分，，且三类情况讨论即可. 【详解】（1）当时，. （2）因为，则，即， 当2为方程的根时，则，解得； 当2不为方程的根时，则. 综上所述，，，或，. （3）， 若，， 则，又， 所以有，解得 验证：当时，， 不满足集合S恰有两个元素，故； 若，由， ， 则，又，则，又， 所以，即. 由，则，即，解得. 验证：当时， 也不满足集合S恰有两个元素，故； 由上可知，且.则， 且方程与有相同的判别式， 即两方程根的个数相同.由集合均恰有两个元素，则. ， 因为，则是方程或的根. 由，且，则是方程或的根. ①当时，是方程的根，，则， 又，则，由， 则是方程的根，则. （i）若，联立解得. 验证：当时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两个不相等的实数根， 又，则方程的两根必为和2. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ②当时，，即是方程的根， 则，又，则， 则是方程的根，则，即 （i）若，联立解得. 验证：当时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两不等的实数根， 又，则方程的两根必为和. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根. 由，则是方程的两实数根， 且是方程的根， 则有，解得. 验证：当且时，有. 有三个元素，故不满足题意； 综上所述，满足题意的所有三元数对有. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的关键在于两个突破口，一是以方程与的两根情况为入手点，当时可知，且；二是以，为入手点，以“是否为方程的根”与“是否为方程的根”为分类界点产生讨论即可. 10．(24-25高一上·重庆南开中学校·)设集合），若是的子集，把中所有元素的和称为的"容量"（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集. (1)写出的所有奇子集; (2)求证：的奇子集与偶子集个数相等； (3)求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 【答案】(1)、、,、,、,、,、,2,、,3,； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，分析的子集，对应奇子集的定义，即可得的所有奇子集； （2）设为的奇子集，根据奇子集和偶子集的定义，按1是否属于进行分类，则得到奇子集和偶子集之间的关系，分析即可证得结论； （3）根据（2）中的结论，计算奇子集容量之和时，元素的贡献是，即可求得奇子集的容量之和，从而得到偶子集的容量之和，即可得到结论． 【详解】（1）由题意可知，当时，，2，3，， 的容量为奇数，则为的奇子集， 所有的奇子集应为、、,、,、,、,、,2,、,3,； （2）设奇数，对于的每个奇子集， 当时，取且． 当时，取，则为的偶子集． 反之，亦然． 所以，的奇子集与偶子集是一一对应的． 所以，的奇子集与偶子集个数相等． （3）对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知， 其中必有一半是奇子集，一半是偶子集， 从而对于每个数，在奇子集的和与偶子集的和中，所占的个数是一样的． 于是在计算奇子集容量之和时，元素的贡献是， 奇子集容量之和是， 根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等， 故当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 11．(24-25高一上·重庆巴蜀中学·月考)对于在平面直角坐标系第一象限内的两点作如下定义：若，则称点领先于点． (1)试判断点是否领先于点，并说明理由； (2)若点领先于点，试证明：点领先于点． (3)对，点领先于点，且点领先于点，求符合条件的正整数组成的集合中元素的个数． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，该集合中有1个元素 【分析】（1）结合题中新定义，采用分析证明即可； （2）结合题中新定义，通过分式变形证明即可； （3）结合题中新定义，将问题转变为，先考虑变量，再考虑即可； 【详解】（1）由条件，证是否成立，即证， 即证，即证，即证，该式显然正确， 所以点领先于点． （2）要证点领先于点，即证， 即证， 即证，由条件点领先于点知该式显然成立，即证． （3）由条件知，有， 即，有， 先考虑变量，需要恒成立，所以，有， 再考虑变量，存在即可，所以，解得， 又因为，故，易知该集合中有1个元素． 地 城 考点05 充分条件与必要条件 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 2．(24-25高一上·重庆渝北中学·期中)设，则“”是“或”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】一方面：或； 另一方面：或，但此时不满足； 所以“”是“或”的充分不必要条件. 故选：B. 3．(24-25高一上·重庆第八中学校·期中)设，用表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】取，则，则，故“”推不出“”. 若，设，其中，， 此时，故成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必属于六畜； 若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是马. 故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5．(24-25高一上·重庆第七中学校·期中)“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件定义可得答案. 【详解】一定能推出， 但是不一定能推出，例如， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 6．(23-24高一上·重庆第十八中学·期中)“为有理数”是“为有理数”的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据题意易知充分性成立，不妨取，满足为有理数，但为无理数，即必要性不成立，可得结论. 【详解】易知当“为有理数”时，可得“为有理数”，所以充分性成立； 但若“为有理数”时，例如，此时不满足“为有理数”，即必要性不成立， 所以可知“为有理数”是“为有理数”的充分不必要条件. 故选：B 二、多选题 7．(23-24高一上·重庆永川中学校·期中)下列说法正确的是（    ） A．集合，，，若则或 B．设全集为，若，则 C．集合 D．“和都是无理数”是“是无理数”的必要不充分条件 【答案】BC 【分析】对于A：由，得出或等于2，分别求解，然后验证互异性即可判断为错；对于B：由集合间的包含关系和补集的概念判断正确；对于C：令集合中的，即可判定为正确；对于D，取特值即可判定为错误. 【详解】对于A：由， 若或1， 当时，不满足互异性，舍去，当时，，不满足互异性，舍去； 若或2， 当时，合题意，当时，，合题意， 故或2，A错误； 对于B：若，则，B正确； 对于C：令集合中的，得，故C正确； 对于D：不是无理数，若为无理数，可取，和不都是无理数，故“和都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件，故D错. 故选：BC. 三、解答题 8．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知非空集合满足以下两个条件：①；②若，则. (1)若中只有1个元素，求. (2)证明：. (3)若，证明：中有两个元素互为相反数. (4)试问“中有偶数元素”是“中有奇数元素”的什么条件？说明你的理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析； (4)充分不必要条件，理由见解析. 【分析】（1）根据集合满足的条件可得，求得即可； （2）根据，说明，又即可证明； （3）由，结合集合元素特点，列举集合的元素，即可证明； （4）根据（1）中所求结果，结合充分性和必要性的判定，即可判断. 【详解】（1）若中只有一个元素，根据题意可得：，解得，所以. （2）证明：因为，所以，又，所以. （3）证明：若，则，即， 所以，即， 所以，即， 因为与互为相反数，所以中有两个元素互为相反数. （4）由（1）知，若，则中只有奇数元素，没有偶数元素，所以由“中有奇数元素”推不出“A中有偶数元素”. 若中有偶数元素，不妨设为，则，且为奇数， 所以中必有奇数元素，所以由“中有偶数元素”可以推出“中有奇数元素”. 故“中有偶数元素”是“中有奇数元素”的充分不必要条件. 9．(24-25高一上·江苏梅村高级中学空港分校·)已知集合. (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2)或. 【分析】（1）把代入，利用补集、并集、交集的定义求解即得. （2）利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）当时，，而，则或， 所以，. （2）由“”是“”的充分条件，得， 当，即时，，满足，则； 当时，由，得，解得， 因此或， 所以实数a的取值范围是或. 10．(23-24高一上·重庆·期中)设集合，，． (1)若时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到集合，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时， 所以或， 又，所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以， 当，即，解得，符合题意； 当时，则，解得， 当时，符合题意， 当时，符合题意， 综上可得实数的取值范围为. 地 城 考点06 全称量词与存在量词 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆西藏中学校·期中)已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】命题为全称量词命题，则命题的否定为，， 故选：． 2．(24-25高一上·吉林松原前郭五中·月考)命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特称命题的否定即可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 3．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 【答案】B 【分析】由，则为偶数可判断；时可判断. 【详解】若，则为偶数，则， 所以不存在，使，故为假命题， 若，则，所以，使，故为假命题， 所以，均为假命题. 故选：B. 4．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)命题：“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】“，”的否定是，， 故选：C 5．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，“”的否定为 “”. 故选：B 6．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)命题“，”的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定为“，”， 故选：B. 7．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B 8．(24-25高一上·重庆字水中学·期中)已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出原命题为假时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义判断各个选项. 【详解】命题“”是假命题，则其否定“”是真命题. 当时，若，则，满足条件. 若，则在上单调递增，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 若，则在上单调递减，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 综上，当原命题为假时的取值范围是， 下面判断各个选项： 选项A：，不能推出，且也不能推出， 所以既不是充分条件也不是必要条件， 选项B：，能推出，但不能推出， 所以是充分不必要条件， 选项C：，不能推出，且不能推出， 所以是既不是充分条件也不是必要条件， 选项D：范围就是，为充要条件. 故选：B. 9．(24-25高一上·重庆渝北中学·期中)设集合是偶数集，集合是奇数集.若命题，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由否定的定义即可得解. 【详解】由否定的定义可知：若命题，，则，. 故选：C. 10．(24-25高一上·重庆第八中学校·期中)命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题否定的结构形式可得正确的选项. 【详解】命题“”的否定为：， 故选：A. 11．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用全称量词命题的否定形式判定选项即可. 【详解】根据全称量词命题的否定形式可知：命题“，”的否定 为“，”， 即“，”. 故选：A 二、填空题 12．(24-25高一上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知命题：，，则命题的否定为 . 【答案】， 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题解答即可. 【详解】命题：，为全称量词命题， 其否定为：，. 故答案为：， 13．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)命题“”的否定为 . 【答案】 【分析】利用存在量词命题的否定写出结论即可. 【详解】依题意，命题“”的否定为“”. 故答案为： 三、解答题 14．(24-25高一上·重庆字水中学·期中)已知命题，当命题为假命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出，再由，即可求出集合； （2）由子集的包含关系列不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）解：为真， 所以，所以，即集合 （2）因为集合非空，所以 因为，所以 所以. 所以实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $