专题5.1 变量与函数（知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共48题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题5.1 变量与函数 （知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共48题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：函数的概念 2 知识点梳理02：函数自变量的取值范围 2 知识点梳理03：函数值 2 知识点梳理04：函数的三种表示方法 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：函数的概念 2 考点2：函数解析式 4 考点3：求自变量的取值范围 4 考点4：求自变量的值或函数值 5 考点5：用表格表示变量间的关系 6 考点6：用关系式表示变量间的关系 7 考点7：用图象表示变量间的关系 8 考点8：函数图象识别 9 考点9：从函数的图象获取信息 10 考点10：用描点法画函数图象 11 考点11：动点问题的函数图象 13 考点12：函数的三种表示方法 14 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 20 知识点梳理01：函数的概念 1.函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 2.两个变量是否具有函数关系的判断方法： （1）看这两个变量是否处于同一个变化过程中； （2）看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应，如果满足这两条，那么这两个变量就具有函数关系，否则没有。 知识点梳理02：函数自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做函数自变量的取值范围.对于一个确定的函数关系式，自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义，而且自变量的取值应符合实际情况。 知识点梳理03：函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。 注：当自变量取某一个值时，函数值是唯一的。 知识点梳理04：函数的三种表示方法 函数常有以下三种表示方法： （1）列表法：把自变量的一系列值和相应的函数值列成一个表格来表示函数的方法叫做列表法； （2）关系式法：用代数式来表示函数关系的方法叫做关系式法； （3）图象法：对于一个函数，如果把它的自变量和函数的对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，由这些点所组成的图形就是这个函数的图象这种表示函数关系的方法叫做图象法. 考点1：函数的概念 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（22-23八年级·全国·假期作业）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润=收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）． x（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y（元） 0 1000 2000 … (1)在这个变化过程中，___________是自变量，___________是因变量； (2)观察表中数据，每月乘客量达到 ___________人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请写出每月利润y（元）与每月的乘车人数x（人）之间的关系式； (4)当每月乘车人数为5000人时，每月利润为多少元？ (5)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达多少人？ 考点2：函数解析式 【典例精讲】（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在长方形中，，点O在对角线上，且，点P是边的一个动点，连接，过点O作，交于点Q． (1)求的长度； (2)设，求y与x的函数表达式（不要求写自变量的取值范围） 【变式训练】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）等腰三角形的周长为40． (1)写出底边长与腰长函数表达式，并求出的取值范围； (2)当腰长为15时，求底边长；当底边长为8时，求腰长． 考点3：求自变量的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是 ．（写出自变量的取值范围） 【变式训练】（22-23八年级下·北京朝阳·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量取值范围是__________； (2)下表是与的几组对应值，求的值； … 0 1 2 3 … … 6 5 4 2 1 0 1 2 … (3)在下面网格中，建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；    (4)小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0； ②当时，随的增大而增大； ③图像关于过点且垂直于轴的直线对称． 小明得出的结论中正确的是_________________________．（只填序号） 考点4：求自变量的值或函数值 【典例精讲】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准：快递起步费为元，即快递物品质量不超过千克时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)观察图象填空： ， ， ； (2)若顾客快递物品的质量为千克，快递费为y元，请写出y与x之间的函数表达式； (3)当某顾客快递物品的质量为21千克时，他应付多少元快递费？若他共付快递费元，求他快递物品的质量为多少千克？ 【变式训练】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）某油箱容量为的汽车，加满汽油后行驶了时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩余油量为， (1)你能写出与之间的关系式是______． (2)当汽车行驶的路程为，油箱中还有多少油？ (3)汽车最多能行驶多远？ 考点5：用表格表示变量间的关系 【典例精讲】（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【变式训练】（24-25八年级上·安徽·期中）“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度与温度之间的变化关系： 距离地面高度千米 温度 (1)上表反映的变化关系中，_________是自变量，_________是因变量； (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么用表示的关系式是_________． 考点6：用关系式表示变量间的关系 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）圆柱的底面半径为，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_____________； (2)设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系式是______________； (3)当h从变化到时，圆柱的体积如何变化？ 【变式训练】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收，超过的部分按每吨3.3元收费． (1)设某户某月用水量为x吨（），应缴水费为y元，写出y关于x的函数关系式． (2)若该城市某户6月份用水15吨，该户6月份水费是______． (3)某用户8月份水费为76.4元，求该用户8月份用水量． 考点7：用图象表示变量间的关系 【典例精讲】（22-23七年级下·四川达州·期中）如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离，（千米）与时间t（小时）的关系，则：    (1)摩托车每小时走________千米，自行车每小时走_________千米； (2)摩托车出发后多少小时，它们相遇？ (3)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 【变式训练】（20-21七年级下·重庆·期末）甲、乙两人同时开始共同组装一批零件，工作两小时后，乙因事离开，停止工作．一段时间后，乙重新回到岗位并提高了工作效率．最后分钟，甲休息，由乙独自完成剩余零件的组装．甲在工作过程中工作效率保持不变，乙在每个工作阶段的工作效率保持不变．甲、乙两人组装零件的总数（个）与工作时间（小时）之间的图象如下： (1)这批零件一共有多少个？ (2)在整个组装过程中，当甲、乙各自组装的零件总数相差个时，求x的值． 考点8：函数图象识别 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（22-23八年级下·湖南娄底·阶段练习）下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 考点9：从函数的图象获取信息 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试） ，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，甲、乙两人离开A地的距离（单位：）与时间（单位：h）的函数关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．乙比甲提前出发1h B．甲的速度为 C．的值为50 D．或时，乙比甲多走 【变式训练】（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）一列动车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，两车同时出发，行驶的时间为 x（小时），两车之间的距离为y（千米） ，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究： (1)甲、乙两地之间的距离为 千米； (2)请解释图中点 B的实际意义； (3)动车和快车都匀速行驶，求动车和快车的速度；（保留解答过程） 考点10：用描点法画函数图象 【典例精讲】（24-25八年级下·河南新乡·期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 3 … (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值，则______，______； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以表格中各对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是______； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而______； (3)结合图象回答： ①关于x的方程的解是______； ②关于x的不等式的解集是______． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）项目学习：认识杆秤 知识背景：阿基米德曾说：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话是物理学杠杆原理夸张说法，而我国战国时代的墨子也提出杠杆原理，在《墨子·经下》中说“衡而必正，说在得”，“衡，加重于其一旁，必捶，权重不相若也，相衡，则本短标长，两加焉，重相若，则标必下，标得权也”．我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤（如图1），杆秤也是中华民族衡重的基本量具之一． 材料1：如图1，可以用秤砣（即秤锤）到秤纽（即绳纽）的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤）；则是关于的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 4 7 8 10 y（斤） 1.5 2 3 4 5 6 材料2： 根据以上素材，解决下面问题： (1)上表中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的； (2)求出这个一次函数的关系式； (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ 考点11：动点问题的函数图象 【典例精讲】．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，长方形中，，，，，点从点出发（不含点）以的速度沿的方向运动到点停止．点出发后，点从点出发以的速度沿的方向运动到停止，当点到达点时，点恰好到点． (1)当点到达点时，的面积为，求的长； (2)在（）的条件下，设点运动时间为，运动过程中的面积为（），请用含的式子表示面积（），并直接写出的取值范围． 【变式训练】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 考点12：函数的三种表示方法 【典例精讲】（24-25七年级下·江西吉安·期末）通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 请根据上面表格，回答下列问题： (1)如果用表示距离地面的高度，用来表示温度，那么随着的变化，如何变化？ (2)当高空温度是时，此时距离地面_____千米． (3)请你写出与的函数表达式，并求出当千米时，此时温度的值． 【变式训练】（24-25七年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 1．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 2．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 3．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 4．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 5．（2025·湖南·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点： 基础夯实 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，某电信公司提供了，两种方案的移动通讯费用（元）与通话时间（元）之间的关系，则下列结论中正确的有（   ） ①若通话时间少于120分，则方案便宜； ②若通话时间超过200分，则方案便宜； ③若通讯费用为50元，则方案的通话时间多； ④若超出免费时长，两种方案通讯每分钟加收费用相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当函数值时，自变量的取值是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）乌鸦在井旁找到了一个装有小半瓶水的玻璃瓶，由于瓶口狭窄，它想到了办法，将旁边的石子投入圆柱形玻璃瓶中使水面上升（假设石子的大小相同，瓶颈口的高度忽略不计）．下列关于乌鸦喝水的描述正确的有（    ） ①瓶子的高度是常量；②自变量是瓶中水面高度；③投入石子的数量是变量；④乌鸦投入的石子数量与水面高度满足函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是 （填序号）． 6．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）小明家与外婆家相距，小明从家出发，骑自行车去外婆家；妈妈从家出发，乘车沿相同路线去外婆家．小明和妈妈的行进路程与时间的函数图象如图所示，根据图象得出下列结论，其中正确的有 ．（填序号） ①小明骑自行车的平均速度是； ②妈妈比小明提前到达外婆家； ③妈妈追上小明； ④妈妈在距家处追上小明． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．尝试用你积累的经验和方法解决下面的问题： (1)如下图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象． (2)结合所画的函数图象，写出函数的两条性质． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到经过的新华书店，买到书后继续去学校．下图所示的是他本次上学所用的时间t（单位：）与离家距离y（单位：）之间的关系．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是________． (2)小明在书店停留了________；本次上学途中，小明一共骑行了________． (3)我们认为骑单车的速度超过就超过了安全限度．问：在整个上学途中，哪个时间段小明的骑车速度最快？最快速度在安全限度内吗？ 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）将长为、宽为的长方形白纸按如下图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为． (1)根据上图，将如下表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸条长度 40 110 145 … (2)设x张白纸黏合后的总长度为，则y与x之间的表达式是什么？ (3)白纸黏合后的总长度是否可能为？若可能，请计算所需白纸张数；若不可能，请通过计算说明理由． 10．（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习） 在平面直角坐标系中，等腰的三个顶点的坐标，其中a，b是二元一次方程组的解， (1)求的面积 (2)点P是线段上一个动点，连接，点D是线段中点，连接，若点P的横坐标为m，设的面积为y，求y与m的关系式，并直接写出m的取值范围． (3)在（2）的条件下， 当时， 在上有一点E，使得， 求此时点P的坐标，判断和的数量关系，并说明理由． 培优拔高 11．（21-22八年级上·辽宁本溪·期中）甲、乙二人从学校出发去博物馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，乙先到达博物馆，他们的路程差（米）与甲出发时间（分）之间的函数关系如图所示下列说法：甲比乙早出发分钟；乙的速度是甲速度的2.5倍； ；；其中正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图1，在锐角三角形中，，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的长为（   ） A．6 B．12 C．9.6 D．8 13．（24-25八年级上·全国·期末）已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（   ） A．小丽家到便利店距离500米 B．小丽在便利店停留了5分钟 C．小丽步行的速度是 D．小丽骑共享单车的速度是步行速度的1.5倍 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村．甲、乙之间的距离s（单位：）与骑行时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则相遇后，两人再次相距时，乙又骑行了 ． 15．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）如图，在直角梯形中，，动点从点出发，沿，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则的面积是 ． 16．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上： 销售数量 1 2 3 4 …… 销售总价y（元） … (1)表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？ (2)请写出销售总价y（元）关于销售数量的函数解析式； (3)丽丽一家共摘了草莓，应付多少钱？ 18．（24-25八年级上·全国·期末）今年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式在天安门正式举行．通常提到的“阅兵”，实际是分为“阅兵式”和“分列式”．阅兵式，就是士兵不动，军委主席坐车来检阅．分列式，就是所有方（梯）队，踏着统一的节奏，依次通过天安门前检阅区．在分列式中，受检阅的距离就是天安门前，东西的两个华表之间，两个华表相隔米．受检阅官兵迈着每步厘米，必需x步走完，若步速每分钟步，需要时间秒．求出与各是多少？若淮北籍东海舰队航空兵副司令员梁旭少将在受检阅时，他走过的路程步，行走的时间为秒写出与的函数关系（不需要写出自变量的取值范围) 19．（24-25八年级上·全国·期末）问题：探究函数的图象和性质．  根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，请补充完整：  (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)下表是与的几组对应值，请将表格补充完整： … … … ______ ______ ______ … (3)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象； (4)进一步探究：结合函数的图象，写出此函数的性质一条即可 20．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，点，且a，b满足． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图，若点D从点B出发，沿射线运动，点D的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，的面积为S，用含t的代数式表示的面积S；（请直接写出t的取值范围） (3)连接过点A作，且（点E在x轴下方），连接交x轴于点G，连接，问：是否存在t值使为等腰三角形，如果存在请画出图形并求出t值；如果不存在请说明理由． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 变量与函数 （知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共48题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：函数的概念 2 知识点梳理02：函数自变量的取值范围 2 知识点梳理03：函数值 2 知识点梳理04：函数的三种表示方法 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：函数的概念 2 考点2：函数解析式 4 考点3：求自变量的取值范围 7 考点4：求自变量的值或函数值 9 考点5：用表格表示变量间的关系 11 考点6：用关系式表示变量间的关系 12 考点7：用图象表示变量间的关系 14 考点8：函数图象识别 16 考点9：从函数的图象获取信息 18 考点10：用描点法画函数图象 20 考点11：动点问题的函数图象 24 考点12：函数的三种表示方法 27 中考真题 实战演练 29 难度分层 拔尖冲刺 32 基础夯实 32 培优拔高 40 知识点梳理01：函数的概念 1.函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 2.两个变量是否具有函数关系的判断方法： （1）看这两个变量是否处于同一个变化过程中； （2）看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应，如果满足这两条，那么这两个变量就具有函数关系，否则没有。 知识点梳理02：函数自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做函数自变量的取值范围.对于一个确定的函数关系式，自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义，而且自变量的取值应符合实际情况。 知识点梳理03：函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。 注：当自变量取某一个值时，函数值是唯一的。 知识点梳理04：函数的三种表示方法 函数常有以下三种表示方法： （1）列表法：把自变量的一系列值和相应的函数值列成一个表格来表示函数的方法叫做列表法； （2）关系式法：用代数式来表示函数关系的方法叫做关系式法； （3）图象法：对于一个函数，如果把它的自变量和函数的对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，由这些点所组成的图形就是这个函数的图象这种表示函数关系的方法叫做图象法. 考点1：函数的概念 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的自变量与函数的关系是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此即可解答． 【规范解答】解：A．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； B．中图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，符合题意； C．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； D．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（22-23八年级·全国·假期作业）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润=收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）． x（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y（元） 0 1000 2000 … (1)在这个变化过程中，___________是自变量，___________是因变量； (2)观察表中数据，每月乘客量达到 ___________人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请写出每月利润y（元）与每月的乘车人数x（人）之间的关系式； (4)当每月乘车人数为5000人时，每月利润为多少元？ (5)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达多少人？ 【答案】(1)每月乘车人数，每月利润 (2)2000 (3) (4)6000元 (5)4500 【思路引导】（1）根据表格中所表示变量的变化关系得出答案； （2）当每月利润为0时，相应的乘车人数即可； （3）根据表格中两个变量的变化规律得出关系式； （4）根据关系式当时求出相应的y的值即可； （5）根据关系式当时求出相应的x的值即可． 【规范解答】（1）解：表格中的两个变量为每月乘车人数和每月利润， 其中每月乘车人数是自变量，每月利润是因变量， 故答案为：每月乘车人数，每月利润； （2）表格中，当乘车人数为2000人时，相应的每月利润为0元， 因此当乘车人数超过2000人时，才盈利， 故答案为：2000； （3）表格中每月乘车人数与每月利润的变化规律为： 每月乘车人数每增加500人，每月利润就增加1000元，即每个人的票价为（元）， ∴； （4）当时，（元）， 答：当每月乘车人数为5000人时，每月利润为6000元； （5）当时，即， 解得． 故答案为：4500． 【考点剖析】本题考查的是函数的概念，列函数关系式，求解函数的自变量与函数值，理解题意是解本题的关键． 考点2：函数解析式 【典例精讲】（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在长方形中，，点O在对角线上，且，点P是边的一个动点，连接，过点O作，交于点Q． (1)求的长度； (2)设，求y与x的函数表达式（不要求写自变量的取值范围） 【答案】(1)5 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理建立方程，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质及其应用． （）根据 可得 ，由勾股定理求出即可； （）延长交于点，连接，通过全等可得，利用垂直平分线的性质可得，根据勾股定理建立关于、的方程，整理即可． 【规范解答】（1）解：∵， 四边形是长方形， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点，连接， ∵长方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ， ∴， 在和中，由勾股定理得： ； ； ∴， 整理得：． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）等腰三角形的周长为40． (1)写出底边长与腰长函数表达式，并求出的取值范围； (2)当腰长为15时，求底边长；当底边长为8时，求腰长． 【答案】(1)， (2)当腰长为15时，底边长为10；当底边长为8时，腰长为16 【思路引导】此题考查了列函数表达式，等腰三角形的定义等知识，准确列出函数表达式是关键． （1）由等腰三角形的周长为40得到，即可得到函数表达式，再根据三角形三边关系列出不等式组，求出的取值范围即可； （2）分别把和代入函数解析式即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵      ∴      ∵ ∴ （2）当时 ； 当时      ∴ ∴当腰长为15时，底边长为10；当底边长为8时，腰长为16． 考点3：求自变量的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是 ．（写出自变量的取值范围） 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，熟知梯形的面积等于上底加下底乘高除以是解答的关键．根据是长方形知，，，若设，则，在梯形中，上底为，下底为，高为，根据梯形的面积计算公式即可得到答案，并根据不与、重合求出的范围． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式训练】（22-23八年级下·北京朝阳·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量取值范围是__________； (2)下表是与的几组对应值，求的值； … 0 1 2 3 … … 6 5 4 2 1 0 1 2 … (3)在下面网格中，建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；    (4)小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0； ②当时，随的增大而增大； ③图像关于过点且垂直于轴的直线对称． 小明得出的结论中正确的是_________________________．（只填序号） 【答案】(1)任意实数 (2) (3)画图见解析 (4)①②③ 【思路引导】（1）根据题目中的函数解析式，可知含有自变量的代数式是整式，从而可得x的取值范围； （2）根据把代入函数解析式，可以得到m的值； （3）根据表格中的数据描点，再连线，可以画出相应的函数图象； （4）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【规范解答】（1）解：在函数中，自变量x的取值范围是x为任意实数， 故答案为：任意实数； （2）解：当时，， （3）解：先描点，再连线，画出函数的图象如下：    （4）解：由函数图象可知， ①函数有最小值为0，正确； ②当时，y随x的增大而增大，正确； ③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称，正确；． 故答案为：①②③． 【考点剖析】本题考查的是函数的自变量的取值范围，画函数的图象，根据函数的图象归纳函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 考点4：求自变量的值或函数值 【典例精讲】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准：快递起步费为元，即快递物品质量不超过千克时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)观察图象填空： ， ， ； (2)若顾客快递物品的质量为千克，快递费为y元，请写出y与x之间的函数表达式； (3)当某顾客快递物品的质量为21千克时，他应付多少元快递费？若他共付快递费元，求他快递物品的质量为多少千克？ 【答案】(1)8；3； (2) (3)该顾客快递物品的质量为21千克时，他应付35元快递费；若他共付快递费元，他快递物品的质量为12千克 【思路引导】本题主要考查了从函数图象获取信息，求函数关系式，求函数的函数值和自变量的值，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据函数图象可得快递物品质量不超过3千克时收费8元，据此可得a、b的值，再根据质量为15千克时快递费为26元可求出c的值； （2）根据（1）所求列式求解即可； （3）根据（2）所求，求出当时y的值，当时，x的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：根据图象可得：快递起步费为8元，即快递物品质量不超过3千克时收费8元，超过部分每千克收费（元）， ∴，，， 故答案为：8；3；； （2）解：当时，y与x之间的关系式为； （3）解：当时，； 当时，得， 解得：． 答：该顾客快递物品的质量为21千克时，他应付35元快递费；若他共付快递费元，他快递物品的质量为12千克． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）某油箱容量为的汽车，加满汽油后行驶了时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩余油量为， (1)你能写出与之间的关系式是______． (2)当汽车行驶的路程为，油箱中还有多少油？ (3)汽车最多能行驶多远？ 【答案】(1) (2)油箱中还有油 (3)汽车最多能行驶千米 【思路引导】本题考查了列函数关系式，求函数值或自变量的值； （1）根据油箱容量为升的汽车，加满汽油后行驶了千米时，油箱中的汽油大约消耗了升，可以求出每千米的耗油量，从而可以得到与之间的函数关系式． （2）将代入关系式，即可求解； （3）令，代入关系式，即可求解． 【规范解答】（1）解： 每千米耗油量为：（升）， 由题意得：， 即与之间的函数关系式是：． 故答案为：． （2）当时，， （3）当时， 解得： 汽车最多能行驶千米 考点5：用表格表示变量间的关系 【典例精讲】（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】D 【思路引导】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 由表格中的数据，结合变量的相关概念，可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，由此可对A作出判断； 弹簧不挂重物时的长度，就是x为0是y的长度，结合表格中的数据即可判断B项； 从表中y的变化情况可得物体质量每增加1千克，弹簧增加的长度，再计算出物体质量为时，弹簧的长度，即可对C和D选项作出判断． 【规范解答】解：A、由表格可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，故A选项正确； B、弹簧不挂重物时长度为，故B选项正确； C、由表格可知物体质量增加时，弹簧长度增加，故C选项正确 D、所挂物体质量为时，弹簧长度为，故D选项不正确． 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级上·安徽·期中）“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度与温度之间的变化关系： 距离地面高度千米 温度 (1)上表反映的变化关系中，_________是自变量，_________是因变量； (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么用表示的关系式是_________． 【答案】(1)距离地面的高度，温度 (2) 【思路引导】此题考查了列函数关系式、自变量、因变量等知识． （1）根据题意可得温度随着距离地面的高度变化，即可得到自变量和因变量； （2）由表格可知距离地面的高度每升高1千米，气温下降，据此即可得到表示的关系式． 【规范解答】（1）上表反映的变化关系中，温度随着距离地面的高度变化， ∴距离地面的高度是自变量，温度是因变量； 故答案为：距离地面的高度，温度 （2）解：根据表格可知，每升高1千米，气温下降， ∴用表示的关系式是； 即． 故答案为： 考点6：用关系式表示变量间的关系 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）圆柱的底面半径为，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_____________； (2)设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系式是______________； (3)当h从变化到时，圆柱的体积如何变化？ 【答案】(1)圆柱的高；圆柱的体积 (2) (3)体积增加 【思路引导】（1）根据函数的自变量，因变量分析解答即可； （2）根据圆柱的体积公式计算解答即可； （3）根据时，；时，；计算体积增加解答即可． 本题考查了函数的自变量，因变量，圆柱体积，正确额定义，掌握圆柱体积公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，得自变量是圆柱的高；因变量是圆柱的体积， 故答案为：圆柱的高；圆柱的体积． （2）解：根据题意，得． （3）解：根据题意，得当时，； 当时，； 故体积增加． 【变式训练】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收，超过的部分按每吨3.3元收费． (1)设某户某月用水量为x吨（），应缴水费为y元，写出y关于x的函数关系式． (2)若该城市某户6月份用水15吨，该户6月份水费是______． (3)某用户8月份水费为76.4元，求该用户8月份用水量． 【答案】(1)； (2)元； (3)该用户8月份用水量为28吨． 【思路引导】（1）依题意，某户某月用水量为x吨（），则超过20吨的水量为吨，根据水费每吨水的价格用水量，即可得出答案； （2）根据用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费的标准代入公式：水费每吨水的价格用水量，即可得出答案； （3）根据题意可知，该用户用水超过20吨，所以，解出方程即得出结论． 【规范解答】（1）解：某户某月用水量为x吨（），则超过20吨的水量为吨， 依题意可得：， 整理后得：； 答：y关于x的函数关系式为：； （2）解：依题意得：（元） 故答案为：元 （3）解：若用水量为20吨，则收费为：（元）， ， 该用户该月用水量超过了20吨， ， 解得：； 答：该户8月份用水量为28吨． 【考点剖析】本题考查了列函数关系式，求函数值，正确得出函数的关系式是解题的关键． 考点7：用图象表示变量间的关系 【典例精讲】（22-23七年级下·四川达州·期中）如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离，（千米）与时间t（小时）的关系，则：    (1)摩托车每小时走________千米，自行车每小时走_________千米； (2)摩托车出发后多少小时，它们相遇？ (3)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 【答案】(1)40，10； (2)1； (3)摩托车出发后或或小时，他们相距20千米 【思路引导】（1）根据路程、速度与时间的关系结合图象解答即可； （2）设摩托车出发后x小时，它们相遇，根据相遇问题的特点列出方程求解即可； （3）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米，分相遇前、相遇后和摩托车到达终点后三种情况，列出方程求解即可. 【规范解答】（1）摩托车每小时走：（千米）， 自行车每小时走：（千米）． 故答案为：40，10； （2）设摩托车出发后x小时，它们相遇， ， 解得． 所以摩托车出发后1小时，它们相遇； （3）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米； ①相遇前：，解得 ②相遇后：， 解得： ③摩托车到达终点后，，解得； 综上，摩托车出发后或或小时，他们相距20千米. 【考点剖析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确读懂图象信息、熟知路程、速度与时间的关系是解题的关键. 【变式训练】（20-21七年级下·重庆·期末）甲、乙两人同时开始共同组装一批零件，工作两小时后，乙因事离开，停止工作．一段时间后，乙重新回到岗位并提高了工作效率．最后分钟，甲休息，由乙独自完成剩余零件的组装．甲在工作过程中工作效率保持不变，乙在每个工作阶段的工作效率保持不变．甲、乙两人组装零件的总数（个）与工作时间（小时）之间的图象如下： (1)这批零件一共有多少个？ (2)在整个组装过程中，当甲、乙各自组装的零件总数相差个时，求x的值． 【答案】(1)个； (2)当甲、乙各自组装的零件总数相差个时， x的值为或或或． 【思路引导】（1）先求出甲单独工作效率90个/小时，再求出乙单独工作效率120个/小时，求出乙最后40分钟加工80个，可求这批零件一共有：1320+80=1400个； （2）分段考虑，利用一元一次方程，当时，当时，当时，当时，根据当甲、乙各自组装的零件总数相差个时，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：甲单独工作效率为：个/小时 甲乙合作一小时工作效率为个/小时 ∴乙单独工作效率为个/小时， 乙重新回到岗位后，甲乙合作一小时工作效率为个， 乙最后40分钟加工个， ∴这批零件一共有：个； （2）1320对应的时间为， ①当时，乙比甲多40个时， ，解得小时 ②当时，甲比乙多40个时， ，解得 ③当时，甲比乙多40个时， ，解得： ④当时，乙比甲多40个时， ，解得：，不合题意舍去， ⑤当时，乙比甲多40个时， ，解得 当甲、乙各自组装的零件总数相差40个时， x的值为或或或． 【考点剖析】本题考查图像信息、一元一次方程的应用，仔细观察图像，抓住有用信息，利用工作量÷工作时间=工作效率，抓住甲、乙各自组装的零件总数相差40个利用时间分段思想构建方程是解题关键． 考点8：函数图象识别 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化． 【规范解答】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型． 故选：C． 【变式训练】（22-23八年级下·湖南娄底·阶段练习）下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)2.5，15； (2)1，20； (3)km/分． 【思路引导】（1）根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间； （2）根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，可得在文具店停留的时间； （3）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间的关系，可得答案． 【规范解答】（1）解：由纵坐标看出体育场离扎西家2.5千米，由横坐标看出扎西从家去体育场用了15分钟； （2）由纵坐标看出体育场离文具店（千米）， 由横坐标看出 扎西在文具店停留了（分）； 故答案为： 1；20； （3）由纵坐标看出文具店距扎西家1.5千米，由横坐标看出从文具店回家用了100﹣65＝35分钟， 扎西从文具店回家的平均速度是（千米/分）， 答：扎西从文具店回家的平均速度是千米/分钟． 【考点剖析】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 考点9：从函数的图象获取信息 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试） ，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，甲、乙两人离开A地的距离（单位：）与时间（单位：h）的函数关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．乙比甲提前出发1h B．甲的速度为 C．的值为50 D．或时，乙比甲多走 【答案】C 【思路引导】本题考查函数图像，由图象可以直接判断A正确；根据图象可以求出甲车速度，可以判断B正确；求出乙车速度再求乙车3h走的路程即可判断C；分两种情况求出甲、乙走的路程即可判断D． 【规范解答】解：A、由题图可得，乙比甲提前出发，A正确； B、甲的速度是，B正确； C、乙的速度是，时乙离开A地的距离是，所以的值为，C错误； D、若乙比甲多走，分两种情况： ①当甲出发前，乙比甲多走，则乙出发后所用时间为； ②当甲出发后，乙比甲多走，则设乙出发后所用时间为， 根据题意，得， 解得． 综上所述，或时，乙比甲多走，D正确． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）一列动车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，两车同时出发，行驶的时间为 x（小时），两车之间的距离为y（千米） ，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究： (1)甲、乙两地之间的距离为 千米； (2)请解释图中点 B的实际意义； (3)动车和快车都匀速行驶，求动车和快车的速度；（保留解答过程） 【答案】(1) (2)两车出发小时后相遇 (3)快车的速度为千米/时，动车的速度为千米/时 【思路引导】本题主要考查了函数的图象．熟练掌握函数图象关键数据表示的意义，路程与速度和时间的关系，相遇问题特点，是解题的关键． （1）由A点的纵坐标表示甲、乙两地之间的距离即可得到答案； （2）由B点的纵坐标为，说明此时刻动车和快车之间的距离为，解答即可； （3）由图象知，快车小时行驶千米，动车小时行驶千米，根据速度路程÷时间求出两车的速度即可． 【规范解答】（1）解：根据A点坐标为，得出甲、乙两地之间的距离为千米， 故答案为：； （2）解：∵B点坐标为，横坐标为， ∴点B的实际意义为：两车出发小时后相遇； （3）解：根据图象可知行驶小时，快车到达甲地， ∴快车的速度为千米/时， 由图象可知动车行驶小时到达乙地， ∴动车的速度为千米/时． 考点10：用描点法画函数图象 【典例精讲】（24-25八年级下·河南新乡·期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 3 … (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值，则______，______； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以表格中各对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是______； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而______； (3)结合图象回答： ①关于x的方程的解是______； ②关于x的不等式的解集是______． 【答案】(1)，； (2)见详解；①，②增大； (3)①或；②或 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图像和性质，解决本题的关键是数形结合； （1）把，代入求解即可； （2）根据表格画图即可；①观察函数图象即可得到最低点坐标； ②观察函数图象可知，当时，随的增大而增大； （3）①结合图象，即可求解；②结合图象，即可求解； 【规范解答】（1）解：当时，， ， 当时，， ， 故答案为：3，2； （2）解：画出该函数图象的另一部分如图： ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是， 故答案为：； ②当时，随的增大而增大， 故答案为：增大； （3）解：①结合图象，关于的方程的解是或， 故答案为：或； ②结合图象，关于的方程的解是或， 故关于x的不等式的解集是或． 故答案为：或． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）项目学习：认识杆秤 知识背景：阿基米德曾说：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话是物理学杠杆原理夸张说法，而我国战国时代的墨子也提出杠杆原理，在《墨子·经下》中说“衡而必正，说在得”，“衡，加重于其一旁，必捶，权重不相若也，相衡，则本短标长，两加焉，重相若，则标必下，标得权也”．我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤（如图1），杆秤也是中华民族衡重的基本量具之一． 材料1：如图1，可以用秤砣（即秤锤）到秤纽（即绳纽）的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤）；则是关于的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 4 7 8 10 y（斤） 1.5 2 3 4 5 6 材料2： 根据以上素材，解决下面问题： (1)上表中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的； (2)求出这个一次函数的关系式； (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ 【答案】(1)这组数据是错误的 (2) (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，秤钩所挂物重是10斤 【思路引导】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用描点法画出图形即可判断； （2）设函数关系式为，利用待定系数法解决问题即可； （3）根据（2）中求得的函数解析式，当时，可求得秤钩所挂物重． 【规范解答】（1）描点如图所示： 由图可知，这组数据是错误的； （2）设这个一次函数的关系式为为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴这个一次函数的关系式为； （3）当时，得． 答：秤钩所挂物重是10斤． 考点11：动点问题的函数图象 【典例精讲】．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，长方形中，，，，，点从点出发（不含点）以的速度沿的方向运动到点停止．点出发后，点从点出发以的速度沿的方向运动到停止，当点到达点时，点恰好到点． (1)当点到达点时，的面积为，求的长； (2)在（）的条件下，设点运动时间为，运动过程中的面积为（），请用含的式子表示面积（），并直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）求出点到达点时运动的时间，即得点运动的时间，再根据的面积列方程求出的值，设点点从运动到点的时间为，根据点到达点时，点恰好到点列出方程求出即可求解； （）分、和三种情况，分别画出图形，根据图形的面积列出函数关系式即可； 本题考查了一元一次方程的应用，函数的动点应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意可得，点到达点时，运动的时间为， 此时点运动的时间为， ∴， ∵当点到达点时，的面积为， ∴， ∴， 设点从点从运动到点的时间为， 则， 解得， ∴； （2）解：当时，，点在点位置，如图， 此时，； 当时，点在上，如图，，， ∴，， 则 ， 即； 当时，点在上，如图，，， ∴， 则， 即； 综上，． 【变式训练】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现随的变化而变化的趋势． 根据动点从点出发，首先向点运动，此时，当点在上运动时，随着的增大而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随着的增大而减小，据此作出选择即可． 【规范解答】解：当点由点向点运动，即时，的值为； 当点在上运动，即时，随着的增大而增大； 当点在上运动，即时，不变； 当点在上运动，即时，随的增大而减小． 故选：B． 考点12：函数的三种表示方法 【典例精讲】（24-25七年级下·江西吉安·期末）通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 请根据上面表格，回答下列问题： (1)如果用表示距离地面的高度，用来表示温度，那么随着的变化，如何变化？ (2)当高空温度是时，此时距离地面_____千米． (3)请你写出与的函数表达式，并求出当千米时，此时温度的值． 【答案】(1)随着的升高，在降低 (2)3 (3)， 【思路引导】本题主要考查函数的表格表示法的识别能力，函数的表示法有：解析式法，图象法，表格法，都需要熟悉并熟练掌握． （1）根据表格数据，距离地面越远，温度越低，所以随着h的升高，t在降低； （2）根据表格求解即可； （3）根据规律，高度每升高1千米，温度降低求解即可． 【规范解答】（1）解：随着的升高，在降低． （2）解：由表格可知，当高空温度是，此时距离地面3千米． （3）解：∵根据表格可得，高度每升高1千米，温度降低， ∴， 当千米时，℃； 【变式训练】（24-25七年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【思路引导】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【规范解答】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 1．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【答案】C 【思路引导】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【规范解答】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城， 故选项A、B不符合题意； 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故选项C错误，符合题意； 由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车． 故D不符合题意． 故选：C． 2．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【思路引导】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【规范解答】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 3．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【答案】B 【思路引导】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 【规范解答】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B． 4．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【思路引导】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误； 故选C． 5．（2025·湖南·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点： 【答案】甲 【思路引导】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案． 【规范解答】解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒， ∴甲先到达终点， 故答案为：甲． 基础夯实 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，某电信公司提供了，两种方案的移动通讯费用（元）与通话时间（元）之间的关系，则下列结论中正确的有（   ） ①若通话时间少于120分，则方案便宜； ②若通话时间超过200分，则方案便宜； ③若通讯费用为50元，则方案的通话时间多； ④若超出免费时长，两种方案通讯每分钟加收费用相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了函数图象，解题的关键是从图象中找出隐含的信息解决问题． 根据图象知道：在通话170分钟收费一样，在通话120分钟时A收费30元，B收费50元，其中A超过120分钟后每分钟加收0.4元，B超过200分钟加收每分钟0.4元，由此即可确定有几个正确． 【规范解答】解：①当，，所以A方案便宜，故①中的结论正确； ②当时，方案A的图象在方案B的图象上方，所以方案B便宜，故②中的结论正确； ③当通讯费用为元时，方案A的通讯时长为分钟，方案B的通讯时长最长为分钟，所以B方案的通话时间多，故③中的结论不正确； ④当，方案A平均每分钟加收费用为：（元/分钟）； 当，方案B平均每分钟加收费用为：（元/分钟） 所以，超出免费时长，两种方案通讯每分钟加收费用相同，故④中的结论正确， 因此正确的结论为①②④． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当函数值时，自变量的取值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了求自变量的取值．把代入，即可求解． 【规范解答】解：当函数值时，， 解得：或． 故选：D 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）乌鸦在井旁找到了一个装有小半瓶水的玻璃瓶，由于瓶口狭窄，它想到了办法，将旁边的石子投入圆柱形玻璃瓶中使水面上升（假设石子的大小相同，瓶颈口的高度忽略不计）．下列关于乌鸦喝水的描述正确的有（    ） ①瓶子的高度是常量；②自变量是瓶中水面高度；③投入石子的数量是变量；④乌鸦投入的石子数量与水面高度满足函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】该题考查了常量、变量和函数的定义，根据题意解答即可． 【规范解答】解：常量是瓶子的高度，变量是石子的数量和瓶中水面高度， 自变量是石子的数量，因变量是瓶中水面高度， 随着石子数量的增加，瓶中水面高度也增加，故乌鸦投入的石子数量与水面高度满足函数关系， 故①正确；②错误；③正确；④正确． 正确的是①③④，共3个， 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是 （填序号）． 【答案】①② 【思路引导】本题考查了函数的定义，根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项分析即可得解；熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：函数①和②，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； ③不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②， 故答案为：①②． 6．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）小明家与外婆家相距，小明从家出发，骑自行车去外婆家；妈妈从家出发，乘车沿相同路线去外婆家．小明和妈妈的行进路程与时间的函数图象如图所示，根据图象得出下列结论，其中正确的有 ．（填序号） ①小明骑自行车的平均速度是； ②妈妈比小明提前到达外婆家； ③妈妈追上小明； ④妈妈在距家处追上小明． 【答案】①②③ 【思路引导】本题主要考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息． 根据函数图象可知小明去外婆家所用时间为（小时），进而得到小明骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到妈妈到外婆家所用的时间，根据交点坐标确定妈妈追上小明所用时间，即可解答． 【规范解答】解：①根据函数图象小明去外婆家所用时间为（小时）， ∴小明骑自行车的平均速度为：，故①正确； ②由图象可得，妈妈到外婆家对应的时间，小明到外婆家对应的时间（小时）， ∴妈妈比小明提前小时到达外婆家，故②正确； ③由图象可知，当时，妈妈追上小明，故③正确； ④由图象可知，当时，妈妈追上小明，此时小明离家的时间为（小时）， ∴小明走的路程为：， ∴妈妈在距家出追上小明，故④错误． 故答案为：①②③． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．尝试用你积累的经验和方法解决下面的问题： (1)如下图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象． (2)结合所画的函数图象，写出函数的两条性质． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握作图方法和相关知识是解题的关键． （1）根据描点法作图即可； （2）根据函数图象归纳函数性质即可． 【规范解答】（1）解：列表如下： 0 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 描点、连线，函数的图象如图所示． （2）示例：①函数的图象位于第一、二象限，在第一象限y随x的增大而增大，在第二象限y随x的增大而减小；②函数有最小值，最小值为1．（答案不唯一） 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到经过的新华书店，买到书后继续去学校．下图所示的是他本次上学所用的时间t（单位：）与离家距离y（单位：）之间的关系．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是________． (2)小明在书店停留了________；本次上学途中，小明一共骑行了________． (3)我们认为骑单车的速度超过就超过了安全限度．问：在整个上学途中，哪个时间段小明的骑车速度最快？最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)1500 (2)4，2700 (3)在时，小明的骑车速度最快，最快速度不在安全限度内 【思路引导】本题主要考查的是实际问题的函数图象，有理数的加减，有理数的大小比较。 （1）根据函数图象的纵坐标，可直接得到答案； （2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案； 根据函数图象的纵坐标，可得每一段行驶的路程，根据有理数的加法，可求出小明行驶的距离； （3）根据函数图象的纵坐标，可得每一段行驶的路程，根据函数图象的横坐标，可得每一段行驶的时间，根据路程与时间的关系，可得每一段行驶的速度，确定最大速度与300的大小关系，问题即可解答． 【规范解答】（1）解：根据图象的纵坐标，由出发点是小明的家，可知：小明家到学校的路程是； 故答案为：1500． （2）根据题意，小明在书店停留的时间为从第到第，故小明在书店停留了； 一共行驶的总路程为． 故答案为：4，2700． （3）当时间在时，速度为， 当时间在时，速度为， 当时间在时，速度为． 因为， 所以在时，小明的骑车速度最快，最快速度不在安全限度内． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）将长为、宽为的长方形白纸按如下图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为． (1)根据上图，将如下表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸条长度 40 110 145 … (2)设x张白纸黏合后的总长度为，则y与x之间的表达式是什么？ (3)白纸黏合后的总长度是否可能为？若可能，请计算所需白纸张数；若不可能，请通过计算说明理由． 【答案】(1)75  180 (2) (3)不能．理由见解析 【思路引导】本题考查了函数关系式，规律型-图形的变化类，从数字找规律，列出y与x之间的关系式是解题的关键． （1）结合图形进行计算，2张白纸的总长度，5张白纸的总长度即可解答； （2）从数字找规律进行计算即可解答； （3）把代入中进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：2张白纸的总长度为：， 5张白纸的总长度为：， 故答案为：75，180； （2）解：∵1张白纸的总长度为：， 2张白纸的总长度为：， 3张白纸的总长度为：， ..． ∴x张白纸黏合后的总长度为：， ∴ ， ∴y与x之间的关系式为：； （3）解：不能．理由如下： 当时，， 解得． 因为x为整数，所以白纸黏合后的总长度不可能为． 10．（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习） 在平面直角坐标系中，等腰的三个顶点的坐标，其中a，b是二元一次方程组的解， (1)求的面积 (2)点P是线段上一个动点，连接，点D是线段中点，连接，若点P的横坐标为m，设的面积为y，求y与m的关系式，并直接写出m的取值范围． (3)在（2）的条件下， 当时， 在上有一点E，使得， 求此时点P的坐标，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)， 【思路引导】本题考查了 二元一次方程组，坐标与平面综合，中点坐标公式，函数关系式的建立，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点． （1）先解二元一次方程组求出，再由三角形面积公式求解； （2）先由中点坐标公式表示，再由即可求解； （3）由得到，则，故，根据三角形的外角性质以及结合已知条件得到，由，得到，故，则． 【规范解答】（1）解：， 解该方程组得：， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵，点D是线段中点， ∴， ∴， ∴y关于m的关系式为：； （3）解：结论：，理由如下：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 培优拔高 11．（21-22八年级上·辽宁本溪·期中）甲、乙二人从学校出发去博物馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，乙先到达博物馆，他们的路程差（米）与甲出发时间（分）之间的函数关系如图所示下列说法：甲比乙早出发分钟；乙的速度是甲速度的2.5倍； ；；其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据图像确定甲的速度，再通过甲、乙路程关系求出乙的速度，接着依次分析各说法的正确性．本题主要考查了函数的应用，熟练掌握从函数图像中获取信息并进行分析计算是解题的关键． 【规范解答】解：由图像可知，甲比乙早出发分钟，故①错误． 甲步行米需要分钟，所以甲的速度为（米/分）． 当第分钟时，乙运动了分钟，运动的距离为米，所以乙的速度为（米/分），，故②正确． ，故③正确． 甲运动的总时间为，故④错误． 综上，正确的是， 故选：B． 12．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图1，在锐角三角形中，，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的长为（   ） A．6 B．12 C．9.6 D．8 【答案】B 【思路引导】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．根据函数图象得出，，作于点H，利用勾股定理解和即可． 【规范解答】解：如图，作于点H， 由图2知，，， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 13．（24-25八年级上·全国·期末）已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（   ） A．小丽家到便利店距离500米 B．小丽在便利店停留了5分钟 C．小丽步行的速度是 D．小丽骑共享单车的速度是步行速度的1.5倍 【答案】D 【思路引导】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图是解题的关键．根据图象逐项分析即可． 【规范解答】解：由图象可得， A．小丽家到便利店距离，正确； B． ∴小丽在便利店停留了5分钟，正确； C． ∴小丽步行的速度是，正确； D．小丽骑自行车的速度为 ∴ ∴小丽骑自行车的速度是步行速度的2倍，故选项错误． 故选：D． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村．甲、乙之间的距离s（单位：）与骑行时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则相遇后，两人再次相距时，乙又骑行了 ． 【答案】30或55 【思路引导】本题考查了函数图象，由图象先分别求出甲、乙的速度，然后根据甲超过乙后相距和甲到达C村庄后相距两种情况计算解答即可． 【规范解答】解：骑行过程为先是甲追乙，追上乙，然后甲超过乙，到达C村庄，然后乙继续骑行，在时到达C村庄， ∴乙的骑行速度为，甲的骑行速度为， 当甲超过乙后相距时，时间为， 当甲到达C村庄后相距时，时间为， 故答案为：30或55． 15．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）如图，在直角梯形中，，动点从点出发，沿，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了动点问题的函数图象， 根据题意分析的运动路线，分个阶段分别讨论，可得与的值，进而利用三角形的面积可得答案，读懂题意，从函数图象中获取信息是解题的关键． 【规范解答】解：∵动点从直角梯形的直角顶点出发，沿，的顺序运动， ∴面积在段随的增大而增大；在段，的底边不变，高不变，因而面积不变化， 由图可以得到：，， ∴的面积是， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 【答案】①②③④ 【思路引导】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【规范解答】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【考点剖析】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上： 销售数量 1 2 3 4 …… 销售总价y（元） … (1)表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？ (2)请写出销售总价y（元）关于销售数量的函数解析式； (3)丽丽一家共摘了草莓，应付多少钱？ 【答案】(1)表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数 (2) (3)元 【思路引导】（1）根据函数的定义判断解答即可； （2）销售数量x每增加，销售总价y增加8元，其中元是必须要支付的，由此确定解析式即可； （3）根据解析式计算即可． 本题考查了函数的定义，函数的表达式，求函数值，熟练掌握定义，表达式确定，求函数值是解题的关键． 【规范解答】（1）解：表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数． （2）解：销售数量x每增加，销售总价y增加8元，其中元是必须要支付的，由此销售总价y关于销售数量x的函数解析式为：． （3）解：根据题意得，， 应付的钱数为：（元）． 18．（24-25八年级上·全国·期末）今年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式在天安门正式举行．通常提到的“阅兵”，实际是分为“阅兵式”和“分列式”．阅兵式，就是士兵不动，军委主席坐车来检阅．分列式，就是所有方（梯）队，踏着统一的节奏，依次通过天安门前检阅区．在分列式中，受检阅的距离就是天安门前，东西的两个华表之间，两个华表相隔米．受检阅官兵迈着每步厘米，必需x步走完，若步速每分钟步，需要时间秒．求出与各是多少？若淮北籍东海舰队航空兵副司令员梁旭少将在受检阅时，他走过的路程步，行走的时间为秒写出与的函数关系（不需要写出自变量的取值范围) 【答案】，，与的函数关系为 【思路引导】此题考查的是函数的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．先统一单位，然后根据题意即可求出x和y的值，然后根据路程每秒的步数时间即可求出s与t的关系式． 【规范解答】解： 步/分步/秒 由题意可得 答：，，与的函数关系为． 19．（24-25八年级上·全国·期末）问题：探究函数的图象和性质．  根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，请补充完整：  (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)下表是与的几组对应值，请将表格补充完整： … … … ______ ______ ______ … (3)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象； (4)进一步探究：结合函数的图象，写出此函数的性质一条即可 【答案】(1) (2)0，， (3)见解析 (4)函数图象关于直线对称 【思路引导】由分母不为零，确定的取值范围；  将，，代入解析式计算即可；  在平面直角坐标系中描点连线画出函数的图象即可；  观察图象的特点，可得出函数图象是一个关于直线对称．  此题主要考查函数的图象，性质，观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键． 【规范解答】（1）解：因为分母不为零，  ，解得：，  故答案为：； （2）时，；  时，；  时，；  故答案为：，，； （3）如图：  （4）观察坐标的特点，可得出函数的性质：函数图象关于直线对称． 20．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，点，且a，b满足． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图，若点D从点B出发，沿射线运动，点D的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，的面积为S，用含t的代数式表示的面积S；（请直接写出t的取值范围） (3)连接过点A作，且（点E在x轴下方），连接交x轴于点G，连接，问：是否存在t值使为等腰三角形，如果存在请画出图形并求出t值；如果不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，图形见解析，t值为或4 【思路引导】（1）根据二元一次方程组的求解，先将b的系数配平，再使用加减消元求解即可； （2）分类讨论点D在线段上，还是在射线上且在点O下方两种情况，结合三角形的面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论，第一种是当点D在x轴上方时，作辅助线轴于点F，就可以证明与全等，进而可得，，再证明与全等，可得，再根据，推出即可求解；第二种是当点D在x轴下方时，同理可证，推导出点G与点A重合，可得即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， 将等号两边同时乘2，可得， 再与相加，可得， 解得， 将代入中，可得， 解得， ∴点，点； （2）解：∵点D从点B出发，沿射线运动， 且点D的运动速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， 当点D在线段上时，即时， ∴， 则， ∴的面积S为； 当点D在射线上且在点O下方，即时， ∵，， ∴， ∴的面积S为； ∴ （3）解：存在， 当点D在x轴上方时，作轴于点F，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴， 当为等腰三角形时， ∴， ∴， ∴，解得秒； 当点D在x轴下方时，作轴于点H，如图， 同理可证，≌，≌， ∴， ∴点G与点A重合， 当为等腰三角形时， ， ∴， ∴，解得秒； 综上，t值为或4． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的求解，直角坐标系下点的求解，三角形面积的计算，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式的求解，等腰三角形的性质，熟练掌握以上性质并通过构造辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $