5.1 二次函数（题型专练）数学苏科版九年级下册

5.1 二次函数 题型一 二次函数的关系辨析 1．（2023·灌云县·月考）下列变量具有二次函数关系的是（　　） A．正方形的周长y与边长x B．速度v一定时，路程s与时间t C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x 【详解】解：A、y＝4x，是一次函数，不合题意； B、s＝vt，v一定，是一次函数，不合题意； C、y＝x2，是二次函数，符合题意； D、yhx，h一定，是一次函数，不合题意． 故选：C． 2．（2022·灌云县·月考）下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（　　） A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．某商品在6月的售价为30元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系 C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系 D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系 【详解】解：A．正方体的体积y与棱长x之间的关系是y＝x3，不是二次函数，不合题意； B．某商品在6月的售价为30元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系是y＝30（1﹣x）2，是二次函数，符合题意； C．距离s一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系是y，不是二次函数，不合题意； D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系是y＝180°﹣2x，不是二次函数，不合题意． 故选：B． 3．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．半圆面积S与半径R之间的关系 【详解】解：A、y＝kx+b，是一次函数，故错误； B、t，是反比例函数，故错误； C、C＝3a，是正比例函数，故错误； D、S，是二次函数，故正确． 故选：D． 4．下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【详解】解：①，y是x的反比例函数，故不合题意； ②y＝2π×5x＝10πx，y是x的正比例函数，故不合题意； ③y＝（x﹣80）（100﹣2x）＝100x﹣2x2﹣8000+160x＝﹣2x2+260x﹣8000，y是x的二次函数，故符合题意． 故选：C． 题型二 二次函数的概念辨析 1．（2024·南京·期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x2﹣1 C． D．y＝x3+x2﹣1 【详解】解：y＝2x+1，y，y＝x3+x2﹣1不符合二次函数的定义，不是二次函数； y＝x2﹣1符合二次函数的定义，是二次函数． 故选：B． 2．（2024·高新区·校级月考）下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝（x+1）2﹣x2 B． C．S＝﹣3t2+t+2 D．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数） 【详解】解：A．y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1是一次函数，不是二次函数，故错误； B．，不是二次函数，故错误； C．S＝﹣3t2+t+2是二次函数，故正确； D．当a＝0时是一次函数，不是二次函数，故错误． 故选：C． 3．（2024·赣榆区·校级月考）下列函数：①y＝3；②y；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①y＝3；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个． 故选：C． 4．（2024·姑苏区·校级月考）下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）y＝3（x﹣1）2+1；（2）；（3）S＝3﹣2t2；（4）y＝x4+2x2﹣1；（5）y＝3x（2﹣x）+3x2；（6）y＝mx2+8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：（1）y＝3（x﹣1）2+1是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不合题意； （3）S＝3﹣2t2是二次函数，故符合题意； （4）y＝x4+2x2﹣1不是二次函数，故不合题意； （5）y＝3x（2﹣x）+3x2＝6x不是二次函数，故不合题意； （6）y＝mx2+8，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不合题意； 综上，二次函数有2个． 故选：B． 题型三 二次函数的系数判断 1．（2025·响水县·月考）二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 【详解】解：二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是﹣2． 故选：C． 2．（2024·通州区·期中）函数解析式y＝x2+2x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，2，1 B．1，2，﹣1 C．0，2，﹣1 D．0，﹣2，﹣1 【详解】解：函数解析式y＝x2+2x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，2，﹣1． 故选：B． 3．（2024·永嘉县·期中）二次函数y＝3x2﹣5x+1的一次项系数是（　　） A．﹣5 B．1 C．3 D．5 【详解】解：二次函数y＝3x2﹣5x+1的一次项系数是﹣5． 故选：A． 4．（2024·义乌市·期中）二次函数y＝2x2﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0，﹣1 B．2，2，﹣1 C．2，2，1 D．2，0，1 【详解】解：二次函数y＝2x2﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，﹣1． 故选：A． 题型四 根据二次函数的概念求参 1．（2025·崇川区·校级月考）已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2 【详解】解：由题意可知：a+2≠0， ∴a≠﹣2． 故选：D． 2．（2025·灌南县·校级模拟）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．2或﹣2 【详解】解：由条件可知：m2﹣2＝2， ∴m＝±2． 故选：D． 3．（2024·启东市·月考）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 【详解】解：由题意可得：m2﹣2＝2且m﹣2≠0，解得：m＝±2且m≠2， ∴m＝﹣2． 故选：A． 4．（2024·吴江区·月考）若函数y＝（m+1）x|m|+1﹣5是二次函数，则m的值为　　． 【详解】解：由二次函数的定义可知：当时，该函数是二次函数， ∴， ∴m＝1． 故答案为：1． 题型一 根据二次函数的概念求参——解答题 1．（2023·宿城区·月考）已知函数y＝（|m|﹣1）x2+（m﹣1）x﹣m﹣1． （1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． （2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 【详解】解：（1）由题意可得：|m|﹣1＝0且m﹣1≠0，解得：m＝±1且m≠1， ∴m＝﹣1， ∴当m＝﹣1时，这个函数是关于x的一次函数； （2）由题意可得：|m|﹣1≠0，解得：m≠±1， ∴当m≠±1，这个函数是关于x的二次函数． 2．（2022·宿城区·校级开学）已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1． （1）当m为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m为何值时，此函数是二次函数？ 【详解】解：（1）∵函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1是一次函数， ∴m（m+2）＝0且m≠0，解得：m＝﹣2， 当m＝﹣2时，此函数是一次函数； （2）∵函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1是二次函数， ∴m（m+2）≠0，解得：m≠﹣2且m≠0， 当m≠﹣2且m≠0时，此函数是二次函数． 3．（2024·姑苏区·校级月考）（1）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y＝（m2+m）是二次函数，求m的值． 【详解】解：（1）∵函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函数， ∴m2﹣m≠0，解得：m≠0且m≠1， ∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数； （2）由题意可得：m2﹣2m﹣1＝2，m2+m≠0，解得：m1＝3，m2＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴m的值为3． 4．（2024·姑苏区·校级月考）一个二次函数y＝（k﹣1）2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x＝0.5时，y的值？ 【详解】解：（1）由题意可得：k2﹣3k+4＝2，则k2﹣3k+2＝0， （k﹣1）（k﹣2）＝0，解得：k1＝1，k2＝2， ∵k﹣1≠0， ∴k＝2； （2）把k＝2代入y＝（k﹣1）2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1， 当x＝0.5时，y＝（）2+21． 1．（2023·天台县·一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE＝BF＝x．若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2与x的函数关系为（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【详解】解：如图，连接DF， ∵AB＝3，AE＝BF＝x， ∴BC＝CD＝3，FC＝3﹣x， 设△ADG的面积为m， ∴S1＝S△ADF﹣S△ADG+S△CDF3×3﹣m3（3﹣x）＝4.5﹣m+4.5x＝9﹣mx， S2＝S△ADE﹣S△ADG3×x﹣mx﹣m， ∴S1﹣S2＝9﹣mxx+m＝﹣3x+9， ∴S1﹣S2与x的函数关系为一次函数关系． 故选：B． 2．（2025·兰州）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 【详解】解：∵正方形ABCD中，AB＝2cm， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm， ∴，OC＝OAACcm， ①当点P在OA上运动时，由题意可得：CQ＝x，CP＝OC+OPx， 如图，作PG⊥CD于点G， ∵∠PCG＝45°， ∴，，是二次函数； ②当点P在AB上运动时，由题意可得：CQ＝x， ∴是一次函数． 故选：D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 二次函数 题型一 二次函数的关系辨析 1．（2023·灌云县·月考）下列变量具有二次函数关系的是（　　） A．正方形的周长y与边长x B．速度v一定时，路程s与时间t C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x 2．（2022·灌云县·月考）下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（　　） A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．某商品在6月的售价为30元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系 C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系 D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系 3．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．半圆面积S与半径R之间的关系 4．下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 题型二 二次函数的概念辨析 1．（2024·南京·期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x2﹣1 C． D．y＝x3+x2﹣1 2．（2024·高新区·校级月考）下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝（x+1）2﹣x2 B． C．S＝﹣3t2+t+2 D．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数） 3．（2024·赣榆区·校级月考）下列函数：①y＝3；②y；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·姑苏区·校级月考）下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）y＝3（x﹣1）2+1；（2）；（3）S＝3﹣2t2；（4）y＝x4+2x2﹣1；（5）y＝3x（2﹣x）+3x2；（6）y＝mx2+8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 二次函数的系数判断 1．（2025·响水县·月考）二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 2．（2024·通州区·期中）函数解析式y＝x2+2x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，2，1 B．1，2，﹣1 C．0，2，﹣1 D．0，﹣2，﹣1 3．（2024·永嘉县·期中）二次函数y＝3x2﹣5x+1的一次项系数是（　　） A．﹣5 B．1 C．3 D．5 4．（2024·义乌市·期中）二次函数y＝2x2﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0，﹣1 B．2，2，﹣1 C．2，2，1 D．2，0，1 题型四 根据二次函数的概念求参 1．（2025·崇川区·校级月考）已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2 2．（2025·灌南县·校级模拟）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．2或﹣2 3．（2024·启东市·月考）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 4．（2024·吴江区·月考）若函数y＝（m+1）x|m|+1﹣5是二次函数，则m的值为　　． 题型一 根据二次函数的概念求参——解答题 1．（2023·宿城区·月考）已知函数y＝（|m|﹣1）x2+（m﹣1）x﹣m﹣1． （1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． （2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 2．（2022·宿城区·校级开学）已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1． （1）当m为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m为何值时，此函数是二次函数？ 3．（2024·姑苏区·校级月考）（1）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y＝（m2+m）是二次函数，求m的值． 4．（2024·姑苏区·校级月考）一个二次函数y＝（k﹣1）2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x＝0.5时，y的值？ 1．（2023·天台县·一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE＝BF＝x．若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2与x的函数关系为（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 2．（2025·兰州）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $