专题5.4 用一次函数解决问题（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题5.4 用一次函数解决问题 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：利用一次函数解决实际问题的步骤 1 知识点梳理02：一次函数模型的应用方法 2 知识点梳理03：选取合适的一次函数解决方案问题 2 知识点梳理04：利用一次函数最值解决最优化问题的方法 2 知识点梳理05：构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：分配方案问题（一次函数的实际应用） 2 考点2：最大利润问题（一次函数的实际应用） 5 考点3：行程问题（一次函数的实际应用） 9 考点4：梯度计价问题（一次函数的实际应用） 14 考点5：其他问题（一次函数的实际应用） 17 考点6：一次函数与几何综合 20 中考真题 实战演练 27 难度分层 拔尖冲刺 33 基础夯实 33 培优拔高 42 知识点梳理01：利用一次函数解决实际问题的步骤 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 知识点梳理02：一次函数模型的应用方法 函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景运用函数知识来解决的一类问题这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决. 知识点梳理03：选取合适的一次函数解决方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 知识点梳理04：利用一次函数最值解决最优化问题的方法 最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数()中的自变量的取值范围是全体实数,其图象是一条直线所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值. 知识点梳理05：构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来反映图形运动的变化规律解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力. 考点1：分配方案问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案． 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明理由，并计算出该方案所需费用． 【答案】(1)， (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该方案所需费用为元 【思路引导】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶最省钱，计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得： ， ． （2）解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 【变式训练1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车辆．求货车所需总费用与之间的函数关系式；当所需总费用为2350元，该如何安排拉货？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． (2)；安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货 【思路引导】本题主要考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出货车所需总费用w与a之间的函数关系；由解方程即可解答． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货m吨、n吨， 由表格可得：， 解得． 答：甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． （2）解：设甲种货车a辆，则乙种货车辆， 由题意可得：， 即货车所需总费用w与a之间的函数关系是； 当时，由得， ， 故当所需总费用为2350元，安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货． 【变式训练2】（2025·黑龙江七台河·一模）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共10种方案，A种车皮9节，B种车皮21节，最低费用为85500元 (3)或或或或或，所以共6种租车方案． 【思路引导】本题考查了一次函数的应用和解不等式组、二元一次方程的解等知识点，解题关键在于正确建立函数模型并求解． （1）根据关系，列出函数关系式，化简即可； （2）根据题意列出不等式组，计算出x的取值范围，即可知有10种方案且计算出最低费用； （3）列出方程式，解得其整数解即可． 【规范解答】（1）解：， 和x之间的函数关系式为； （2）解：， 解得， ∵， ∴ x的可能取值为的整数，共10种方案， 费用函数中，y随x增大而减小， 当时，费用最低， 此时元， 对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节， 故答案为：共10种方案，最低费用为85500元； （3）解：解方程， 化简为，满足，， 整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案． 考点2：最大利润问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）某花店为迎接节日，计划购进甲、乙两种鲜花．若从批发商处购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元． (1)求甲、乙两种鲜花的进价； (2)根据以往节日销售数据，为满足顾客需求，花店计划购进90束鲜花，其中甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍．甲种鲜花每束定价50元，乙种鲜花每束定价40元．考虑到运输、保鲜、损坏等成本，甲种鲜花每束成本为元，乙种鲜花每束成本为a元，其中，请规划利润最大的进货方案，并说明理由． 【答案】(1)甲种鲜花的进价是25元/束，乙种鲜花的进价是20元/束 (2)当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花90束；当时，销售利润为定值；当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花60束，乙种鲜花30束 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设甲种鲜花的进价是x元/束，乙种鲜花的进价是y元/束，根据“进货10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；进货10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种鲜花m 束，则购进乙种鲜花束，根据购进甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的鲜花全部售出后的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出利润最大的进货方案． 【规范解答】（1）解：设甲种鲜花的进价是x元/束，乙种鲜花的进价是y元/束， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种鲜花的进价是25元/束，乙种鲜花的进价是20元/束； （2）解：设购进甲种鲜花m束，则购进乙种鲜花束， 根据题意得：， 解得：． 设购进的鲜花全部售出后的总利润为w元，则， ∴． 当，即时，w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花60束，乙种鲜花30束； 当，即时，， ∴当时，销售利润为定值； 当，及时，w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花90束． 答：当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花90束；当时，销售利润为定值；当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花60束，乙种鲜花30束． 【变式训练1】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）某商店销售A，B两种商品，种商品的进价为每件20元，售价为每件30元；种商品的进价为每件35元，售价为每件50元．该商店计划购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件．设购进种商品件，销售完这100件商品的总利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商店如何进货才能使销售完这100件商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)购进种商品60件，种商品40件，利润最大，最大利润为1200元 【思路引导】本题考查了一次函数的实际应用，求出函数关系式是解题的关键； （1）根据总利润等于两种商品利润和即可列出函数关系式； （2）根据函数式及一次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：， 整理得：， 由于购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件，则； ∴与的函数关系式为，自变量的取值范围为； （2）解：，且， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，函数取得最大利润，且最大利润为（元）， 此时购进B种商品为（件）； 答：购进种商品60件，种商品40件，利润最大，最大利润为1200元． 【变式训练2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360元，购进8件A商品和6件B商品共需270元． (1)请你算出A，B两种商品每件的进价； (2)店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品件，B商品件． ①求与之间的关系式： ②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与之间的关系式和该店所获利润的最大值． 【答案】(1)每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元； (2)①(，且为5的正整数倍)；②W与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)；该店所获利润的最大值为1900元． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，利用一次函数的性质求最值是解题的关键； （1）设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元，根据题中等量关系可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再结合，均为正整数，即可得出的取值范围； 根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【规范解答】（1）设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元， 根据题意，得， 解方程组，得． 答：每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元． （2）（2）根据题意，得， ， ， ， ， 又，为正整数， ， 与之间的关系式为(，且为5的正整数倍) ． 根据题意，得 ， ， ， 随的增大而减小， 又， 当时，取得最大值，最大值为， 答：与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)，该店所获利润的最大值为1900元． 考点3：行程问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（24-25九年级下·天津静海·阶段练习）周末，小明从宿舍出发，匀速走了7分钟到小吃店；在小吃店停留16分钟吃早餐后，匀速走了5分钟到图书馆：在图书馆停留30分钟借书后，匀速走了10分钟返回宿舍，如图的图象反映了这个过程中小明离宿舍的路程y（千米）与离开宿舍的时间x（分钟）之间的对应关系． 请根据图中相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开宿舍的时间（分钟） 1 10 23 40 63 离宿舍的路程（千米） (2)填空： ①小明从小吃店到图书馆的速度为_______千米/分钟； ②当小明离开宿舍的距离为千米时，小明离开宿舍的时间是______分钟． ③当时，请直接写出小明离宿舍的路程y（千米）与离开宿舍的时间x（分钟）之间的对应关系； (3)小明从小吃店出来30分钟后，同宿舍的小强从宿舍出发去图书馆，小强的速度为千米/分钟，当小明与小强相遇时，他们离宿舍还有多远？（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)①；②6；③ (3)千米 【思路引导】（1）根据函数图象填表即可； （2）①根据速度公式进行计算即可； ②用路程除以速度求出时间即可； ③分两种情况：当时，当时，求出函数解析式即可； （3）设小强出发后t秒后，小明和小强相遇，根据小强与小明走的总路程为1千米，列出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：小明从宿舍出发，到小吃店的速度为：（千米/分钟）， 从图书馆返回宿舍的速度为：千米/分钟， 离开宿舍1分钟时，距离宿舍千米， 离开宿舍23分钟时，距离宿舍千米， 离开宿舍40分钟时，距离宿舍1千米， 离开宿舍63分钟时，距离宿舍（千米）， 填表如下： 离开宿舍的时间（分钟） 1 10 23 40 63 离宿舍的路程（千米） 1 （2）解：①小明从小吃店到图书馆的速度为（千米/分钟）； ②当小明离开宿舍的距离为千米时，小明离开宿舍的时间是：（分钟）． ③当时，； 当时，设，把，代入得： ， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：； （3）解：设小强出发后t分钟后，小明和小强相遇，根据题意得： ， 解得：， （千米）， 即当小明与小强相遇时，他们离宿舍还有千米． 【考点剖析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够读懂函数图象． 【变式训练1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家． (2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式． (3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间． 【答案】(1)150；10 (2) (3)张强出发分或分或35分后与妈妈相距1000米 【思路引导】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键． （1）直接根据图象求解即可； （2）利用待定系数法解答即可求解； （3）求出直线、的解析式，分三种情况讨论即可求解． 【规范解答】（1）解：张强返回时的速度是米/分； ∵米， ∴妈妈原来的速度为米/分， 分， 即妈妈比按原速返回提前10分钟到家； 故答案为：150；10 （2）解：观察图象得：点A的坐标为，点C的坐标为 设张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为； （3）解：如图， 设直线的解析式为， ∵， ∴点， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， ∵张强出发后与妈妈相距1000米， ∴或或， 解得：或或， 即张强出发分或分或35分后与妈妈相距1000米． 【变式训练2】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知学校在小明家和新华书店之间，小明步行从家出发经过学校匀速前往新华书店．图2是小明步行时离学校的路程y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． (1)小明家到学校的距离为_____米，图中a的值是_____； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式； (3)经过多少分时，小明距离学校100米？ 【答案】(1)240，18； (2)； (3)分或分． 【思路引导】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）观察图象可知小明家到学校的距离；根据速度=路程÷时间求出小明步行的速度，根据图象求出小明家到新华书店的距离，再根据时间=路程÷速度求出小明从家到新华书店所用时间，即a的值； （2）利用待定系数法解答即可； （3）分别计算小明到达学校前与离开学校后距离学校100米时所用时间即可． 【规范解答】（1）解：小明家到学校的距离为240米； 小明步行的速度是（米/分）， 小明家到新华书店的距离为（米）， 则小明从家到新华书店所用时间为（分）， ∴． 故答案为：240，18． （2）解：设线段所表示的y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴线段所表示的y与x之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 解得； 当时，， 解得． 答：经过3.5分或8.5分时，小明距离学校100米． 考点4：梯度计价问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）天然气收费标准如下表所示： 用气类型 气价 居民生活用气 阶梯气价（每年每户） 及以下部分 3.35元 部分（不包含包含） 3.93元 以上部分 4.80元 设某户每月用气量为，应交燃气费为（元）． (1)写出用气量未超过时，与之间的函数关系式； (2)当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量． 【答案】(1) (2)小明家用气量为 【思路引导】本题考查一次函数，一元一次方程的应用． （1）应交燃气费每月用气量气价； （2）先求出x范围，再列方程即可． 【规范解答】（1）解：由表格可知，当时，， 当时，， ∴用气量未超过时，y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵（元），（元）， ∴小明家用气量超过，但不超过，即， ∴， 解得； ∴小明家用气量为． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）游泳池常需进行换水清洗．下图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水清洗灌水”中水量y（单位：）与时间t（单位：）之间的函数图象． (1)求排水时间． (2)根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程中水量y关于时间t的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，求出当时的值即可； （2）根据图象上点的坐标利用待定系数法得出灌水阶段解析式，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设排水阶段的关于的函数表达式为． 把点代入， 得， 解得， 所以． 当时，， 解得， 所以排水时间为． （2）解：设灌水阶段的关于的函数表达式为． 把点代入， 得 解得 所以． 当时，， 解得． 故整个换水清洗过程中水量关于时间的函数表达式为 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准如下：快递起步费为a元，即快递物品质量不超过bkg时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)观察图象填空：_________，________，_________． (2)若顾客快递物品的质量为xkg，快递费为y元，请写出y关于x的函数表达式． 【答案】(1)8；3；1.5 (2) 【思路引导】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式是解题的关键． （1）根据图象得出，，再根据变化情况求出的值即可； （2）分情况用待定系数法求出y关于x的函数表达式即可． 【规范解答】（1）解：根据图象可得：快递起步费为8元，即快递物品质量不超过3千克时收费8元，超过部分每千克收费（元）， ∴，，， 故答案为：8；3；1.5； （2）解：根据图象可知，当时，； 当时，设关于的函数表达式为． 把点代入，得 解得 即， 所以关于的函数表达式为． 考点5：其他问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）一农民伯伯带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题： (1)农民自带的零钱是 元； (2)降价前他每千克土豆出售的价格是 元； (3)若他是按每千克降元将剩余土豆售完，这时他手中的钱是26元，则他一共带了 千克土豆． 【答案】(1)5 (2) (3)45 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是读懂函数图象． （1）利用函数图象进行求解即可； （2）根据函数图象，利用单价公式进行求解即可； （3）求出降价后的单价，然后根据函数图象，求出降价后的土豆质量，即可求出总质量． 【规范解答】（1）解：根据图象可知，农民自带的零钱是5元， 故答案为：5； （2）解：由图象可知，降价前他每千克土豆出售的价格是（元）， 故答案为：； （3）解：降价后的单价为（元）， 此时，降价后的土豆质量为：（千克）， （千克）， 一共带了45千克土豆， 故答案为：45． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）电力公司为鼓励市民节约用电，对居民用电采取分段计费的方法收费．若某户居民每月应交电费y（单位：元）与用电量x（单位：）之间的函数图象是一条折线（如下图），请根据图象解答下列问题： (1)分别写出当和时，y关于x的函数表达式． (2)利用函数表达式，说明电力公司采取的收费标准． 【答案】(1)当时，；当时， (2)见解析 【思路引导】本题主要考查一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解决问题的关键是从一次函数的图象上获取信息． （1）对段，列出正比例函数；对段，列出一次函数；将坐标点代入即可求出． （2）由图象可以看出，低于100度和超出100度的部分交纳的费用是不一样的． 【规范解答】（1）解：当时， 设，则，解得， 所以． 当时， 设，则， 解得， 所以． （2）解：根据（1）中的函数表达式可知，收费的标准是月用电量在时，每千瓦时收费0.65元；月用电量超出时，超出部分每千瓦时收费0.8元． 【变式训练2】（20-21八年级下·浙江台州·期末）根据天气预报，某地将持续下雨7天，然后放晴．开始下雨的48小时内，某水库记录了水位变化，结果如下： 时间x/h 0 12 24 36 48 … 水位y/m 40 40.3 40.6 40.9 41.2 … 在不泄洪的条件下，假设下雨的这7天水位随时间的变化都满足这种关系． （1）在不泄洪的条件下，写出一个函数解析式描述水位y随时间x的变化规律； （2）当水库的水位达到43m时，为了保护大坝安全，必须进行泄洪． ①下雨几小时后必须泄洪？ ②雨天泄洪时，水位平均每小时下降0.05m，求开始泄洪后，水库水位y与时间x之间的函数关系式；并计算泄洪几小时后水位可以降到下雨前的初始高度？ 【答案】（1）；（2）①120小时；② （120≤x＜168），y＝（x＞168），泄洪56小时后，水位降到下雨前的初始高度 【思路引导】（1）观察数据的变化符合一次函数，设出一次函数的解析式，拥待定系数法即可求出解析式； （2）①取y＝43，算出对应的x即可； ②开始泄洪后的水位为水库的量减去泄洪的量，分别用x表示出对应的值，即可写出y与x的关系式，取y＝40，求出x即可． 【规范解答】解：（1）观察发现x和y满足一次函数的关系，设y＝kx+b， 代入（0，40）（12，40.3）得： ， 解得：， ∴； （2）①当y＝43时，有， 解得x＝120， ∴120小时时必须泄洪； ②在下雨的7天内，即120≤x＜168时， ， 7天后，即x＞168时，此时没有下雨，水位每小时下降米， ， 当y＝40时，有：， 解得x＝180（不合，舍去）， 或者，则x＝176， 176﹣120＝56， ∴泄洪56小时后，水位降到下雨前的初始高度． 【考点剖析】本题主要考查一次函数的应用，关键是要会用待定系数法求出一次函数的解析式，根据解析式求出y满足一定条件时对应的x的值． 考点6：一次函数与几何综合 【典例精讲】（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②或或 (2) 【思路引导】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①分别令，求出的值，得到的坐标，求出时的值，求出点坐标；②根据，得到，进而得到，进行求解即可； （2）求出点坐标，进而求出点恰好在直线上时的的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴当时，；当时，， 当时，； ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，，当时，， ∴或或； （2）∵， ∴当时，把代入，得：， ∴点， 当直线过点时，直线与关于m的对称函数有两个交点， 将点C的坐标代入得：，解得； ∴当时，直线与关于m的对称函数有两个交点． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)若点在轴上，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了一次函数的解析式，直线的交点问题，一次函数与不等式的解集，三角形的面积，熟练掌握待定系数法，数形结合思想是解题的关键． （1）把代入求出点，把坐标、分别代入计算即可； （2）根据，利用数形结合思想计算即可； （3）设，结合点，求出或，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：直线与直线交于点， ， ， 直线交轴于点， ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：根据函数图象得，当时，； （3）解：令，则， 解得：， ， 设， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 【变式训练2】（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求出的面积； (3)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路引导】（1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； （2）过F点作轴交于点W，证明，可求F点坐标，作E点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，当、D、P三点共线时，的值最小，再由在直线上，求出的直线解析式，联立，则可求，再求直线的解析式为，即可求，根据三角形的面积公式可得的面积； （3）根据题意得到，分两种情况，①当点M在点O的右侧时，②当点M在点O的左侧时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴； （2）解：∵点E是线段的中点，， ∴， 如图，过F点作轴交于点W， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 作E点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴， ∴， 当、D、P三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 联立， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴当的值最小时，，的面积为； （3）解：存在， ∵， ∴直线， ∵， ∴直线的解析式为， 当时，即， ∴， ∴， ①如图，当点M在点O的右侧时，过点O作于H，延长交的延长线于N，作轴于P，轴于Q， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， 令，则， 解得， ∴； 当点M在点O的左侧时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点M的坐标为或． 【考点剖析】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 1．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【答案】/ 【思路引导】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【规范解答】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 2．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． (2)当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 【思路引导】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式和二元一次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设大号中国结编了个，小号中国结编了个，编织这种中国结恰用绳25米，据此列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设大号编织个，则小号编织个，根据用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结列不等式，解得的取值范围，设总利润为元，得到关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案． 【规范解答】（1）解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， ∴， ∵，均是正整数， ∴当时，， 当时，， 答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． （2）解：设大号编织个，则小号编织个， 则， 解得， ∵为正整数， ∴， 设总利润为元，则 ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【规范解答】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 4．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】(1)300，2 (2) (3)或或 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 5．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【思路引导】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【规范解答】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 基础夯实 1．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）如图，点A、D分别在直线和上，轴，B、C都在x轴上，且四边形是长方形，已知点B的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征． 根据函数解析式求出点D坐标即可． 【规范解答】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴点D的纵坐标为3， 在中，当时，， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·周测）如图，三角形位于第二象限，已知，，其中点A的坐标为，点C的坐标为．若直线经过点且与三角形有交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】该题考查了一次函数的图象和性质，需要根据三角形的性质和直线的条件，确定b的取值范围．首先，利用等腰直角三角形的性质和点的坐标确定点B的坐标．然后，根据直线经过点的条件，推导出b与k的关系．最后结合图象分析直线与三角形各边相交的情况，确定b的取值范围． 【规范解答】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵直线经过点， 将点代入直线，得到， 根据题意结合图象可知，直线绕点旋转且与三角形有交点， 那么当直线经过点时，b的取值最小，当直线经过点时，b的取值最大， 将点代入得，解得：，则， 将点代入得，解得：，则， 故直线与三角形有交点时，的取值范围为， 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·周测）弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量x（单位：）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过，两点，则弹簧不挂物体时的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数的应用，关键是设出函数关系式，利用待定系数法求出的值． 根据图象，设出直线解析式为，把，代入函数解析式，可得函数关系式为：，求直线与 y 轴交点即可． 【规范解答】解：设解析式为， 把，代入得：， 解得：， 则函数关系式为：， 当时，． 故选：B． 4．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）如图，经过长方形的顶点B的直线l将长方形分成面积比为的两部分.已知点A在x轴上，点C在y轴上，且，，直线l与y轴的交点在线段上，则直线l的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查一次函数与几何综合，先求出长方形的面积，根据直线l将长方形分成面积比为的两部分可求出，求得，得，即，运用待定系数法可求出直线的解析式． 【规范解答】解：如图， ∵，， ∴长方形的面积，， ∴， ∵经过长方形的顶点B的直线l将长方形分成面积比为的两部分. ∴, ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设直线l的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线l的解析式为， 故选：B． 5．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，已知点，，一次函数的图象经过点A，且与y轴相交于点C，若点P为线段上的一点．连接，将沿着直线翻折，使得点A的对应点恰好落在直线下方的y轴上，则点P的坐标为 ． 【答案】/ 【思路引导】将点代入一次函数求出b的值，可得一次函数，设由翻折的性质得，，即可求解． 【规范解答】解：设翻折后点A落在y轴上的点为， 则，， ∵一次函数的图象经过点A，点， ∴，解得：， ∴点， ∴一次函数的解析式为， 设点P的坐标为， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，则， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了求一次函数解析式，折叠问题，一次函数与几何综合，用勾股定理解三角形，解题关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生长情况，得到该植物高度y（单位：cm）与观察时间x（单位：天）的函数关系如图所示．已知，轴，则第6天该植物的高度为 cm． 【答案】10 【思路引导】该题主要考查了一次函数的应用．求出植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数解析式，再求出时，对应的的值即可； 【规范解答】解：根据题意设线段的函数解析式为， 将代入得， ， ∴线段的函数解析式为， ∵，轴， ∴， 设的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴的解析式为， 当时，， ∴第天该植物的高度为厘米． 故答案为：． 7．（20-21八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴上，点分别在直线上，，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，此题是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，以数学结合思想灵活运用等腰直角三角形的性质是解本题的关键． 根据，是等腰直角三角形，得到和的横坐标为1，根据点在直线上，得到点的纵坐标，结合为等腰直角三角形，得到和的横坐标为，同理：和的横坐标为，和的横坐标为，依此类推，即可得到点的横坐标． 【规范解答】解：根据题意得：和的横坐标为1， 把代入得：， ∴的纵坐标为1，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴和的横坐标为， 同理：和的横坐标为， 和的横坐标为， 依此类推…… 则的横坐标为，纵坐标为0， ∴的横坐标为，纵坐标为0， 即点的坐标为， 故答案为：． 8．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）小明在大雁塔北广场开设了一个报刊亭，每天从华商报社以每份元买进报纸300份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份元退给小明，如果小明平均每天卖出报纸x份，纯收入y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果每月以30天计，小明平均每天需要卖多少份报纸才能保证每月卖报纸的纯收入为1500元？ 【答案】(1)（且x为整数） (2)小明平均每天需要卖200份报纸才能保证每月卖报纸的纯收入为1500元 【思路引导】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据每天从华商报社以每份元买进报纸300份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份元退给小明，如果小明平均每天卖出报纸x份，纯收入y元，进行列式计算得，即可作答． （2）根据收入为1500元进行列式计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意得， 整理得（且x为整数）． （2）解：依题意：， 解得． 答：小明平均每天需要卖200份报纸才能保证每月卖报纸的纯收入为1500元． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)，． (2)1.875千克或42.5千克 (3)甲方案更划算，理由见解析 【思路引导】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据两种方案分别求函数关系式即可； （2）分当时和当时两种情况，令，分别解一元一次方程即可求解； （3）分别求出时的，，比较大小即可得出结论． 【规范解答】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意，得； ； （2）解：当时，， 令，则，解得； 当时，令，则，解得， 答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同． （3）解：选择甲方案更划算．理由如下： 当时，． 因为，所以选择甲方案更划算． 10．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）某市端午节期间，甲、乙两队举行了全程为1000米的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间（分钟）之间的图象如图所示，请你根据图象，解答下列问题： (1)甲与乙相遇时，甲队的速度为 米/分钟，乙队的速度为 米/分钟； (2)求乙队比赛时的路程s（米）与时间（分钟）之间的函数关系式； (3)在乙队到达终点之前，问何时甲、乙两队之间的距离为50米？ 【答案】(1)250；375 (2) (3)或或时，甲、乙两队之间的距离为50米 【思路引导】本题考查了一次函数的实际应用，根据图象信息求出两队的速度再根据路程列方程是解决本题的关键． （1）根据“路程÷时间=速度”即可求出甲队和乙队的速度； （2）分和运用待定系数法求出函数关系式即可； （3）设经过t分钟，两队相距50米，分两种情况：①乙队提速之前，②乙队提速之后，根据“乙的路程甲的路程”列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：米/分钟）， （米/分钟）， 故答案为：250，375． （2）解： 当时，设s与t之间的函数关系式为（为常数且）， 将代入，得， ∴当时，s与t之间的函数关系式为； 当时，设s与t之间的函数关系式为（，b为常数且）， 将、代入，得 ， 解得， ∴当时，s与t之间的函数关系式为． 故乙队比赛时的路程s（米）与时间：（分钟）之间的函数关系式为． （3）解：设甲队比赛时的路程s（米）与时间（分钟）之间的函数关系式为（m为常数且），将代入，得， ∴甲队比赛时的路程s（米）与时间（分钟）之间的函数关系式为． 令，解得， 即图中t的值为2.8． ①时，有， 解得； ②当时，有， 解得； ③当时，有， 解得． 综上所述，在乙队到达终点之前，或或时，甲、乙两队之间的距离为50米． 培优拔高 11．（2021八年级上·广东东莞·竞赛）如图，若直线的解析式为，且点，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的应用、等腰三角形的三线合一，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．过点作轴于点，先利用待定系数法求出直线的解析式为，再求出，则可得，然后求出，则可得，根据等腰三角形的三线合一可得，则可得长，由此即可得． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点， 将代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 又∵，轴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故选：C． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（    ） A．甲车从A地到B地时间为分钟 B．甲车速度是乙车速度的倍 C．甲车行驶路程是乙车的2倍 D．甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．根据时间、速度和路程之间的关系结合函数图象逐一判断即可． 【规范解答】解：甲车从地到地时间为（分钟）， 故A选项不符合题意； 甲车从地到地时间为分钟，乙车从地到地时间为分钟， 行驶相等的路程甲、乙两车所用时间之比为， 甲、乙两车的速度之比为， 甲车速度是乙车速度的3倍， 故B选项符合题意； 甲车行驶路程是乙车的2倍， 故C选项不符合题意； 设乙车的速度为千米分钟，则甲车的速度为千米分钟，、两地之间的路程为 千米， 设甲、乙两车第一次相遇的时间为分钟，则 解得， 设甲、乙两车第二次相遇的时间为分钟，则， 解得， （分钟）， 甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟， 故D选项不符合题意． 故选：B． 13．（2023八年级上·安徽蚌埠·竞赛）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【思路引导】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【规范解答】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从上中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 14．（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点A，作轴于点B，将绕点B顺时针旋转得到，若点B的坐标为，则点C的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查坐标与旋转，一次函数与几何的综合应用，设交于点，先求出点坐标，进而求出的长，推出轴，得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而求出点坐标即可． 【规范解答】解：设交于点 ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵轴，， ∴点的横坐标为4， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 15．（24-25八年级上·江苏南京·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日迫及之．”两匹马行走路程S（里）与行走时间（日）的函数关系如图所示，则图中交点P的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【规范解答】解：设良马t天追上驽马， ， 解得，， 20天良马行走的路程为（里）， 故点P的坐标为， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．将坐标代入，求出b，从而求得反射光线的函数关系式，当时，求出对应x的值，从而求得点B的坐标；求出点C关于x轴的对称点的坐标，由光的反射定律可知，点在入射光线上，进而利用待定系数法求出入射光线的函数关系式即可． 【规范解答】解：将坐标代入，得，解得， 反射光线的函数关系式为， 当时，， 解得， ， 根据光的反射定律，点关于x轴的对称点在入射光线上， 设入射光线的函数关系式为（m、n为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 入射光线的函数关系式为． 17．（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A型足球和20个B型足球共花费5000元，已知购买一个B型足球比购买一个A型足球多花40元． (1)求购买一个A型足球和一个B型足球各需多少元： (2)通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划再次购买A型B型足球共50个，其中购买A型足球大于20个但不超过40个，具体报价如表，设购买总花费为w元，问如何购买使得总花费w最少？请说明理由． 型号 购买数量少于30个 购买数量不少于30个 A型 原价购买 打九折 B型 原价购买 打八折 【答案】(1)60元，100元 (2)购买40个A型足球，10个B型足球，理由见解析 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和不等式的性质解答． （1）设购买一个A型足球需要x元，则购买一个B型足球需要y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买m个A型足球，其中，则购买个B型足球，然后分两种情况，结合一次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：设购买一个A型足球需要x元，则购买一个B型足球需要y元，根据题意得： ，解得：， 答：购买一个A型足球需要60元，购买一个B型足球需要100元； （2）解：设购买m个A型足球，其中，则购买个B型足球， 当时， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w 取得最小值，最小值为； 当时， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w 取得最小值，最小值为， ∵， ∴购买40个A型足球，10个B型足球需要费用最小，最小费用为3160元． 18．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件（允许甲、乙两种原料有剩余），生产单件A，B产品的原料用量和获利如表所示： 甲（） 乙（） 获利（元） A 9 3 700 B 4 10 1200 (1)按要求安排A，B两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来； (2)设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数表达式，并利用这个表达式说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)三种方案，①生产A产品30件，生产B产品20件；②生产A产品31件，生产B产品19件；③生产A产品32件，生产B产品18件 (2)，方案生产A产品30件，生产B产品20件获利最大，最大利润为元 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组和一次函数的实际应用， 正确理解题意是解题的关键． （1）设生产产品件，则生产产品件，根据题意列出不等式组求其整数解即可确定方案； （2）A产品生产件数为x件，根据总利润=生产A产品的利润＋生产B产品的利润，建立一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【规范解答】（1）解：设生产产品件，则生产产品件， 由题意得， 解得 ∵为整数， ∴取30或31或32， ∴方案有三种：①生产A产品30件，生产B产品20件；②生产A产品31件，生产B产品19件；③生产A产品32件，生产B产品18件； （2）解：由题意得，， 即， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当取30时，最大，且为元， ∴此时选择方案①生产A产品30件，生产B产品20件． 19．（25-26八年级上·重庆渝北·开学考试）如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点、点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点、点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求及图②中的值； (2)当点出发______秒时，点的运动路程为； (3)设点离开点的路程为（cm），点到点还需要走的路程为（cm），请分别写出改变速度后，、与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点、点相遇时的值． 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【思路引导】（）由图象②可得，当时，，求出的值，进而可求出和的值； （）求出的值，设当点出发秒时，点的运动路程为，进而列出方程即可求解； （）根据题意求出、与出发后的运动时间（秒）的关系式，进而可知点、点相遇时，解方程即可求解； 本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，一次函数的应用。看懂函数图象是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由图象②可得，当时，， 解得， ∴， ∴； （2）解：由题意可得，， 解得， 设当点出发秒时，点的运动路程为， 则， 解得， ∴点出发秒时，点的运动路程为， 故答案为：； （3）解：由题意得，，， 即，， 当点、点相遇时，， 解得． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 用一次函数解决问题 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：利用一次函数解决实际问题的步骤 1 知识点梳理02：一次函数模型的应用方法 2 知识点梳理03：选取合适的一次函数解决方案问题 2 知识点梳理04：利用一次函数最值解决最优化问题的方法 2 知识点梳理05：构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：分配方案问题（一次函数的实际应用） 2 考点2：最大利润问题（一次函数的实际应用） 4 考点3：行程问题（一次函数的实际应用） 6 考点4：梯度计价问题（一次函数的实际应用） 8 考点5：其他问题（一次函数的实际应用） 9 考点6：一次函数与几何综合 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 19 知识点梳理01：利用一次函数解决实际问题的步骤 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 知识点梳理02：一次函数模型的应用方法 函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景运用函数知识来解决的一类问题这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决. 知识点梳理03：选取合适的一次函数解决方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 知识点梳理04：利用一次函数最值解决最优化问题的方法 最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数()中的自变量的取值范围是全体实数,其图象是一条直线所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值. 知识点梳理05：构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来反映图形运动的变化规律解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力. 考点1：分配方案问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案． 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明理由，并计算出该方案所需费用． 【变式训练1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车辆．求货车所需总费用与之间的函数关系式；当所需总费用为2350元，该如何安排拉货？ 【变式训练2】（2025·黑龙江七台河·一模）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 考点2：最大利润问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）某花店为迎接节日，计划购进甲、乙两种鲜花．若从批发商处购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元． (1)求甲、乙两种鲜花的进价； (2)根据以往节日销售数据，为满足顾客需求，花店计划购进90束鲜花，其中甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍．甲种鲜花每束定价50元，乙种鲜花每束定价40元．考虑到运输、保鲜、损坏等成本，甲种鲜花每束成本为元，乙种鲜花每束成本为a元，其中，请规划利润最大的进货方案，并说明理由． 【变式训练1】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）某商店销售A，B两种商品，种商品的进价为每件20元，售价为每件30元；种商品的进价为每件35元，售价为每件50元．该商店计划购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件．设购进种商品件，销售完这100件商品的总利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商店如何进货才能使销售完这100件商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式训练2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360元，购进8件A商品和6件B商品共需270元． (1)请你算出A，B两种商品每件的进价； (2)店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品件，B商品件． ①求与之间的关系式： ②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与之间的关系式和该店所获利润的最大值． 考点3：行程问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（24-25九年级下·天津静海·阶段练习）周末，小明从宿舍出发，匀速走了7分钟到小吃店；在小吃店停留16分钟吃早餐后，匀速走了5分钟到图书馆：在图书馆停留30分钟借书后，匀速走了10分钟返回宿舍，如图的图象反映了这个过程中小明离宿舍的路程y（千米）与离开宿舍的时间x（分钟）之间的对应关系． 请根据图中相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开宿舍的时间（分钟） 1 10 23 40 63 离宿舍的路程（千米） (2)填空： ①小明从小吃店到图书馆的速度为_______千米/分钟； ②当小明离开宿舍的距离为千米时，小明离开宿舍的时间是______分钟． ③当时，请直接写出小明离宿舍的路程y（千米）与离开宿舍的时间x（分钟）之间的对应关系； (3)小明从小吃店出来30分钟后，同宿舍的小强从宿舍出发去图书馆，小强的速度为千米/分钟，当小明与小强相遇时，他们离宿舍还有多远？（直接写出结果） 【变式训练1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家． (2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式． (3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间． 【变式训练2】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知学校在小明家和新华书店之间，小明步行从家出发经过学校匀速前往新华书店．图2是小明步行时离学校的路程y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． (1)小明家到学校的距离为_____米，图中a的值是_____； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式； (3)经过多少分时，小明距离学校100米？ 考点4：梯度计价问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）天然气收费标准如下表所示： 用气类型 气价 居民生活用气 阶梯气价（每年每户） 及以下部分 3.35元 部分（不包含包含） 3.93元 以上部分 4.80元 设某户每月用气量为，应交燃气费为（元）． (1)写出用气量未超过时，与之间的函数关系式； (2)当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）游泳池常需进行换水清洗．下图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水清洗灌水”中水量y（单位：）与时间t（单位：）之间的函数图象． (1)求排水时间． (2)根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程中水量y关于时间t的函数表达式． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准如下：快递起步费为a元，即快递物品质量不超过bkg时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)观察图象填空：_________，________，_________． (2)若顾客快递物品的质量为xkg，快递费为y元，请写出y关于x的函数表达式． 考点5：其他问题（一次函数的实际应用） 【典例精讲】．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）一农民伯伯带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题： (1)农民自带的零钱是 元； (2)降价前他每千克土豆出售的价格是 元； (3)若他是按每千克降元将剩余土豆售完，这时他手中的钱是26元，则他一共带了 千克土豆． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）电力公司为鼓励市民节约用电，对居民用电采取分段计费的方法收费．若某户居民每月应交电费y（单位：元）与用电量x（单位：）之间的函数图象是一条折线（如下图），请根据图象解答下列问题： (1)分别写出当和时，y关于x的函数表达式． (2)利用函数表达式，说明电力公司采取的收费标准． 【变式训练2】（20-21八年级下·浙江台州·期末）根据天气预报，某地将持续下雨7天，然后放晴．开始下雨的48小时内，某水库记录了水位变化，结果如下： 时间x/h 0 12 24 36 48 … 水位y/m 40 40.3 40.6 40.9 41.2 … 在不泄洪的条件下，假设下雨的这7天水位随时间的变化都满足这种关系． （1）在不泄洪的条件下，写出一个函数解析式描述水位y随时间x的变化规律； （2）当水库的水位达到43m时，为了保护大坝安全，必须进行泄洪． ①下雨几小时后必须泄洪？ ②雨天泄洪时，水位平均每小时下降0.05m，求开始泄洪后，水库水位y与时间x之间的函数关系式；并计算泄洪几小时后水位可以降到下雨前的初始高度？ 考点6：一次函数与几何综合 【典例精讲】（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)若点在轴上，当的面积为时，求点的坐标． 【变式训练2】（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求出的面积； (3)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 2．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 4．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 5．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 基础夯实 1．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）如图，点A、D分别在直线和上，轴，B、C都在x轴上，且四边形是长方形，已知点B的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·周测）如图，三角形位于第二象限，已知，，其中点A的坐标为，点C的坐标为．若直线经过点且与三角形有交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·周测）弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量x（单位：）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过，两点，则弹簧不挂物体时的长度是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）如图，经过长方形的顶点B的直线l将长方形分成面积比为的两部分.已知点A在x轴上，点C在y轴上，且，，直线l与y轴的交点在线段上，则直线l的表达式为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，已知点，，一次函数的图象经过点A，且与y轴相交于点C，若点P为线段上的一点．连接，将沿着直线翻折，使得点A的对应点恰好落在直线下方的y轴上，则点P的坐标为 ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生长情况，得到该植物高度y（单位：cm）与观察时间x（单位：天）的函数关系如图所示．已知，轴，则第6天该植物的高度为 cm． 7．（20-21八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴上，点分别在直线上，，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标为 ． 8．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）小明在大雁塔北广场开设了一个报刊亭，每天从华商报社以每份元买进报纸300份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份元退给小明，如果小明平均每天卖出报纸x份，纯收入y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果每月以30天计，小明平均每天需要卖多少份报纸才能保证每月卖报纸的纯收入为1500元？ 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 10．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）某市端午节期间，甲、乙两队举行了全程为1000米的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间（分钟）之间的图象如图所示，请你根据图象，解答下列问题： (1)甲与乙相遇时，甲队的速度为 米/分钟，乙队的速度为 米/分钟； (2)求乙队比赛时的路程s（米）与时间（分钟）之间的函数关系式； (3)在乙队到达终点之前，问何时甲、乙两队之间的距离为50米？ 培优拔高 11．（2021八年级上·广东东莞·竞赛）如图，若直线的解析式为，且点，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（    ） A．甲车从A地到B地时间为分钟 B．甲车速度是乙车速度的倍 C．甲车行驶路程是乙车的2倍 D．甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 13．（2023八年级上·安徽蚌埠·竞赛）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 14．（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点A，作轴于点B，将绕点B顺时针旋转得到，若点B的坐标为，则点C的坐标是 ． 15．（24-25八年级上·江苏南京·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日迫及之．”两匹马行走路程S（里）与行走时间（日）的函数关系如图所示，则图中交点P的坐标是 ． 16．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为 ． 17．（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A型足球和20个B型足球共花费5000元，已知购买一个B型足球比购买一个A型足球多花40元． (1)求购买一个A型足球和一个B型足球各需多少元： (2)通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划再次购买A型B型足球共50个，其中购买A型足球大于20个但不超过40个，具体报价如表，设购买总花费为w元，问如何购买使得总花费w最少？请说明理由． 型号 购买数量少于30个 购买数量不少于30个 A型 原价购买 打九折 B型 原价购买 打八折 18．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件（允许甲、乙两种原料有剩余），生产单件A，B产品的原料用量和获利如表所示： 甲（） 乙（） 获利（元） A 9 3 700 B 4 10 1200 (1)按要求安排A，B两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来； (2)设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数表达式，并利用这个表达式说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 19．（25-26八年级上·重庆渝北·开学考试）如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点、点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点、点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求及图②中的值； (2)当点出发______秒时，点的运动路程为； (3)设点离开点的路程为（cm），点到点还需要走的路程为（cm），请分别写出改变速度后，、与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点、点相遇时的值． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $