2025-2026学年人教版数学九年级上册22.1 二次函数的图像和性质

该初中数学知识清单系统梳理了二次函数的核心内容，涵盖概念定义、图象性质、平移变换与解析式求法四大模块。从最基础的二次函数定义出发，逐步过渡到不同形式函数的图象特征与变化规律，再延伸至实际应用中的最值问题和对称性分析，最后通过待定系数法实现从图象到解析式的转化，形成由浅入深、层层递进的学习支架。 知识链路逻辑严密，体现数学抽象与直观思维的融合，突出几何直观与模型意识的培养。通过表格对比、图像绘制与平移规律总结，帮助学生建立数形结合的认知结构，强化运算能力与推理意识。典型例题设计紧扣课标要求，覆盖最值、对称、平移等高频考点，注重真实情境中问题的提出与解决，提升学生用数学语言表达现实关系的能力，助力核心素养落地生根。

第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 知识点汇总： 1.二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函 数，其中，x是自变量，α，b,c分别叫做函数解析式的二次项系数、一次项系数 和常数项.y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)也是二次函数的一般式， 【例1】若函数y=(3-m)xm-7-x+1是二次函数，试确定m的值. 答案：-3 2.常见的二次函数的图象和性质 画图步骤：列表、描点（三点式或者五点式）、连线 (1)y=ax2(a≠0) 开口 顶点 类别 图象 对称轴 增减性 最值 方向 坐标 x<0时，y随x的增 x=0 a>0 向上 大而减小；x>0时， 时， y随x的增大而增大 Jmin =0 y轴 (0,0) x<0时，y随x的增 x=0 a<0 向下 大而增大；x>0时， 时， y随x的增大而减小 ymax =0 (2)y=ax2+k(a≠0) 类别 a>0 a<0 k>0 k<0 k>0 k<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 坐标 (0,k) 顶点 位置 最低（在y轴） 最高（在y轴） 最值 x=0时，ymin=k X=0时，ymax=k x<0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大； 增减性 x>0时，y随x的增大而增大 x>0时，y随x的增大而减小 总结：y=ar2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)图象关系：上加下减 【例2】尝试在同一坐标系下画出y=-x2和y=-x2+1的图象 (3)y=a(x-h)2(a≠0) 类别 a>0 a<0 h>0 h<0 h>0 h<0 图象 对称轴 直线x=h 坐标 (h,0) 顶点 位置 最低（在x轴》 最高（在x轴） x<h时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大； 增减性 x>h时，y随x的增大而增大 x>h时，y随x的增大而减小 最值 x=h时，yn=0 x=h时，ymas=0 总结：y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)(a≠0)图象关系：左加右减 【制】尝试在同一坐标系下面出r和，=-旷的图象 (4)y=a(x-h)2+k(a≠0) 类别 a>0 a<0 h>0,k>0 h<0,k>0 h<0,k>0 h>0,k>0 图像 h<0,k<0 h>0,k<0 h<0,k<0 h>0,k<0 0 顶点 (h,k) 坐标 对称 直线x=h 轴 顶点 当h>0,k>0时，顶点在第一象限；当h<0,k>0时，顶点在第二象限； 位置 当h<0,k<0时，顶点在第三象限；当h>0,k<0时，顶点在第四象限 开口 向上 向下 方向 增减 x<h时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大； 性 x>h时，y随x的增大而增大 x>h时，y随x的增大而减小 最值 x=h时，ymin=k x=h时，ymx=k 总结： y=axr2(a≠0)、y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2(a≠0)、 y=a(x-h)2+k(a≠0)之间的转换关系如下： ①y=ax(a≠0)向右(h>0)或向左(h<0)平移h个单位长度后得到 y=a(x-h)2(a≠0)； ②y=ax(a≠0)向上(k>0)或向下(k<0)平移h个单位长度后得到 y=ax2+k(a≠0)； ③y=ax2+k(a≠0)向右(h>0)或向左(h<0)平移hM个单位长度后得到 y=a(x-h)2+k(a≠0)； ④自己试着总结y=ax2(a≠0)如何变换成y=a(x-h)2+k(a≠0). (5)y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 函数 a>0 a<0 y本 图象 开口 向上 向下 方向 对称 直线x=- 轴 2a 顶点 4ac-b2 b 坐标 2a’ Aa 增减 x<- 时，y随x的增大而减小： 2a x<- 时，y随x的增大而增大； 2a 性 x>- 时，y随x的增大而增大 x>- 2a 时，y随x的增大而减小 2a 最值 b 4ac-b2 b ymx =y(- 4ac-b2 ymin =y( )= 2a Aa 2,d 4a 【例4】尝试画出y×-6x+21图像，并说明y--6:+21是由)怎 样平移得到的. 3.用待定系数法求二次函数解析式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)：已知图象上三个点的坐标： (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)：顶点坐标或对称轴或最大（小）值； (3)交点式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)：已知抛物线与x轴的两交点或已知抛 物线与x轴的一个交点和对称轴， 典型例题： 题型一：求二次函数的最值 【例5】求二次函数y=方+3x+的极值 答案：最小值为ymm=4,无最大值 【例6】已知函数y=+x-1在m≤x≤1上的最大值为1，最小值为-子，求m的 取值范围 答案：-2≤m≤ 题型二：抛物线对称性的应用 【例7】小华在用描点图画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像时，列了如下表 格： -2 -1 0 1 2 y 6 -4 -2 -2 2 2 2 根据表格信息，当x=3时，y=一 题型三：抛物线的平移变换 【例8】把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平 多4个单位长度，得到三次函数y)+-1的图象 (1)试确定a,h,k的值； (2)指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标， 答案：〈1a=A=1k=-5；（2)开口向下，对称销为=1，顶点坐标为 (1,-5) 题型四：抛物线关于坐标轴的轴对称变换 【例9】已知抛物线C与抛物线y=-2x2+8x-8关于x轴对称，求抛物线C的解 析式 答案：y=2x2-8x+8