专题5.6 一次函数（章节复习）（知识梳理+32个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题5.6 一次函数（章节复习） （知识梳理+32个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：函数的有关概念 2 知识点梳理02：一次函数的概念 3 知识点梳理03：一次函数的图象 3 知识点梳理04：一次函数的性质 3 知识点梳理05：确定一次函数表达式 4 知识点梳理06：图象的平移 5 知识点梳理07：两条直线间的位置关系 5 知识点梳理08：两条直线间的位置关系 5 知识点梳理09：一次函数与方程（组） 5 知识点梳理10：一次函数与不等式 6 知识点梳理11：一次函数的应用 6 优选题型 考点讲练 6 考点1：用表格表示变量间的关系 6 考点2：用关系式表示变量间的关系 7 考点3：用图象表示变量间的关系 7 考点4：从函数的图象获取信息 8 考点6：用描点法画函数图象 9 考点7：动点问题的函数图象 10 考点8：函数的三种表示方法 11 考点9：列一次函数解析式并求值 11 考点10：求一次函数解析式 12 考点11：根据一次函数解析式判断其经过的象限 13 考点12：一次函数图象与坐标轴的交点问题 14 考点13：求一次函数自变量或函数值 14 考点14：一次函数图象平移问题 16 考点15：一次函数图象与对称问题 18 考点16：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 19 考点17：比较一次函数值的大小 20 考点18：一次函数的规律探究问题 21 考点19：已知直线与坐标轴交点求方程的解 22 考点20：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 22 考点21：利用图象法解一元一次方程 24 考点22：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 26 考点23：根据两条直线的交点求不等式的解集 27 考点24：分配方案问题（一次函数的实际应用） 28 考点25：最大利润问题（一次函数的实际应用） 29 考点26：行程问题（一次函数的实际应用） 30 考点27：梯度计价问题 31 考点28：其他问题（一次函数的实际应用） 32 考点29：一次函数与几何综合 34 考点30：两直线的交点与二元一次方程组的解 35 考点31：图象法解二元一次方程组 36 考点32：求直线围成的图形面积 38 中考真题 实战演练 40 难度分层 拔尖冲刺 42 基础夯实 42 培优拔高 44 知识点梳理01：函数的有关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做 变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 知识点梳理02：一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 知识点梳理03：一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 知识点梳理04：一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 （3）一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 知识点梳理05：确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 知识点梳理06：图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 知识点梳理07：两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 知识点梳理08：两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 知识点梳理09：一次函数与方程（组） (1)一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应. (2)二元一次方程组 的解就是两个一次函数和图象的交点坐标. (3)一元一次方程的根就是一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交点的横坐标. 知识点梳理10：一次函数与不等式 (1)一次函数的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 (2)一次函数的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 知识点梳理11：一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题的步骤： 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 考点1：用表格表示变量间的关系 【典例精讲】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 35 60 85 110 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是 B．继续加热到，预计油的温度是 C．在这个问题中，自变量为时间t D．每加热，油的温度升高 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： 时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 温度（℃） 时间（分） 7 8 9 温度（℃） (1)时间是8分钟时，水的温度为________； (2)此表反映了变量________和________之间的关系，其中________是自变量，________是因变量； (3)在________时间内，温度随时间增加而增加；________时间内，水的温度不再变化． 考点2：用关系式表示变量间的关系 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，水与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高．这个过程中自变量和常量分别是（    ） A．水的质量，食盐水的浓度 B．水的质量，食盐水的质量 C．食盐水的质量，食盐的质量 D．食盐的质量，水的质量 【变式训练】（23-24七年级下·广东深圳·期末）地表以下岩层的温度y（）随着所处深度x（）的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的函数关系可以近似地表示为 所处深度x（） 2 3 5 7 10 13 地表以下岩层的温度y（） 90 125 195 265 370 475 则该地y与x的关系可以近似地表示为（ ） A． B． C． D． 考点3：用图象表示变量间的关系 【典例精讲】（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 【变式训练】（24-25八年级下·云南昆明·期末）某班同学在做弹簧总长单位：与所挂砝码质量单位：变化关系的实验时，记录的相关数据如表． 所挂砝码质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧总长 3 4 5 6 7 8 则下列图象适合表示y与x的对应关系的是（     ） A．   B．   C．   D．   考点4：从函数的图象获取信息 【典例精讲】（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地，A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲，乙两人之间的距离y（）与甲所用时间x（）之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④．以上结论正确的有 ．（填序号） 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）小东早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行驶的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示，若小东返回时上、下坡的速度仍保持不变，则他从学校骑车回家用的时间是 分． 考点6：用描点法画函数图象 【典例精讲】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）下面是对函数和的图象和性质的研究，完成下列探索过程： (1)补全下表： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 ___ ____ ___ ___ 4 … … 0 1 2 3 4 … (2)根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数与的图象； (3)根据函数图象填空： ①函数的最小值为____； ②当时，的值为______． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江温州·期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 考点7：动点问题的函数图象 【典例精讲】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是（   ） A．25 B．36 C．16 D．20 【变式训练】（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（    ）    A．18 B．20 C．26 D．36 考点8：函数的三种表示方法 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是 ． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 【变式训练】（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经排水﹣清洗﹣注水的过程，某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄水2500m3，打开放水闸门匀速放水后，游泳池里的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是(     ) 放水时间(分钟) 1 2 3 4 … 游泳池中的水量(m3) 2480 2460 2440 2420 … A．每分钟放水20 m3 B．游泳池中的水量是因变量，放水时间是自变量 C．放水10分钟时，游泳池中的水量为2300 m3 D．游泳池中的水全部放完，需要124分钟 考点9：列一次函数解析式并求值 【典例精讲】（24-25八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【变式训练】（20-21九年级上·吉林长春·阶段练习）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于 ． 考点10：求一次函数解析式 【典例精讲】（23-24八年级上·广东茂名·期末）一次函数图象经过点和，则函数解析式为 ． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）在直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，，如图2所示．若（表示三角形的面积），求点、的坐标． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点11：根据一次函数解析式判断其经过的象限 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①函数中随的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③不等式的解集是； ④． 其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式训练】（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 考点12：一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）若两个一次函数，则称函数为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数与的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积； (2)若一次函数的“和谐函数”为，则________，________； (3)已知一次函数与的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数、满足的条件为：________1且________0（用“＞”或“＜”填空）． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 考点13：求一次函数自变量或函数值 【典例精讲】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．小明利用所学过的函数知识，对函数的图象与性质进行研究，并解决以下问题．其研究过程如下： (1)绘制函数图象：【列表】：如表是与的对应值： … … … … ① ； ②若点，都在该函数图象上，则 ； ③【描点、连线】在平面直角坐标系中，画出该函数图象． (2)观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是 ； ②进一步探究函数图象发现：方程的解为 ； ③在此基础上，请另外写出一条关于该函数图象的性质： ． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）学习了列表、描点、连线三步画函数图象的方法，小明发现可以应用它探究各种函数的性质，于是构造出函数，并应用以上三步做探究：列表：描点、连线： 0 1 2 3 4 (1)帮助小明完成上面表格； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)在图中画出函数的图象，并利用函数图象求方程的解． 考点14：一次函数图象平移问题 【典例精讲】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）探究与应用 【探究发现】 晓豫和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义图象性质应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点是数轴上一点，表示的数是1；点是数轴上一动点，若它表示的数是，的距离为，随着的变化，的距离会如何变化呢？ （1）数学小组通过列表得到以下数据： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 1 0 1 2 3 4 … 其中 ． 数学小组发现给定一个的值，就会有唯一的一个值与之对应，是的函数吗？ （填“是”或“不是”） （2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ； 【应用拓展】 （3）若点，均在该函数图象上，请直接写出，满足的数量关系： ； （4）将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折，得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为 ．（备注：直线即过点且与轴平行的直线） 【变式训练】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 考点15：一次函数图象与对称问题 【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 考点16：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值： (3)当时，则x的取值范围是______． 【变式训练】（21-22八年级上·北京·期中）已知一次函数y＝2x+4，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)直接写出点A、B的坐标； (2)在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象； (3)当时，直接写出y的取值范围． 考点17：比较一次函数值的大小 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽·期末）已知与成正比例，且当时，．求： (1)y与x之间的函数表达式； (2)若点，在该一次函数的图象上，且，求实数m的取值范围． 【变式训练】（23-24八年级下·浙江台州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数，我们把的函数称为一次函数的反射函数． (1)写出一次函数的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象． (2)若，都在（1）中y'图象上，，若，求a的取值范围． (3)已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点是同一坐标平面上的一个动点，当时，求p的取值范围． 考点18：一次函数的规律探究问题 【典例精讲】（24-25八年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练】（21-22八年级上·山东济南·期中）如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，，，，，…，，，…则当动点C到达处时，运动的总路径的长为（    ） A． B． C． D． 考点19：已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数（是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．方程的解是 D．不等式的解集是 【变式训练】（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 考点20：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【典例精讲】（21-22八年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，． (1)求k的值； (2)点P在线段AB上，连接OP．若，求点P的坐标； (3)将直线AB绕点A逆时针旋转45°后得到直线AC，求直线AC的表达式． 【变式训练】（21-22八年级上·山东青岛·期中）[学习探究] 数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法．如图1，两个直角边分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形． 解：有三个直角三角形其面积分别为ab，ab和c2， 直角梯形的面积为（a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2． 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝c2+2ab． ∴a2+b2＝c2． 故结论为：直角边长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2． [类比尝试] （1）如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，点D是AB上一动点，求CD的最小值是多少？ （2）如图3，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，求： ①△ABC的面积； ②BD的长． [拓展探究] （3）如图4，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+10与x轴、y轴分别交于点A和B，直线l2经过坐标原点，且l2⊥l1，垂足为C，求： ①写出A点和B点的坐标． ②点C到x轴的距离． 考点21：利用图象法解一元一次方程 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在等腰中，，，动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位速度向点运动，同时，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位速度向点运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒，． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线的图象与的函数图象有两个交点，请直接写出的取值范围． 【变式训练】（21-22八年级上·河南郑州·期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下．请补充完整． (1)列表： … -1 0 1 2 3 4 … … -2 -3 -4 -2 -1 … 请根据表格中的信息，可得__________， __________． (2)①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． ②若点，在函数图象上，且，观察图像写出、的大小关系． 并说明理由． (3)结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程有且只有一个正数解和一个负数解，则满足条件的取值范围是___________． 考点22：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数（为常数）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【变式训练】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）一次函数和的图象交于点C，如图所示，且，． (1)不等式的解集是______； (2)若不等式的解集是． ①求点C的坐标； ②写出不等式组时x的取值范围． 考点23：根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④是直线上不重合的两点，则． 其中正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（23-24八年级上·福建宁德·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） 对于函数来说，的值随值的增大而减小 函数的图象不经过第一象限 A．个 B．个 C．个 D．个 考点24：分配方案问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）谷歌人工智能AlphaGo机器人与李世石的围棋挑战赛引起人们关注，人工智能战胜李世石．某网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/ 超时费/（元/） A 6 B 8 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为x，方案A，B的收费金额分别为yA元、yB元． (1)当时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； (2)若小明3月份上该网站学习的时间为，则他选择哪种方式上网学习合算？ 【变式训练】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）A市和B市分别有库存的某种联合收割机12台和6台，现决定运往C市和D市各9台，已知从A市运往C市、D市的运费分别为每台400元和600元，从B市运往C市、D市的运费分别为每台200元和500元．设A市运往C市的联合收割机为x台，总运费为w元． (1)求w关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)求总运费w最低的调运方案，并求出最低总运费． 考点25：最大利润问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件（允许甲、乙两种原料有剩余），生产单件A，B产品的原料用量和获利如表所示： 甲（） 乙（） 获利（元） A 9 3 700 B 4 10 1200 (1)按要求安排A，B两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来； (2)设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数表达式，并利用这个表达式说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 【变式训练】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商场体育用品需求量激增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用y（单位：元）与x（单位：个）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求m的值． 考点26：行程问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（2023八年级上·全国·竞赛）如图，在一条平直公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去． (1)若汽车的行驶速度是，在距离山壁处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？ (2)某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过再次鸣笛．若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是，求汽车的行驶速度．（已知声音在空气中的传播速度是．） 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动，快车离乙地的路程与行驶的时间之间的函数关系，如图中线段所示；慢车离乙地的路程与行驶的时间之间的函数关系，如图中线段所示，根据图象进行以下研究． 解读信息： （1）甲，乙两地之间的距离为________； （2）线段的解析式为________；线段的解析式为________； 问题解决： （3）设快、慢车之间的距离为，求与慢车行驶时间的函数关系式，并画出函数图象． 考点27：梯度计价问题 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 考点28：其他问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）某物流公司计划租用、两种型号的货车运输货物，已知租用3辆型货车和2辆B型货车一次可运货17吨，租用2辆A型货车和3辆B型货车一次可运货18吨． (1)求每辆A型货车和每辆B型货车一次分别可运货多少吨？ (2)该物流公司计划租用这两种型号的货车共10辆，且A型货车的数量不超过B型货车数量的2倍，若每吨货物的运输费用为30元，怎样租车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 【变式训练】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）（1）A、B两村之间的公路进行对接修筑，甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图（1）是甲、乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： ①乙工程队每天修公路多少米？ ②分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式； ③若乙工程队后来进入施工后，不提前离开，直到公路对接完工，那么施工过程共需几天？ （2）如图（2），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，在第一象限取点C，使成为等腰直角三角形；如果在第二象限内有一点，使的面积与的面积相等，求a的值． 【答案】（1）①120米；②，；③施工过程共需11天；（2） 考点29：一次函数与几何综合 【典例精讲】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)直线与y轴交于点M，求的面积． (3)若，直接写出x的取值范围． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，点P是边上一动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点B出发沿向点C以3的速度运动．求的面积与点P的运动时间之间的关系式． 考点30：两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例精讲】（24-25八年级上·广西梧州·期中）综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【变式训练】（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于A、、、四个点.则下列结论： ①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 考点31：图象法解二元一次方程组 【典例精讲】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在数学拓展课上，智慧小组通过数形结合的思想进一步研究二元一次方程组和一次函数之间的关系． 已知二元一次方程组 (1)补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为________． (2)分别将表格1、表格2中的每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在图1的平面直角坐标系中描出表格内各点，再顺次连接各点，并写出一条你所获取的信息． (3)实践小组将和（，为常数）两个方程的解按照上述方法在平面直角坐标系中绘制的图象如图2所示，两直线交于点．直接写出方程组的解，并求出，的值． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 考点32：求直线围成的图形面积 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为． (1)如图，若． ①求直线、直线与y轴所围成的的面积； ②根据图像直接写出的解集． (2)若，求整数k的值． 【变式训练】（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点M的坐标． (4)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 2．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 3．（2025·湖南·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点： 4．（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 5．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·期中）正比例函数的图象如图所示，则的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）已知直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 3．（20-21八年级上·江西景德镇·期末）一天中午，小宇放学，立即骑自行车回家吃午餐，吃好午餐后返回到学校．小宇离学校的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系如图所示．则小宇离学校的距离为 千米． 4．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）根据学习函数图象的经验，数学社团对函数的图象进行了探究．下面是他们的探究过程，请完成相应的任务． (1)自变量x的取值范围是　　　． (2)列表如下：直接写出　　　． … … … … (3)在给定的平面直角坐标系中，描出（2）中给出的对应值为坐标的点，并尝试画出该函数的图象． (4)结合函数图象，我们发现： ①函数的最大值是　　　． ②当时，的取值范围是　　　． ③结合随的变化趋势，写出你的发现：　　　．（一条即可） 5．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）某市端午节期间，甲、乙两队举行了全程为1000米的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间（分钟）之间的图象如图所示，请你根据图象，解答下列问题： (1)甲与乙相遇时，甲队的速度为 米/分钟，乙队的速度为 米/分钟； (2)求乙队比赛时的路程s（米）与时间（分钟）之间的函数关系式； (3)在乙队到达终点之前，问何时甲、乙两队之间的距离为50米？ 培优拔高 6．（20-21八年级上·广东揭阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，则下列图象中可能正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2023八年级上·全国·竞赛）甲、乙两车在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速行驶，先到终点的车原地休息，已知甲车先出发小时，在整个行驶过程中，甲、乙两车的距离y（千米）与甲出发的时间t（时）之间的关系如图所示，下列结论：①甲车的速度为45千米/时；②乙行驶2小时追上甲；③乙车由A地到B地共用小时；④甲车的速度是乙车速度的；⑤A、B两地相距240千米，其中正确的结论有 （只填序号）． 8．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）如图直线分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 ． 9．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）近年来，外卖市场竞争激烈，一些外卖公司的订单大量增加，某公司负责招聘外卖小哥，每月工资：底薪2000元，另加外卖送单补贴（送一次外卖称为一单），具体方案如下： 外卖送单数量（每月） 补贴（元/单） 不超过500单 6 超过500单的部分 9 例：某月送餐600单工资总额元． (1)设9月份外卖小哥送餐x单，所得工资为y元，求y与x的函数关系式； (2)若外卖小哥9月份的所得工资为6980元，则他本月送餐送出多少单？ 10．（25-26八年级上·重庆渝北·开学考试）如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点、点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点、点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求及图②中的值； (2)当点出发______秒时，点的运动路程为； (3)设点离开点的路程为（cm），点到点还需要走的路程为（cm），请分别写出改变速度后，、与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点、点相遇时的值． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.6 一次函数（章节复习） （知识梳理+32个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：函数的有关概念 2 知识点梳理02：一次函数的概念 3 知识点梳理03：一次函数的图象 3 知识点梳理04：一次函数的性质 3 知识点梳理05：确定一次函数表达式 4 知识点梳理06：图象的平移 4 知识点梳理07：两条直线间的位置关系 5 知识点梳理08：两条直线间的位置关系 5 知识点梳理09：一次函数与方程（组） 5 知识点梳理10：一次函数与不等式 5 知识点梳理11：一次函数的应用 5 优选题型 考点讲练 6 考点1：用表格表示变量间的关系 6 考点2：用关系式表示变量间的关系 7 考点3：用图象表示变量间的关系 8 考点4：从函数的图象获取信息 10 考点6：用描点法画函数图象 11 考点7：动点问题的函数图象 13 考点8：函数的三种表示方法 14 考点9：列一次函数解析式并求值 16 考点10：求一次函数解析式 17 考点11：根据一次函数解析式判断其经过的象限 20 考点12：一次函数图象与坐标轴的交点问题 22 考点13：求一次函数自变量或函数值 24 考点14：一次函数图象平移问题 28 考点15：一次函数图象与对称问题 33 考点16：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 36 考点17：比较一次函数值的大小 38 考点18：一次函数的规律探究问题 41 考点19：已知直线与坐标轴交点求方程的解 44 考点20：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 45 考点21：利用图象法解一元一次方程 49 考点22：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 54 考点23：根据两条直线的交点求不等式的解集 56 考点24：分配方案问题（一次函数的实际应用） 58 考点25：最大利润问题（一次函数的实际应用） 60 考点26：行程问题（一次函数的实际应用） 63 考点27：梯度计价问题 65 考点28：其他问题（一次函数的实际应用） 68 考点29：一次函数与几何综合 71 考点30：两直线的交点与二元一次方程组的解 73 考点31：图象法解二元一次方程组 76 考点32：求直线围成的图形面积 80 中考真题 实战演练 84 难度分层 拔尖冲刺 89 基础夯实 89 培优拔高 94 知识点梳理01：函数的有关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做 变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 知识点梳理02：一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 知识点梳理03：一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 知识点梳理04：一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 （3）一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 知识点梳理05：确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 知识点梳理06：图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 知识点梳理07：两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 知识点梳理08：两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 知识点梳理09：一次函数与方程（组） (1)一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应. (2)二元一次方程组 的解就是两个一次函数和图象的交点坐标. (3)一元一次方程的根就是一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交点的横坐标. 知识点梳理10：一次函数与不等式 (1)一次函数的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 (2)一次函数的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 知识点梳理11：一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题的步骤： 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 考点1：用表格表示变量间的关系 【典例精讲】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 35 60 85 110 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是 B．继续加热到，预计油的温度是 C．在这个问题中，自变量为时间t D．每加热，油的温度升高 【答案】D 【思路引导】本题考查了常量与变量，准确熟练地进行计算是解题的关键，根据常量与变量的意义，表格中的数据进行计算，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：A、没有加热时，油的温度是，故A正确，不符合题意； B、继续加热到，预计油的温度是，故B正确，不符合题意； C、在这个问题中，自变量为时间t，故C正确，不符合题意； D、每加热，油的温度升高，故D不正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： 时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 温度（℃） 时间（分） 7 8 9 温度（℃） (1)时间是8分钟时，水的温度为________； (2)此表反映了变量________和________之间的关系，其中________是自变量，________是因变量； (3)在________时间内，温度随时间增加而增加；________时间内，水的温度不再变化． 【答案】(1) (2)温度，时间，时间，温度 (3)0至8分钟，8至分钟 【思路引导】本题考查了函数的概念，函数的增减性，解题关键是理解函数的概念和函数的增减性． 根据表中数据，结合函数的概念及函数的增减性求解． 【规范解答】（1）解：时间是8分钟时，水的温度为， 故答案为：． （2）此表反映了变量温度和时间之间的关系，其中时间是自变量，温度是因变量, 故答案为：温度，时间，时间，温度； （3）在0至8分钟时间内，温度随时间增加而增加；8至12分钟时间内，水的温度不再变化， 故答案为：0至8分钟，8至12分钟． 考点2：用关系式表示变量间的关系 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，水与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高．这个过程中自变量和常量分别是（    ） A．水的质量，食盐水的浓度 B．水的质量，食盐水的质量 C．食盐水的质量，食盐的质量 D．食盐的质量，水的质量 【答案】D 【思路引导】此题考查的是常量与变量的概念，掌握其概念是解决此题的关键．根据对浓度的认识解答本题，水的质量不变，加的食盐越多，食盐水的浓度越高，据此解答即可． 【规范解答】解：随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，自变量是食盐量，因变量是食盐水的浓度． 故选：D． 【变式训练】（23-24七年级下·广东深圳·期末）地表以下岩层的温度y（）随着所处深度x（）的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的函数关系可以近似地表示为 所处深度x（） 2 3 5 7 10 13 地表以下岩层的温度y（） 90 125 195 265 370 475 则该地y与x的关系可以近似地表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查用函数关系式表示变量之间的关系，根据表格中数据的变化规律求解即可． 【规范解答】解：由表格中数据可知，从2千米开始，每增加1千米，气温升高， ∴y与x的关系可以近似的表示为． 故选：A． 考点3：用图象表示变量间的关系 【典例精讲】（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 【答案】(1)H的运动时间为，的面积为S (2)4，14 (3) 【思路引导】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键． （1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据三角形的面积及图象即可得出答案； （3）根据题意确定三角形的底和高即可求面积． 【规范解答】（1）解：由图象可知，的面积S随着时间t的改变而改变． 所以自变量为：H的运动时间t；因变量为：的面积S． 故答案为：H的运动时间t；的面积S； （2）解：，，则， ， 故答案为：4，14； （3）解：∵动点H按从的路径匀速运动， 由题意可知，点H在上运动时的面积不变， ， 【变式训练】（24-25八年级下·云南昆明·期末）某班同学在做弹簧总长单位：与所挂砝码质量单位：变化关系的实验时，记录的相关数据如表． 所挂砝码质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧总长 3 4 5 6 7 8 则下列图象适合表示y与x的对应关系的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【思路引导】本题考查函数的图象，根据表格的数据，结合实际问题，利用数形结合的方法是解答本题的关键．根据表格信息，再对比图象中的折点即可选出答案． 【规范解答】解：由题意可知，所挂砝码质量小于或等于时，每增加弹簧总长增加；当所挂砝码质量等于或大于时，弹簧总长为， 适合表示y与x的对应关系的是选项C． 故选：C． 考点4：从函数的图象获取信息 【典例精讲】（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地，A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲，乙两人之间的距离y（）与甲所用时间x（）之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④．以上结论正确的有 ．（填序号） 【答案】①② 【思路引导】本题考查了函数图象的识别，观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键． ①当时，，可得出A、B之间的距离为；②根据速度路程时间可求出乙的速度，再根据甲的速度路程时间乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1．5倍；③根据路程二者速度和运动时间，即可求出；④根据甲走完全程所需时间两地间的距离÷甲的速度，即可求出．综上即可得出结论． 【规范解答】解：①当时，， ∴A、B之间的距离为，故结论①正确； ②乙的速度为， 甲的速度为， ∵ ∴乙行走的速度是甲的倍，故结论②正确； ③，故结论③错误； ④，故结论④错误． 故结论正确的有①②． 故答案为：①②． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）小东早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行驶的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示，若小东返回时上、下坡的速度仍保持不变，则他从学校骑车回家用的时间是 分． 【答案】42 【思路引导】本题主要考查了从函数图象获取信息．观察图象求出上下坡的速度以及上下坡的路程，即可求解． 【规范解答】解：观察图象得：上坡的速度为千米/分，下坡的速度为千米/分，上坡的路程为千米，下坡的路程为千米， ∴分， 即他从学校骑车回家用的时间是42分． 故答案为：42 考点6：用描点法画函数图象 【典例精讲】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）下面是对函数和的图象和性质的研究，完成下列探索过程： (1)补全下表： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 ___ ____ ___ ___ 4 … … 0 1 2 3 4 … (2)根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数与的图象； (3)根据函数图象填空： ①函数的最小值为____； ②当时，的值为______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①；②或 【思路引导】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解题的关键． （1）分别把、、、代入函数解析式，求出的对应值即可； （2）根据表格中、对应值，画出函数图象即可； （3）①根据函数图象可直接得出结论； ②根据两函数的图象可直接得出结论． 【规范解答】（1）解：当时，； 当时，． 当时，； 当时，． 故答案为：； （2）解：函数图象如图所示； （3）解：①由函数图象可知，函数的最小值为 ． 故答案为：； ②由函数图象可知，当时，的值为或． 故答案为：或． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江温州·期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据所走的路程随时间t的增加而变化情况可得答案． 本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 【规范解答】解：开始出发时，他所行走的路程从800米开始减少，故选项A、C、D不合题意； 步行到达图书馆的过程中，他所行走的路程不变， 在从图书馆回家过程中，路程随时间的增加而减少． 故选：B． 考点7：动点问题的函数图象 【典例精讲】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是（   ） A．25 B．36 C．16 D．20 【答案】D 【思路引导】本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中的面积和函数图象，求出和的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积，点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4，当点P在上运动时， 的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且运动路程由4到9，说明的长为5，然后求出矩形的面积． 【规范解答】解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y随x的增大而增大，当P点在上运动时，的面积不变， 得出， 所以矩形的面积为：． 故选：D． 【变式训练】（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（    ）    A．18 B．20 C．26 D．36 【答案】A 【思路引导】由题意知，，，进而可求矩形的周长． 【规范解答】解：由题意知，，， ∴矩形的周长是， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了函数的图象，矩形的性质．解题的关键在于从图象中获取正确的信息． 考点8：函数的三种表示方法 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是 ． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 【答案】 【思路引导】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格数据的特点，即可得到变量间的关系，正确理解题意是解题的关键． 【规范解答】解：∵观察表格可知：平均每小时蜡烛烧掉3厘米， ∴x小时燃烧了厘米， ∵蜡烛总长为20厘米， ∴剩余的高度总长度燃烧的长度， 即， 故答案为：． 【变式训练】（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经排水﹣清洗﹣注水的过程，某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄水2500m3，打开放水闸门匀速放水后，游泳池里的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是(     ) 放水时间(分钟) 1 2 3 4 … 游泳池中的水量(m3) 2480 2460 2440 2420 … A．每分钟放水20 m3 B．游泳池中的水量是因变量，放水时间是自变量 C．放水10分钟时，游泳池中的水量为2300 m3 D．游泳池中的水全部放完，需要124分钟 【答案】D 【思路引导】根据该游泳池共蓄水2500m3与每分钟后游泳池中的剩余水量可得，每分钟放水20m3，继而判断正误． 【规范解答】解：A．由表格可得每分钟放水20m3，正确． B．游泳池中的水量随放水时间变化而变化，故放水时间是自变量，游泳池中的水量是因变量，正确． C．放水十分钟后，剩余水量2500﹣20×10＝2300（m3），正确． D．全部放完需要2500÷20＝125（分钟），错误． 故选：D． 【考点剖析】本题主要考查函数的表示方法：表格法，另外还有图象法和解析式法，解题关键是从实际应用中构建函数模型求解． 考点9：列一次函数解析式并求值 【典例精讲】（24-25八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【答案】B 【思路引导】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【规范解答】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 【变式训练】（20-21九年级上·吉林长春·阶段练习）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于 ． 【答案】-3 【思路引导】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a﹣b＝﹣2，代入2（3a﹣b）+1即可． 【规范解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上， ∴b＝3a+2， 则3a﹣b＝﹣2． ∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3， 故答案为﹣3． 【考点剖析】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键． 考点10：求一次函数解析式 【典例精讲】（23-24八年级上·广东茂名·期末）一次函数图象经过点和，则函数解析式为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了求一次函数解析式，设一次函数的解析式为，利用待定系数法解答即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【规范解答】解：设一次函数的解析式为，把点和代入得， ， 解得， ∴函数解析式为， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）在直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，，如图2所示．若（表示三角形的面积），求点、的坐标． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为； (3)直线上存在一点，使得，点的坐标为或． 【思路引导】（1）利用平移的性质确定出平移的方向和距离，进而可得点D的坐标； （2）设D点纵坐标为y，由平移的性质可得，，根据三角形面积之间的关系，列方程方程求解即可得的值，从而可得点、的坐标； （3）用待定系数法求直线的解析式，根据，结合平移的性质可得，设点的坐标，用勾股定理解列方程求解，即可得点的坐标． 【规范解答】（1）解：设点的坐标为， ∵，，，平移线段到线段，点的对应点为，点的对应点为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 故答案为：． （2）解：设点的纵坐标为， ∵点在轴的正半轴上，点在第二象限内，，， ∴线段向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，， 连接， ，，， ∵ ∴， 解得， ∴， ∴，， 答：点的坐标为，点的坐标为． （3）解：设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 假设直线上存在一点，使得，设点， 由平移的性质可知，， ∵，点在直线上， ∴， 作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 解得或 当时，，点的坐标为， 当时，，点的坐标为， ∴点的坐标为或， 答：直线上存在一点，使得，点的坐标为或． 【考点剖析】本题考查点的坐标平移，平移的性质，勾股定理，求一次函数的解析式． 考点11：根据一次函数解析式判断其经过的象限 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①函数中随的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③不等式的解集是； ④． 其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键． 根据函数图象直接得到结论①②③；根据两直线的交点横坐标即可判断④． 【规范解答】解：由图象可得：对于函数，图象从左往右是下降的，即随的增大而减小，故①正确； 函数的图象经过第一、三、四象限；故②错误； 由图象可得当时，一次函数图象在的图象上方， ∴不等式的解集是，故③正确； ∵一次函数图象与的图象的交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了一次函数图象，先根据直线经过的象限，得出k和b的符号，然后再判断直线的k和b的符号是否与直线一致，据此即可得出答案． 【规范解答】解：A．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意； B．直线中，，，中，，则，一致，故本选项符合题意； C．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意； D．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意． 故选：B． 考点12：一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）若两个一次函数，则称函数为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数与的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积； (2)若一次函数的“和谐函数”为，则________，________； (3)已知一次函数与的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数、满足的条件为：________1且________0（用“＞”或“＜”填空）． 【答案】(1) (2) (3)>；> 【思路引导】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握“和谐函数”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐函数”的定义求出表达式，再求出，即可求出的面积； （2）根据“和谐函数”的定义得到，，即可求出答案； （3）根据“和谐函数”的定义得到，再根据经过的象限得到，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，与的“和谐函数”的表达式为，即 当时，， 当时，，解得，， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）∵一次函数的“和谐函数”为， ∴，， 解得，， 故答案为：； （3）由题意可得，一次函数与的“和谐函数”为， ∵的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得且， 故答案为：>；>． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】点的坐标是． 【思路引导】通过一次函数解析式能求出、两点的坐标，也就是的长，由等腰直角可以得出，作垂直于轴，构造，从而求出、的长，得到点的坐标，本题考查了一次函数求交点坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【规范解答】解：当时，，解得，即点坐标为， 当时，，则点坐标为， 作垂直于轴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ∴， ， ， ， ∴点的坐标是． 考点13：求一次函数自变量或函数值 【典例精讲】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．小明利用所学过的函数知识，对函数的图象与性质进行研究，并解决以下问题．其研究过程如下： (1)绘制函数图象：【列表】：如表是与的对应值： … … … … ① ； ②若点，都在该函数图象上，则 ； ③【描点、连线】在平面直角坐标系中，画出该函数图象． (2)观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是 ； ②进一步探究函数图象发现：方程的解为 ； ③在此基础上，请另外写出一条关于该函数图象的性质： ． 【答案】(1)①；②；③图见解析 (2)①；②；③见解析 【思路引导】（1）①通过代入值求（即 ）；②利用函数图象上点的坐标特征找的值，③依据表格数据描点连线画图象． （2）①观察画出的函数图象，确定函数最小值；②求解方程的解（即函数图象与轴交点的横坐标 ）；③总结函数的其他性质（如单调性等 ）即可． 【规范解答】（1）解：①将代入函数得， ， ∴， 故答案为：； ②由表格中数据可知：∵，为该函数图象上不同的两点， ∴； 故答案为：； ③画出函数图象如图， （2）解：①根据函数图象可得，该函数的最小值是； ②进一步探究函数图象发现：方程的解为，； ③时，随的增大而减小 【考点剖析】本题主要考查一次函数（含绝对值）的图象与性质，涉及函数图象的绘制、函数最值、方程与函数图象的关系等．熟练掌握函数图象的研究方法（列表、描点、连线）以及函数与方程、函数性质的联系是解题的关键． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）学习了列表、描点、连线三步画函数图象的方法，小明发现可以应用它探究各种函数的性质，于是构造出函数，并应用以上三步做探究：列表：描点、连线： 0 1 2 3 4 (1)帮助小明完成上面表格； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)在图中画出函数的图象，并利用函数图象求方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)图见解析，或 【思路引导】（1）将对应值代入函数计算值来填表； （2）依据（1）中表格的坐标点，进行描点、连线画出函数图象； （3）先画出图象，再通过找两函数图象交点的横坐标，得到方程的解，利用函数图象交点与方程解的关系求解 ． 本题主要考查函数的图象与性质（包括绝对值函数、一次函数）以及函数图象与方程的关系，熟练掌握函数图象的绘制方法（描点法）以及利用函数图象求解方程（方程的解对应两函数图象交点的横坐标 ）是解题的关键． 【规范解答】（1）解：补充表格如下： 0 1 2 3 4 3 1 1 3 （2）解：画出函数的图象如图． （3）解：画出函数的图象如图所示． 根据图可得，方程的解为或． 考点14：一次函数图象平移问题 【典例精讲】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）探究与应用 【探究发现】 晓豫和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义图象性质应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点是数轴上一点，表示的数是1；点是数轴上一动点，若它表示的数是，的距离为，随着的变化，的距离会如何变化呢？ （1）数学小组通过列表得到以下数据： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 1 0 1 2 3 4 … 其中 ． 数学小组发现给定一个的值，就会有唯一的一个值与之对应，是的函数吗？ （填“是”或“不是”） （2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ； 【应用拓展】 （3）若点，均在该函数图象上，请直接写出，满足的数量关系： ； （4）将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折，得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为 ．（备注：直线即过点且与轴平行的直线） 【答案】（1）2，是；（2）见解析；（3）；（4）或 【思路引导】本题主要考查函数的图象和性质，涉及一次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式求m，根据函数的定义判断是否为函数； （2）根据表格中数据描点连线，再根据所得图象写出一条性质即可； （3），关于直线对称，据此求解； （4）作出翻折后新函数图象，如图，求出一次函数图象与直线重合及平行时的k值，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）点B表示的数是，的距离为， 给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，因此y是x的函数， 故答案为：2，是； （2）依题意得： 描点、连线，则所画函数图象如图所示： 函数的性质：①该函数图象关于直线对称；②当时，函数有最小值0；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小；（以上写对一条或言之有理即得分） （3）由（2）中函数图象可得：，关于直线对称， ， ， 故答案为：； （4）翻折后新函数图象如下图所示： 则，，， 对于一次函数，无论k取何值，当时，值一定为3， 因此一次函数图象过定点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为； 同理，直线的解析式为，则点在直线上， 由图知，若一次函数图象与直线平行，则，此时一次函数与该函数图象只有一个交点， 若一次函数图象与直线重合时，则，此时一次函数与该函数图象有无数个交点， 当或时，一次函数与该函数图象只有一个交点， 故答案为：或． 【变式训练】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【答案】(1)y轴，或； (2)①见解析；② (3)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 【思路引导】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数图象的平移规律进行解答即可． 【规范解答】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数即的图象 【考点剖析】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键． 考点15：一次函数图象与对称问题 【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【思路引导】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 【规范解答】解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 【规范解答】解：由题意，如图1， ， 关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又， 轴， ， 故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于， 设直线为， ， ， ， 直线为， 联立方程组， ， 此时， 故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ， 取得最小值为， 在的垂直平分线上， ， 的中点为， 直线为， 的垂直平分线为， 联立方程组， ， ，此时取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B． 考点16：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值： (3)当时，则x的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值和函数值的范围，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设，将，代入求解即可； （2）将点代入（1）中所求的函数关系式中即可； （3）分别求y的值为0和1时，对应的x的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设， ∵时，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）解：∵点在的图象上， ∴， 解得． （3）解：根据可得， 当时，； 当时，； ∵y随x的增大而增大， ∴当时，． 故答案为：． 【变式训练】（21-22八年级上·北京·期中）已知一次函数y＝2x+4，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)直接写出点A、B的坐标； (2)在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【思路引导】（1）令 求解一次函数与轴的交点坐标，令 求解一次函数与轴的交点坐标； （2）先列表，再描点，连线即可得到函数是图象； （3）分别先求解当时的函数值，再根据一次函数的增减性即可得到答案. 【规范解答】（1）解： 一次函数y＝2x+4， 令 则 令 则 （2）解：列表： 描点并连线 （3）解：一次函数y＝2x+4， 随的增大而减小， 当时， 当时， 所以当时， 【考点剖析】本题考查的是画一次函数的图象，求解一次函数与坐标轴的交点，一次函数的增减性，掌握“画一次函数的图象与一次函数的增减性”是解本题的关键. 考点17：比较一次函数值的大小 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽·期末）已知与成正比例，且当时，．求： (1)y与x之间的函数表达式； (2)若点，在该一次函数的图象上，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据一次函数的增减性，可得，据此即可求解． 【规范解答】（1）解：设， 将，代入得， ， 解得， ∴， 整理，得． 即y与x之间的函数表达式为． （2）∵， ∴y随x的增大而增大， ∵点，在该一次函数的图象上，且， ∴， ∴． 【变式训练】（23-24八年级下·浙江台州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数，我们把的函数称为一次函数的反射函数． (1)写出一次函数的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象． (2)若，都在（1）中y'图象上，，若，求a的取值范围． (3)已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点是同一坐标平面上的一个动点，当时，求p的取值范围． 【答案】(1)，画图见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图，解不等式、新定义等，数形集合是解题的关键. （1）由题意即可求出函数表达式，取点、描点、连线绘制图象即可； （2）同理可得：即可求解； （3）联立上式和得: 解得：联立和 同理可得： 当 时, 即 即可求解. 【规范解答】（1）由题意得: 当,, 当,, 当, 将上述点描点、连线绘制图象如下： （2）则, , 就点、在和上, 则, 同理可得:, ∵, 即, 解得: , 即； （3）由点的坐标知，点在直线 (下图,虚线)上, 联立上式和得: 解得： 联立和 同理可得： 当时, 即 即 考点18：一次函数的规律探究问题 【典例精讲】（24-25八年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律（为正整数）是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点的坐标，同理可得出、、、…及、、、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律（为正整数），依此规律即可得出结论． 【规范解答】解：当时，由， 解得：， 点的坐标为， 为正方形， ， 同理可得：，，，，…， ，，，，…， （为正整数）， 点的坐标为：， 故选：C． 【变式训练】（21-22八年级上·山东济南·期中）如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，，，，，…，，，…则当动点C到达处时，运动的总路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由直线l1：y=x+1可知，A（0，1），则B1纵坐标为1，代入直线l2：y=x+中，得B1（1，1），又A1、B1横坐标相等，可得A1（1，2），则AB1=1，A1B1=2-1=1，可判断△AA1B1为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得△A1A2B2、△A2A3B3、…、都是等腰直角三角形，根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式，分别求AB1+A1B1，A1B2+A2B2的长，得出一般规律． 【规范解答】解：由直线l1：y=x+1可知，A（0，1），根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式可知，B1（1，1），AB1=1， A1（1，2），A1B1=2-1=1，AB1+A1B1=2， B2（3，2），A2（3，4），A1B2=3-1=2，A2B2=4-2=2，A1B2+A2B2=2+2=4=22， …， 由此可得An-1Bn+AnBn=2n， 所以，当动点C到达An处时，运动的总路径的长为2+22+23++2n=2n+1-2， 所以，当动点C到达A2021处时，运动的总路径的长为22022-2， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律． 考点19：已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数（是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．方程的解是 D．不等式的解集是 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【规范解答】解：、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； 、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； 、由函数图象可知，当时，，所以方程的解是，该选项说法正确，符合题意； 、由函数图象可知，当时，，所以不等式的解集是，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【变式训练】（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴， ∴， 将代入中，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 考点20：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【典例精讲】（21-22八年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，． (1)求k的值； (2)点P在线段AB上，连接OP．若，求点P的坐标； (3)将直线AB绕点A逆时针旋转45°后得到直线AC，求直线AC的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）先求出B点坐标，可得OB的长度，根据关系得到OA的长度，即A点坐标，将A点坐标代入关系式即可求出k的值； （2）先求出△AOB的面积，可求出△BOP的面积，根据面积即可求出P点的坐标； （3）过点B作BD⊥AB交直线AC于点D，过D作DE⊥y轴于点E，△BDE≌△ABO，得出线段BE和DE的长，继而求出D点坐标，运用待定系数法可求出直线AC的解析式． 【规范解答】（1）直线中，令x=0，则y =4 ∴B(0,4) ∴OB=4 ∵ ∴OA=3 ∴A(3,0) ∴ ∴ （2）由（1）可知，OA=3，OB=4， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点P在线段AB上 ∴ ∴ ∴ （3）将直线AB绕点A逆时针旋转45°后得到直线AC，则∠BAC=45°，如图过点B作BD⊥AB交直线AC于点D，过D作DE⊥y轴于点E， ∵∠AOB=∠ABD=90° ∴∠ABO+∠BAO =∠ABO+∠DBO =90° ∴∠BAO=∠DBO ∵∠BAC=45° ∴∠BDA=45° ∴AB=BD ∴△BDE≌△ABO ∴BE=OA=3，DE=OB=4 ∴OE=OB－BE=1 ∴D(-4,1) 设直线AC的解析式为： ∴，解得 ∴设直线AC的解析式为：． 【考点剖析】本题属于一次函数综合题，包括待定系数法求函数解析式，三角形的面积，构造全等三角形等知识，作出辅助线构造全等求出D点坐标是解题的关键． 【变式训练】（21-22八年级上·山东青岛·期中）[学习探究] 数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法．如图1，两个直角边分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形． 解：有三个直角三角形其面积分别为ab，ab和c2， 直角梯形的面积为（a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2． 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝c2+2ab． ∴a2+b2＝c2． 故结论为：直角边长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2． [类比尝试] （1）如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，点D是AB上一动点，求CD的最小值是多少？ （2）如图3，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，求： ①△ABC的面积； ②BD的长． [拓展探究] （3）如图4，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+10与x轴、y轴分别交于点A和B，直线l2经过坐标原点，且l2⊥l1，垂足为C，求： ①写出A点和B点的坐标． ②点C到x轴的距离． 【答案】（1）；（2）①7；②BD＝；（3）①A（﹣20，0），B（0，10）；②点C到x轴的距离为8． 【思路引导】（1）由勾股定理得AC＝12，再利用垂线段最短得出答案； （2）①利用矩形面积减去周围三个三角形面积即可； ②利用面积法可求出BD的长； （3）①令x＝0时，y＝10，令y＝0时，x＝﹣20，即可求出点A、B的坐标； ②由面积得OC＝＝4，再利用勾股定理求出AC的长，从而解决问题． 【规范解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得， AC＝＝， 当CD⊥AB时，CD最小， ∴CD的最小值为； （2）①△ABC的面积为4×4﹣×2×4﹣×＝7； ②由勾股定理知AC＝， ∴×AC×BD＝7， ∴×2×BD＝7， 解得BD＝； （3）①由y＝x+10得， 当x＝0时，y＝10， 当y＝0时，x＝﹣20， ∴A(﹣20，0)，B(0，10)； ②由A(﹣20，0)，B(0，10)得OA＝20，OB＝10， ∴AB＝10， 由面积得OC＝＝4， 在△AOC中，由勾股定理得AC＝＝＝8， 设点C到x轴的距离为h， ∴AC×OC＝OA×h， ∴8×4＝20×h， 解得h＝8， ∴点C到x轴的距离为8． 【考点剖析】本题是一次函数综合题，主要考查了图形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而得出等式是解题的关键． 考点21：利用图象法解一元一次方程 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在等腰中，，，动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位速度向点运动，同时，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位速度向点运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒，． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线的图象与的函数图象有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 (3) 【思路引导】本题主要考查了列函数关系式，画一次函数图象，一次函数的性质，一次函数与直线的交点坐标，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先求出运动时间为5秒；再分当时，点P在上运动，点Q在上运动，当时，点P和点Q都在上运动，两种情况分别列出对应的函数关系式即可； （2）根据（1）所求，描点，连线画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数性质即可； （3）结合函数图象即可得到答案． 【规范解答】（1）解：秒， ∴运动时间为5秒； 当时，点P在上运动，点Q在上运动， ∴， ∴， ∴； 当时，点P和点Q都在上运动， ∴， ∴； 综上所述，； （2）解：如图所示，即为所求； 由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； （3）解：由函数图象可得，当时，直线的图象与的函数图象有两个交点． 【变式训练】（21-22八年级上·河南郑州·期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下．请补充完整． (1)列表： … -1 0 1 2 3 4 … … -2 -3 -4 -2 -1 … 请根据表格中的信息，可得__________， __________． (2)①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． ②若点，在函数图象上，且，观察图像写出、的大小关系． 并说明理由． (3)结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程有且只有一个正数解和一个负数解，则满足条件的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2)①图像见解析；②，理由见解析 (3) 【思路引导】(1)将点(0,-3)代入中即可求出a的值，再将x=2代入中即可求出b的值； (2)①在坐标系中直接描点、连线画出图形即可； ②当自变量时，由函数图像的增减性可知：在对称轴x=1的左侧，自变量越大，函数越小，由此即可判断； (3)在同一坐标系中画出和的图像，其交点的横坐标即为对应的方程的解，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：将点(0,-3)代入中得到： ， 解得； 再将点(2，b)代入中得到： ， 解得． （2）解：①函数图像如下所示： ②，理由如下： 观察图像可知，函数的对称轴为， 函数图像的增减性可知：在对称轴x=1的左侧，自变量越大，函数越小， ∵， ∴． （3）解：在同一坐标系中画出和的图像，如下图所示： ∵方程有且只有一个正数解和一个负数解， ∴和的图像，其交点的横坐标即为对应的方程的解，且交点横坐标必须有一个为正数，另一个为负数， 显然，函数如果是上述图中①所示时，不满足题意，此时函数经过点(0,-3)， ∴m=-3， 如果是上述图中②或③时满足题意， 故将①中直线往上平移即可， ∴取值范围是：． 【考点剖析】本题借助研究函数的一般方法考查一次函数的图象、性质及作图，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 考点22：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数（为常数）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】C 【思路引导】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质及一次函数与一元一次方程，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据函数的图象直接进行解答即可． 【规范解答】解：由函数的图象可知， A、当时，，原说法错误，不符合题意； B、方程的解是，原说法错误，不符合题意； C、当时，，正确，符合题意； D、不等式的解集是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）一次函数和的图象交于点C，如图所示，且，． (1)不等式的解集是______； (2)若不等式的解集是． ①求点C的坐标； ②写出不等式组时x的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、求一次函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集即可； （2）①由题意可以求得k、b的值，根据的解集是，可知点C的横坐标是，进而确定点C的坐标； ②根据点B、C的横坐标，并结合函数图象即可求解． 【规范解答】（1）解：不等式表示函数函数值大于4，所对应x的取值范围， 所以不等式的解集是． 故答案为． （2）解：①∵点，在一次函数的图象上， 则，解得， ∴一次函数． ∵的解集是， ∴点C的横坐标是， 当时，， ∴点C的坐标为． ②∵，， ∴根据函数图象可得：时，． 考点23：根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④是直线上不重合的两点，则． 其中正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，根据一次函数中的与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题，关键是熟练掌握用数形结合的思想解决问题． 【规范解答】解：①观察图象可知，的图象过第二、三、四象限， ∴， ∴，故①符合题意； ②将分别代入和得： ，， 观察图象不难发现点在点的上方， ∴，故②符合题意； ③观察图象发现，与交点的横坐标为， ∴当时，两者的函数值相等， ， ，故③符合题意； ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则 当时，，则故④不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级上·福建宁德·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） 对于函数来说，的值随值的增大而减小 函数的图象不经过第一象限 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，根据函数图象直接得到结论；根据、的符号即可判断；当时，；当时，根据图象得不等式，利用数形结合是解题的关键． 【规范解答】解：由图象可得：对于函数来说，随的增大而减小，故正确； 由于，， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴， ∴，即，故正确； 当时，，，由图象可知， ∴，故错误； 综上都正确，故选：． 考点24：分配方案问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）谷歌人工智能AlphaGo机器人与李世石的围棋挑战赛引起人们关注，人工智能战胜李世石．某网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/ 超时费/（元/） A 6 B 8 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为x，方案A，B的收费金额分别为yA元、yB元． (1)当时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； (2)若小明3月份上该网站学习的时间为，则他选择哪种方式上网学习合算？ 【答案】(1)， (2)选择方式上网学习合算 【思路引导】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式和函数值． （1）根据题意和表格中的数据，可以分别求出，与之间的函数关系式； （2）将代入（1）中的函数关系式，求出，的值，然后比较大小，即可得到选择哪种方式上网学习合算． 【规范解答】（1）解：由题意可得， 当时，与之间的函数关系式为：， 与之间的函数关系式为：； （2）解：当时， ， ， ， ， 故选择方式上网学习合算． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）A市和B市分别有库存的某种联合收割机12台和6台，现决定运往C市和D市各9台，已知从A市运往C市、D市的运费分别为每台400元和600元，从B市运往C市、D市的运费分别为每台200元和500元．设A市运往C市的联合收割机为x台，总运费为w元． (1)求w关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)求总运费w最低的调运方案，并求出最低总运费． 【答案】(1)， (2)A市运3台联合收割机到C市，运9台联合收割机到D市，B市6台联合收割机全部运往C市，7800（元）． 【思路引导】本题考查一次函数的应用，求出一 函数的解析式是解题的关键 （1）基本关系：运费=单价数量，总运费=A市运往C市的运费+ A市运往D市的运费，据此列出一次函数，并建立不等式组求取值范围； （2）根据一次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）， 解得：； （2）∵，∴随x的增大而增大 ∴当时，（元） 此时的调运方案为：A市运3台联合收割机到C市，运9台联合收割机到D市，B市6台联合收割机全部运往C市． 考点25：最大利润问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件（允许甲、乙两种原料有剩余），生产单件A，B产品的原料用量和获利如表所示： 甲（） 乙（） 获利（元） A 9 3 700 B 4 10 1200 (1)按要求安排A，B两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来； (2)设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数表达式，并利用这个表达式说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)三种方案，①生产A产品30件，生产B产品20件；②生产A产品31件，生产B产品19件；③生产A产品32件，生产B产品18件 (2)，方案生产A产品30件，生产B产品20件获利最大，最大利润为元 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组和一次函数的实际应用， 正确理解题意是解题的关键． （1）设生产产品件，则生产产品件，根据题意列出不等式组求其整数解即可确定方案； （2）A产品生产件数为x件，根据总利润=生产A产品的利润＋生产B产品的利润，建立一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【规范解答】（1）解：设生产产品件，则生产产品件， 由题意得， 解得 ∵为整数， ∴取30或31或32， ∴方案有三种：①生产A产品30件，生产B产品20件；②生产A产品31件，生产B产品19件；③生产A产品32件，生产B产品18件； （2）解：由题意得，， 即， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当取30时，最大，且为元， ∴此时选择方案①生产A产品30件，生产B产品20件． 【变式训练】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商场体育用品需求量激增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用y（单位：元）与x（单位：个）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求m的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【思路引导】（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可； （2）设利润为，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可； （3）设利润为W，根据题意得到总利润，分，和，利用一次函数的增减性质求解即可． 本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键． 【规范解答】（1）解：设该商场采购x个篮球，则采购个足球， 根据题意，， ∵篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元， ∴， 解得， 答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为； （2）解：该商场采购x个篮球，利润为元， 根据题意，得， ∵， ∴随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，最大，最大值为2300， 答：商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：该商场采购x个篮球，利润为W元， 根据题意，得， 当，即时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得，舍去； 当，即时，,不符合题意； 当，即时，W随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得， 综上，满足条件的m值为． 考点26：行程问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（2023八年级上·全国·竞赛）如图，在一条平直公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去． (1)若汽车的行驶速度是，在距离山壁处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？ (2)某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过再次鸣笛．若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是，求汽车的行驶速度．（已知声音在空气中的传播速度是．） 【答案】(1)5秒后司机听到回声 (2)汽车的行驶速度为 【思路引导】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是掌握等量关系． （1）设经过后司机听到回声，根据题意列出方程求解即可； （2）设汽车的行驶速度为，根据题意列出分式方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设经过后司机听到回声， 根据题意得， 解得 ∴经过后司机听到回声； （2）解：设汽车的行驶速度为， 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解． ∴汽车的行驶速度为． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动，快车离乙地的路程与行驶的时间之间的函数关系，如图中线段所示；慢车离乙地的路程与行驶的时间之间的函数关系，如图中线段所示，根据图象进行以下研究． 解读信息： （1）甲，乙两地之间的距离为________； （2）线段的解析式为________；线段的解析式为________； 问题解决： （3）设快、慢车之间的距离为，求与慢车行驶时间的函数关系式，并画出函数图象． 【答案】（1）450；（2）；；（3）． 【思路引导】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）利用A点坐标为，可以得出甲，乙两地之间的距离； （2）设线段的解析式为：，线段的解析式为，将，分别代入，将代入，求解即可． （3）利用（2）中所求得出， ，，进而逐一分析，求出函数解析式，得出图象即可． 【规范解答】解：（1）根据左图可以得出：甲、乙两地之间的距离为； （2）设线段的解析式为：，线段的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴； 将代入，得 ，解得， ∴线段的解析式为． 故答案为：，． （3）当两车相遇时，，解得， ∴①当时， ； 当；，画出线段， ②当时，； 当画出线段， ③当时，． 当画出线段， ∴， 如图所示 考点27：梯度计价问题 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键在于列出相应的不等式，解相应的不等式． 根据收费方式A和B的计费规则，分别建立费用与上网时间的函数关系式，通过比较确定满足的x范围． 【规范解答】收费方式： 月使用费30元，包时上网时间，超时费元，即元， 当时，； 当时， ． 对于收费方式： 月使用费50元，包时上网时间，超时费元，即元 当时，； 当时， ． 分情况讨论时x的取值范围 当时： ，，此时，即，不满足． 当时： ，，若，则， 解得 ． 结合前提，此时的取值范围是 ． 当时： ，， ， 即恒成立 ． 综上，的取值范围是， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，设的解析式为，直线的解析为，求出两个解析式，然后分别计算出方案一和方案二的花费，即可得到答案．解题的关键确定一次函数的解析式． 【规范解答】解：设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设直线的解析为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析为， ∴方案一：一次购买千克水果， 费用为：（元）， 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果， 费用为：（元）， ∵（元）， ∴方案一比方案二节省元． 故选：B． 考点28：其他问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）某物流公司计划租用、两种型号的货车运输货物，已知租用3辆型货车和2辆B型货车一次可运货17吨，租用2辆A型货车和3辆B型货车一次可运货18吨． (1)求每辆A型货车和每辆B型货车一次分别可运货多少吨？ (2)该物流公司计划租用这两种型号的货车共10辆，且A型货车的数量不超过B型货车数量的2倍，若每吨货物的运输费用为30元，怎样租车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】(1)每辆型货车一次可运货3吨，每辆型货车一次可运货4吨 (2)租用6辆型货车，4辆型货车时，运输总费用最低，最低总费用是1020元． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每辆型货车一次可运货吨，每辆型货车一次可运货吨．根据“租用3辆型货车和2辆型货车一次可运货17吨，租用2辆型货车和3辆型货车一次可运货18吨”，可列方程组求解即可； （2）设租用型货车辆，则租用型货车辆．根据由A型货车的数量不超过B型货车数量的2倍，可得，解得．又因为为车辆数，应为正整数，所以的取值为1，2，3，4，5，6．设总费用为元，根据每吨货物运输费用为30元，型货车一次运3吨，型货车一次运4吨，得到，根据一次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：设每辆型货车一次可运货吨，每辆型货车一次可运货吨． 根据题意：， 解得， 答：每辆型货车一次可运货3吨，每辆型货车一次可运货4吨． （2）解：设租用型货车辆，则租用型货车辆． 根据题意：， 解得． 又因为为车辆数，应为正整数， 所以的取值为1，2，3，4，5，6． 设总费用为元， 则， 因为， 所以随的增大而减小． 当时，有最小值． 此时（辆）． （元）． 答：租用6辆型货车，4辆型货车时，运输总费用最低，最低总费用是1020元． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）（1）A、B两村之间的公路进行对接修筑，甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图（1）是甲、乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： ①乙工程队每天修公路多少米？ ②分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式； ③若乙工程队后来进入施工后，不提前离开，直到公路对接完工，那么施工过程共需几天？ （2）如图（2），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，在第一象限取点C，使成为等腰直角三角形；如果在第二象限内有一点，使的面积与的面积相等，求a的值． 【答案】（1）①120米；②，；③施工过程共需11天；（2）或 【思路引导】本题考查了工程问题的数量关系，工作总量=工作效率×工作时间的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用及等腰直角三角形的性质的运用． （1）①运用乙工程队6天修的长度除以时间就可以求出乙工程队每天修的米数； ②由（1）就可以求出乙工程队3天修的米数，根据待定系数法就可以直接求出甲、乙的解析式； ③运用甲、乙合修的时间加上甲先修的时间就可以求出共需的时间； （2）先运用勾股定理求出的长，根据等腰直角三角形的性质分类讨论就可以求出结论． 【规范解答】解：（1）①∵乙工程队修了720米，用时天， （米/天）， ∴乙工程队每天修公路120米； ②设乙工程队y与x之间的函数关系式为，直线过点、， 代入得， 解得， ∴， 设甲工程队y与x之间的函数关系式为， 由求得过点， 代入得， 解得， ∴； ③∵乙工程队修了720米，甲工程队修了米， ∴公路总长1620米， 前3天甲单独修了180米， ∴甲、乙合作修了1440米， ∴， 解得， ∴这个施工过程共需（天）； （2）由题意得、， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ①以A或B为三角形的直角顶点时，， 连接、、， 则， 当， 解得； ②以C为直角顶点时，， 当， 解得：． 综上所述，a的值为或． 考点29：一次函数与几何综合 【典例精讲】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)直线与y轴交于点M，求的面积． (3)若，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【思路引导】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）将代入可得，则，再用待定系数法即可得直线l1的表达式为； （2）在中，令可得，即得有，故的面积； （3）根据图形即可求得答案． 【规范解答】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴， 设直线的表达式为，将、代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：在中，令得， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，， ∴若，x的取值范围是． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，点P是边上一动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点B出发沿向点C以3的速度运动．求的面积与点P的运动时间之间的关系式． 【答案】． 【思路引导】本题考查了求函数解析式，熟练掌握长方形的性质及三角形面积公式是解题的关键；首先根据点的运动速度和时间求出的长度，进而得到的长度．然后根据三角形面积公式，结合长方形的边长，即可求出的面积与点的运动时间之间的关系式． 【规范解答】解：点从点出发沿向点以的速度运动，运动时间为， ． ， ． 四边形是长方形，， 点到的距离等于的长度，即． ， ∴． 考点30：两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例精讲】（24-25八年级上·广西梧州·期中）综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）3；；图见解析；（2）；（3）；（4） 【思路引导】此题考查一次函数的图象与性质以及一次函数和不等式的关系． （1）将代入，令，求出坐标，再根据要求画出图象即可； （2）观察图象，写出交点的坐标即可； （3）根据交点的坐标即可得到结论； （4）根据图象的交点，写出当一次函数位于图象上时求x的取值范围即可． 【规范解答】解：（1）当时，， 当时，， 两个函数的图象如图所示： 故答案为：3；； （2）观察图象知，交点的坐标为； （3）观察图象知，交点的坐标为， ∴方程组的解为； （4）满足时自变量x的取值范围是． 【变式训练】（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于A、、、四个点.则下列结论： ①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的图象与坐标轴的交点问题，一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数与方程(组)的关系逐一分析判断即可． 【规范解答】解：∵一次函数与一次函数 在同一坐标系中，两条直线交于点， ∴一元一次方程的解为，，故正确； 由，解得，故错误； ∴一次函数为， ， 把代入得，， ∴， ∴， ∴方程组的解为，故正确； ∵一次函数为， ， ∴当时，， 当时，由得， ∴，， ∴四边形的面积，故正确； ∴正确的是， 故选：． 考点31：图象法解二元一次方程组 【典例精讲】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在数学拓展课上，智慧小组通过数形结合的思想进一步研究二元一次方程组和一次函数之间的关系． 已知二元一次方程组 (1)补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为________． (2)分别将表格1、表格2中的每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在图1的平面直角坐标系中描出表格内各点，再顺次连接各点，并写出一条你所获取的信息． (3)实践小组将和（，为常数）两个方程的解按照上述方法在平面直角坐标系中绘制的图象如图2所示，两直线交于点．直接写出方程组的解，并求出，的值． 【答案】(1)补全表格见解析， (2)是 与的交点 (3)， 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系； （1）根据函数解析式补全表格，进而根据表格得出方程组的解； （2）根据表格画出函数图象，进而根据函数图象，写出一条所获取的信息． （3）根据两直线交点坐标，得出方程组的解，进而得出关于的二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【规范解答】（1）解：补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为 故答案为：． （2）解：如图所示， 根据图象可得，是 与的交点； （3）解：根据函数图象可得和的交点为 ∴方程组的解 ∴原方程组为： 解得： 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 【答案】(1)画图见解析； (2)，； (3)． 【思路引导】（）根据画函数图象的步骤即可求解； （）当时，，，即可求出，两点的坐标； （）根据图象即可求出方程组的解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：列表： 如图， （2）解：当时，，， ∴，； （3）解：根据图象可知：方程组的解为． 考点32：求直线围成的图形面积 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为． (1)如图，若． ①求直线、直线与y轴所围成的的面积； ②根据图像直接写出的解集． (2)若，求整数k的值． 【答案】(1)①面积为；②； (2)或6 【思路引导】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，图形与坐标的性质，两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． （1）①先用待定系数法求的解析式，再求出点的坐标，最后用三角形面积公式求解即可； ②直接观察图象，找出直线在直线的下面的部分，写出部分对应的自变量的取值范围； （2）先求交点坐标，再根据建立关于的不等式组，求解即可． 【规范解答】（1）①当时，， ∴． 将代入，得． 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴的面积为：； ②当时，直线在直线的下面，即， ∴的解集为； （2）， 解得 ， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴整数k的值为5、6． 【变式训练】（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点M的坐标． (4)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或或 【思路引导】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数与几何图形的综合运用，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得C的坐标，即的长，利用三角形的面积公式即可求解； （3）当的面积是的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标； （4）设，求出，分，，，三种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：设直线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴点，即， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点M的横坐标为m， ∵的面积是面积的， ∴，解得：， 当点M在上时，， 此时点M的坐标为； 当点M在上时，， 此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． （4）解：设， ∵， ∴， 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时， 则， ∴或； 当时，点与点关于过点且垂直轴的直线对称， 则， ∴； 综上，当P的坐标为或或或时，是等腰三角形． 1．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【答案】/ 【思路引导】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【规范解答】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 2．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 (2)方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； (3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 3．（2025·湖南·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点： 【答案】甲 【思路引导】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案． 【规范解答】解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒， ∴甲先到达终点， 故答案为：甲． 4．（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； (2)该公司最少需花费元． 【思路引导】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 5．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 【答案】(1)A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元 (2)共有6种购买方案，最低费用为900元 【思路引导】本题考查了运用二元一次方程组解应用题，以及综合运用一次函数和一元一次不等式设计方案问题．根据题意列出方程组，不等式组以及一次函数的关系式是解题的关键． （1）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．先根据题意列不等式组求出a的范围为，再根据题意列出w与a的函数关系式为，根据一次函数的增减性可得时，w有最小值，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元． 则， 得． 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元． （2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元． 则， 解得， 又a为正整数， ，11，12，13，14，15． 由题意得． ， w随a的增大而增大， 时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有6种购买方案，最低费用为900元． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·期中）正比例函数的图象如图所示，则的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查一次函数的图象的判断，熟练掌握一次函数图象是解题关键． 首先根据正比例函数的图象，得出k的取值范围；再根据k的取值范围，判断，即可解答． 【规范解答】解：正比例函数的图象在第二、四象限， ， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选B． 2．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）已知直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，首先把代入，求出b的值，进而得到M点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数的解析式组成的二元一次方程组的解可得答案． 【规范解答】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故选：A． 3．（20-21八年级上·江西景德镇·期末）一天中午，小宇放学，立即骑自行车回家吃午餐，吃好午餐后返回到学校．小宇离学校的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系如图所示．则小宇离学校的距离为 千米． 【答案】1.8 【思路引导】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，求出小宇返回学校时的速度，再根据路程等于速度乘以时间进行求解即可． 【规范解答】解：由图象可知，小宇返回学校时的速度为（千米/分钟）， （分钟）， ∴小宇离学校的距离为（千米）； 故答案为：1.8 4．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）根据学习函数图象的经验，数学社团对函数的图象进行了探究．下面是他们的探究过程，请完成相应的任务． (1)自变量x的取值范围是　　　． (2)列表如下：直接写出　　　． … … … … (3)在给定的平面直角坐标系中，描出（2）中给出的对应值为坐标的点，并尝试画出该函数的图象． (4)结合函数图象，我们发现： ①函数的最大值是　　　． ②当时，的取值范围是　　　． ③结合随的变化趋势，写出你的发现：　　　．（一条即可） 【答案】(1)任意实数 (2) (3)见解析 (4)①；②；③当时，随的增大而增大（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了求函数值，画函数的图象，掌握描点法画出函数图象是解题关键． （1）根据函数解析式即可求解； （2）将代入解析式，即可求解； （3）根据描点法画出函数图象，即可求解； （4）①根据函数图象，即可求解； ②观察函数图象，即可求解； ③根据函数图象的对称轴，增减性写出一条性质即可求解． 【规范解答】（1）解：在函数中，自变量x可以是任意实数， 故答案为：任意实数； （2）当时，， 故答案为：； （3）如图所示， （4）根据函数图象可得，函数的最大值为2， 故答案为：； 根据函数，可得时，或， 根据函数图象，当时，x的取值范围是， 故答案为： ； 函数的图象关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 故答案为：当时，随的增大而增大（答案不唯一）． 5．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）某市端午节期间，甲、乙两队举行了全程为1000米的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间（分钟）之间的图象如图所示，请你根据图象，解答下列问题： (1)甲与乙相遇时，甲队的速度为 米/分钟，乙队的速度为 米/分钟； (2)求乙队比赛时的路程s（米）与时间（分钟）之间的函数关系式； (3)在乙队到达终点之前，问何时甲、乙两队之间的距离为50米？ 【答案】(1)250；375 (2) (3)或或时，甲、乙两队之间的距离为50米 【思路引导】本题考查了一次函数的实际应用，根据图象信息求出两队的速度再根据路程列方程是解决本题的关键． （1）根据“路程÷时间=速度”即可求出甲队和乙队的速度； （2）分和运用待定系数法求出函数关系式即可； （3）设经过t分钟，两队相距50米，分两种情况：①乙队提速之前，②乙队提速之后，根据“乙的路程甲的路程”列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：米/分钟）， （米/分钟）， 故答案为：250，375． （2）解： 当时，设s与t之间的函数关系式为（为常数且）， 将代入，得， ∴当时，s与t之间的函数关系式为； 当时，设s与t之间的函数关系式为（，b为常数且）， 将、代入，得 ， 解得， ∴当时，s与t之间的函数关系式为． 故乙队比赛时的路程s（米）与时间：（分钟）之间的函数关系式为． （3）解：设甲队比赛时的路程s（米）与时间（分钟）之间的函数关系式为（m为常数且），将代入，得， ∴甲队比赛时的路程s（米）与时间（分钟）之间的函数关系式为． 令，解得， 即图中t的值为2.8． ①时，有， 解得； ②当时，有， 解得； ③当时，有， 解得． 综上所述，在乙队到达终点之前，或或时，甲、乙两队之间的距离为50米． 培优拔高 6．（20-21八年级上·广东揭阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，则下列图象中可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，先看一条直线，得出k和b符号，然后再判断另外一条直线是否正确，进而可得答案． 【规范解答】A、反映，，反映，，故本选项错误； B、反映，，反映，，故本选项正确； C、反映，，反映，，故本选项错误； D、两条直线交于y轴同一点，则，与已知不符，故本选项错误； 故选：B． 7．（2023八年级上·全国·竞赛）甲、乙两车在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速行驶，先到终点的车原地休息，已知甲车先出发小时，在整个行驶过程中，甲、乙两车的距离y（千米）与甲出发的时间t（时）之间的关系如图所示，下列结论：①甲车的速度为45千米/时；②乙行驶2小时追上甲；③乙车由A地到B地共用小时；④甲车的速度是乙车速度的；⑤A、B两地相距240千米，其中正确的结论有 （只填序号）． 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查利用图象表示变量之间的关系，由图象可知，甲车小时行驶了30千米，甲车行驶小时时，乙车追上甲车，甲车行驶小时时，乙车到达终点，甲车行驶4小时时，甲车到达终点，再逐一进行计算分析，判断即可． 【规范解答】解：由题意和图象可知，甲车小时行驶了30千米，甲车行驶小时时，乙车追上甲车，甲车行驶小时时，乙车到达终点，甲车行驶4小时时，甲车到达终点， ∴甲车的速度为千米/时；故①正确； 乙车行驶小时追上甲；故②正确； 乙车由A地到B地共用小时；故③错误； A、B两地相距千米；故⑤错误； 乙车的速度为千米/时；故甲车的速度是乙车速度的；故④正确； 故答案为：①②④ 8．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）如图直线分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的性质，先求解，，结合以点P，O，B为顶点的三角形与全等，分三种情况讨论即可． 【规范解答】解：∵以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合），分情况如下： ①如图所示： ∵直线分别交x轴、y轴于点A、B， ∴当时，当时，则， 解得：， ∴，， ； ②如图， 此时， ∴； ③如图，当时， 此时， ∴， 故点的坐标为或或． 故答案为：或或 9．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）近年来，外卖市场竞争激烈，一些外卖公司的订单大量增加，某公司负责招聘外卖小哥，每月工资：底薪2000元，另加外卖送单补贴（送一次外卖称为一单），具体方案如下： 外卖送单数量（每月） 补贴（元/单） 不超过500单 6 超过500单的部分 9 例：某月送餐600单工资总额元． (1)设9月份外卖小哥送餐x单，所得工资为y元，求y与x的函数关系式； (2)若外卖小哥9月份的所得工资为6980元，则他本月送餐送出多少单？ 【答案】(1) (2)720 【思路引导】本题主要考查了列一次函数解析式，通过函数解析式求自变量的值等，解题的关键是理解题意． （1）根据题意，分两种情况进行列一次函数解析式即可； （2）利用函数解析式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，； 当时，； 求y与x的函数关系式为； （2）解：当时，（元）， ∵， ∴当时，， 解得， 所以，他本月送餐送出720单． 10．（25-26八年级上·重庆渝北·开学考试）如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点、点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点、点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求及图②中的值； (2)当点出发______秒时，点的运动路程为； (3)设点离开点的路程为（cm），点到点还需要走的路程为（cm），请分别写出改变速度后，、与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点、点相遇时的值． 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【思路引导】（）由图象②可得，当时，，求出的值，进而可求出和的值； （）求出的值，设当点出发秒时，点的运动路程为，进而列出方程即可求解； （）根据题意求出、与出发后的运动时间（秒）的关系式，进而可知点、点相遇时，解方程即可求解； 本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，一次函数的应用。看懂函数图象是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由图象②可得，当时，， 解得， ∴， ∴； （2）解：由题意可得，， 解得， 设当点出发秒时，点的运动路程为， 则， 解得， ∴点出发秒时，点的运动路程为， 故答案为：； （3）解：由题意得，，， 即，， 当点、点相遇时，， 解得． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $