专题06 抛物线（人教版）（期中真题汇编，重庆专用）高二数学上学期人教A版

丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题06抛物线 ☆5大高频考点概览 考点01抛物线的定义及方程 考点02双曲线的中点弦问题 考点03双曲线的离心率问题 考点04双曲线中的综合问题 考点05双曲线中的解答题 目目 考点01 抛物线的定义及方程 一、单选题 1.(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知正方体 BCD-AB,CD中，P为平面4BCD上一动点，若P 到CD的距离与到1B的距离相等，则P的轨迹为() AB A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2.(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已 P1m)为抛物线=8x上一点，F为抛物线的焦点，则 pF=() A.1 B.2 C.3 D.4 3。(23-24高二下浙江衡温51联盟期中)抛物线”4 的焦点到其准线的距离为() A.2 B.1 C.2 D.4 4.23-24高二上重庆第八中学校期中)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点4-5,0，B(5,0距离之 差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是() 父+ A.x+y=5 -=1 B.94 C.x2+y2=16 D.x2=16y 5.(2.23高二下重庆南开《融侨)中学校期中)0为坐标原点，过点P2,1作直线OP的垂线，交抛物 1/11 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 线=2r(p>0)于A,B两点，0为线段AB的中点，若△OP是等腰直角三角形，则P=() A.6 B.4 C.2 D.1 6.(23-24高二上重庆第十八中学)已知0为坐标原点，抛物线=2p”(P>0 )的焦点为F,抛物线上 的点p满足PF-号P,APOF的面积为2：则该抛物线的准线方程为(） 2 B.y=-1 C.=-2 D.y-4 二、填空题 7.(2425高二上重庆清华中学校期中)若抛物线广=16x上的点M到焦点的距离为9，则它到'轴的距离 是一 8.已知抛物线C:x=y2」 则抛物线C的焦点坐标为一· 考点02 抛物线的弦长问题 一、单选题 1.2425高二上重庆第一中学校期中)过抛物线C:y=4r焦点的直线与C交于A、B两点，则1B的最 小值是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25高二上重庆铜梁中学、江津中学等七校月考已知抛物线C:y=8x,过点M1,1)作弦AB,弦 AB恰被点M平分，则弦AB所在直线的斜率为() A. B.2 C.4 D.4 2/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 二、多选题 3.23-24高二上重庆巴蜀中学期中)设0是坐标原点，直线"=(x-2k>0经过抛物线C:广=2pr的 焦点F,且与C交于A,B西点，△OAF是以OF为底边的等腰三角形，I是抛物线C的准线，则() A.以AB直径的圆与准线相切 B.k=2 C.BF=2FA D.AO4B 的面积是6W5 4.24-25高二上重庆第十八中学)抛物线=4 “焦点为F,顶点为O,过F的直线交抛物线于 A,,B(少两点，分别过A,B作准线的垂线，垂足分别为4，B,下列说法正确的是() A.xx,为定值 B.Z4FB> 1,1-1 C.A,O,B三点共线 D.AF BF2 E:y2=4 5.(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)过抛物线 焦点F的直线交抛物线于4B 两点（点A在第 一象限)，过分别向的准线作垂线，垂足分别为C,D,若△1CF与△BDF A,B C.D 的面积之比为9，则下列 说法正确的是() AF =9 A.BF B.直线1B的斜率为5 c.h8-9 4V5 D.△AOB的面积为3 6.24-25高二上重庆部分学校)尼知抛物线C:广=2rp>0的焦点F到准线的距离是4，直线'过它 3/11 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 的焦点F且与C交于4，)，B,为两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是() A.抛物线C的焦点坐标是(2,0) B.55=4 C.若+=5，则48=7 D.若以M为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径 三、填空题 7.24-25高二上重庆第一中学校期中)尼知抛物线C:广=8x,过点M(m,0)的直线与抛物线C交于A、 1 1 B两点，若AM'BM为定值，则实数m的值为一 考点03 抛物线的最值范围问题 一、单选题 1.(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿 平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. 在抛物线 =4y中，一平行于'轴的光线射向抛物线上的点M,反射后反射光线经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点N，再反射后又沿平行'轴方向的直线？射出则直线与？之间的最小距离为() A.4 B.2 C.8 D.16 2.23-24高二上重庆巴蜀中学期中已知抛物线C:y2=4x上一点P(,W,点43V2可，则 今+2PA的最小值是(） A.10 B.8 C.5 D.4 4/11 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3.抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点的反射后，反射光线平行于抛物线的 对称轴.已知抛物线 C:y=4x ,在抛物线内平行于x轴的光线射向抛物线C,交抛物线C于点P(不为原 0011 点)，过点P作C的切线1，过坐标原点O作 ,垂足为Q,反射光线与直线OQ交于点T,点 A0,2)TA| ,则的取值范围为() A.[22-2,22+2] B.[5-l5+] c.[7-2,v7+2] D.[3,4] 4.(2-23高二下重庆第八中学校期中)已知直线：4x+3y+6= 和直线= ,抛物线=4红上一动点 P到直线和直线的距离之和的最小值是() c. 37 A.2 B.3 D.16 5.(4-25高=上重庆第十八中学)尼知抛物线C:少=8x 的焦点为 为F,M为C上的动点，N为圆 A:r+y+2x+8+16=0上的动点，设点M到少轴的距离为d,则M+d的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 62425高三上重庆巴蜀中学校期中)已知抛物线C:广=的焦点为尸，准线与产销的交点为4M 为抛 MA 物线C上一动点，则MF的取值范围是一· 7.(24-25高二上重庆南开中学校期中)已知抛物线广=8x,准线为1，过2,0)的直线交抛物线于4，B两 点，AP垂直I于点P,点C满足C=B,则1G+1的最小值为 5/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 8.2425高二上重庆第一中学校月考已知点P在圆0：r+少1上，动圆C与圆0内切并与直线：y=4 相切，圆心为C,则Pq 的最小值为一 三、解答题 C:y2=2px(p>0) 9.(23-24高二上·重庆第八中学校·期中)已知过抛物线 的焦点，斜率为1的直线交抛物 线于.4,4风少），且4=8 (1)求该抛物线的方程： x-y+3=0 (2)在抛物线C上求一点D,使得点D到直线 的距离最短 考点04 抛物线的综合运用 一、单选题 1.(23-24高二上重庆第八中学校期中)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点1-5,0)，B(5,0), 距离之 差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是（) A.x+y=5 B.94 C.x2+y2=16 D.x2=16y 2.(22-23高二下·福建莆田第一中学·月考)（多选题）伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯 努利用来描述他所发现的曲线.2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正 视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系0y中，把到定点F(-a0、F(a,0距离之积等于(a>0的点 的轨迹称为双纽线C.已知点P是双纽线C上一点，下列说法正确的有() 6/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FIFA WORLD CUP Qat ar2022 A.双纽线C既关于x轴对称，也关于y轴对称 B.AFP5面积的最大值为) C.双纽线C上满足P=PP的点P有两个 D.PO的最大值为5a 二、多选题 3.(23-24高二上·重庆南开中学校·期中)如图，F为抛物 C:y2=2p(p>0的焦点，0为坐标原点，过y 轴左侧一点P作抛物线C的两条切线，切点为A、B,PA、PB分别交y轴于M、N两点，则下列结论一定 正确的是() M B A.∠APB+∠MFN=180° B.∠AFB+∠APB=180° OMFA OMMA C.IONFB D.IONMPI 4.(23-24高二上·重庆第八中学校期中)已知抛物线 C:y=2prp>0的焦点坐标FL0,圆 E:r-+广=1，直线y=x-)与C交于A,B两点，与E交于M,N两点(A,M在第一象限)，0 7/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 为坐标原点，则下列说法中正确的是() A.0A.0B=0 B.若MB=4N,则k=山 C.OM.ON >04.OB D.4M -BN]=1 5.(2223高二上重庆第一中学校期末)已知抛物线C:=8y的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相 交于A,B两点，下列结论正确的是（) B.若E2,3列，则+F的最小值为4 C.以线段4B为直径的圆与直线”-2相切 D.若F=3F历，则直线B的斜率为1 6.(24-25高二上重庆两江星辰国际学校)抛物线C:少=4“的焦点为，点B,过点F的直线L交C于4，B △OAB 两点，P为准线上一点，O为坐标原点，记 的面积为，则下列说法正确的是() 11 -=1 A.aOAP为等边三角形时，点A的横坐标为3B.|AF|'|BF S2 =1 C.S≤2W2 D.AB 7.(24-25高二上重庆第十八中学)抛物线”=4r有 4r焦点为F,顶点为O,过F的直线交抛物线于 A,H,B(,两点，分别过A,B作准线的垂线，垂足分别为4，B，下列说法正确的是() A.七x,为定值 B.ZAFB> 1,11 C.A,O,B三点共线 D.AF BF2 8/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 8.24-25高二上重庆鲁能巴蜀中学校、育才中学校)直线x-m-2=0m∈R)与x轴的交点P为 抛物线 C:y2=2x(p>0) 的焦点，若点0为坐标原点，1与C交于AB两点.则() 4. p=8 B. 0A.OB=-12 C.AOAB重心横坐标的最小值为3 D. 以线段AB为直径的圆被y轴截得的弦长为定值 考点05 抛物线中的解答题 一、解答题 1.(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方式讨论其 焦点与准线，举例如下：二次丽数+1的图象可以由的图家滑向显石=0)平移得到：地物 线y=4、即r=4y的焦点坐标为0,1)，准线方程为y=-1:故二次函数y=4r+1的焦点坐标为0,2)， 准线方程为y=0 ()求二次函数y=4x-x+1的焦点F的坐标和准线方程： ②证明：二次函数y=子2-x+1上任意一点到焦点F的距离和到雅线的距离相等。 4 (3)已知点Q(4,1,过点P4,2)的直线，与抛物线y=4r-x+1相交于AB两点，过点B作，轴的垂线与直 线40相交于M点证明：点M在定直线”-”-4=0 2.(2425高二上重庆南开中学校期中)已知F(1,0,动点P到点F的距离比到直线1：x=-2的距离小1.记 动点P的轨迹为E. (1)求E的方程： 9/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2)设712,0 过点P作E的切线，与直线1交于点K,直线PT与1交于点M,与抛物线交于另一点Q. ()证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值： 11 (i)设S,=SAPKM,S,=S△w,求S,S,的最大值. x2,y2 3.2324高二上重庆巴蜀中学期中)已知抛物线C:广=2(p>0)与椭圆5+4有公共的焦点 (1)求抛物线C的方程； 2过(-3，-2)的直线'交抛物线C于A,B两点，试问在抛物线C上是否存在定点P,使得直线PA,PB 的斜率存在且非零时，满足两直线的斜率之积为1，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 4.(24-25高二上·重庆荣昌中学校月考)已知抛物线C”=2px(p>0 的焦点为F,P是抛物线C上一点， O为原点，当PF=4时，∠0FP=120,过F的直线交C于4，B两点，过F与'垂直的直线交C于D,E 两点，其中B,D在x轴上方，M,N分别为AB,DE的中点. (1)求抛物线C的标准方程 (2)证明：直线MW过定点： (3)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMW面积的最小值. 5.(24-25高二上重庆第八中学校月考)已知点F为抛物线C:y=2p(p>0) 的焦点，点 x2)在抛物线 C上，且AF=2 (1)求抛物线C的方程； ②诺直线，与抛物线c交于M,N两点，设直线M.N的斜率分别为5么，且6=，求证：直线，过 定点 6.24-25高二上重庆巴川中学)已知F为抛物线C:少=2xp>0的焦点，0为坐标原点，过焦点F作 一条直线交C于AB两点，抛物线上一点M横坐标为3，满足M=4 10/11 专题06 抛物线 5大高频考点概览 考点01 抛物线的定义及方程 考点02 双曲线的中点弦问题 考点03 双曲线的离心率问题 考点04双曲线中的综合问题 考点05双曲线中的解答题 地 城 考点01 抛物线的定义及方程 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知正方体中，为平面上一动点，若到的距离与到的距离相等，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】若，根据正方体结构特征，化为到点距离与的距离相等，结合抛物线定义确定轨迹. 【详解】因为平面，平面， ，又，，平面， 所以平面， 若，显然面， 由为平面上一动点，平面， 所以， 因为到的距离与到的距离相等， 所以到点距离与的距离相等， 结合抛物线定义，轨迹是在平面内，以为焦点，为准线的抛物线. 故选：D    2．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线定义求. 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 3．(23-24高二下·浙江衢温51联盟·期中)抛物线的焦点到其准线的距离为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用焦点到准线的距离为，即可求解 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为， 所以由抛物线可得，则焦点到其准线的距离为2. 故选：C 4．(23-24高二上·重庆第八中学校·期中)若曲线C上存在点M，使M到平面内两点距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知M的轨迹为：，即与其有交点的曲线都是“好曲线”，结合图形即可判断不是“好曲线”的曲线. 【详解】由题意知：M平面内两点，距离之差的绝对值为8， 由双曲线定义知：M的轨迹以为焦点的双曲线且， 即轨迹方程为：， 可知：“好曲线”一定与有交点，结合各选项方程的曲线知：    所以不是“好曲线”的是. 故选：B. 5．(22-23高二下·重庆南开（融侨）中学校·期中)为坐标原点，过点作直线的垂线，交抛物线于，两点，为线段的中点，若是等腰直角三角形，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】求出l的方程，联立抛物线方程，求得弦中点的坐标，根据是等腰直角三角形，可得，列方程可求得答案. 【详解】由题意可知的斜率为，则l的斜率为， 故l的方程为，即， 联立，可得， 设，则， 则， 为线段的中点，故，即， 因为是等腰直角三角形，而, 故,即， 解得或（舍去）， 使得， 故选：C 6．(23-24高二上·重庆第十八中学·)已知为坐标原点，抛物线（）的焦点为，抛物线上的点满足，的面积为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦半径公式可得，再根据的面积为可得，进而可得准线方程. 【详解】设，由可得，解得，故，解得，故. 又，故，解得. 故抛物线的准线方程为. 故选：B 二、填空题 7．(24-25高二上·重庆清华中学校·期中)若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是 ． 【答案】5 【分析】根据抛物线的定义可求得结果. 【详解】根据抛物线的形式可得，中，则， 所以准线方程为，焦点坐标为， 根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 因为点到焦点的距离为9，所以点到准线的距离为9， 设点的横坐标为，则，解得， 所以点到轴的距离是5， 故答案为：5. 8．已知抛物线C：，则抛物线C的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】吧抛物线方程化成标准方程，再求焦点坐标. 【详解】由得：，其焦点坐标为：. 故答案为： 地 城 考点02 抛物线的弦长问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆第一中学校·期中)过抛物线焦点的直线与交于、两点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式结合韦达定理可求得的最小值. 【详解】易知抛物线焦点为， 若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，则，所以，， 由抛物线焦点弦长公式可得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 2．(24-25高二上·重庆铜梁中学、江津中学等七校·月考)已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】设点、， 因为点为线段的中点，则，， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，将这两个等式作差可得， 即，所以，直线的斜率为. 故选：D. 二、多选题 3．(23-24高二上·重庆巴蜀中学·期中)设是坐标原点，直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B西点，是以为底边的等腰三角形，是抛物线C的准线，则（    ） A．以直径的圆与准线相切 B． C． D．的面积是 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义及直线与圆的位置关系判断A；由条件求得的坐标，利用斜率公式判断B；根据向量的坐标运算判断C；根据三角形面积公式求解判断D. 【详解】直线与轴的交点为，即焦点， 则，故抛物线C的方程， 设，由题意可知点在第四象限，点在第一象限， 设的中点，过作，垂足为， 过作，垂足为，过作，垂足为， 则， 则以直径的圆与准线相切，故A正确； ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，得， 联立，得， 易知，则，则，得， ，故B错误； ∵，∴，故C正确； 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 4．(24-25高二上·重庆第十八中学·)抛物线焦点为，顶点为，过的直线交抛物线于两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B． C．三点共线 D． 【答案】AC 【分析】先确定F坐标，设l方程，联立方程利用韦达定理可判定A，利用平面向量的数量积可判定B，利用两点斜率公式可判定C，利用抛物线的定义结合A的结论可判定D. 【详解】易知，准线方程，不妨设， 与抛物线方程联立有，所以， 而，故A正确； 易知，则， 显然，即，故B错误； 易知，显然，即三点共线，故C正确； 由抛物线定义可知， 由上知，所以，故D错误. 故选：AC. 5．(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)过抛物线焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），过分别向的准线作垂线，垂足分别为，若与的面积之比为9，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线的斜率为 C． D．的面积为 【答案】BCD 【分析】由抛物线的定义可得，然后由可得，即可判断A选项；设直线AB的方程为，与抛物线联立方程组，根据韦达定理可得，，然后求出即可判断B选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断C选项；通过计算的面积即可判断D选项. 【详解】由抛物线的定义可得 因为，， 又因为与的面积之比为9，即， 所以，即，故A错误； 由题意得 ，设直线AB的方程为，， 联立，消去得， 所以，， 所以，， 因为与的面积之比为9， 即， 因为，所以，所以， 又因为，所以，， 由，可得，即， 所以直线AB的斜率为，故B正确； 而， 所以，故C正确； 的面积为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】 6．(24-25高二上·重庆部分学校·)已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示：    过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 7．(24-25高二上·重庆第一中学校·期中)已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程可得，，然后得到，再根据为定值列方程，解方程即可. 【详解】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立得， 设、，则，， ，同理可得， 所以， 因为为定值，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 地 城 考点03 抛物线的最值范围问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（    ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据条件设出直线，联立直线和抛物线方程并消元，得到，有直线间的距离，结合条件近一步计算即可. 【详解】设；由题意：直线与之间的距离； 因为，设直线，与联立，整理得：； 由韦达定理：，， 则； 故时，. 故选：A. 2．(23-24高二上·重庆巴蜀中学·期中)已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线定义将转化为，继而数形结合，根据线段和的几何意义求得的最小值，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线C：上一点，则， 又，故在抛物线C：的外部， 则， 因为抛物线C：的焦点为，准线方程为，则， 故， 由于，当三点共线（P在之间）时， 取到最小值, 则的最小值为， 故选：B 3．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点的反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知抛物线，在抛物线内平行于x轴的光线射向抛物线C，交抛物线C于点P（不为原点），过点P作C的切线l，过坐标原点O作，垂足为Q，反射光线与直线OQ交于点T，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知，结合图形的性质推得，的轨迹为以F为圆心，以1为半径的圆.求出，即可得出答案. 【详解】由抛物线的光学性质可知，反射光线必经过抛物线的焦点， 设P处的切线与x轴交于N点，如图取点. 由可得，. 根据对称性可知，. 所以，. ， ，， . 而， ，即， ， 的轨迹为以F为圆心，以1为半径的圆. 因为， 所以． 故选：B. 4．(22-23高二下·重庆第八中学校·期中)已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】 根据抛物线的定义，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】抛物线的焦点，直线为抛物线的准线， 则抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值， 如下图，，当共线且时最小， 即距离和的最小值为F到直线的距离， 故选：A 5．(24-25高二上·重庆第十八中学·)已知抛物线的焦点为为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】作出图形，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，利用抛物线的定义可知，分析可知，当且仅当为线段分别与圆A､抛物线的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】根据已知得到，圆， 所以，圆A的半径为1， 抛物线的准线为，过点作，垂足为点，则， 由抛物线的定义可得， 所以， . 当且仅当为线段分别与圆A､抛物线的交点时，两个等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：B. 二、填空题 6．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为为抛物线上一动点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据抛物线的定义得，两点间的距离公式得，进而表示出，利用函数的性质求值域即可. 【详解】 由题意：； 设，由抛物线定义：，； 当时，； 当时， ， 因为，所以，当且仅当时，等号成立； 因此，有最大值，当时，， 所以； 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 7．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知抛物线，准线为l，过的直线交抛物线于A，B两点，AP垂直l于点P，点C满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，联立抛物线并应用韦达定理得，再结合抛物线定义及已知得，应用基本不等式求最小值. 【详解】由题设，可设，联立抛物线得，， 若且，则，，故， 由抛物线定义知，，， 由，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为.    故答案为： 8．(24-25高二上·重庆第一中学校·月考)已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据直线与圆、圆与圆的位置关系结合抛物线的定义确定C的轨迹，计算即可. 【详解】如图，设圆的半径为，则； 又到的距离为，则到的距离为. 所以C的轨迹是以O为焦点，以为准线的抛物线，顶点为， 则 三、解答题 9．(23-24高二上·重庆第八中学校·期中)已知过抛物线的焦点，斜率为1的直线交抛物线于..，且． (1)求该抛物线的方程； (2)在抛物线C上求一点D，使得点D到直线的距离最短． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先表示出直线l的方程，再联立直线与抛物线方程，消去，列出韦达定理，再根据焦点弦公式计算可得； （2）设，再利用点到直线的距离及二次函数求最小值即可得解. 【详解】（1）如图，    由已知得焦点， ∴直线l的方程为， 联立，消去整理得 设，，则， ，， ∴抛物线C的方程为 （2）设， 则到直线的距离， 当时，，此时， 所以. 地 城 考点04 抛物线的综合运用 一、单选题 1．(23-24高二上·重庆第八中学校·期中)若曲线C上存在点M，使M到平面内两点距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知M的轨迹为：，即与其有交点的曲线都是“好曲线”，结合图形即可判断不是“好曲线”的曲线. 【详解】由题意知：M平面内两点，距离之差的绝对值为8， 由双曲线定义知：M的轨迹以为焦点的双曲线且， 即轨迹方程为：， 可知：“好曲线”一定与有交点，结合各选项方程的曲线知：    所以不是“好曲线”的是. 故选：B. 2．(22-23高二下·福建莆田第一中学·月考)（多选题）伯努利双纽线最早于年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.年卡塔尔世界杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（    ） A．双纽线既关于轴对称，也关于轴对称 B．面积的最大值为 C．双纽线上满足的点有两个 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据双纽线的定义求出曲线方程，利用曲线对称性的定义可判断A选项；根据三角形的面积公式可判断B选项；由题意得，从而可得点在轴上，可判断C选项；由向量的性质结合余弦定理分析判断D选项. 【详解】在双纽线上任取一点，由题意可得， 即，化简可得， 对于A选项，因为点为双纽线上一点，则， 点关于轴的对称点为，则， 所以，点在双纽线上，故双纽线关于轴对称， 同理可知，双纽线关于轴对称，A对； 对于B选项，当时，即当时， 即当或时，， 此时，的面积取得最大值，即，B对； 对于C选项，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即， 所以，得，所以这样的点只有一个，C错； 对于D选项，因为， 所以， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，D对， 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 二、多选题 3．(23-24高二上·重庆南开中学校·期中)如图，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点P作抛物线C的两条切线，切点为A、B，、分别交y轴于M、N两点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求得过点的切线方程，得到，得出和，可判断A正确；当点在准线上，求得，可判定B错误；由，求得，可判定C错误；分别求得和，可判定D正确. 【详解】设抛物线上一点，则， 过点的切线方程为， 联立方程组，整理的， 令，解得，即过抛物线上一点的切线的斜率为， 对于A中，设，则过点的切线方程为， 令，可得，即， 又由抛物线的焦点为，所以， 则，所以，即， 同理可得，则四点共圆，所以，所以A正确； 对于B中，若点在准线上，可直线的方程为， 此时直线过焦点，则，所以，所以B错误； 对于C中，由，，可得，， 若，可得，则， 所以，此时直线过焦点， 设直线，代入抛物线，可得， 设方程的两根为，可得， 即当直线过抛物线焦点时，两交点的纵坐标之积为， 而直线不一定过抛物线的交点，所以C错误； 对于D中，由，可得， 联立方程组，解得，即, 则，所以，所以D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 4．(23-24高二上·重庆第八中学校·期中)已知抛物线的焦点坐标，圆，直线与C交于A，B两点，与E交于M，N两点（A，M在第一象限），O为坐标原点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：将直线方程与抛物线方程联立，消元后利用根与系数的关系，再求出；对于C：由于直线过圆心，则由圆的性质可得，从而可进行判断；对于B，利用弦长公式求出，而，然后由题意列方程可求出的值；对于D：由题意可得，再结合抛物线的性质化简计算即可. 【详解】因为抛物线的焦点坐标，则， 解得，可知抛物线， 对于选项A：设， 联立方程，消去x得， 则，可得， 所以 ， 即，故A错误； 对于选项C：因为直线恒过圆心，则， 可得，所以，故C正确； 对于选项B：因为直线过抛物线的焦点，所以， 因为，，所以，解得，所以B正确； 对于选项D：因为直线过抛物线的焦点， 所以，故D正确； 故选：BCD 5．(22-23高二上·重庆第一中学校·期末)已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．若，则直线的斜率为1 【答案】AC 【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出点A，B的坐标及直线AB方程，再结合各选项的条件分别计算判断作答. 【详解】抛物线：的焦点为，准线，设点， 对于A，显然在抛物线上，则，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号， 当时，，有，因此当时取得最小值5，B不正确； 对于C，，线段AB的中点M纵坐标为， 则，显然点M是以线段为直径的圆的圆心， 点M到直线的距离为，所以圆M与直线相切，C正确； 对于D，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：， 由消去y得：，有， 由得：，于是得，解得，D不正确. 故选：AC 6．(24-25高二上·重庆两江星辰国际学校·)抛物线的焦点为点F，过点F的直线L交C于A，B两点，P为准线上一点，O为坐标原点，记的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．为等边三角形时，点的横坐标为3 B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，可通过反推计算推出矛盾即可判断；对于BCD，设直线方程为：，联立抛物线方程，结合焦半径、弦长公式及点到线的距离公式逐项判断即可. 【详解】    对于A，若的横坐标为3，则纵坐标为，取， 则，则，易得，，故A错误； 对于B，由题意可设直线方程为：，，联立抛物线方程，消去可得： ，所以，， 所以，， 由焦半径公式可知：，故B正确； 对于C：由B知：， O到直线的距离， 所以，取，此时，故C错误； 对于D，由C可知：正确； 故选：BD 7．(24-25高二上·重庆第十八中学·)抛物线焦点为，顶点为，过的直线交抛物线于两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B． C．三点共线 D． 【答案】AC 【分析】先确定F坐标，设l方程，联立方程利用韦达定理可判定A，利用平面向量的数量积可判定B，利用两点斜率公式可判定C，利用抛物线的定义结合A的结论可判定D. 【详解】易知，准线方程，不妨设， 与抛物线方程联立有，所以， 而，故A正确； 易知，则， 显然，即，故B错误； 易知，显然，即三点共线，故C正确； 由抛物线定义可知， 由上知，所以，故D错误. 故选：AC. 8．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校、育才中学校·)直线 与 轴的交点 为抛物线 的焦点，若点 为坐标原点， 与 交于 两点. 则（     ） A． B． C． 重心横坐标的最小值为 D．以线段 为直径的圆被 轴截得的弦长为定值 【答案】BC 【分析】根据直线恒过定点可得，即可判断A；直线方程联立抛物线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示计算即可判断B；由选项B，结合三角形重心的概念计算即可判断C；求出以为直径的圆的方程，进而表示出圆被轴所截的弦长，即可判断D. 【详解】A：易知直线恒过定点，即，所以，解得，故A错误； B：由选项A知抛物线，设， 由，得，所以， 得，所以，故B正确； C：由选项B知的重心的横坐标为， 当且仅当时，等号成立，故C正确； D：设的中点为，则，， 所以以为直径的圆的方程为， 即，设该圆与轴交， 令，得，所以， 所以， 所以以为直径的圆被轴所截的弦长为，不是定值，故D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）． 地 城 考点05 抛物线中的解答题 一、解答题 1．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到；拋物线､即的焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为. (1)求二次函数的焦点的坐标和准线方程； (2)证明：二次函数上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等； (3)已知点，过点的直线与抛物线相交于两点，过点作轴的垂线与直线相交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1)焦点坐标为，. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数平移得出焦点的坐标和准线方程； （2）应用两点间距离公式及点到直线距离计算证明即可； （3）联立直线和抛物线结合韦达定理得出计算即可证明. 【详解】（1）二次函数，它的图象可以由抛物线沿向量平移得到； 抛物线､即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为. （2）设为二次函数上任意一点，则， 故； 而到准线的距离， 故二次函数上任意一点与焦点的距离和到准线的距离相等. （3）显然直线的斜率存在，故设直线， 与联立，整理得：； 设，则由韦达定理：； 直线，故； 故 ，故，即：点在定直线上. 2．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据题设并利用两点距离公式列方程求轨迹方程； （2）（i）由题意有，设直线，联立抛物线并结合相切关系求得，进而有，即可求K坐标，即可证； （ii）由题意得，联立与抛物线，应用韦达定理最值即可. 【详解】（1）设，显然，由题设， 所以，即为动点P的轨迹方程； （2）由题意，可设直线，则， （i）设直线，联立，得， 因为与抛物线相切，所以，则， 所以，令，得， 而，所以，故点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）由题意， 又，当且仅当时等号成立， 联立，得，显然， 所以，，则，， 所以， 综上，，即目标式最大值为，当且仅当时成立. 3．(23-24高二上·重庆巴蜀中学·期中)已知抛物线C：与椭圆有公共的焦点. (1)求抛物线C的方程； (2)过的直线交抛物线C于A，B两点，试问在抛物线C上是否存在定点P，使得直线，的斜率存在且非零时，满足两直线的斜率之积为1，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由题意知抛物线C的焦点为，由此即可得抛物线C的方程； （2）假设存在定点，设，设直线l方程为，与抛物线方程联立，设，由韦达定理得，进而得，由斜率公式计算，结合条件得恒成立，分析可得答案． 【详解】（1）椭圆的焦点为， 由题意知抛物线C：的焦点为， 则，故抛物线C的方程为． （2）假设存在定点，设， 设直线l方程为，即， 联立，整理得， 由，解得，且， 设，则， ， ， 则， ∴，即， 则恒成立， 所以且，解得， 则存在满足题意． 4．(24-25高二上·重庆荣昌中学校·月考)已知抛物线C:的焦点为，P是抛物线C上一点，O为原点，当时，，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点． (1)求抛物线C的标准方程 (2)证明：直线过定点； (3)设为直线与直线的交点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)8 【分析】（1）根据抛物线的定义，抛物线上一点到焦点的距离等于到准线的距离，结合已知条件求出的值，从而得到抛物线的标准方程. （2）先设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出、两点的坐标关系，进而得到点坐标，同理求出点坐标，再求出直线的方程，分析其是否过定点. （3）设出直线与直线的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点的横坐标恒为，再结合面积公式及基本不等式即可得.我们也可以利用面积得到，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】（1）已知抛物线的焦点为，准线方程为. 因为，根据抛物线的定义，点到准线的距离等， 设，则.过作轴于， 因为，则. 在中，，. 又因为，所以. 把代入，得，解得. 所以抛物线的标准方程为. （2）由，故，由直线与直线垂直，故两直线斜率都存在且不为， 设直线、分别为、，有， 、、、， 联立与直线，即有， 消去可得，，故、， 则，故，， 即，同理可得， 当时，则， 即 ， 由，即，故时，有， 此时过定点，且该定点为， 当时，即时，由，即时， 有，亦过定点， 故直线过定点，且该定点为； （3）由、、、， 则，由、， 故， 同理可得，联立两直线，即， 有， 即， 有，由，同理， 故， 故， 过点作轴，交直线于点，则， 由、， 故， 当且仅当时，等号成立， 下证： 由抛物线的对称性，不妨设，则， 当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方， 有，由直线过定点， 此时， 同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方， 有，故此时， 当且仅当时，， 故恒成立，且时，等号成立， 故， 【点睛】方法点睛：求定点问题常见的两种方法： （1）从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点. 5．(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)直线l过定点，证明见解析. 【分析】（1）根据焦半径公式结合题设条件可得关于的方程组，求出解后可得抛物线方程； （2）设，，则可用坐标表示直线，根据可得，由此可证直线l过定点. 【详解】（1）由题意得：，解得，所以抛物线C的方程为. （2）由（1）得，设，， 则， 则，直线l的方程为， 则， 所以直线l过定点. 6．(24-25高二上·重庆巴川中学·)已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于两点，抛物线上一点横坐标为3，满足. (1)求抛物线的方程； (2)试问在准线上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)存在，或 (3)证明见详解 【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式即可得解； （2）设的方程为，联立直线和抛物线方程，将题干斜率条件用坐标表达，结合韦达定理求解； （3）表示出直线AP与BQ的方程，得到交点坐标，结合（2）中的韦达定理求解. 【详解】（1）因为为抛物线的焦点， 又抛物线上一点横坐标为3，满足， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2）设的方程为， 由题意得，，即， 可得，通分可得， 联立和抛物线，得到， 由，代入可得， 整理可得，解得或， 故满足题意. （3）由题意，， 则直线：，直线：， 两直线方程相减得到：， 由（2）知，，于是， 即，即，即， 于是，则， 即直线与的交点在一条定直线上. 7．(24-25高二上·重庆铜梁中学、江津中学等七校·月考)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用抛物线的定义可求出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）根据题意，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 由抛物线的定义可得，解得， 因此，抛物线的方程为. （2）若直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 故可设直线的方程为，设点、， 由，整理得，则， 由韦达定理可得，， 因为，， 所以， 即，即， 即，解得， 因此，直线的方程为，即. 8．(24-25高二上·重庆第一中学校·月考)在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. (1)求拋物线的方程； (2)如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）记准线与轴交于点，在中，求出焦准距，即可求解抛物线方程. （2）设，联立抛物线方程，韦达定理，根据倾斜角互补即斜率之和为0，化简求得，即可得解. 【详解】（1）如图，记准线与轴交于点，在中，， 所以. 故抛物线. （2）因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率， 设， 由且， 因为位于轴同侧，所以，则， 由得，所以， 又点，直线和的倾斜角互补，所以， 所以，所以， 即，解得， 所以直线恒过定点. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $