专题5.1 任意角和弧度制（高效培优讲义）数学人教A版2019高一必修第一册

专题5.1 任意角和弧度制 教学目标 1.理解并掌握正角、负角、零角的概念。 2.掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的表示方法及判定方法。 3.了解弧度制，能进行弧度与角度的互化。 4.由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数。 5.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算。 教学重难点 1.重点：掌握弧度制与角度制的互化。 2.难点：掌握与弧度制相关的弧长公式和面积公式的运用。 知识点01 任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按_______方向旋转所形成的角． 负角：按_______方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 3、常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 【即学即练】 1．下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 2．下列命题正确的是（    ）． A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角 C．与终边相同的最小正角是 D．若，则是第四象限角 知识点02 弧度制 1、弧度制的定义 长度等于_______的圆弧所对的_______叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式：______________ 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：______________（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 【即学即练】 1．折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（    ）（参考数据） A． B． C． D． 2．如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A． B． C． D． 题型01：角的概念 【典例1】下列命题中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角：③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是. A．1 B．2 C．3 D．5 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 【变式1】设为小于的角}，为第一象限角}，则等于（    ） A．为锐角} B．为小于的角} C．为第一象限角} D． 【变式2】下列命题错误的是（    ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 【变式3】下列结论中不正确的是（    ） A．终边经过点的角的集合是 B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是 C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角 D．，，则 题型02：终边相同的角的表示 【典例1】下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 （1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法． （2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等 C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限 【变式2】设，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】表示成（）的形式，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型03：象限角的判定 【典例1】已知角以x轴正半轴为始边，终边经过点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 【变式1】若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 【变式3】设是第一象限角，且，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 题型04：区域角的表示 【典例1】集合中角表示的范围（用阴影表示）是图中的（      ） A．  B．  C．D．   区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【变式1】已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（　　　　） A． B． C． D． 题型05：弧度制与角度制的互化 【典例1】如图，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系．②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数．③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法． 【变式1】用弧度制表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】将化为弧度为 A． B． C． D． 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．第二象限角比第一象限角大 B．角与角是终边相同角 C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 题型06：扇形的弧长及面积公式的应用 【典例1】莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形.如图，若莱洛三角形的长为，则该莱洛三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式． 【变式1】如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【变式2】已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧ACB与弦AB围成的弓形面积为（   ） A． B． C．4 D． 题型07：扇形中的最值问题 【典例1】已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 解决最值问题采用消元思想或二次函数思想加以解决 【变式1】已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（    ） A． B． C．3 D．2 【变式2】若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（    ） A． B． C． D． 1．已知扇形的圆心角为2，弧长为，面积为，扇形所在圆的半径为，则取最小值时，半径的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 3．下列各组角终边相同的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．若角，，则符合条件的角的最大负角为（    ） A． B． C． D． 5．受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（   ） A．2 B． C． D．3 6．下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，有一圆形图案，小红准备在扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）涂上颜色，已知厘米，厘米，扇形环面区域面积为100平方厘米，圆心角为弧度．记扇环的周长为厘米，的最小值为（   ） A．最小值为20厘米 B．最小值为40厘米 C．最小值为60厘米 D．最小值为80厘米 8．已知某扇形的面积和周长分别为6，10，则该扇形的圆心角为（   ） A．第一象限角或第三象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第一象限角或第二象限角 D．第三象限角或第四象限角 9．“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①；          ②的长等于； ③扇形的周长为； ④扇形的面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 12．下列结论正确的是（ ） A．若角为锐角，则角为钝角 B．是第三象限角 C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是2 rad 13．下面结论正确的有（    ） A．若，且，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D．命题“，”的否定是， 14．半径为4，圆心角为的扇形的弧长为 ． 15．扇形的弧长是，该扇形的中心角O是1弧度，则扇形的面积为 ． 16．如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 17．月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题.如图所示，△ABC为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为1米，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ、Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则图中区域Ⅲ的月牙形的周长为 米；三个区域的总面积为 平方米. 18．如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是 ． 19．如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度. (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值． 20．为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．    (1)写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 任意角和弧度制 教学目标 1.理解并掌握正角、负角、零角的概念。 2.掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的表示方法及判定方法。 3.了解弧度制，能进行弧度与角度的互化。 4.由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数。 5.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算。 教学重难点 1.重点：掌握弧度制与角度制的互化。 2.难点：掌握与弧度制相关的弧长公式和面积公式的运用。 知识点01 任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 3、常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 【即学即练】 1．下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 【答案】C 【详解】，因此的解与角的终边相同，A错； 第三象限角的集合为，B错； 终边在y轴上角，终边可能在轴正半轴，， 终边在轴负半轴，，其中，终合为，C正确； 是第二象限角，是第一象限角，但，D错． 故选：C． 2．下列命题正确的是（    ）． A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角 C．与终边相同的最小正角是 D．若，则是第四象限角 【答案】C 【详解】，但是由锐角的定义知不是锐角，故A错误； 是第二象限的角，是第一象限的角，但，故B错误； 因为，所以与终边相同的最小正角是，故C正确； 且，所以是第三象限角，故D错误. 故选：C 知识点02 弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 【即学即练】 1．折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（    ）（参考数据） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设扇形的圆心角为，半径为r，则，， 所以，解得. 故选：C 2．如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，每段圆弧的圆心角均为，第一段圆弧长度为， 第二段圆弧长度为，第三段圆弧长度为， 第四段圆弧长度为，第五段圆弧长度为， 所以“蚊香”的长度为. 故选：B. 题型01：角的概念 【典例1】下列命题中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角：③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】终边相同的角可以相差的整数倍，不一定相等，①错； 钝角是大于且小于的角，一定是第二象限角，②正确； 第一象限角可以是正角也可以是负角，③正确； 小于90°的角可以是负角，不是锐角，④错； ，，因此与终边相同，但与终边相同的角是还有其他无数的角，⑤错． 正确个数是2， 故选：B． 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 【变式1】设为小于的角}，为第一象限角}，则等于（    ） A．为锐角} B．为小于的角} C．为第一象限角} D． 【答案】D 【详解】为小于的角}，为第一象限角} 则 故选： 【变式2】下列命题错误的是（    ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 【答案】ABD 【详解】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误； 对于B，锐角是之间的角，如，但不是锐角，故B错误； 对于C，，所以与角终边相同，在第三象限，故C正确； 对于D，若终边在第一象限，而终边在第一象限，故D错误. 故选：ABD. 【变式3】下列结论中不正确的是（    ） A．终边经过点的角的集合是 B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是 C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角 D．，，则 【答案】BC 【详解】对于选项A：终边经过点的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是， 正确； 对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是， 错误； 对于选项C：若，不是第一象限角，错误； 对于选项D：而表示的奇数倍， ，而表示 的整数倍，所以，正确． 故选：BC 题型02：终边相同的角的表示 【典例1】下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】与的终边相同的角为. 故选：B 在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 （1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法． （2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等 C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限 【答案】D 【详解】对于A，第一象限角是，第一象限角不一定是锐角，故A错误； 对于B，终边相同角不一定相等，它们可能差，故B错误； 对于C，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C错误； 对于D，钝角是大于90°且小于180°的角，故D正确； 故选：D. 【变式2】设，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为表示终边落在轴上角的集合， 表示终边落在轴正半轴上角的集合， 表示终边落在轴负半轴上角的集合， 所以，，正确；，故错误. 故选：D 【变式3】表示成（）的形式，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A. 题型03：象限角的判定 【典例1】已知角以x轴正半轴为始边，终边经过点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【详解】，，即， 故点P在第四象限，即角的终边在第四象限， 的终边为角终边的反向延长线，那么的终边在第二象限． 故选：B． 判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 【变式1】若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 【变式2】若是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 【答案】D 【详解】由题意知，，， 则，所以，． 当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角． 所以是第二或第四象限角. 故选：D. 【变式3】设是第一象限角，且，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【详解】∵是第一象限角，∴，， ∴，， ∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角， ∵，∴，∴是第二象限角. 故选：. 题型04：区域角的表示 【典例1】集合中角表示的范围（用阴影表示）是图中的（      ） A．  B．  C．D．   【答案】C 【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一致； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一致， 因此集合中角表示的范围所对图形是选项C反应的. 故选：C. 区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【变式1】已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】终边落在上的角为，终边落在上的角为， 故角的集合为. 故选：C 【变式2】集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 【变式3】已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，故B选项符合. 故选：B 题型05：弧度制与角度制的互化 【典例1】如图，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选A. ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系．②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数．③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法． 【变式1】用弧度制表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为弧度， 所以， 故选：C 【变式2】将化为弧度为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 故选：D. 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．第二象限角比第一象限角大 B．角与角是终边相同角 C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 【答案】D 【详解】对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A错误； 对于B，，与终边不同，故B错误； 对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角，故C错误； 对于D，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转， 钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D正确． 故选:D． 题型06：扇形的弧长及面积公式的应用 【典例1】莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形.如图，若莱洛三角形的长为，则该莱洛三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为莱洛三角形的长为， 所以，所以， 则的面积 线段AB与围成的弓形面积 所以“莱洛三角形”的面积 故选：B. 有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式． 【变式1】如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】A 【详解】如图，连接．因为是弧的中点，所以，米． 因为，所以，所以， 所以是等边三角形，则． 因为米，所以米，米， 则该扇形菜地的面积是平方米． 故选：A. 【变式2】已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，扇形的半径为， 因此该扇形的面积为. 故选：A. 【变式3】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧ACB与弦AB围成的弓形面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】设锯盘的半径为，则，则， 所以，则，即， 所以图中弧ACB与弦AB围成的弓形面积. 故选：B 题型07：扇形中的最值问题 【典例1】已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，， 由题有， 则，当时取等号. 故选：D 解决最值问题采用消元思想或二次函数思想加以解决 【变式1】已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【详解】设扇形半径为,易得,则由已知该扇形弧长为. 记扇形面积为,则, 当且仅当，即时取到最大值，此时记扇形的圆心角为，则 故选：D 【变式2】若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，面积为，因为， 所以，取等号时，即， 所以面积取最大值时， 如下图所示： 设内切圆圆心为，扇形过点的半径为，为圆与半径的切点， 因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 【变式3】已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为， 所以，扇形的面积为， 当时，该扇形的面积取到最大值，扇形的弧长为，此时， 如下图所示： 取的中点，则，且，因此，. 故选：C. 1．已知扇形的圆心角为2，弧长为，面积为，扇形所在圆的半径为，则取最小值时，半径的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为扇形的圆心角为2，扇形所在圆的半径为， 所以弧长，面积， 所以， 当且仅当时取等号， 故选：B. 2．如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，根据已知和图形知， 设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即， 在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知， 由扇形面积公式可得， 易知以直径的半圆的半径为，即，于是， 故选：A. 3．下列各组角终边相同的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】A.∵，不是的整数倍， ∴与终边不相同，选项A错误. B.∵，， ∴与终边相同，选项B正确. C.∵，不是的整数倍， ∴与终边不相同，选项C错误. D.∵，不是的整数倍， ∴与终边不相同，选项D错误. 故选：B. 4．若角，，则符合条件的角的最大负角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 又，所以角符合条件的最大负角为. 故选：B. 5．受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【详解】由题意可得圆弧六边形的面积为： ①， 圆弧六边形的周长为： ，即②， 联立①②，解得，，所以. 故选：D 6．下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A项，因不是的整倍数，故A项错误； 对于B项，因不是的整倍数，故B项错误； 对于C项，因，故C项正确； 对于D项，因不是的整倍数，故D项错误. 故选：C. 7．如图所示，有一圆形图案，小红准备在扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）涂上颜色，已知厘米，厘米，扇形环面区域面积为100平方厘米，圆心角为弧度．记扇环的周长为厘米，的最小值为（   ） A．最小值为20厘米 B．最小值为40厘米 C．最小值为60厘米 D．最小值为80厘米 【答案】B 【详解】依题意可得弧长，弧长， 所以扇环的周长的长度， 因为扇形的面积公式可得，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以扇环的周长的最小值为40米. 故选：B. 8．已知某扇形的面积和周长分别为6，10，则该扇形的圆心角为（   ） A．第一象限角或第三象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第一象限角或第二象限角 D．第三象限角或第四象限角 【答案】C 【详解】由条件可得：， 联立消去可得：， 解得或. 当时，，，第二象限的角， 当当时，，，第一象限的角， 故选：C. 9．“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】角与的终边关于直线对称，则，， 又，则，， 所以由角与的终边关于直线对称，可以推出， 由，可以推出角与的终边关于直线对称， 所以角与的终边关于直线对称是的充要条件. 故选：A. 10．如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①；          ②的长等于； ③扇形的周长为； ④扇形的面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】对于①，因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①正确； 对于②，由扇形的弧长公式，可得的长度为，所以②正确 对于③，所以扇形的周长为，所以③正确； 对于④，由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④正确. 故选：D. 11．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确； 故选：ABD． 12．下列结论正确的是（ ） A．若角为锐角，则角为钝角 B．是第三象限角 C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是2 rad 【答案】CD 【详解】对于A，若取为锐角，但也是锐角，故A错误； 对于B，，即与终边相同，为第二象限角，故B错误； 对于C，设扇形半径为，依题，，解得， 则扇形面积为，故C正确； 对于D，设扇形半径为，弧长为，则， 扇形面积为， 故当时，扇形面积最大，此时，，扇形圆心角为rad，故D正确. 故选：CD. 13．下面结论正确的有（    ） A．若，且，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D．命题“，”的否定是， 【答案】ACD 【详解】A：由，当且仅当时取等号，对； B：由，此时，故“”不是“”的充分条件，错； C：由题设，，则，， 所以是第一象限角或第三象限角，对； D：由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定为，，对. 故选：ACD 14．半径为4，圆心角为的扇形的弧长为 ． 【答案】/ 【详解】. 故答案为：. 15．扇形的弧长是，该扇形的中心角O是1弧度，则扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】∵扇形的弧长，该扇形的中心角O记为弧度，设扇形的半径为， ∴，得， ∴扇形面积为． 故答案为：． 16．如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【答案】 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 17．月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题.如图所示，△ABC为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为1米，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ、Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则图中区域Ⅲ的月牙形的周长为 米；三个区域的总面积为 平方米. 【答案】 【详解】为大圆的内接等腰直角三角形，为大圆的直径， 大圆的半径为1米，米， ，， 区域Ⅲ的周长为； 根据月牙定理可知，区域Ⅰ、Ⅱ的面积之和为， 区域Ⅲ的面积为， 三个区域的总面积为. 故答案为：；. 18．如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是 ． 【答案】 【详解】设扇形的圆心角，，则， 由扇形面积公式可知，， 所以， 所以. 故答案为：. 19．如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度. (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值． 【答案】(1)， (2)当时，棚栏长度的最小值为米 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得，所以， 由可得， 所以，，. （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度， 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为米． 20．为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．    (1)写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）在扇形中，由题意得，， 由扇形面积公式得扇形的面积为， 扇形的面积为， 故，由弧长公式得的长度为， 的长度为，而园圃的外围周长为50m， 故，解得， 因为圆心角小于，所以， 解得，而，故， 故，该函数的定义域为. （2）由二次函数性质得在内单调递增， 当时，的最大值为， 的长度为， 的长度为. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $