专题04 椭圆的方程（人教版）（期中真题汇编，重庆专用）高二数学上学期人教A版

专题04 椭圆的方程 7大高频考点概览 考点01 椭圆的定义及方程 考点02 椭圆中的焦点三角形面积 考点03 椭圆的中点弦问题 考点04 椭圆的最值问题 考点05椭圆中的离心率及范围问题 考点06椭圆中的弦长面积问题 考点07椭圆中的定点定值定直线问题 地 城 考点01 椭圆的定义及方程 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆杨家坪中学·月考)椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 2．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)已知椭圆方程为，则焦距是（   ） A．8 B．12 C．20 D．16 5．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)若椭圆的离心率为，上顶点到焦点的距离为4，则椭圆短轴长为（    ） A．2 B． C．4 D． 6．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)椭圆和一定具有（   ） A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长轴长 7．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知椭圆的左右焦点分别为、，过左焦点，作直线交椭圆于、两点，则三角形的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 9．(24-25高二上·重庆育才中学·月考)经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（    ） A．8 B．9 C．10 D．20 二、多选题 10．(24-25高二上·重庆清华中学校·期中)已知椭圆，则椭圆的（   ） A．焦点在轴上 B．长轴长为10 C．短轴长为4 D．离心率为 11．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于2，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的离心率为 C． D． 三、填空题 12．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)曲线是焦点在轴上的椭圆，则的范围是 13．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)焦点在轴上，焦距为2，且经过点的椭圆的标准方程为 . 地 城 考点02 椭圆的焦点三角形面积问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)如图，曲线由三部分构成：半圆，半圆，半椭圆，直线交于，动点在曲线上，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·重庆·期中)已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，，则的面积等于（    ） A．24 B．26 C． D． 二、多选题 3．(24-25高二上·重庆松树桥中学·期中)已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为9 D．最小值为 4．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知椭圆的左，右焦点分别为，点为椭圆上一点，则（    ） A．若，则的面积为 B．存在点，使得 C．的周长为 D．使得为等腰三角形的点共有4个 5．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的长为 D．的面积为 6．(24-25高二上·重庆青木关中学校·期中)设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（   ） A．， B．离心率为 C．的面积为12 D．的面积为24 7．(23-24高二上·重庆巴蜀中学·期中)椭圆：的左右焦点分别为，，O是坐标原点，是椭圆E上一点，则（    ） A．的周长是 B．当时，面积最大 C．的最大值是5 D．当时，面积为1 8．(23-24高二上·重庆第十八中学·期中)已知椭圆分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．'若，则的面积为 三、填空题 9．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 . 10．(23-24高二上·重庆永川北山中学校·期中)设椭圆的焦点为是椭圆上一点，且，则的面积为 （用含或的式子表示即可）若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为 ． 四、解答题 11．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知椭圆的左，右焦点分别为，，，点在上，为椭圆的一个动点. (1)求的方程. (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 12．(24-25高二上·重庆松树桥中学·期中)椭圆E的焦点分别为、且经过，两点.    (1)求椭圆E的标准方程和椭圆E的离心率e、长轴长、短轴长，并在坐标系中画上椭圆E的草图 (2)设点M为椭圆E上一点且满足，求的周长和面积. 地 城 考点03 椭圆的中点弦问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·月考)已知直线：与椭圆：（）相交于，且的中点为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，则点的横坐标为 ． 3．(23-24高二上·重庆第十八中学·期中)已知椭圆满足，长轴上2023个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；则这4046条直线的斜率乘积为 . 4．(24-25高二上·重庆第十八中学·)已知椭圆满足，长轴上2024个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；则这4048条直线的斜率乘积为 . 5．(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则 . 三、解答题 6．(24-25高二上·重庆第一中学校·期中)已知的周长为定值，、、，的最大值为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值． 7．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·月考)椭圆：的左、右焦点分别为、，为该椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)、为椭圆上的两点，且为的重心，求直线的斜率. 地 城 考点04 椭圆中的最值问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆清华中学校·期中)从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（    ） A．若的周长为6，则 B．若当时，的内切圆半径为，则 C．若存在点，使得，则 D．若的最大值为2b，则 4．已知椭圆，长轴长为8，短半轴长为，分别为椭圆左右焦点，点，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线l交椭圆于A，B两点，且为AB中点，则直线l的方程为 C．内切圆面积的最大值为 D．的最小值为7 三、填空题 5．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知在曲线上，为坐标原点，则的取值范围为 6．(23-24高二上·重庆南开中学校·期中)若P是椭圆上一动点，，则的最大值为 ． 7．(23-24高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知焦点在y轴上的椭圆的离心率，A是椭圆的右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值是 . 四、解答题 8．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆相交于两点，点为的中点，直线的斜率为. (1)求椭圆的标准方程： (2)若轴上的点满足，求的取值范围. 9．已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 地 城 考点05 椭圆的离心率及范围问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)设，分别为椭圆：（）的左、右顶点，是上一点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若离心率满足，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·月考)点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高二上·重庆万州第二高级中学·期中)已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上不存在点P使，则椭圆离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高二上·重庆第八中学校·期中)点分别为椭圆的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为椭圆的离心率，则为（    ） A． B． C． D．   可知的面积即为的面积， 设，则， 可得， 由面积关系可得，即， 二、多选题 8．(23-24高二上·重庆第八中学校·期中)椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若，则（    ） A．为等腰直角三角形 B．C的离心率等于 C．的面积等于 D．直线l的斜率为 三、填空题 9．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 . 10．(23-24高二上·重庆育才中学校·期中)已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为 . 11．设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为 ． 地 城 考点06 椭圆中的弦长面积问题 一、解答题 1．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，且，求直线的方程. 2．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)直线l过点，与C交于D，E两点，若，求直线l的方程. 3．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)如图，矩形中，，，，、、、分别是矩形四条边的中点，、、是线段的四等分点，、、是线段的四等分点. (1)证明直线与、与、与的交点、、都在椭圆上. (2)若，.、为其左右焦点，过作直线交椭圆于，两点，若内切圆半径为，求其面积. 4．(24-25高二上·四川成都第七中学·期中)设向量，满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若点，设斜率为且过的直线与（1）中的轨迹交于P，Q两点，求的面积. 5．(24-25高三上·重庆巴蜀中学校·月考)已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，是椭圆的一个顶点. (1)求椭圆的方程; (2)过的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程. 6．(23-24高二上·重庆渝南田家炳中学校·期中)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积． 7．(23-24高二上·重庆永川北山中学校·期中)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 8．(23-24高二上·重庆第十八中学·期中)椭圆左右焦点为，离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求. 9．(23-24高二上·重庆育才中学校·期中)在平面直角坐标系中，、为圆：与轴的交点，点为该平面内异于、两点的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答. 条件①：直线与直线的斜率之积为； 条件②：设为圆上的动点，为点在轴上的射影，且为的中点； 注：如果选择多个条件作答，按第一个计分. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与（1）问中轨迹方程交于、两点，与圆相交于、两点，且，求面积最大值. 10．(23-24高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知椭圆C：的两个焦点分别为，，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若该椭圆左顶点为B，则椭圆上是否存在一点P，使得的面积为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．(23-24高二上·重庆第十一中学校·期中)已知椭圆的离心率为，点为A椭圆C的右顶点，点B为椭圆上一动点，O为坐标原点，若面积的最大值为1． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求面积的最大值． 地 城 考点07 椭圆中的定点定值定直线问题 一、解答题 1．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)如图，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）. (1)求椭圆的方程； (2)设直线和的斜率分别为，，求证:为定值； (3)求证：直线过定点. 2．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)已知椭圆的焦点在轴，离心率，点在直线上． (1)求实数的值； (2)设是椭圆的右焦点，若是椭圆上一点，且满足，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为，证明：； (3)若点的纵坐标为，过作直线交椭圆于不同的两点和，在线段上取点（异于两点）满是，证明：点在定直线上． 3．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)在平面直角坐标系中，已知椭圆与轴和轴的交点分别为，，，（在左侧，在下侧），直线（且）与直线交于点，过点且平行于的直线交于点（异于点），交轴于点，直线交于点（异于点），直线交轴于点. (1)当时，求出，两点的坐标； (2)直线与直线是否相互平行？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由. 4．(23-24高二上·重庆巴蜀中学·期中)已知椭圆：的焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆交于M，N两点，的周长为. (1)求椭圆E的离心率； (2)直线：与椭圆有两个不同的交点A，B，直线与x轴的交点为D，若A，B都在x轴上方且点A在线段上，O为坐标原点，和面积分别为，，记，当满足条件的实数变化时，的取值范围是，求椭圆E的方程. 5．(23-24高二上·重庆第十八中学·期中)如图，线段的两个端点分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化. (1)求点的轨迹方程； (2)动点在曲线外，且点到曲线的两条切线相互垂直，求证：点在定圆上. 6．(23-24高二上·重庆南开中学校·期中)如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值． 7．(24-25高二上·重庆松树桥中学校·月考)已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为. (1)求曲线的方程； (2)已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值. (3)求的取值范围； 8．(24-25高二上·重庆巴川中学·)已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上异于左右顶点的任意一点，的周长为6，椭圆的离心率为. (1)求该椭圆的方程； (2)已知定点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点（与点不重合），延长分别与直线交于两点. （i）当直线斜率不存在时，求的面积； （ii）证明：以线段为直径的圆与轴的交点为定点. 9．(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)已知椭圆，圆为圆上任意一点.动点为线段的中点，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点作曲线的两条切线分别交椭圆于，记两切线斜率分别为. （i）求的值； （ii）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 10．(24-25高二上·重庆部分学校·)椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，的周长为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点作直线与椭圆交于，两点. ①若直线的斜率为，求的面积； ②椭圆的左、右顶点分别为，，连接与，求直线与交点的轨迹方程. 11．(24-25高二上·重庆四川外国语大学附属外国语学校·月考)已知在椭圆． (1)求椭圆的方程； (2)当在椭圆上，且在第三象限，是椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值． 12．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·月考)法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的蒙日圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知点是椭圆上的任意一点，点为坐标原点，直线与圆相交于、两点，求证：； (3)过点作互相垂直的直线、，其中交圆于、两点，交椭圆于、两点，求四边形面积的取值范围. 13．(24-25高二上·重庆第一中学校·月考)已知椭圆的左､右焦点分别为和，焦距为2.动点在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过原点作的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线的斜率分别记为.当点在椭圆上运动时， ①证明：恒为定值，并求出这个值； ②求四边形面积的最大值. 14．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·月考)已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点； ②求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 椭圆的方程 7大高频考点概览 考点01 椭圆的定义及方程 考点02 椭圆中的焦点三角形面积 考点03 椭圆的中点弦问题 考点04 椭圆的最值问题 考点05椭圆中的离心率及范围问题 考点06椭圆中的弦长面积问题 考点07椭圆中的定点定值定直线问题 地 城 考点01 椭圆的定义及方程 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆杨家坪中学·月考)椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】过焦点的弦长最小时，弦所在直线与轴（长轴）垂直，此时弦长为，焦点（弦边另一个焦点）的周长为，由此求得，得结论． 【详解】由题意可知，焦距等于2 故选：B． 2．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一般方程得到圆心和半径，再由几何关系得到点的轨迹是以为焦点的椭圆即可； 【详解】    由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 故选：B. 3．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程. 【详解】圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为，由题意， 两式相加可得， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以，所以椭圆方程为． 故选：A. 4．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)已知椭圆方程为，则焦距是（   ） A．8 B．12 C．20 D．16 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程可求得，进而可得焦距. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 所以焦距. 故选：D. 5．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)若椭圆的离心率为，上顶点到焦点的距离为4，则椭圆短轴长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据离心率及椭圆参数关系求短轴长即可. 【详解】由题设，则，故，所以短轴长为. 故选：D 6．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)椭圆和一定具有（   ） A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长轴长 【答案】A 【分析】先将方程化为标准方程，再根据离心率，焦点。顶点，长轴长的定义计算，即可判断. 【详解】由题意知，不妨设，则椭圆的离心率为， 焦点坐标为，顶点坐标为，，长轴长为， 可化简为， 所以离心率为， 焦点坐标为，顶点坐标为，，长轴长为， 因此两椭圆的离心率相同. 故选：A. 7．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先将命题“曲线表示椭圆”化简求得的范围判断即可. 【详解】若曲线表示椭圆，则，得 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 8．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知椭圆的左右焦点分别为、，过左焦点，作直线交椭圆于、两点，则三角形的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，， 则的周长为. 故选：A.    9．(24-25高二上·重庆育才中学·月考)经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（    ） A．8 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长． 【详解】 为椭圆的两个焦点， ， 的周长为． 故选：D． 二、多选题 10．(24-25高二上·重庆清华中学校·期中)已知椭圆，则椭圆的（   ） A．焦点在轴上 B．长轴长为10 C．短轴长为4 D．离心率为 【答案】ABD 【分析】求出椭圆的，的值，结合椭圆的几何性质逐项判断即可. 【详解】由知，，，椭圆的焦点在轴上，故A正确； ，长轴长为，故B正确； ，短轴长为，故C错误； 离心率为，故D正确. 故选：ABD. 11．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于2，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的离心率为 C． D． 【答案】ABC 【分析】求出的值，可判断AB选项的正误；设点为椭圆的左焦点，将代入椭圆方程，可求得的长，可判断C选项的正误；利用椭圆的定义可判断D选项的正误. 【详解】对于椭圆，由已知可得，则， .对于A选项，因为椭圆的焦点在轴上，故椭圆的方程为，故A对； 对于B选项，椭圆的离心率为，故B正确； 对于C选项，设点为椭圆的左焦点，易知点， 将代入椭圆方程可得，故，故C正确； 对于D选项，，故，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)曲线是焦点在轴上的椭圆，则的范围是 【答案】 【分析】将曲线方程化为椭圆的标准方程，由题意，的分母大，同时注意到分母都要大于，即可解出的范围. 【详解】将曲线方程化为，由题意可得：， 解之得：，即：. 故答案为：. 13．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)焦点在轴上，焦距为2，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】依题意可得，，即可求出，从而得到椭圆方程. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，焦距为2，且经过点， 所以，，则， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 地 城 考点02 椭圆的焦点三角形面积问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)如图，曲线由三部分构成：半圆，半圆，半椭圆，直线交于，动点在曲线上，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求，再求点到直线的距离，表示出的最大面积. 【详解】如图： ， 故. 显然当点在半圆上且时，面积最大. 因为点到直线：的距离为：. 所以点到直线的距离 故. 故选：B 2．(24-25高二上·重庆·期中)已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，，则的面积等于（    ） A．24 B．26 C． D． 【答案】A 【解析】由定义可得，结合条件求出即可求出面积. 【详解】由椭圆方程可得焦点在轴上，，，， 由椭圆定义可得， 又，则可解得， ，满足，则， . 故选：A. 二、多选题 3．(24-25高二上·重庆松树桥中学·期中)已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为9 D．最小值为 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程求得，计算出离心率判断A，由椭圆定义判断B，结合椭圆定义求得焦点三角形面积判断C，利用基本不等式判断D． 【详解】由椭圆方程可知，，，，所以椭圆的离心率，故A错误； 由椭圆定义知，故B正确； 又，因为，所以， ， 解得，所以的面积为，故C正确； ∵， ∴ ，当且仅当时取等号， ∴最小值为，故D正确． 故选：BCD． 4．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知椭圆的左，右焦点分别为，点为椭圆上一点，则（    ） A．若，则的面积为 B．存在点，使得 C．的周长为 D．使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】BC 【分析】结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积可判断A；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的形状判断B；根据焦点三角形的周长为判断C；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断D． 【详解】由题意，， 对于A，当时，如图，中， 由余弦定理得， 即①， 又，即②， 联立①②可得， 所以，故A错误； 对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，， 则为直角，故B正确； 对于C，的周长为，故C正确； 对于D，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共6个，故D错误． 故选：BC． 5．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的长为 D．的面积为 【答案】ACD 【分析】利用的面积计算出的值，进而计算的周长和离心率，即可判断A和B；利用余弦定理解，进而计算面积，即可判断C和D. 【详解】由题意：为面积是的正三角形， 故且，故； 的周长为，故A正确； 椭圆的离心率，故B错误； 设，则，由知； 由余弦定理：，所以，C正确； ，故D正确， 故选：ACD. 6．(24-25高二上·重庆青木关中学校·期中)设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（   ） A．， B．离心率为 C．的面积为12 D．的面积为24 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义及离心率，逐项计算判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴，半焦距， 对于A，，而，解得，，A正确； 对于B，离心率，B正确； 对于C，，，即， 的面积，C错误，D正确. 故选：ABD 7．(23-24高二上·重庆巴蜀中学·期中)椭圆：的左右焦点分别为，，O是坐标原点，是椭圆E上一点，则（    ） A．的周长是 B．当时，面积最大 C．的最大值是5 D．当时，面积为1 【答案】AD 【分析】根据椭圆方程求得的值 可判断A；确定时P点位于以为直径的圆上，数形结合，判断B；根据椭圆的几何性质判断C；根据当时，P点所处位置，结合椭圆定义，可求得面积，判断D. 【详解】对于椭圆：，设其长轴长为2a，焦距为2c， 则， 对于A，的周长是，A正确； 对于B，当时，， 此时P点位于以为直径的圆上，即P为该圆与椭圆的交点， 只有当P点位于椭圆的短轴上的顶点处时，面积才取最大值， 由于，结合图可知P不可能处于椭圆的短轴上的顶点处，B错误； 对于C，的最大值是，C错误； 对于D，当时，,则， 故，由于， 故，故，D正确， 故选：AD 8．(23-24高二上·重庆第十八中学·期中)已知椭圆分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．'若，则的面积为 【答案】ABD 【分析】由题设，结合椭圆性质判断A；应用余弦定理可得，根据椭圆定义及余弦定理求得，即可判断B、C、D. 【详解】由椭圆方程知：，则，A对； ， 由，当且仅当时等号成立， 故，B对； ，C错； 若，则，可得， 所以的面积为，D对. 故选：ABD 三、填空题 9．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆定义可知，，再结合等腰三角形求高和面积. 【详解】由椭圆方程可知：， 因为分别为的中点，则，可得， 因为，则，且， 所以的面积为. 故答案为：. 10．(23-24高二上·重庆永川北山中学校·期中)设椭圆的焦点为是椭圆上一点，且，则的面积为 （用含或的式子表示即可）若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为 ． 【答案】 / 【分析】在中由余弦定理求的面积；由正弦定理，根据，求离心率. 【详解】 空1：设，，，根据椭圆定义由， 在中，由余弦定理有， 整理有，化为， 整理有，又，所以有， 在中，由正弦定理有的面积； 空2：依题意可知， 即．即，又， 得因此，得． 故答案为：；． 四、解答题 11．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知椭圆的左，右焦点分别为，，，点在上，为椭圆的一个动点. (1)求的方程. (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，点，知的值，再由得，即可得到椭圆方程； （2）在中，结合椭圆的定义及余弦定理可得，进而求得的面积. （3）设，表示的坐标，根据椭圆的有界性即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题设得到，且，即，∴, 故椭圆方程为：. （2）∵为椭圆上的一点， ∴，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得， 即 ②， 由，得，即， 所以的面积. （3）设，则，所以，. 因为， ， . ∵，∴. 所以的取值范围是.    12．(24-25高二上·重庆松树桥中学·期中)椭圆E的焦点分别为、且经过，两点.    (1)求椭圆E的标准方程和椭圆E的离心率e、长轴长、短轴长，并在坐标系中画上椭圆E的草图 (2)设点M为椭圆E上一点且满足，求的周长和面积. 【答案】(1)答案见解析； (2)周长为，面积为. 【分析】（1）首先设椭圆的一般方程，将两点坐标代入方程，即可求解，再根据椭圆的方程画出椭圆的草图，以及求得椭圆的性质； （2）根据椭圆的定义，以及余弦定理，即可求解周长和面积. 【详解】（1）设椭圆方程为，，在椭圆上， 则，解得：， 所以椭圆的标准方程为， 所以，，，所以，，， 所以椭圆的离心率，长轴，短轴长； 椭圆E的草图如图所示：    （2）由（1）得的周长为， 设， ，， 中，， 即，即，解得， 所以的面积. 地 城 考点03 椭圆的中点弦问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·月考)已知直线：与椭圆：（）相交于，且的中点为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出的关系，再根据椭圆的性质求解即可. 【详解】设，， 将直线方程与椭圆方程联立， 消去得， 则， 因为的中点为所以，解得， 所以，， 故选：B 二、填空题 2．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，则点的横坐标为 ． 【答案】1或3 【分析】设，，，按照直线斜率是否存在讨论，利用点差法求出直线的斜率，由直线与圆相切，可知，联立求解即可. 【详解】设，，， 当直线PQ的斜率存在时，设直线：，则，， 则，两式作差得， 所以， 所以，又因为， 所以， 因为点为直线与圆的切点， 所以，所以， 即点的横坐标为，不合题意； 当直线PQ的斜率不存在时，易得点A的横坐标为1或3. 故答案为：1或3. 3．(23-24高二上·重庆第十八中学·期中)已知椭圆满足，长轴上2023个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；则这4046条直线的斜率乘积为 . 【答案】 【分析】由椭圆的对称性得到，即可求结果. 【详解】根据椭圆对称性知：， 而，即， 同理有， 所以这4046条直线的斜率乘积为. 故答案为： 4．(24-25高二上·重庆第十八中学·)已知椭圆满足，长轴上2024个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；则这4048条直线的斜率乘积为 . 【答案】 【分析】由点在椭圆上并利用对称性可得，即可计算出这4048条直线的斜率之积. 【详解】因为在椭圆上，所以，可得， 又，所以； 由椭圆的对称性可知， 同理可得， 所以4048条直线的斜率乘积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用对称性分组将直线斜率求出定值计算可得结果. 5．(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则 . 【答案】 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，再结合椭圆的离心率，即可求解. 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以，又因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 三、解答题 6．(24-25高二上·重庆第一中学校·期中)已知的周长为定值，、、，的最大值为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，设，利用余弦定理结合基本不等式、余弦函数的单调性可知当时，角取最大值，结合余弦定理求出的值，分析可知，曲线为椭圆，求出的值，即可得出曲线的方程； （2）根据题意，设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出点的横坐标以及，考虑即可，结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】（1）设，，设，即，且， 由三角形的三边关系可得，则， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因为余弦函数在上为减函数，且， 故当取最大值时，取最小值，所以，，解得， 所以，， 因此，曲线是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为，焦距为， 所以，， 因此，动点的轨迹的方程为. （2）易知点，根据题意，设直线的方程为，其中， 设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 则， 故点，所以，， 线段的中点为，， 所以，线段的中垂线方程为， 同理可得，线段的中垂线方程为， 其中，， 联立，可得， 所以，， 要求的最大值，只需考虑即可， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 7．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·月考)椭圆：的左、右焦点分别为、，为该椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)、为椭圆上的两点，且为的重心，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）根据重心坐标公式求得点的坐标，利用点差法求得直线的斜率. 【详解】（1）由题.：. （2）设，，线段中点，而， 则为的重心， ，从而， 所以，即， ，均在椭圆上， ，作差并化简得可得，即， 代入点坐标得， ， 在椭圆内部，所求直线存在， 故直线的斜率为. 【点睛】本题通过椭圆的标准方程确定和直线斜率的求解，考查了学生对椭圆的基本性质、重心的计算以及斜率公式的熟练掌握．解题过程中，椭圆的参数求解和直线的斜率计算环环相扣，体现了代数与几何的结合．通过两点间坐标的差值计算直线的斜率（点差法），体现了解析几何中的代数计算方法． 地 城 考点04 椭圆中的最值问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆清华中学校·期中)从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系再进行求解. 【详解】设，椭圆方程：，椭圆方程：， 则有①， 由极线的定义得直线的方程为，即， 原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，， 则有， 因为椭圆的离心率在内，所以， 所以， 当且仅当，即时取等，此时， 所以的最大值为. 故选：D. 2．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（    ） A．若的周长为6，则 B．若当时，的内切圆半径为，则 C．若存在点，使得，则 D．若的最大值为2b，则 【答案】ABD 【分析】利用焦点三角形的周长求得，可求判断A；利用余弦定理求得焦点三角形的面积，可得，求解可判断B；若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，求解可判断C；，利用二次函数的最值可求得的范围判断D. 【详解】对于A,由椭圆，可得， 因为的周长为6，所以，解得， 因为，所以，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 当时，由余弦定理可得 ， 则，解得， 所以， 又的内切圆半径为， 所以， 所以，所以，解得（舍去）或， 所以，故B正确； 对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则， 所以，所以，解得， 所以存在点，使得，则，故C错误； 对于D，设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又的最大值为2b， 故时取最大值，所以，解得，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论 （1）焦点三角形的周长为； （2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大. 4．已知椭圆，长轴长为8，短半轴长为，分别为椭圆左右焦点，点，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线l交椭圆于A，B两点，且为AB中点，则直线l的方程为 C．内切圆面积的最大值为 D．的最小值为7 【答案】BCD 【分析】对于A：根据向量运算可得，结合的取值范围运算求解；对于B：利用点差法求直线AB的斜率，即可得方程；对于C：利用等面积可得，结合椭圆性质分析求解；对于D：根据椭圆定义转化可得，结合图形分析求解. 【详解】由题意可知：，椭圆方程为， 对于选项A：因为， 且，所以，故A错误； 对于选项B：设，若为AB中点，则， 可得， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理得，即， 所以直线l的方程为，即，故B正确； 对于选项C：由题意可知： 设的内切圆半径为， 则，可得， 当点为短轴顶点时，的面积取到最大值， 可得的内切圆半径的最大值为， 所以内切圆面积的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 可得， 当且仅当在线段上时，等号成立， 所以的最小值为7，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 5．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知在曲线上，为坐标原点，则的取值范围为 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，得到不同情况时曲线所表示的轨迹及轨迹方程，数形结合即可求解的范围. 【详解】因为, ①当时，曲线的方程为: 即,即,此时,所以 即,解得,所以曲线是右半椭圆; ②当时,曲线的方程为:， 即,即 此时,由得; 由，即,得,得; 由，解得或; 综上所述：， 曲线是以为圆心,2为半径的圆在轴左侧的部分，如图所示： 表示点和点的距离及点和点的距离的和； 当点位于椭圆部分时,由椭圆的定义可知； 当点位于圆部分时,因为圆心,半径，所以， 当点与点重合时，， 当点与点或点重合时，, 此时, 终上所述：当在曲线上时，, 故答案为： 6．(23-24高二上·重庆南开中学校·期中)若P是椭圆上一动点，，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】令，应用两点距离公式有，结合椭圆的有界性求最大值. 【详解】令，则，又， 所以，又， 当时，的最大值为4. 故答案为：4 7．(23-24高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知焦点在y轴上的椭圆的离心率，A是椭圆的右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据离心率求得椭圆的方程为，设，则，由，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由焦点在y轴上的椭圆的离心率， 可得，解得，所以椭圆的方程为，则， 设，则， 因为，当时，可得取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 8．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆相交于两点，点为的中点，直线的斜率为. (1)求椭圆的标准方程： (2)若轴上的点满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用点差法得到，再结合关系即可得到方程； （2）设直线的方程，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，解出点坐标，再写出其垂直平分线方程，令得到表达式，对分类讨论即可得到其范围. 【详解】（1）设，则； 由两点在椭圆上：① ②； 用①②得：， 即，故； 又，故，故椭圆的标准方程为. （2）由题意：为线段的垂直平分线与轴的交点； 由直线的斜率为知与轴不垂直，即直线的方程为， 联立，整理得：恒成立， 由韦达定理：； 故； 线段的垂直平分线方程为； 令； 当时：，当且仅当时取等号，此时； 当时：，当且仅当时取等号，此时； 综上所述：的取值范围是.    【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到点坐标，从而得到的表达式，最后得到其范围. 9．已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得，进而求得即可； （2）设，从而可求得，再把代入求解即可. 【详解】（1）由已知得，， ，，， 同理， ， ，， 椭圆的标准方程为． （2）设，且，则，，   ． 由椭圆方程可得， 整理得，所以， 即点的横坐标的取值范围是． 地 城 考点05 椭圆的离心率及范围问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出、的值，即可求出该椭圆的离心率的值. 【详解】在椭圆中，，，则， 因此，该椭圆的离心率为. 故选：A. 2．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)设，分别为椭圆：（）的左、右顶点，是上一点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据余弦定理和同角的商数关系可得，，设，则，得，结合离心率的概念即可求解. 【详解】在中，由， 得，所以， 由，得， 所以， 设，则，    又，∴，∴， 又，∴， ∴. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于求得，进而得，从而求得离心率，求解离心率问题常常需得到或构造的齐次式求解. 3．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设，数形结合判断最大时的位置，再应用余弦定理求得，结合离心率范围确定答案. 【详解】由题设，当且仅当为椭圆上下顶点时最大，只需此时即可， 显然，此时为等腰三角形，且， 所以，则， 故，又，则椭圆的离心率范围是. 故选：C 4．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若离心率满足，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义结合已知条件得，即可根据求解. 【详解】由椭圆定义可得，又， 故， 由于，所以， 故且，解得. 故选：D 5．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·月考)点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆M与x轴相切与焦点F，设，则，所以圆的半径为，利用是直角三角形，即可求出椭圆的离心率． 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为直角三角形，，， ，即，又，所以， 故选：D. 6．(23-24高二上·重庆万州第二高级中学·期中)已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上不存在点P使，则椭圆离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到以为直径的圆的方程为，联立方程组，化简得到方程，得到方程的另一个根为，结合题意，得到，列出不等式，即可求得离心率e的取值范围. 【详解】设椭圆的方程为，且， 则以为直径的圆的方程为， 联立方程组，且， 整理得，即，其中且， 其中是方程的一个根， 设另一个根为，则， 若椭圆上不存在点P使，则，即， 因为，解得，即椭圆离心率e的取值范围为， 故选：A. 7．(23-24高二上·重庆第八中学校·期中)点分别为椭圆的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为椭圆的离心率，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知：为矩形，利用椭圆的定义结合勾股定理和面积关系运算求解. 【详解】根据椭圆的对称性可知：为平行四边形，且， 所以为矩形，   可知的面积即为的面积， 设，则， 可得， 由面积关系可得，即， 所以. 故选：A. 二、多选题 8．(23-24高二上·重庆第八中学校·期中)椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若，则（    ） A．为等腰直角三角形 B．C的离心率等于 C．的面积等于 D．直线l的斜率为 【答案】ABC 【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得C正确；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于. 【详解】对于选项A：因为， 不妨设， 又因为，可得； 利用椭圆定义可知，所以； 即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：    由，可知满足， 所以，故A正确； 对于选项B：在等腰直角三角形中，易知， 即可得离心率，故B正确； 对于选项C：因为为等腰直角三角形，且， 因此的面积为，故C正确； 此时可得直线的斜率，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 9．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义得到，，在中，由余弦定理可得，即可求得. 【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，， 由对称性可知：，，则四边形为平行四边形， 则，即，且， 因为，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，所以椭圆的离心率为.    故答案为：. 10．(23-24高二上·重庆育才中学校·期中)已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】设，利用椭圆定义及对称性表示出，结合勾股定理可得，再利用余弦定理求解即得. 【详解】令椭圆：的半焦距为c，设，则， 由点在轴上，，得，而，， 因此，即，解得， 在中，， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，， 所以的离心率为. 故答案为： 11．设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为 ． 【答案】/0.6 【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率. 【详解】由题意得， 由正弦定理得，故， 由椭圆定义可知，， 故， 又， 由余弦定理得 ， 即，解得， 故， 解得， 因为，所以，解得. 故答案为： 地 城 考点06 椭圆中的弦长面积问题 一、解答题 1．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知：，进而可得和方程； （2）设直线：，联立方程，利用弦长公式结合韦达定理运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，则， 所以椭圆C的标准方程为. （2）设直线：，    联立方程，消去y可得， 则，解得， 可得， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 2．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)直线l过点，与C交于D，E两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题设可得、，结合椭圆参数关系求椭圆方程； （2）由题设，可设，，联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程求参数m，即可得直线方程. 【详解】（1）由，得，易知， 又且，可得， 所以椭圆方程为. （2）当直线斜率为0时，与椭圆没有交点，不合题意，    可设，，联立抛物线， 则，整理得， 所以，即， 则，， 所以 ， 整理得，可得（负值舍），即， 所以，直线的方程为. 3．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)如图，矩形中，，，，、、、分别是矩形四条边的中点，、、是线段的四等分点，、、是线段的四等分点. (1)证明直线与、与、与的交点、、都在椭圆上. (2)若，.、为其左右焦点，过作直线交椭圆于，两点，若内切圆半径为，求其面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出直线的方程，再求出它们的交点的坐标，再证明在椭圆上，同理可得、都在椭圆上． （2）根据椭圆的性质以及三角形的面积公式可求面积. 【详解】（1）由题得，所以， 所以直线的方程为，（1） 由题得，所以， 所以直线的方程为，（2） 联立方程（1）（2）解之得, 所以直线，的交点为，代入椭圆方程得， 所以直线与的交点在椭圆上. 同理与、与的交点、、都在椭圆上. （2）若，，椭圆的方程为， 所以的周长为，又因为内切圆半径为， 所以的面积为. 4．(24-25高二上·四川成都第七中学·期中)设向量，满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若点，设斜率为且过的直线与（1）中的轨迹交于P，Q两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模长公式，表达出，再根据椭圆定义，可推出动点轨迹； （2）根据点斜式求出直线方程，和椭圆方程联立，根据韦达定理求出两交点长度，根据点到直线距离公式可求出到直线距离，即可求出的面积. 【详解】（1）由得， 由椭圆定义知： 点到两定点的距离之和为4，且， 所以，，所以可得 所以点的轨迹C的方程为：. （2）因为， 所以直线方程为， 联立方程组得， 设，则 所以 点到直线PQ的距离 所以 5．(24-25高三上·重庆巴蜀中学校·月考)已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，是椭圆的一个顶点. (1)求椭圆的方程; (2)过的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积即可求出答案. 【详解】（1）依题意，设椭圆的短半轴长，令长半轴长为， 由离心率，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线的斜率存在，设其方程为，设， 由消去得，显然， ，， 则的面积，则有，解得， 所以直线的方程是. 6．(23-24高二上·重庆渝南田家炳中学校·期中)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据计算可得； 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆方程为； （2）依题意，，过且斜率为的直线为， 联立，消去整理得， 易知，设、，所以，， 所以 . 7．(23-24高二上·重庆永川北山中学校·期中)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与椭圆方程结合韦达定理代入计算，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆方程为. （2） 依题意，过且斜率为1的直线为，设， 则消去整理得， 所以， 所以 . 8．(23-24高二上·重庆第十八中学·期中)椭圆左右焦点为，离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上、椭圆参数关系列方程组求参数，即可得标准方程； （2）由题意直线为，联立椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式求. 【详解】（1）由题设，可得，故椭圆的标准方程； （2）由题意，，则直线为， 联立椭圆方程，得，则， 所以， 由. 9．(23-24高二上·重庆育才中学校·期中)在平面直角坐标系中，、为圆：与轴的交点，点为该平面内异于、两点的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答. 条件①：直线与直线的斜率之积为； 条件②：设为圆上的动点，为点在轴上的射影，且为的中点； 注：如果选择多个条件作答，按第一个计分. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与（1）问中轨迹方程交于、两点，与圆相交于、两点，且，求面积最大值. 【答案】(1)①：；②： (2) 【分析】（1）选①：表示出两条直线的斜率，整理方程，可得答案；选②：表示出点的坐标，利用中点坐标公式，建立等量关系，结合圆的方程，可得答案. （2）根据圆心角求得弦心距，利用直线与椭圆的弦长公式，结合分类讨论以及函数思想，可得答案. 【详解】（1）选①： 设，由圆，则，， 所以直线的斜率分为为，，其中， 由题意可得，整理可得. 选②： 设，，则，， 由为的中点，则，解得， 可得，整理可得. （2） 在圆中，由，，则， 在中，，则， 当直线的斜率不存在时，可得，代入方程， 可得：，解得，可得； 当直线的斜率存在时，可设，联立可得， 消去整理可得：，， 根据韦达定理可得：，， 整理可得，则，解得， ， 令，则， 令，解得或，可得下表： 所以，则的最大值为， 综上所述，的最大值为. 10．(23-24高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知椭圆C：的两个焦点分别为，，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若该椭圆左顶点为B，则椭圆上是否存在一点P，使得的面积为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在这样的点P为 【分析】（1）通过焦点可得，椭圆过点，可得，解方程组即可求得椭圆方程； （2）假设存在点，使得的面积为，可构建方程关于的方程，再代入椭圆，求得，则可判定是否存在这样的点. 【详解】（1）因为两个焦点分别为， 所以，即， 因为椭圆过点，所以， 又，解得（负值舍去）， 所以椭圆C的标准方程 （2）假设存在点，使得的面积为，    则又， 所以解得， 代入椭圆可得，解得, 此时点的坐标为 所以存在点P为时，使得的面积为. 11．(23-24高二上·重庆第十一中学校·期中)已知椭圆的离心率为，点为A椭圆C的右顶点，点B为椭圆上一动点，O为坐标原点，若面积的最大值为1． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）当点为椭圆短轴端点时，面积最大，从而得到关系，结合离心率，，求出，，得到椭圆方程. （2）设，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由弦长公式求弦长，再由点到直线的距离求点到直线的距离，写出三角形面积公式，再利用换元法，结合二次函数求最值. 【详解】（1）   当点为椭圆短轴端点时，面积的最大值为1， 此时，即， 又因为，， 所以，， 所以椭圆C的方程为. （2）   联立，消得 ， 由， 得， 设，， 则，， 因为， 所以， 所以，即， 即， 因为，即， 点到直线的距离为， ， 令，所以，， ， 所以当时，即时，面积最大，最大值为1. 地 城 考点07 椭圆中的定点定值定直线问题 一、解答题 1．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)如图，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）. (1)求椭圆的方程； (2)设直线和的斜率分别为，，求证:为定值； (3)求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程； （2）根据切线性质解得点到直线的距离公式整理可得，结合韦达定理分析证明； （3）联立方程求点的坐标，进而可得直线的方程，结合方程分析定点. 【详解】（1）因为 椭圆的上顶点为，离心率为 则 解得， 所以椭圆的方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 设切线方程为，则 ，即 因为两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得:为定值. （3）联立方程 ，消掉得， 设，则， 同理可得 ， 则， 可得直线方程为， 令，得， 所以故直线过定点. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 2．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)已知椭圆的焦点在轴，离心率，点在直线上． (1)求实数的值； (2)设是椭圆的右焦点，若是椭圆上一点，且满足，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为，证明：； (3)若点的纵坐标为，过作直线交椭圆于不同的两点和，在线段上取点（异于两点）满是，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及椭圆的关系即可求出实数的值. （2）由（1）可设点，根据得出，再由点Q在椭圆上得出，用斜率公式即可求出的值； （3）设出的坐标，根据向量共线用坐标表示，解方程组即可得到点的横纵坐标所满足的线性关系. 【详解】（1）设椭圆E的半焦距为c， 由题意可得，解得， 故实数的值为. （2） 设 已知，所以 由在椭圆上有： 所以. （3） 设， 由题意知， 令，则有， 所以，， 则有，即， ①③得：⑤ ②④得：⑥， ⑤⑥： 又在椭圆上， 则有，， 所以的轨迹方程为：， 即点在定直线上． 【点睛】关键点点睛：第二问定值问题首先根据题意将等量关系进行表示后再化简，必要时借助于直曲联立，通过韦达定理减少计算量.第三问，动点过定直线通常设出动点后找到动点的横纵坐标所满足的线性关系，一般计算量较大. 3．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)在平面直角坐标系中，已知椭圆与轴和轴的交点分别为，，，（在左侧，在下侧），直线（且）与直线交于点，过点且平行于的直线交于点（异于点），交轴于点，直线交于点（异于点），直线交轴于点. (1)当时，求出，两点的坐标； (2)直线与直线是否相互平行？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由. 【答案】(1)， (2)平行，证明见解析 【分析】（1）根据题意求相应点和直线方程，进而联立方程求交点坐标即可； （2）根据题意结合斜率关系先证证明，再证明，，三点共线即可. 【详解】（1）由椭圆方程可知：， 则，，，， 直线，即， 联立方程，解得，即， 直线，故，直线，故. 由，化简得，解得或（舍去），即， 可得，故直线， 联立方程，化简得，解得或（舍去），即， 所以. （2）直线与直线相互平行，证明如下： 证明，再证明，，三点共线即可. ①证明由，解得， 直线的方程为，则， 故直线，可得，即，故 ； ②证明，，三点共线： 设，由，得， 解得，故，即； 直线的方程为，设交于， 由，得， 解得，故，即， 则， ， 所以，即，，三点共线， 又有直线交于点，故与重合，即，，三点共线. 由①②可知：. 4．(23-24高二上·重庆巴蜀中学·期中)已知椭圆：的焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆交于M，N两点，的周长为. (1)求椭圆E的离心率； (2)直线：与椭圆有两个不同的交点A，B，直线与x轴的交点为D，若A，B都在x轴上方且点A在线段上，O为坐标原点，和面积分别为，，记，当满足条件的实数变化时，的取值范围是，求椭圆E的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意推出关于的关系式，即可求得离心率； （2）将转化为，结合向量，表示出坐标之间的关系，再结合椭圆方程表示出的表达式，再结合椭圆范围得出关于a的方程，求出a，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知的周长为， 故，故. （2）由题意可知直线：与椭圆有两个不同的交点A，B，直线与x轴的交点为D， 即， 由题意知A，B都在x轴上方，则D必在椭圆外，则， 又，则， 由于点A在线段上，故设，， 设，由得， 则， 又，则， 则，即， 结合，则， 可得，故， 设过点D和椭圆上半部分相切的切线的切点为P，则， 由，则， 由于，故， 结合可得，解得或（舍去）， 又，故， 故椭圆E的方程为. 【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆离心率的求解以及直线和椭圆位置关系中的范围问题，综合性强，计算量大，特别是第二问求解椭圆方程，解答时要将，转化为，结合向量的应用得出点的坐标之间的关系，表示出点A的横坐标，再结合椭圆方程得出点A的坐标，从而得出关于a的方程，求解即可得答案. 5．(23-24高二上·重庆第十八中学·期中)如图，线段的两个端点分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化. (1)求点的轨迹方程； (2)动点在曲线外，且点到曲线的两条切线相互垂直，求证：点在定圆上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）令，根据已知有，利用向量的坐标表示列方程得到，结合即可求轨迹方程； （2）若，切线斜率存在且不为0，令切线为，联立曲线方程得到一元二次方程，根据得，又即可得，再由切线垂直及根与系数关系得到轨迹，最后验证切线斜率不存在或为0的情况即可证. 【详解】（1）由题设，令，则， 由，点是上一点，且， 所以，故，即，则， 所以. （2）令， 若切线斜率存在且不为0，令切线为，则， 联立与，得， 所以，即， 所以，则， 又点到曲线的两条切线相互垂直，若两切线斜率分别为， 故，即， 若切线斜率不存在或为0，则坐标为或或或， 它们都满足， 综上，点在定圆上. 6．(23-24高二上·重庆南开中学校·期中)如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析，定值为0. 【分析】（1）由已知得，结合椭圆参数关系求得，即可得椭圆方程； （2）令，，，联立椭圆方程并应用韦达定理得，，再由向量数量关系的坐标表示得到关于参数k的表达式，将韦达公式代入化简即可证. 【详解】（1）由题设，又，则， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由题设，直线l斜率一定存在，令，且在椭圆C内， 联立直线与椭圆并整理得，且， 令，而，则， 由，则且，得， 同理 由，则且，得， 所以 又，，则. 所以为定值0. 7．(24-25高二上·重庆松树桥中学校·月考)已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为. (1)求曲线的方程； (2)已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值. (3)求的取值范围； 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知及椭圆的定义写出曲线的方程； （2）讨论直线与轴的位置关系，设直线为或并联立椭圆方程，点，应用斜率的两点式及韦达定理求； （3）由（2）及弦长公式或向量数量积的坐标表示得到关于参数m的表示，即可求范围. 【详解】（1）连接，则，设点，圆的圆心，半径为4，， 点的轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长，焦距， ，则曲线的方程为. （2）（法一）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴重合，点都在轴上，， ②若直线不与轴重合，令直线为，， 联立，消去，得， 则， 由韦达定理得， ， 综上所述：. （法二）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴垂直，直线与直线关于轴对称，； ②若直线不与轴垂直，令直线为，， 联立，消去，得，则， 由韦达定理得， 设 ， 综上所述：. （3）（法一）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴重合，则； ②若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点， 由（1）中方法一及弦长公式得， 由，则， 综上所述，的取值范围是. （法二）分以下两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，不妨设，则； ②当直线的斜率存在时，设直线为，， 由（2）方法二及弦长公式得 ， 由， 综上所述，的取值范围是. （法三）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴重合，则 ②若直线不与轴重合，设直线为，， 则，结合（1）中方法一， 由，则， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第二、三问，设直线与椭圆并应用韦达定理，由斜率两点式、弦长公式或向量数量积的坐标表示，求值或列方程为关键. 8．(24-25高二上·重庆巴川中学·)已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上异于左右顶点的任意一点，的周长为6，椭圆的离心率为. (1)求该椭圆的方程； (2)已知定点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点（与点不重合），延长分别与直线交于两点. （i）当直线斜率不存在时，求的面积； （ii）证明：以线段为直径的圆与轴的交点为定点. 【答案】(1)； (2)（i），（ii）证明见详解. 【分析】（1）根据题意，列出的方程组进而求出得解； （2）（i）当的斜率不存在时，求出的坐标，进而求得的面积；（ii）设，，，以线段为直径的圆与轴的交点为，与椭圆联立可得根与系数关系，由，运算求得为常数，得证. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，解得， ，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由题，，当的斜率不存在时，可得， 则，，， 直线，令，解得，即， ， 所以的面积为. （ii）根据题意，设，，，以线段为直径的圆与轴的交点为， 联立，消去整理得， ，则，， 所以直线的方程为：，令，求得， ，同理，可得， ，， 由，即， 又 ， ，解得或， 所以以线段为直径的圆与轴的交点为定点和. 9．(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)已知椭圆，圆为圆上任意一点.动点为线段的中点，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点作曲线的两条切线分别交椭圆于，记两切线斜率分别为. （i）求的值； （ii）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)（i），（ii）相切，理由见解析 【分析】（1）设，由中点坐标公式求得，代入圆即可求解； （2）（i）设切线方程，由圆心到直线距离等于半径，列出等式，由韦达定理即可求解；（ii）由（i），再联立椭圆结合韦达定理求得的方程即可求解. 【详解】（1）设，由动点为线段的中点，由中点坐标公式可得：， 代入圆方程，可得：， 化简可得：， 故曲线的方程为：； （2）（i）设切线方程为：， 则，化简可得：，① 所以； （ii）联立，消去可得：， 则方程异于的根为：，由结合①， 化简可得：， 代入直线方程可得：，再结合①化简可得：， 所以两点坐标为：， 则， 所以的方程为：， 化简可得：，即， 此时圆心到的距离为：， 故直线与曲线相切. 【点睛】关键点点睛：由切线方程与椭圆方程联立，得到坐标，再得到直线方程. 10．(24-25高二上·重庆部分学校·)椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，的周长为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点作直线与椭圆交于，两点. ①若直线的斜率为，求的面积； ②椭圆的左、右顶点分别为，，连接与，求直线与交点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)①; ② 【分析】（1）根据条件，构造方程组，求得即可； （2）设 直线曲线联立借助韦达定理， 得到 ①将面积转化，即，结合韦达定理计算内即可； ②设， 联立方程求出交点满足得解. 【详解】（1）由题意知 解得， ∴椭圆 C 的方程为. （2）如图， 设 设 联立得 ① . ； ②设， ， 由，得， . 故交点的轨迹方程为. 11．(24-25高二上·重庆四川外国语大学附属外国语学校·月考)已知在椭圆． (1)求椭圆的方程； (2)当在椭圆上，且在第三象限，是椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）将已知点坐标代入椭圆标准方程，求解即可； （2）根据题意求出直线的方程，进而得点的坐标，利用垂直关系表示出四边形的面积，通过计算消去参数，即为定值. 【详解】（1）由题意，得，解得，， 则椭圆的方程为. （2） 设点，则，即. 由（1）可知，，，所以直线的方程为， 令，解得， 所以； 直线的方程为，令，解得， 所以 因为，所以四边形的面积， 即 因此，四边形的面积为定值. 12．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·月考)法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的蒙日圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知点是椭圆上的任意一点，点为坐标原点，直线与圆相交于、两点，求证：； (3)过点作互相垂直的直线、，其中交圆于、两点，交椭圆于、两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据蒙日圆定义及椭圆方程直接得解； （2）设，根据椭圆方程，焦点坐标直接计算，再由圆的几何性质计算即可得证； （3）分类讨论，当斜率存在且不为0时，根据可得，分别求出，利用换元法求出的取值范围即可. 【详解】（1）椭圆：中，， 所以所求圆的方程为； （2）如图， 设，则， 又、， ， 同理， ， . （3）①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为， 所以，， 所以四边形面积； ②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为， 则的方程为即， 则原点到的距离为， 所以， 设、，联立与的方程，即， 消去得， 由于在椭圆内部，所以直线与必相交且， 所以 ， 因为, 所以四边形面积， 令，则， 故 ， ，，    令，则， 则在单调递减， 当时；当时，，所以. 综上：. 【点睛】关键点点睛：表示出四边形的面积后，能够恰当经过两次换元，转化为二次函数求最值，是解题的关键，对运算能力要求较高. 13．(24-25高二上·重庆第一中学校·月考)已知椭圆的左､右焦点分别为和，焦距为2.动点在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过原点作的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线的斜率分别记为.当点在椭圆上运动时， ①证明：恒为定值，并求出这个值； ②求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，；②1 【分析】（1）根据已知条件以及椭圆的定义求得，从而求得椭圆方程. （2）①由直线和圆相切列方程，利用根与系数求得恒为定值. ②先求得四边形面积的表达式，然后利用基本不等式求得面积的最大值. 【详解】（1）取的中点记为，连结. 在中，，所以， 则， 即，所以椭圆方程为 （2）①直线与相切，则； 直线与相切，同理有； 则是关于的方程的两根， 由韦达定理知 （注：上式中，先由消去的，再代入） ②由①问知，如图，设， 由， 同理可得， . ， ， 当，时，. 【点睛】本题通过椭圆的标准方程、切线性质和四边形面积的求解，综合考查了椭圆的几何性质、韦达定理及不等式求解的能力．在解题过程中，椭圆参数的确定、切线斜率的关系及面积最大值的求解环环相扣，体现了代数与几何的紧密结合．在求四边形面积的最大值时，利用了基本不等式，确保最大值的合理性，并找出条件下的最优值． 14．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·月考)已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）①联立直线与椭圆方程，利用韦达定理与已知条件得到关于的方程，解之即可得解；②利用三角形面积公式，结合韦达定理与基本不等式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则， 因为，所以， 则，解得， 因为圆上， 所以，则，即， 所以曲线的方程为. （2）①依题意，设直线的方程为，， 联立，消去，得， 则，即， 所以， 则 ， 则， 则， 整理得，解得或（此时直线过点，舍去）， 所以直线过定点； ②由①得，， 则， 所以， 令，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，满足， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $