专题5.5 一次函数与二元一次方程（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共36题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题5.5 一次函数与二元一次方程 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共36题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一次函数与一元一次方程的关系 1 知识点梳理03：方程组解的几何意义 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：两直线的交点与二元一次方程组的解 2 考点2：图象法解二元一次方程组 5 考点3：求直线围成的图形面积 9 中考真题 实战演练 11 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 16 知识点梳理01：一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 知识点梳理02：一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 【要点提示】 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 知识点梳理03：方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 考点1：两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例精讲】（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，交直线于点． (1)求点的坐标； (2)若直线与轴的交点为点，点的坐标为，是否存在的值，使得的值最大？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点，，求的面积； (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 【变式训练2】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向下平移2个单位后，与一次函数的图象相交于点A，且平移后的函数图象与x轴交于点B．请绘制出函数图象，并完成下面问题： (1)将直线向下平移2个单位后对应直线的表达式为 (2)求点A的坐标； (3)求的面积； (4)若P是x轴上一点，且满足是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【变式训练3】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义：直线经过线段一个端点，直线经过另一个端点．直线与的交点称为线段的“双线关联点”． (1)如图，线段的两个端点分别为和，求线段的“双线关联点”； (2)，是直线上的两个动点． ①点是线段的“双线关联点”，且点的纵坐标为6，求点的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为，，，，其中．当点，运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形的边上，直接写出的取值范围． 考点2：图象法解二元一次方程组 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【变式训练1】（24-25七年级下·江西上饶·期末）【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 【变式训练2】（24-25八年级上·广西梧州·期中）综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【变式训练3】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在数学拓展课上，智慧小组通过数形结合的思想进一步研究二元一次方程组和一次函数之间的关系． 已知二元一次方程组 (1)补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为________． (2)分别将表格1、表格2中的每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在图1的平面直角坐标系中描出表格内各点，再顺次连接各点，并写出一条你所获取的信息． (3)实践小组将和（，为常数）两个方程的解按照上述方法在平面直角坐标系中绘制的图象如图2所示，两直线交于点．直接写出方程组的解，并求出，的值． 考点3：求直线围成的图形面积 【典例精讲】（23-24八年级上·广东茂名·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求和的值； (2)画出函数图象（需标出坐标轴及关键点）； (3)当时，求的值； (4)求该函数与坐标轴围成的三角形面积． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点 (1)若点P在y轴上，且，求点P的坐标； (2)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，与直线交于点N，且，求点M的坐标． 【变式训练2】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． 1．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 2．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 3．（2022·江苏泰州·中考真题）定义：对于一次函数 ，我们称函数为函数的“组合函数”. (1)若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由; (2)设函数与的图像相交于点P. ①若，点P在函数的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围； ②若p≠1，函数的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 4．（2022·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 5．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ． 基础夯实 1．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，函数（为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点，下列结论：①点的纵坐标为2；②关于的不等式的解集为；③关于的方程的解为；④关于的不等式组的解集为．其中正确的结论有几个（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，，①；②；③关于x，y的方程组的解为．关于①、②和③正确的有（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，直线与直线与 (为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为（　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．， B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为 C．关于的方程组的解为 D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3 5．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出一个以如图所示的直线的交点坐标为解的二元一次方程组： ． 7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，正比例函数（，且为常数）的图象与一次函数（，且、为常数）的图象交于点，则关于，的方程组的解是 ． 8．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点．直线经过点、，直线，交于点 (1)求点的坐标； (2)求直线的解析表达式； (3)求的面积． 9．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法． 善于学习的小明在学习了二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）和一次函数后，把相关知识进行了归纳整理，如图所示： (1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：① ；② ；③ ；④ ； (2)如果点C的坐标为，那么不等式的解集是 ，那么不等式的解集是 ． 10．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，两直线交于点C，且点C的横坐标为2． (1)关于x，y的方程组的解是______． (2)求直线的关系式 (3)求的面积． (4)在直线的图像上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 培优拔高 11．（20-21八年级上·江苏徐州·阶段练习）对于函数，下列说法借误的是（   ） A．图像经过点 B．y随着x的增大而减小 C．图像与y轴的交点是 D．图像与坐标轴围成的三角形面积是9 12．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图中的两直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 14．（22-23八年级上·广东深圳·期末）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“好点”．例如：，因为，所以是“好点”．已知一次函数（m为常数）图象上有一个“好点”的坐标是，则一次函数（m为常数）图象上另一“好点”的坐标是 ． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，，对任意一个x，取，中的较大的值为m，则m的最小值是 ． 16．（24-25八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（）与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 17．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，直线与轴交于点，两直线交于点，且点的坐标为． (1) ， ． (2)求四边形的面积． (3)点M为直线上一点，且的面积等于四边形的面积，求出点M的坐标． 18．（22-23八年级上·全国·期中）如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点．直线经过点A、，直线，交于点． 如图，直线的解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于 (1)求点的坐标； (2)求直线的解析表达式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点的另一个点，使得与的面积相等，求点的坐标． 19．（25-26八年级上·全国·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．直线与交于点且与x轴、y轴分别交于C，E两点． (1)求出点A的坐标及直线的关系式； (2)如图2，点P为线段上一点（不含端点），连接，一动点Q从C出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点D停止，当点Q在整个运动过程中所用时间最少时，求点P的坐标； (3)如图3，平面直角坐标系中有一点，使得，求点G的坐标． 20．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 一次函数与二元一次方程 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共36题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一次函数与一元一次方程的关系 1 知识点梳理03：方程组解的几何意义 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：两直线的交点与二元一次方程组的解 2 考点2：图象法解二元一次方程组 11 考点3：求直线围成的图形面积 18 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 29 基础夯实 29 培优拔高 38 知识点梳理01：一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 知识点梳理02：一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 【要点提示】 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 知识点梳理03：方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 考点1：两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例精讲】（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，交直线于点． (1)求点的坐标； (2)若直线与轴的交点为点，点的坐标为，是否存在的值，使得的值最大？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【思路引导】本题主要考查了一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的解析式求解、两直线交点求解以及三角形三边关系的应用是解题的关键． （1）先根据直线过、求出其解析式，再联立它与的方程，求解得到点坐标． （2）先求出点坐标，根据三角形三边关系，当在直线与轴交点时，的值最大，进而求出的值． 【规范解答】（1）解：∵直线过，， ∴ 解得 ∴直线的解析式为． 联立 解得 ∴点的坐标为． （2）解：在中，令，则， ∴． 根据三角形的三边关系得， ∴当即点E与点D重合时，的值最大． 【变式训练1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点，，求的面积； (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． （1）将两个函数表达式联立解得，即可得点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据两函数图象和点A的坐标即可得到不等式解集． 【规范解答】（1）解：当时， ， 解得， ∴ ∴点A 的坐标为． （2）解：当 时，， 解得， 则点坐标为； 当 时，， 解得， 则点坐标为． ， 的面积． （3）解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴当时，的取值范围是． 【变式训练2】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向下平移2个单位后，与一次函数的图象相交于点A，且平移后的函数图象与x轴交于点B．请绘制出函数图象，并完成下面问题： (1)将直线向下平移2个单位后对应直线的表达式为 (2)求点A的坐标； (3)求的面积； (4)若P是x轴上一点，且满足是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)1 (4)P点坐标为，，， 【思路引导】本题考查了一次函数的图象平移、两直线交点坐标的求解、三角形面积的计算以及等腰三角形的分类讨论，综合考查了一次函数与几何图形的相关知识． （1）根据一次函数的平移规则求解即可； （2）联立直线与求解交点坐标即可； （3）先求解点B的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可； （4）由是等腰三角形分三种情况讨论，即分三种情况讨论腰长，再由勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：将向下平移2个单位， 即在y的值上减去2，得到； 故答案为：； （2）解：因为点A是直线与的交点， 所以联立这两个方程： 将第一个方程代入第二个方程， 解得，把代入，得， 所以点A的坐标为； （3）解：在直线中，令，则，解得， 所以点B的坐标为， 已知O点坐标为，则，即A到x轴的距离为2， 底为，高为2， 所以； （4）解：设点P的坐标为， 当时， ， 则， 则， 解得，此时P点坐标为或； 当时， 因为，， 则， 又， 所以， 两边平方可得，即， 当时，；当时，（与O点重合，舍去）， 此时P点坐标为； 当时， ，， 所以， 两边平方得， 展开得， 移项可得，解得， 此时P点坐标为； 综上，P点坐标为，，，． 【变式训练3】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义：直线经过线段一个端点，直线经过另一个端点．直线与的交点称为线段的“双线关联点”． (1)如图，线段的两个端点分别为和，求线段的“双线关联点”； (2)，是直线上的两个动点． ①点是线段的“双线关联点”，且点的纵坐标为6，求点的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为，，，，其中．当点，运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形的边上，直接写出的取值范围． 【答案】(1)与是线段的“双线关联点” (2)①点的横坐标为或；② 【思路引导】（1）分类讨论：直线经过点，直线经过点，求出两直线的解析式联立求交点，直线经过点，直线经过点，再求出两直线的解析式联立求交点即可； （2）先表示出A，B两点坐标，分情况：直线经过点，直线经过点，直线经过点，直线经过点，联立求解即可解答； ②设线段的“双线关联点”为M，N，则，，得出两条直线，根据正方形的运动轨迹分情况讨论即可得出结果． 【规范解答】（1）解：若直线经过点，直线经过点， ，， ， 解得：； 若直线经过点，直线经过点， ，， ， 解得：； 与是线段的“双线关联点”； （2）①将，代入， 得，， ，， 若直线经过点，直线经过点， 代入得：，， 解得：，， 直线，直线， ， 解得：， ， 解得：， ； 若直线经过点，直线经过点， 代入得：，， 解得：，， 直线，直线， ， 解得：， ， 解得：， ； 综上所述点的横坐标为或； ②设线段的“双线关联点”为M，N，则，， 由①， 消去m得：， ∴点M在直线上运动； 同理可求点N在直线， 线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上， 正方形与直线和直线恰有2个交点， 当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图， 随着t增大，当点落在直线上，此时1个交点，不符合题意，如图， 则解得， 解得：； 当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，符合题意，如图， 当t继续增大，直至点落在直线， 则， 解得：，此时有3个交点，不符合题意，如图， ∴满足2个交点，则； 当时，此时有4个交点，不符合题意，如图， 综上，． 【考点剖析】本题考查了一次函数的综合应用，主要考查新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键． 考点2：图象法解二元一次方程组 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)无数解 (2)无解 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图象交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． （1）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解； （2）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解． 【规范解答】（1）解：画出图象如图①所示． 两条直线重合，有无数个交点，故方程组有无数组解． （2）解：新画出图象如图②所示． 两条直线平行，没有交点，故方程组无解． 【变式训练1】（24-25七年级下·江西上饶·期末）【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 【答案】（）；（）画图见解析；（），；（）的值为，的值为． 【思路引导】本题考查了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把分别代入方程中，判断方程左右两边是否相等即可； （）分别取两个点，让它们的坐标满足方程和，然后过两点画直线即可； （）观察图象即可求解； （）把两点和代入，然后解方程组即可． 【规范解答】解：（）∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； 故答案为：； （）由可得， 当时，；当时，，即点，； 由得， 当时，；当时，，即点，； 画图如图， （）观察图象可得两条直线的交点坐标为， 这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； （）∵二元一次方程的图象经过两点和， ∴， 解得：， ∴的值为，的值为． 【变式训练2】（24-25八年级上·广西梧州·期中）综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）3；；图见解析；（2）；（3）；（4） 【思路引导】此题考查一次函数的图象与性质以及一次函数和不等式的关系． （1）将代入，令，求出坐标，再根据要求画出图象即可； （2）观察图象，写出交点的坐标即可； （3）根据交点的坐标即可得到结论； （4）根据图象的交点，写出当一次函数位于图象上时求x的取值范围即可． 【规范解答】解：（1）当时，， 当时，， 两个函数的图象如图所示： 故答案为：3；； （2）观察图象知，交点的坐标为； （3）观察图象知，交点的坐标为， ∴方程组的解为； （4）满足时自变量x的取值范围是． 【变式训练3】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在数学拓展课上，智慧小组通过数形结合的思想进一步研究二元一次方程组和一次函数之间的关系． 已知二元一次方程组 (1)补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为________． (2)分别将表格1、表格2中的每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在图1的平面直角坐标系中描出表格内各点，再顺次连接各点，并写出一条你所获取的信息． (3)实践小组将和（，为常数）两个方程的解按照上述方法在平面直角坐标系中绘制的图象如图2所示，两直线交于点．直接写出方程组的解，并求出，的值． 【答案】(1)补全表格见解析， (2)是 与的交点 (3)， 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系； （1）根据函数解析式补全表格，进而根据表格得出方程组的解； （2）根据表格画出函数图象，进而根据函数图象，写出一条所获取的信息． （3）根据两直线交点坐标，得出方程组的解，进而得出关于的二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【规范解答】（1）解：补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为 故答案为：． （2）解：如图所示， 根据图象可得，是 与的交点； （3）解：根据函数图象可得和的交点为 ∴方程组的解 ∴原方程组为： 解得： 考点3：求直线围成的图形面积 【典例精讲】（23-24八年级上·广东茂名·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求和的值； (2)画出函数图象（需标出坐标轴及关键点）； (3)当时，求的值； (4)求该函数与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3) (4) 【思路引导】（）利用待定系数法解答即可； （）由（）可得一次函数解析式，进而可求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用两点法画出直线即可； （）把代入一次函数解析式计算即可； （）根据直角三角形的面积公式计算即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数的图象，一次函数与几何应用等，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， 即，； （2）解：∵，； ∴一次函数解析式为， 当时，；当时，， 过点和画函数图象如下： （3）解：当时，； （4）解：由（）可知，，， ∴，， ∴． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点 (1)若点P在y轴上，且，求点P的坐标； (2)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，与直线交于点N，且，求点M的坐标． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查了求两直线交点，求直线围成的三角形的面积，线段长度问题，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据题意，求得，设，根据列出方程，解方程即可求解； （2）点M在直线上，点M横坐标为m，则，，根据，则M在N点的上方，根据，建立方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：直线与坐标轴分别交于A，B两点， 令，解得， ， ，， ， 由点P在y轴上，可设， ， ， ， 解得， ， 即或； （2）解：∵点M在直线上，点M横坐标为m， ，， ， 在N点的上方， ， 即， 解得， ． 【变式训练2】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)点D的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)点P的坐标为或 【思路引导】（1）由点A的坐标及，可求得点C的坐标；直线与正比例函数的图象平行，设直线解析式为，把点C坐标代入可求得直线解析式；把点A代入中，可求得其解析式；再解二元一次方程组即可求得点D的坐标； （2）由点D的坐标可求得，由已知则得；点P在点D的下方与上方两种情况计算即可； （3）当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G，设；易证明，则，，而，即可求得m、n的值，求得点F的坐标，进而求得的解析式，最后解方程组求出点P的坐标；当点P在点D下方时，同理可求得． 【规范解答】（1）解：点及， ， ， 故点C的坐标为； 直线与正比例函数的图象平行， 故设直线解析式为， 把点C坐标代入可求得直线解析式，得：， 解得：， 即直线解析式为； 过点A， 把点A代入中，得， 即， ； 解二元一次方程组，得， 即点D的坐标为； （2）解：点D的坐标为， ， ， ； 当点P在点D的下方时，如图； ， 点在线段上； ； ， ； 则，即， 此时； 当点P在点D的上方时， ； ， ； 则，即， 此时； 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图，当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G； 设，则； ，， ，； ， ， ， ， ，， 而， ， 即，解得：， 点F的坐标为； 设的解析式为， 把C、F的坐标代入得，解得：， 即的解析式为； 解方程组得， 点P的坐标为； 当点P在点D下方时，同理可求得点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【考点剖析】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，两直线与坐标轴围成的图形面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，有一定的综合性，注意分类讨论． 1．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【规范解答】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 2．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【思路引导】结合图象，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【考点剖析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 3．（2022·江苏泰州·中考真题）定义：对于一次函数 ，我们称函数为函数的“组合函数”. (1)若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由; (2)设函数与的图像相交于点P. ①若，点P在函数的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围； ②若p≠1，函数的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)是函数的“组合函数” (2)①；②存在，见详解 【思路引导】（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可； （2）①先求出点P的坐标和“组合函数”，把代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把n=1-m代入“组合函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解． 【规范解答】（1）解：是函数的“组合函数”， 理由：由函数的“组合函数”为：， 把m=3，n=1代入上式，得， 函数是函数的“组合函数”； （2）解：①解方程组得， 函数与的图像相交于点P， 点P的坐标为， 的“组合函数”为， ， ，点P在函数的“组合函数”图像的上方， ，整理，得， ，， p的取值范围为； ②存在，理由如下： 函数的“组合函数”图像经过点P． 将点P的坐标代入“组合函数”，得 ， ， ， ，， 将代入=， 把y=0代入，得 解得：， 设，则， ， 对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变． 【考点剖析】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键． 4．（2022·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先把点P代入直线求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可. 【规范解答】解：∵直线与直线交于点P（3，n）， ∴， ∴， ∴， ∴1=3×2+m， ∴m=-5, ∴关于x，y的方程组的解. 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键． 5．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ． 【答案】 【思路引导】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意， ∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1）， ∴方程组的解为； 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解． 基础夯实 1．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，函数（为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点，下列结论：①点的纵坐标为2；②关于的不等式的解集为；③关于的方程的解为；④关于的不等式组的解集为．其中正确的结论有几个（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用时解决本题的关键． 根据所给函数图象，可知点A的纵坐标为2，由此判断①；根据一次函数与一元一次不等式的关系结合图象即可判断②；先求出点A的坐标，再根据一次函数与一元一次方程的关系即可判断③；根据函数图象的位置判断④即可． 【规范解答】解：①根据所给函数图象，可知点A的纵坐标为2，故①正确； ②∵点， ∴当时，函数的图象在x轴下方，即， 则不等式的解集为，故②正确； ∵函数过点，点A的纵坐标为2， ∴，解得, ∴点， ∴方程的解为，故③错误； 由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数的图象的下方，即， 当时，函数的图象在x轴上方，，即， ∴关于的不等式组的解集为，故④正确， ∴正确的是①②④，共3个． 故选：B ． 2．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，，①；②；③关于x，y的方程组的解为．关于①、②和③正确的有（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】依据题意，根据直线经过一、二、三象限，判断，；直线经过一、二、四象限，判断，，进而可以判断①②；依据题意，由一次函数与的图象的交点为，进而可以判断③． 本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题的关键是根据图象确定一次函数中k和b的值． 【规范解答】解：由题意得，直线经过一、二、三象限，判断，；直线经过一、二、四象限，判断，， 又结合图象可得，， ，，故①正确，②错误； 又一次函数与的图象的交点为， 方程组的解为，故③正确． 故选：C． 3．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，直线与直线与 (为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先利用直线的解析式确定点的坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【规范解答】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选：A． 4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．， B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为 C．关于的方程组的解为 D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据两个一次函数与y轴的交点坐标即可求出，，进而判断A选项；由图象得到两条直线交于点，即可判断C选项；然后利用三角形面积公式求解即可判断B选项；根据图象得到当时，，且的图象在图象的上面，进而求解即可． 【规范解答】解：∵一次函数与y轴交于点， ∴， ∵一次函数与y轴交于点， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点， ∴这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点， ∴关于的方程组的解为，故C选项正确，不符合题意； 由图象可得，当时，，且的图象在图象的上面， ∴当从0开始增加时，函数比的值先达到3说法错误，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 5．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题即可． 【规范解答】解：∵一次函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出一个以如图所示的直线的交点坐标为解的二元一次方程组： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查二元一次方程组解集与一次函数交点的问题，由图知：直线、相交于，那么以两个函数的解析式为方程组的二元一次方程组的解即为两个函数图象的交点坐标，分别根据待定系数法求解出两个函数表达式，并联立得到方程组． 【规范解答】解：设直线的解析式是，已知直线经过， 根据题意可得，由图可知，， 满足这个条件的二元一次方程解为（答案不唯一）， 符合条件的函数表达式为（答案不唯一）， 设直线的函数解析式是，已知直线经过，， 代入解析式得， 解得， 直线的函数解析式是， 所求的方程组是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，正比例函数（，且为常数）的图象与一次函数（，且、为常数）的图象交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【思路引导】根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，所以只需确定交点的坐标即可．本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题的关键． 【规范解答】解：∵ 正比例函数与一次函数的图象交于点，且由图可知点的坐标为， ∴ 关于，的方程组的解是． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点．直线经过点、，直线，交于点 (1)求点的坐标； (2)求直线的解析表达式； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】此题主要考查了一次函数两图象相交问题，以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）D在直线的图象上，计算的函数表达式中时的x的值即可； （2）设直线的解析表达式为，利用待定系数法把，，代入可得关于k、b的方程组，计算出k、b的值，进而可得函数解析式； （3）先求出直线与轴的交点，即可求解，再利用三角形的面积公式即可求解． 【规范解答】（1）解：∵D在直线的图象上， ∴当时，， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， ∵过，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为； （3）解：对于，当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为：． 9．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法． 善于学习的小明在学习了二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）和一次函数后，把相关知识进行了归纳整理，如图所示： (1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：① ；② ；③ ；④ ； (2)如果点C的坐标为，那么不等式的解集是 ，那么不等式的解集是 ． 【答案】(1)①；②；③；④； (2)；． 【思路引导】此题主要考查了一次函数与二元一次方程、一元一次不等式的关系，，利用数形结合得出不等式的解集是解答的关键． （1）根据一次函数与方程、不等式的关系，结合图象分别写出①②③④即可； （2）由，点C的坐标为得到函数图象在点C上方部分的横坐标x取值范围即可；由得函数的图象在函数图象上方的部分，由点C的坐标为，即可得出不等式的解集． 【规范解答】（1）解：由题意，①；②；③；④； 故答案为：①；②；③；④； （2）解：∵，点C的坐标为， ∴函数图象在点C上方部分， ∴不等式的解集为； ∵ ∴函数的图象在函数图象上方的部分，又点C的坐标为， ∴不等式的解集是：． 故答案为：；． 10．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，两直线交于点C，且点C的横坐标为2． (1)关于x，y的方程组的解是______． (2)求直线的关系式 (3)求的面积． (4)在直线的图像上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【思路引导】本题考查了两直线交点与对应二元一次方程组的解，两直线围成的三角形面积等知识，理解两直线交点的坐标是对应方程组的解，掌握直线与坐标轴交点的求法是解题的关键； （1）由点C的横坐标为2求出C的坐标，即可求解； （2）将C的坐标代入，即可求解； （3）由和求出、的坐标，由三角形的面积公式即可求解； （4）由三角形面积公式得，由面积相等，即可求解； 【规范解答】（1）解：∵点C的横坐标为2， ∴把代入，解得：， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：； （2）解：由（1）得：， 把代入， 即， 把代入， 即； （3）解：对于直线，把代入得：， ∴， 对于直线，把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴通过观察图像可得以为底边的高， ∴； （4）解：由题意得：， ∵与的面积相等， ∴， 解得：， ∵点是异于点， ∴， ∴， 把代入，解得：， ∴； 培优拔高 11．（20-21八年级上·江苏徐州·阶段练习）对于函数，下列说法借误的是（   ） A．图像经过点 B．y随着x的增大而减小 C．图像与y轴的交点是 D．图像与坐标轴围成的三角形面积是9 【答案】C 【思路引导】本题需要根据一次函数的性质，包括函数上点的坐标特征、函数的增减性、与坐标轴交点坐标以及围成三角形面积的计算方法，对每个选项进行分析判断．本题主要考查了一次函数的性质，包括函数上点的坐标验证、函数增减性、与坐标轴交点坐标求解及围成三角形面积计算，熟练掌握一次函数的这些性质是解题的关键． 【规范解答】解：把代入，则，所以图像经过点，故A项正确，不符合题意． 在一次函数（，为常数）中，这里，根据一次函数性质，当时，随着的增大而减小，故B项正确，不符合题意． 令，则，所以图像与轴的交点是，而不是，故C项错误，符合题意． 令，则，解得，即与轴交点为；与轴交点为． 那么图像与坐标轴围成的三角形，以与轴、轴交点的横、纵坐标的绝对值为直角边，面积，故D项正确，不符合题意． 故选： ． 12．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图中的两直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查一次函数与二元一次方程，解题的关键是掌握待定系数法求出两条直线的解析式．根据图象，用待定系数法求出两条直线的解析式即可得到答案． 【规范解答】解：由图象可知：直线经过点， 设直线的解析式为，把代入，得：， 解得：， ∴； 直线过点，设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∴两直线的交点坐标可以看作是的解； 故选A． 13．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． ①根据函数图象直接得到，进一步即可得到；②根据当时，，即可求得；③求得，即可判断③；④当时，代入两个函数解析式，借助图象即可判断． 【规范解答】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， .∴， .∴，即，故②正确； ∵， ∴ 当的值每增加，，故③错误， 当时，由图象可得：，故④错误． 故选：A． 14．（22-23八年级上·广东深圳·期末）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“好点”．例如：，因为，所以是“好点”．已知一次函数（m为常数）图象上有一个“好点”的坐标是，则一次函数（m为常数）图象上另一“好点”的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解新定义，属于创新题目． 将点坐标代入得到，求出，然后由得到或，然后分两种情况讨论分别求解即可． 【规范解答】解：将点坐标代入得，； ∴， ∴， 又∵， ∴或， ①当时， 联立和得， 解得， 将代入得， ∴为其本身； ②当时， 联立和得， 解得 将代入得， ∴另一个“好点”的坐标为， 综上所述，一次函数（m为常数）图象上另一“好点”的坐标是． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，，对任意一个x，取，中的较大的值为m，则m的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】此题考查的是一次函数的图象与性质、求两个一次函数的交点坐标和比较函数值的大小，根据图象比较函数值大小是解决此题的关键．然后根据图象对自变量x分类讨论，分别求出对应m的取值范围，即可求出m的最小值． 【规范解答】解：由图象可得：直线与直线的交点坐标为， ∵对任意一个x，m都取，中的较大值， 由图象可知：当时，，， ∴此时； 当时，， ∴此时； 当时，＞，， ∴此时， 综上所述：， ∴m的最小值是2． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（）与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数交点与解二元一次方程组，掌握交点的含义是解题的关键．将点代入中解得m的值，再将与进行变形得到二元一次方程组的解恰好为交点P，由此求解即可． 【规范解答】解：将点代入中得：， 解得：， 将与分别变形为，， 则二元一次方程组的解为一次函数（）与的交点即点P， 二元一次方程组的解为． 故答案为：． 17．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，直线与轴交于点，两直线交于点，且点的坐标为． (1) ， ． (2)求四边形的面积． (3)点M为直线上一点，且的面积等于四边形的面积，求出点M的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【思路引导】本题考查一次函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程和应用分类讨论思想解决问题 （1）把点代入可得，再把代入直线即可得到的值． （2）结合一次函数与坐标轴的交点求得对应线段长度，再利用三角形的面积公式计算即可． （3）设，分点M位于点P上方和下方分别列出或，结合三角形面积公式构建方程即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∵直线过点， ∴，解得． （2）解：∵直线与轴、轴分别交于，两点， ∴点，， ∵直线 ∴点， ∴， 则，． （3）解：设，则有或， ∴或， 解得或， 当时，； 当时，， ∴或． 18．（22-23八年级上·全国·期中）如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点．直线经过点A、，直线，交于点． 如图，直线的解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于 (1)求点的坐标； (2)求直线的解析表达式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点的另一个点，使得与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标是． 【思路引导】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键． （1）已知的解析式，令求出的值即可； （2）设的解析式为，由图联立方程组求出，的值； （3）联立方程组，求出交点的坐标，继而可求出； （4）与底边都是，根据与的面积相等，可得点的坐标． 【规范解答】（1）解：由，令，得， ， ； （2）解：设直线的解析表达式为， 由图象知：，；，，代入表达式， ， ， 直线的解析表达式为； （3）解：由， 解得， ， ， ； （4）解：与底边都是，与的面积相等， 高就是点到直线的距离， ∵点纵坐标的绝对值为3，则到距离也为3， ∵直线上存在异于点的另一个点， 点纵坐标是3，当时，则， ∴． 19．（25-26八年级上·全国·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．直线与交于点且与x轴、y轴分别交于C，E两点． (1)求出点A的坐标及直线的关系式； (2)如图2，点P为线段上一点（不含端点），连接，一动点Q从C出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点D停止，当点Q在整个运动过程中所用时间最少时，求点P的坐标； (3)如图3，平面直角坐标系中有一点，使得，求点G的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)， 【思路引导】（1）根据解析式，令即可求出点A坐标，将D点代入解析式并解方程，即可求出解析式； （2）过点P作y轴平行线，过点D作x轴平行线，与相交于点H，根据可知和都为等腰直角三角形，根据路程和速度，可得点Q在整个运动过程中所用的时间为，当C，P，H三点共线时，t有最小值，从而得出轴，得出点P的横坐标，再根据函数解析式，求出点P的纵坐标即可； （3）过G作x轴平行线，交直线于点H，过C点作．用含m的表达式求出，根据列出关于m的方程，可以求出G点坐标． 【规范解答】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为， 将点代入，， 解得：， ∴直线的关系式为； （2）解：过点P作y轴平行线，过点D作x轴平行线，与相交于点H， 则， 把代入得：， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据题意得，点Q在整个运动过程中所用时间： ， ∵两点之间线段最短， ∴当C，P，H三点共线时，t有最小值， ∴此时轴， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴此时点P的坐标为； （3）解：如图，过G作x轴平行线，交直线于点H，过C点作．    把代入得：， 解得：， ∴点， ∴， 把代入得：， ∴， 根据解析（2）可知：，， 根据解析（1）可知：点， ， 又∵， ∴， 解得：， ∴点G的坐标为或． 【考点剖析】本题是考查一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，平行线的性质，等高模型，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题，学会用转化的思想，属于压轴题． 20．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【答案】(1)，否； (2)①；②； (3)． 【思路引导】（）根据速度路程时间即可求出货车行驶的平均速度，进而根据限速即可判断是否超速； （）①利用待定系数法即可求解；②利用待定系数法求出射线的函数表达式，再联立两函数表达式得到方程组，解方程组即可求解； （）当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，利用待定系数法可得，把代入得，据此即可求出激光射线与射线有交点的时长； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数函数表达式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得，该货车行驶的平均速度为， ∵限速， ∴该货车没有超速， 故答案为：，否； （2）解：①设射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴； ②设射线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴， 由，解得， ∴射线、射线的交点坐标为； （3）解：当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴激光射线与射线有交点的时长为． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $