专题05 双曲线（人教版）（期中真题汇编，重庆专用）高二数学上学期人教A版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05双曲线 ☆5大高频考点概览 考点01双曲线的定义及方程 考点02双曲线的中点弦问题 考点03双曲线的离心率问题 考点04双曲线中的综合问题 考点05双曲线中的解答题 目目 考点01 双曲线的定义及方程 一、单选题 1.(2425高二上重庆部分学校)已知方程 =1表示双曲线，则m的取值范围是() m+23-m A.（3,+0】 B.（-2,3) C.-0,-2 D.（-0,-2)U(3,+o0 2.(2425高二上重庆巴川中学)双曲线女-上=1的渐近线方程为(） 45 A.y= -0 2 B.y= 2V3 3 C.少=t D.y=±25 3.(24-25高二上重庆铜梁中学、江津中学等七校月考)已知双曲线C的虚轴长为2，一个焦点为17,0)， 则C的渐近线方程为() 1 A.y=±x B.y=+213 C.y=±4x D.y=± -x 4 13 2 4.(24-25高二上·重庆第一中学校·月考)已知点A(-1,0),B(1,0),动点P(x,y)满足PA-PB=1,则动点P的 轨迹是() A.射线 B.线段 C.双曲线的一支 D.双曲线 二、多选题 5.(24-25高二上·重庆第一中学校期中已知曲线C:mx2+y2=mn,则下列说法正确的是（) A.若m>n>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=3n>0,则C是椭圆，其离心率为2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.若n>0>m,则C是双曲线，其焦点在y轴上D.若m=-2n<0,则C是双曲线，其离心率为√5 6.(2425高二上重庆杨家坪中学月考)已知动点P在左、右焦点分别为F、E的双曲线C:x-上=1上， 3 下列结论正确的是() A.双曲线C的离心率为2 B.当P在双曲线左支时， F的最大值为 C.点P到两渐近线距离之积为定值 D.双曲线C的海近线方程为)y=±5 7.(2425高二上重庆第八中学校月考)已知双曲线C:-上=1的左，右焦点分别为F,5,0为坐标原点 42 过F的直线I交双曲线C的右支于P,Q两点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于A,B两点，点A、P均在第 一象限，则() A.当1垂直于x轴时，AB=2V5 B.0A.OB的最小值为6 C,点P到两条渐近线的距离之积为 3 D.0A+0B=0P+0g 8.(2425高二上重庆第八中学校月考)曲线C:亡- =1,下列结论正确的有（) 2+k2-k A.若曲线C表示椭圆，则k>2 B.若曲线C表示双曲线，则c=2 C.若k=1,则渐近线为y=±V3x D.若k=3,则短轴长为2 三、填空题 9.(24-25高二上·重庆南坪中学校期中)如图一直角三角形ABC的勾“股”分别为6,8，以AB所在的直线 为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A,B为焦点，且过点C的双曲线方程为 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 10.(24-25高二上重庆南开中学校期中已知直线1过点(1,3)，并且与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共 点，写出满足条件的1的一个方程 。2425声三上庆礼嘉学期如图，椭圆了1和双曲线号>=1的公共焦点分别为，￡3 十 62 A是椭圆与双曲线的一个交点，则AF:AF,= 12.(23-24高二上·重庆育才中学校期中)张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有 四位同学分别给出了一个结论： 甲：该双曲线的实轴长为6 乙：该双曲线的虚轴长为8 丙：该双曲线的焦距长为5 4 丁：该双曲线的一条渐近线可以为y=一x 3 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是」 13.(2425高二上重庆荣昌中学校月考若椭圆+上=1(a>0)与双曲线 15y=1的焦点相同，则a 的值为 目目 考点02 双曲线的中点弦问题 一、单选题 1.2425高二上重庆巴蜀中学校期中)已知双曲线C:-二-1川a>0,过左焦点F的直线1与双曲线交 a2-4 于A,B两点若存在4条直线I满足AB=8,则实数a的取值范围是() A.(1,16) B.(1,8 C.(1,4) D.(1,2 2.(2425高上重庆松网桥中学校月考)己知双曲线C:。-5=1,a>0,b>0)与直线y=2x+1相交于 A,B两点，若弦AB的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为() A.y=±√6xB.y=t6x C.y=±二x 6 D.y=+v6 6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.2425高三上重庆消华中学校期中已双曲线C:若-a>06>0,过点P叶-40的直线与双南 线C交于A,B两点，若线段AB的中点是M(2,6),则双曲线E的离心率为() A.2V5 B.√2 C.2 D.3 4.2425高=上肤务中学转月考垢点金7锥上倒双直线E与双袋C荐茶=>06>0有相同 的渐近线，过点P(-5,0)的直线与双曲线C交于A,B两点，若线段AB的中点是M(3,8),则双曲线E的离 心率为() A.5 B. 3 C.33 D.V22 3 4 5Q324商三上庆第十人中学期表尼和双线C:号芳-a>0>0与线y=2x+1相交于A、分 两点，若弦AB的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为() A.y=±V6x B.y=±6x C.y=±x D.y= -x 6 6 二、多选题 。,2324商上重庆自才中校期中已双曲线。-Q>0,6>0的离心影为V2,该双曲线的海 近线与圆(x-2+--空交于A、B两点，则4B的可能取值为《) A.4 B.4W2 C.45 D.8 7.(2324高二上重庆期末)已知点M,V是双曲线C:×-上=1上不同的两点，则() 49 A,当M,N分别位于双曲线的两支时，直线MN的斜率k22 33 B.当M,N均位于双曲线的右支上时，直线MN的斜率k22 33 C.线段MN的中点可能是(2,2) D.线段MN的中点可能是(L,2) 三、填空题 8.23-24高二上重庆巴蜀中学期中双曲线E:号-二=1，过P(4,1>0)作直线1交双曲线于4，B两 412 点，若不存在直线1使得P是线段AB的中点，则t的取值范围是 9.(23-24高二上重庆有才中学校期中)已知直线1与双曲线-上-1交于A、B两点，若弦4B的中点为 45 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (-12,-15,则直线1的方程为 目目 考点03 双曲线的离心率问题 一、 单选题 1.2425高二上重伏到深中学、江津中学等七校月考若Fe,0)是双曲线号茶=a>0b>0)的右焦点， 过F作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A,B两点(A为垂足，F在线段AB上)，且满足 |BF=8|AFI,则该双曲线的离心率e=() B. C.5 4 D3 2.2425高二上重庆部分学校)已知耳，5是椭圆￡+公=1和双曲线二 =1的公共焦点，M是该椭 a2'b2 圆和双曲线的一个公共点，K=25,W的外接圆半径为2，且0<∠FM<受，记据圆的离心率为 e,双曲线的离心率为e,则下列说法正确的是() A.a-b2=a:-b2 B.3b2=b2 C.3e+e;=4eie; D.e+3e的最小值为4 3.2425高三上伏巴器时学校期钓已如双曲线号若-a>力>0偏消条新近线之同的夹角个于胥 则双曲线的离心率的取值范围是() A.(1,2 C.(2,+∞) D 3 (2,+∞ 4Q425高床嘉学期双曲线名红>0,6>0过点22，，且店 艾+二-1有相同的顶点，则该双曲线的离心率为（） 43 A.√5 B. √5 C.25 D.2 2 J 5.(24-25高二上·重庆第一中学校月考)已知F,F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 PR>PR,线段PS的中垂线经过E记椭圆的离心率为？，双曲线的离心率为6，则二+4e,的取值范围是 e () A.6,+0】 B.(7,+0） C.(6,7 D.5,+o0 / 面学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 。2425商盒E德在少肉双面线E与双面骏C子0>Q6>0有相同 的渐近线，过点P(-5,O)的直线与双曲线C交于A,B两点，若线段AB的中点是M(3,8),则双曲线E的离 心率为() A.√5 c.V33 D.V22 3 4 72324商二下重庆拔尖强整联墅友图，已知，乃是双曲线C号茶-川口>6>01的左、右焦点， P、Q为双曲线C上两点，满足FQ=3F,P,且F,P=F,Q，则双曲线C的离心率为() ○ F F, A.10 B.5 c.15 D.10 2 3 5 8②324商上里肤九龙技汉已知点片，店分别是效曲战C号云-〔口>0>0的无、右气点，过作 斜率为三的直线1与双曲线的左、右两支分别交于M,N两点，且F,N=F,M,则双曲线的离心率为() 3 A.5 B. 3V2 C. D.5 2 2 二、多选题 9245商三上庆南开中学夜期中图所示，桶图E荐+后-川口>6>0，双曲线 司家a>04>0,双曲线马苦否-%>06>0三条曲线行相铜的气点5.万且4<a。 :y P,Q分别为椭圆E与双曲线E,E,的交点.∠FPB,=2,三条曲线的离心率分别为，G,6,则(） 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.e<e2 B.曲线E和E,在点Q处的切线互相垂直 c.1 D.若∠FQ5=, ,则S△P。SP21V3 SAPEF: 3 三、填空题 ·®425高上重庆部分学校已知双曲线C:二-1与动直线=mmR相交于点M,N, 存在m,使得△OMN(O为坐标原点)为等边三角形，则双曲线C的离心率的取值范围为 1.2425商三上重肤第人中学校月考已氛点F分别为双情线C若茶-1a>06>0的省反点和右 焦点，记点F到渐近线的距离为d,若d=√2AF,则双曲线C的离心率为 12②24商=下庆杨家平刊学月考已如双曲线C:号-若=a>0>0)的左、右货点分别为F, 点A在C上，点B在y轴上，F1FB,BA=-2FB,则的值为 3 图23-24商下肤第=中学校月考已知椭图C。+a>6>0)的左、右焦点分别为，人，以 F,F为直径的圆过椭圆的上顶点M,双曲线C,和椭圆C有相同的焦点，P为曲线C与C,的一个公共点， 亚？，则曲线G与℃，的离心率的乘积为 14.(23-24高二下·重庆第八中学校)己知圆C:x2+y2-6x+5=0与中心在原点、焦点在x轴上的双曲线D的一 条渐近线相切，则双曲线D的离心率为 15.(23-24高二上重庆部分学校调研)已知F、F分别是双曲线C:-y ‘a24 =1a≠0)的左、右焦点，P是双 曲线C上的一点，且PF=3PF,=15,双曲线的离心率是_ 目目 考点04 双曲线的综合运用 一、单选题 1.(24-25高二上重庆鲁能巴蜀中学校期中)如图，已知双曲线C:x2_上=1的左、右焦点分别为F,F,过 3 F的直线1与C的左、右支分别交于P、Q,△PFF的内切圆半径为1，△PQE的内切圆半径为5，则上的取 值范围为() / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F A.(a) c6 D. 2.(24-25高二上重庆南开中学校期中)已知P为双曲线-少=1上一动点，过原点的直线1交双曲线于A 612 ,B两点，其中A3,V6,则PA.PB的最小值为() A.-6 B.-9 C.-12 D.-15 3.2425商二上重庆有开中学校期中已知双面线-号=1的左顶点和右熊京分别为4，R、0为坐际原 点，经过点A的直线1与双曲线的两条渐近线交于点M,N,设M,N的中点为P,满足OP=PF,则直 线1的斜率为() A.±6 B.±V6 2 3 C.3 2 D.3 3 二、多选题 4.(2425高二上·重庆第一中学校·期中)双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双 曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得：过双曲线上任意一点的切线平 点与两焦点连线的夹角.已知0为坐标原点，，分别为双曲线C:、一y尸=1的左、有焦点， 支上一点A(xx>V3作双曲线的切线交x轴于点P(x,0),则() A.0<x。<V5 B.平面上点B(4,1),AF,+AB的最小值为√37-2√5 C.若经过左焦点5的入射光线经过点4，且，=5，则入射光线与反射光线的夹角为 2 D.过点F作FH⊥AP,垂足为H,则OH=V3 5.2425高二上重庆鲁能巴器中学夜期中已知双曲线C:号芳=16>0)的左，右焦点分别为6-e0、 F,c,O),直线y=-2x-c与双曲线C右支相交于A、B(其中A在一象限)，若AF=AB,则列说法正 确的是（) 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.c0s∠FF,B=-5 B.b=3 C.a-55 D.△ABF的面积为15 2 6.24,25高二上重庆南开中学校期中图，，5为双曲线C:-片-1〔b>0)的左右怎点，，么为 该双曲线的两条渐近线，F到一条渐近线的距离为2，过F的直线与双曲线左右两支分别交于点M,N, ∠FMR,=于则下列说法正确的是（) y A.b=2 B.FM =2 C.△FMN的内切圆半径是 D.m∠MNG- 7.(23-24高二上·重庆育才中学校期中)如图，在圆锥P0中，己知高P0=2.底面圆的半径为2，M为母线 PB的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则下面四个命 题中正确的有() M A.圆锥的体积为4V2π B.圆的面积为刀 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.椭圆的长轴长为√10 D。双曲线两渐近线的夹角 8.(23-24高二上·重庆有才中学校期中)已知双曲线- a2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为√2，该双曲线的渐 近线与圆(x-22+(y-12=2 交于A、B两点，则AB的可能取值为() A.4 B.42 C.4V5 D.8 9.(23-24高二上重庆南开中学校期中)已知双曲线C:。_ =1的左、右焦点分别为E、F,过F向C 916 的一条渐近线作垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N,则下列说法正确的是() A.M为线段NF的中点 B.点M在直线x=9上 5 C.MF·MF,=-16 D.M=2W13 10.(23-24高二上·重庆第十一中学校·期中)随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文 观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光 线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的 已R,E分别为双曲线CY的左，石焦点，过C石支上一点4，火>2)作直线区 于M4,0,交y轴于点N,则() x。 个，C的海近线方程为y=±》 B.过点E作FH⊥AM,垂足为H,则OH=2 C.点N的坐标为0， D. 四边形AF,NF,面积的最小值为2√5 目目 考点05 双曲线中的解答题 一、解答题 1.2425商二上重庆巴置中学校期中已知双曲线C:若茶-1a>06>0的左顶减为4-1,01，东.有 焦点分别为F、F2,过E的直线I与双曲线的右支交于PQ两点.当PF=AF,时，PF⊥AF, (1)求双曲线C的标准方程； (②)若三角形APQ的面积为号V0,求直线I的方程： 专题05 双曲线 5大高频考点概览 考点01 双曲线的定义及方程 考点02 双曲线的中点弦问题 考点03 双曲线的离心率问题 考点04双曲线中的综合问题 考点05双曲线中的解答题 地 城 考点01 双曲线的定义及方程 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆部分学校·)已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线标准方程的形式，得到不等式，得到的取值范围. 【详解】对于方程表示双曲线，则， 解得 或. 故选：D. 2．(24-25高二上·重庆巴川中学·)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程求出a和b的值，进而求解渐近线方程 【详解】已知双曲线方程为，可得，， 因此，； 根据渐近线方程的公式得到. 故选：C. 3．(24-25高二上·重庆铜梁中学、江津中学等七校·月考)已知双曲线的虚轴长为，一个焦点为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出、的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为， 由题意可得，解得， 故双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 4．(24-25高二上·重庆第一中学校·月考)已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 【答案】C 【分析】根据题意，计算A，B之间的距离，比较可得，由双曲线的定义分析可得答案. 【详解】根据题意，点，则， 若动点P满足，且， 则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支， 故选：C. 二、多选题 5．(24-25高二上·重庆第一中学校·期中)已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是椭圆，其离心率为 C．若，则C是双曲线，其焦点在y轴上 D．若，则C是双曲线，其离心率为 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线的位置特征及离心率求解判断得解. 【详解】对于A，，方程是椭圆，其焦点在y轴上，A正确； 对于B，，方程是椭圆，其离心率，B错误； 对于C，，方程是双曲线，其焦点在x轴上，C错误； 对于D，，方程是双曲线，其离心率为，D正确. 故选：AD 6．(24-25高二上·重庆杨家坪中学·月考)已知动点在左、右焦点分别为、的双曲线上，下列结论正确的是（    ） A．双曲线的离心率为2 B．当在双曲线左支时，的最大值为 C．点到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】ABC 【分析】先利用双曲线方程得到对应的，直接求得离心率和渐近线方程，判断AD的正误，设，知，结合点到直线的距离公式直接计算点到两渐近线距离之积得到定值判断C正确；利用双曲线定义将转化成关于的关系式，再利用基本不等式即求得最值，判断选项B的正误. 【详解】在双曲线中，实半轴长，虚半轴长，半焦距 对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误； 对于B，当在双曲线的左支上时，，，故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B正确； 对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确. 故选：ABC. 7．(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点.过的直线交双曲线的右支于两点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，点均在第一象限，则（    ） A．当垂直于轴时， B．的最小值为6 C．点到两条渐近线的距离之积为 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，求出的纵坐标后可判断其正误；对于BD，可联立直线与双曲线方程（或渐近线方程）后结合韦达定理可判断它们的正误；对于C，求出点到两条渐近线的距离之积后可判断其正误. 【详解】    对于A，当垂直于轴时，，故， 故此时，故A正确； 对于C，设，而渐近线方程为， 故点到两条渐近线的距离之积为： ， 故C正确， 对于BD，因右焦点坐标为， 故可设，， 由可得，， 而，又，故， 此时，因， 故，当且仅当等号成立，故的最小值为3， 故B错误； 设，由可得， 故，而，故， 故，故，故D正确， 故选：ACD. 8．(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)曲线，下列结论正确的有（    ） A．若曲线表示椭圆，则 B．若曲线表示双曲线，则 C．若，则渐近线为 D．若，则短轴长为2 【答案】ABD 【分析】由椭圆、双曲线方程的结构特点逐个判断即可. 【详解】对于A，若曲线表示椭圆，则：，解得：，正确； 对于B, 若曲线表示双曲线，则，得，，所以，正确； 对于C，若，则，则渐近线方程为：，错误； 对于D，若，则，则，正确； 故选：ABD 三、填空题 9．(24-25高二上·重庆南坪中学校·期中)如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6，8，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以，为焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义和性质计算即可. 【详解】 设双曲线的方程为， 由题意得，则， ，则，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 10．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知直线过点，并且与双曲线有且只有一个公共点，写出满足条件的的一个方程 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行于双曲线渐近线的直线与双曲线的交点情况写出一条符合题设的直线即可. 【详解】由平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，又双曲线渐近线为， 所以，其中一条符合要求的直线为，即. 故答案为：（答案不唯一） 11．(24-25高二上·重庆礼嘉中学·期中)如图，椭圆和双曲线的公共焦点分别为，是椭圆与双曲线的一个交点，则 . 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义得到的方程组，由此可求，则的结果可知. 【详解】由椭圆定义可知：，由双曲线定义可知：， 解得，所以， 故答案为：. 12．(23-24高二上·重庆育才中学校·期中)张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有四位同学分别给出了一个结论： 甲：该双曲线的实轴长为6 乙：该双曲线的虚轴长为8 丙：该双曲线的焦距长为5 丁：该双曲线的一条渐近线可以为 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是 . 【答案】丙 【分析】根据双曲线方程中的大小关系，判断并验证即可. 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，有，即有， 显然甲乙丙3人的结论中至少有两个正确，由于焦距比实轴、虚轴都长，因此丙的结论是错误的， 此时，则该双曲线的一条渐近线可以为，丁的结论也正确，符合题意， 所以结论错误的同学是丙. 故答案为：丙 13．(24-25高二上·重庆荣昌中学校·月考)若椭圆（）与双曲线的焦点相同，则的值为 ． 【答案】5 【分析】求出双曲线的焦点坐标，再根据题意即可得解. 【详解】双曲线的焦点为， 因为椭圆（）与双曲线的焦点相同， 所以，解得. 故答案为：5. 地 城 考点02 双曲线的中点弦问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知双曲线，过左焦点的直线与双曲线交于两点.若存在4条直线满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若在同一支上，则的最小值为通径；若在两支上，则的最小值为实轴两顶点的距离，由此列出不等式，求解即可. 【详解】由题意：若在同一支上，则；如果在两支上，则有； 因为存在4条直线满足，所以且，解得， 故选：C. 2．(24-25高二上·重庆松树桥中学校·月考)已知双曲线与直线相交于两点，若弦的中点的横坐标为1，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线得，根据已知结合韦达定理得，可得，即得答案. 【详解】将直线代入双曲线有，则， 由题设，易知，故，则渐近线为. 故选：A 3．(24-25高二上·重庆清华中学校·期中)已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】求出直线方程，代入双曲线方程后应用韦达定理得，利用中点坐标得出的关系式，整理后求得离心率． 【详解】由已知直线的方程为，即， 设， 由得， 则即， 则，， 线段的中点是，则，， 整理得，即， 故选：A. 4．(24-25高二上·重庆第一中学校·月考)焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意利用点差法可得，设双曲线的方程为，结合渐近线可得，即可得离心率. 【详解】设，则，且， 因为，两式相减可得， 整理可得，即，可得， 即双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 5．(23-24高二上·重庆第十八中学·期末)已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法求解. 【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点， 且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3， 设 ，则， 两式相减得 ，则 ， 解得 ，即 ， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：A 二、多选题 6．(23-24高二上·重庆育才中学校·期中)已知双曲线的离心率为，该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】BC 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答. 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 于是该双曲线的渐近线方程为，而圆的圆心为，半径， 点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为， 点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为， 所以的可能取值为. 故选：BC 7．(23-24高二上·重庆·期末)已知点M，N是双曲线上不同的两点，则（    ） A．当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率 B．当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率 C．线段的中点可能是 D．线段的中点可能是 【答案】AD 【分析】由题意先得渐近线斜率，结合直线与双曲线的位置关系即可判断AB，由点差法求直线的斜率，注意验证此时直线是否与双曲线有交点即可. 【详解】双曲线渐近线为，当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN较渐近线更平缓，故， 当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN较渐近线更陡，故，所以A对B错； 记，中点，由M，N是双曲线C上的点，有，两式相减可得，当时，有， 对于C，与双曲线方程联立可知直线MN与方程无交点，故C错； 对于D，，故此时M，N分别位于双曲线的左右两支，故D正确． 故选：AD. 三、填空题 8．(23-24高二上·重庆巴蜀中学·期中)双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的斜率与t之间的关系,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得满足P为线段中点时t的范围,从而即可得结果. 【详解】因为双曲线方程为，设，若点P为线段的中点， 则，又，两式相减并化简可得， 又直线的斜率，即， 设直线l的方程为，联立 , 化简可得 因为直线与双曲线有两个不同的交点， 所以，又， 化简得，即或， 所以不存在直线l使得P是线段中点的t的取值范围为， 故答案为：. 9．(23-24高二上·重庆育才中学校·期中)已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】 利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意， 设点、，因为若弦的中点为，则， 因为，可得，即， 所以，， 因此，直线的方程为，即. 联立可得，， 所以，直线与双曲线有两个交点，合乎题意， 因此，直线的方程为， 故答案为：. 地 城 考点03 双曲线的离心率问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆铜梁中学、江津中学等七校·月考)若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系写出过点F的直线AB的方程，分别联立直线AB与两渐近线的方程求出点A、B的横坐标，由知，从而得，带入、可得a、c的关系式，化简方程即可求得离心率. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为：， 设过点与渐近线垂直的方程为， 由，得， 由，得， 因为，所以，则， 所以，化简得，即， 解得（舍去）或，则. 故选：D 【点睛】与斜率为k的直线垂直的直线斜率为. 2．(24-25高二上·重庆部分学校·)已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为4 【答案】C 【分析】由椭圆与双曲线中参数之间的关系得到，判断A选项；由三角形正弦定理求得角，由椭圆和双曲线定义表示出线段，再用余弦定理求得关系，由三个参数的关系式，判断B选项；由两边同除再化简，判断C选项；用离心率公式代换代数值后利用基本不等式求得最小值，判断D选项. 【详解】∵双曲线，则焦点在轴，则椭圆中， ∵，∴，即，即，故A选项错误； 由正弦定理可知在中，∴， ∵，∴， 由椭圆和双曲线的定义可知：，解得， ∴， 即，∴， ∴，B选项错误； ∵，∴，即，∴，C选项正确； 当且仅当，即时取等号，所以最小值为，D选项错误.    故选：C. 【点睛】方法点睛，本题巧用三角形的正弦定理求出角是关键，然后就是利用椭圆与双曲线的几何性质和参数之间的关系，进行整理化简即可. 3．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，确定渐近线倾斜角的范围，再根据渐近线的斜率的范围表示双曲线的离心率的范围. 【详解】由知；两条渐近线之间的夹角小于，故；故离心率. 故选：B 4．(24-25高二上·重庆礼嘉中学·期中)已知双曲线过点，且与椭圆有相同的顶点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据条件先确定出双曲线的顶点坐标，然后根据所过点求解出的值，由此可求的值，则离心率可求. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以顶点在轴上， 因为椭圆的左右顶点为，所以， 因为双曲线过点，所以，所以， 所以，所以， 故选：B. 5．(24-25高二上·重庆第一中学校·月考)已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到的关系式，根据取值范围分析函数单调性得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限. ∵在的中垂线上， ∴， 由椭圆、双曲线的定义得：， ∴，整理得， ∴，即， ∴， ∴， 令，由定义法可证在为增函数，且， ∵， ∴. 故选：B. 6．(24-25高二上·重庆第一中学校·月考)焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意利用点差法可得，设双曲线的方程为，结合渐近线可得，即可得离心率. 【详解】设，则，且， 因为，两式相减可得， 整理可得，即，可得， 即双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 7．(23-24高二下·重庆拔尖强基联盟·)如图，已知，是双曲线的左、右焦点，、为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解. 【详解】 延长与双曲线交于点，因为，根据对称性可知， 设，则，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：A. 8．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)已知点分别是双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，令，则，由双曲线定义及所给条件可得，得，再结合直线的斜率为，即可求解. 【详解】取的中点，连接，令，则，如图， 因点为双曲线左右两支上的点， 由双曲线定义得，， 则， 令双曲线的半焦距为， 直角中，， 直角中，， 则有，即， 因直线的斜率为，即，即， 于是有，则，解得， 因此双曲线的离心率. 故选：C. 二、多选题 9．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)如图所示，椭圆，双曲线，双曲线.三条曲线有相同的焦点，且，P，Q分别为椭圆E与双曲线，的交点.，三条曲线的离心率分别为e，，，则（    ） A．   B．曲线E和在点Q处的切线互相垂直 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据离心率的定义判断A；根据曲线的切线性质判断B；根据椭圆和双曲线的定义判定C；根据焦点三角形的面积求解即可判断D 【详解】因为三条曲线有相同的焦点，且，所以，故A错； 曲线E在点Q处的切线为的顶角的外角平分线，曲线在点Q处的切线为的顶角的内角角平分线，所以两条切线垂直，故B对； 设，由椭圆和双曲线定义可得， 又， 所以，故C对； 设与交于点H， 则，故D对， 故选：BCD 三、填空题 10．(24-25高二上·重庆部分学校·)已知双曲线：与动直线相交于点，，若存在，使得（为坐标原点）为等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，求出，点坐标，由等边三角形建立方程解得，由方程有解列出不等式，然后由离心率公式得到代数式， 得到范围. 【详解】令，则， 即， 为等边三角形，则， 即 即有解，则，即， 又∵, ∴双曲线的离心率的取值范围为 故答案为： 11．(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)已知点分别为双曲线的右顶点和右焦点，记点到渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】求出双曲线的一个焦点和一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式及条件，可得结果. 【详解】不妨设双曲线的一个焦点设为，， 一条渐近线的方程设为，，由题意可得， 又，∴，即， ∴，∴. 故答案为： 12．(23-24高二下·重庆杨家坪中学·月考)已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上，点在轴上，，则的值为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 【详解】依题意，设，则， 在中，， 则，解得或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 13．(23-24高二下·重庆第一中学校·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆过椭圆的上顶点，双曲线和椭圆有相同的焦点，为曲线与的一个公共点，若，则曲线与的离心率的乘积为 . 【答案】 【分析】由，可求得，假设点在第一象限，则根据双曲线和椭圆的定义列方程组可表示出，然后在中利用余弦定理列方程化简可求出结果. 【详解】因为以为直径的圆过椭圆的上顶点， 所以，如图， 所以，所以，故， 设双曲线的方程为， 假设点在第一象限，则 ，得， 在中，由余弦定理得 ，即， 整理得， 所以，则， ，所以，所以， 故. 故答案为： 14．(23-24高二下·重庆第八中学校·)已知圆与中心在原点､焦点在轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求解. 【详解】因为可化为，则圆的圆心为，半径为2， 因为双曲线的焦点在轴上，故设双曲线方程为， 则其渐近线方程为， 由题意得，即，所以， 所以， 故答案为：. 15．(23-24高二上·重庆部分学校·调研)已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且，双曲线的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】根据求出，进而可得的值，再根据的关系求出，则离心率可求. 【详解】， ，则， 即，， 又， ， . 故答案为：. 地 城 考点04 双曲线的综合运用 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右支分别交于的内切圆半径为的内切圆半径为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根举双曲线的定义表示各边，在和中应用余弦定理，根据面积比求出答案. 【详解】设， 则，， 故在和中由余弦定理可得， 即，解得，则 又因为，则， 故选：D. 2．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 3．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知双曲线的左顶点和右焦点分别为A，F，O为坐标原点，经过点A的直线l与双曲线的两条渐近线交于点M，N，设M，N的中点为P，满足，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设在上，令且、，得，再求交点坐标，结合题设列方程求参数k. 【详解】由，则在线段的中垂线上，而，即在上， 设且、，则，又双曲线准线为， 联立，则，，不妨令， 同理可得，则， 所以，所以直l的斜率为. 故选：A 二、多选题 4．(24-25高二上·重庆第一中学校·期中)双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（    ） A． B．平面上点的最小值为 C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D．过点作，垂足为H，则 【答案】ABD 【分析】求出直线的方程，即可求得，从而利用求解，判断A项；利用双曲线定义将转化为可得解，即可判断B项；求出点的坐标，研究的大小，即可判断C项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断D项. 【详解】解：对于A项，设直线的方程为，， 联立方程组，消去整理得， ， ，即， 又因为，所以上式可化简整理得， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由双曲线定义得，且， 则， 所以的最小值为.故B项正确； 对于C项，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线， 因为且，所以， 若，则， 所以直线直线； 同理可知当也可判断直线直线， 所以入射光线与反射光线的夹角为，故C项错误； 对于D项，如图， 为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分， 延长与的延长线交于点. 则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以，，故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛： D项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出. 5．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知双曲线的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于（其中在一象限），若，则列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为15 【答案】ACD 【分析】根据题意，然后根据双曲线的定义，结合通过余弦定理即可得出结果. 【详解】，因为,则，A正确； 由，根据双曲线的定义可得，知，则， 中由余弦定理可得，解得(舍)或，故B错误； 设，则中由余弦定理,可得， 则，C正确； ，D正确； 故选：ACD 6．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)如图，，为双曲线的左右焦点，，为该双曲线的两条渐近线，到一条渐近线的距离为2，过的直线与双曲线左右两支分别交于点M，N，.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的内切圆半径是 D． 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离求解判断A；根据双曲线的定义结合勾股定理求解判断B；根据曲线的弦长公式和双曲线定义以及直角三角形内切圆半径公式求解判断C；在直角三角形中，利用角的正切定义即可判断D. 【详解】由，可知， 不妨设到渐近线的距离为2，即，故A对； 所以， 设，又， 所以，即，故B对； 因为，所以点M在以线段为直径的圆上，且圆的方程额， 因为点M在双曲线的右支上，不妨设M在第二象限，设， 由， 所以, 直线的方程为，设, 由，消元得， 所以， 所以， 又，所以的内切圆半径为，故C错； 由，所以在直角中，，故D对； 故选：ABD 7．(23-24高二上·重庆育才中学校·期中)如图，在圆锥中，已知高.底面圆的半径为2，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则下面四个命题中正确的有（    ） A．圆锥的体积为 B．圆的面积为 C．椭圆的长轴长为 D．双曲线两渐近线的夹角 【答案】BCD 【分析】利用圆锥的体积公式计算判断A；利用圆锥的几何性质确定圆的半径计算判断B；利用圆锥的轴截面求出判断C；建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线过的点的坐标计算判断D. 【详解】对于A，圆锥底面圆面积，圆锥体积，A错误； 对于B，圆锥中截面圆的半径为底面圆半径的一半，该圆面积为，B正确； 对于C，过作于，于是，， 因此椭圆的长轴长，C正确； 对于D，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点P到底面距离相等， 于是双曲线顶点，双曲线与圆锥底面圆周的交点，设双曲线方程为， 则，解得，因此该双曲线的两条渐近线互相垂直， 即双曲线两渐近线的夹角，D正确. 故选：BCD 8．(23-24高二上·重庆育才中学校·期中)已知双曲线的离心率为，该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】BC 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答. 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 于是该双曲线的渐近线方程为，而圆的圆心为，半径， 点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为， 点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为， 所以的可能取值为. 故选：BC 9．(23-24高二上·重庆南开中学校·期中)已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过向的一条渐近线作垂线，垂足为，交另一条渐近线于，则下列说法正确的是（    ） A．为线段的中点 B．点在直线上 C． D． 【答案】BCD 【分析】选项A：根据图像和双曲线的几何性质可得； 选项B：先求渐近线和直线的方程，联立可得； 选项C：根据点坐标，利用数量积的坐标运算可得； 选项D：根据双曲线距离公式可得. 【详解】    因为双曲线：，所以，，， 则，，根据双曲线的对称性，不妨取渐近线方程， 选项A：直线,由可得， 同理，因为，故不是的中点，故A错误； 选项B：直线的斜率为，直线方程为， 联立得，所以正确； 选项C：由，，， 则，， 故，故C正确； 选项D：，故D正确， 故选：BCD 10．(23-24高二上·重庆第十一中学校·期中)随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（    ） A．C的渐近线方程为 B．过点作，垂足为H，则 C．点N的坐标为 D．四边形面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；根据双曲线的光学性质可推得点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断B项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项. 【详解】对于A项，由已知可得，，所以双曲线的渐近线方程为，故A项正确； 对于B项，如图，   ，且满足，所以直线的方程为， 联立化简得，由于， 即为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，平分， 延长与的延长线交于点. 则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以， 故B项正确； 对于C项，设，则，整理可得. 又，所以有，所以有， 解得，所以点的坐标为，故C项错误； ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，四边形面积的最小值为，故D项正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用光学性质得点为的中点，结合双曲线的定义求解，注意平面几何的特性是解决此类问题的捷径. 地 城 考点05 双曲线中的解答题 一、解答题 1．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点.当时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若三角形的面积为，求直线的方程； (3)证明：存在实数，使得恒成立. 【答案】(1) (2)或. (3)证明见解析 【分析】（1）由左顶点为得，由当时，得，再结合，联立方程组求解，得到双曲线方程； （2）设直线方程为，其中，联立直线方程和双曲线方程得，由韦达定理及弦长公式得，从而，解得，从而可得结论； （3）取直线与轴垂直的特殊情况得到，再验证，恒成立. 【详解】（1） 由题意得，解得； 故双曲线的标准方程为. （2） 由（1）知；设直线的方程为， 由直线与双曲线的右支交于两点知； 联立，整理得：， 由韦达定理：； 故， 点到直线距离， 故，即， ， ， ， 解得或（舍去）， 故； 故直线的方程为，即或. （3）由题意， 当时：，解得， 不妨取，则， ，所以，满足； 故如果存在实数，使得恒成立，则； 当时，证明恒成立： 设，则； 所以， 则， 所以， 又，故， 所以； 综上所述：存在实数，使得恒成立. 2．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知双曲线的左、右焦点为，直线与双曲线相交于，且．双曲线上任意一点到的距离与到的距离的比为．    (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率存在且不为0的直线与双曲线相切． ①若与相交于点，与相交于点证明：为定值； ②若与直线和分别相交于，证明：四点共圆． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，由此可求的值，则双曲线的标准方程可知； （2）①先表示出坐标，再表示出，然后通过计算证明为定值；②先表示出的坐标，然后计算出和的结果，由此分析并完成证明. 【详解】（1）由题意可知在双曲线上，所以， 设，因为，所以， 又，解得，即. （2）设，代入双曲线可得， 所以； ①由可得，所以；由可得，所以， 故， ， 所以，所以为定值； ②同理可求，且， 所以，， 因为，所以， 因为，所以， 故四点在以为直径的圆上.      【点睛】思路点睛：圆锥曲线问题中证明四点共圆时，可以考虑证明对角互补，本题第三问是更特殊的情况：一组对角均为直角，此时也可以确定出一条直径即为直角三角形的斜边. 3．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于A，B两点.当直线的斜率为时，线段AB的中点为. (1)求双曲线的方程； (2)直线上有两点P，Q满足：，，其中，.已知，点P在双曲线上. （i）证明：点Q也在双曲线上； （ii）若，是否存在以PQ为直径的圆，与y轴相切.若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）存在，. 【分析】（1）先根据题设求得，再应用点差法得到，结合双曲线参数关系求出参数，即可得方程； （2）（i）由题意，，先将代入双曲线得到，再把代入双曲线左侧表达式化简判断是否等于1，即可证； （ii）设、，结合在上，得到、中横纵坐标关系，并化简得直线的方程为，联立双曲线应用韦达定理，结合等于2倍的圆心横坐标绝对值列方程求得、，进而写出圆的方程，即可判断存在性. 【详解】（1）令直线，若，有， 设，则，作差并整理得， 代入斜率和中点得，又，可得，故双曲线方程为. （2）（i）由题意，， 由在双曲线上，则， 整理得， 所以， 将代入双曲线左侧得 ， 所以点Q也在双曲线上； （ii）设，而在上， 则中，满足： ， 所以在直线上，同理也在直线上，即直线的方程为， 联立双曲线，，整理得， 所以， ， 所以，，则圆心横坐标为， 由题意，即， 所以， 当时，，，显然不存在； 所以，仅有，则，可得（负值舍）， 所以圆心横坐标为，即圆的半径， 直线，可得圆心纵坐标为， 当直线时，此时直线与直线重合，不合题意， 当直线时，圆的方程为，符合题意， 所以，存在这样的圆满足要求. 【点睛】关键点点睛：第三问，小问一：用参数表示出坐标，根据的双曲线上得到参数关系，再验证坐标是否满足双曲线方程即可；小问二：根据坐标得到直线的方程为为关键. 4．(23-24高二下·重庆育才中学校·期中)已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线和椭圆有公共焦点求出，再由离心率的公式求出，从而求得双曲线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线距离的最大值. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上， 所以双曲线的，又因为， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，设，则， ， 依题意， ，即， 由解得或（舍去）， 所以，此时到直线的距离为. 当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为. 由消去并化简得：， ①， ， 依题意， 所以 ， 整理得， 即，由于直线，， 所以， 函数的开口向上， 判别式为，故①成立. 所以直线的方程为，即， 所以到的距离， ， 当时，；当时， 当且仅当时等号成立. 所以. 综上所述，点到直线的距离的最大值为. 【点睛】关键点睛：本题（2）的关键点在于根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线距离的最大值. 5．(23-24高二上·重庆巴蜀中学·期中)已知双曲线：的左右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且. (1)求E的方程； (2)过的直线交曲线E于M，N两点若，求直线的方程 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）根据到其中一条渐近线的距离为1可求出b的值，根据可求出a的值，即可求得答案； （2）判断直线斜率存在，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，利用双曲线弦长公式结合弦长可求出直线斜率，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知双曲线：的渐近线方程为， ，， 到其中一条渐近线的距离为1，不妨取渐近线，即， 则， 又过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且， 将代入中，得， 故， 故E的方程为. （2）若直线的斜率不存在，其方程为，代入， 得，即，不符合题意；      故直线l的斜率存在，设其方程为，联立， 得， 需满足，且， 设，则， 则 ， 即，解得或， 故直线的方程为或， 即或或. 6．已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N． (1)证明：； (2)取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，结合圆的知识可得，，设点，则，由，可得，即得（用双曲线的第二定义来说明，也可以），由相等弦长所对的圆心角相等，得，进而求解； （2）设直线PF的方程为，由题意可得，联立方程组，结合韦达定理可得，，由题知，直线DR的方程为，令，化简即可求解. 【详解】（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则， 连接AM，PM，NF．因为在圆P中，，所以． 由题易知右焦点，设点，则，整理得． 因为， 所以，所以． 【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线为双曲线的准线，根据双曲线的第二定义，可知，即，即得．】 在圆P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得， 所以． （2）由题知双曲线，渐近线为：，右焦点为， 直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为 因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，D两点，则． 设， 联立方程组，得， 则． 由题知，直线的方程为， 令，得 ， 所以直线DR过定点. 7．(23-24高二上·重庆育才中学校·期中)已知双曲线：与椭圆有相同的焦点，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于、两点，且，为坐标原点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由椭圆方程求出双曲线的焦点，再根据给定点求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用向量垂直的坐标表示求解即得. 【详解】（1）令双曲线：的半焦距为c， 由双曲线与椭圆有相同的焦点，得，即， 由双曲线过点，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）得，消去y得：， ，解得，设， 则，， 由，得，即， 于是，解得， 所以的值为. 8．(23-24高二上·重庆南开中学校·期中)如图，双曲线，过原点O的直线与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且．    (1)若，P为双曲线的右顶点，记直线、、、的斜率分别为、、、，求的值； (2)求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意可设，则，结合直线与双曲线都有两交点得，再联立双曲线求各交点坐标，应用两点式求、、、，即可求结果； （2）由题设且同（1）得，联立直线与双曲线，应用韦达定理和弦长公式求，根据及换元法求其取值范围即可. 【详解】（1）由题设，的斜率都存在且不为0，令，则， 所以，即， 联立与双曲线，得， 不妨令，同理， 由，则、、、， 所以. （2）由题设且同（1）得， 联立，则， 所以， 联立，同理可得， 所以四边形面积， 则，令， 所以 ， 而且，故，， 当时，， 当趋向于时，趋向于0，即趋向于正无穷， 所以四边形面积的取值范围是.    【点睛】关键点点睛：第二问，先求得，联立直线与双曲线求四边形对角线长度为关键. 9．(23-24高二上·重庆南开中学校·期中)已知双曲线的方程是． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 【答案】(1)； (2)2. 【分析】（1）由双曲线方程直接写出渐近线方程； （2）由双曲线定义有，结合已知求即可. 【详解】（1）由双曲线方程知：其渐近线方程为； （2）由双曲线定义，又，    所以，可得（负值舍）， 所以的大小为2. 10．(23-24高二上·重庆第十一中学校·期中)已知双曲线，点在E上． (1)求E的方程； (2)过点的直线l交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）将点坐标代入，即可得出答案； （2）设出的方程为，联立直线与双曲线的方程得出，根据已知求出的范围.设，进而根据韦达定理得出的关系，表示出斜率，求和化简即可得出答案. 【详解】（1）将点代入双曲线方程可得，， 解得， 所以，E的方程为. （2）由已知易得直线的斜率一定存在，设斜率为， 则的方程为. 联立直线与双曲线的方程， 整理可得， 则， 解得且. 设， 由韦达定理可得， 则 .    11．(23-24高二上·重庆第八中学校·期中)已知双曲线的渐近线为，左焦点为F，左顶点M到双曲线E的渐近线的距离为1，过原点的直线与双曲线E的左、右支分别交于点C、B，直线FB与双曲线E的左支交于点A，直线FC与双曲线E的右支交于点D． (1)求双曲线E的方程； (2)求证：直线AD过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求，由此可得双曲线方程； （2）设，分别联立直线，与双曲线方程，结合关于系数关系求点A和点坐标，利用点斜式表示直线的方程，再证明直线过定点. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 因为双曲线的渐近线为，则， 又因为左顶点到双曲线E的渐近线的距离为， 解得，则， 所以双曲线的方程为． （2）设， 若，则， 故， 直线的方程为； 若，设直线的方程为， 直线的方程与双曲线联立， ． 又，则 所以，即． 同理， 则， 则直线方程为， 令，则， 即 所以直线过定点．    12．(22-23高二上·重庆第一中学校·期末)已知双曲线经过点，点． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，过点的直线与双曲线交于不同两点，，若以线段为直径的圆刚好经过点，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】 （1）根据给定条件，设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的向量表示求解作答. 【详解】（1）依题意，设双曲线的方程为：，而双曲线经过点，点， 则有，解得，即有， 所以双曲线的标准方程为：. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为：， 由消去得：，显然， ，设， 则有，因为以线段为直径的圆刚好经过点， 即有，而， 于是得，即， 有，整理得：，解得或， 因此直线：或， 所以直线的方程为或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $