第二十四章圆同步练2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 同步练 一、单选题 1．若直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，，则直角三角形内切圆半径为（    ） A．12 B．2 C．3 D．6 2．如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，是的直径，，D是上一点，连结，则的大小是（    ） A． B． C． D． 5．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为， E是圆上一点，，则圆心C的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，是边上的一点，以为直径的交边于点，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 7．如图是一把折扇示意图，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形．已知，，，则扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，D，E分别是弦AB，AC的中点，且．若，，则的半径OA的长为（   ） A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm 9．如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点是优弧上的一点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 10．如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为 ． 12．如图，、是的两条切线，C在上，，则 °． 13．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，P为切点，若两圆半径分别为，则弦的长为 ． 14．如图，两个同心圆 O，小圆的半径为 1，大圆的半径为，点 A 为小圆上的动点，P、Q 是大圆上的两个动点，且 ，则 的长的最大值是 ． 15．如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，连接，交于点E，交于G，的延长线交于点F，以下结论：①；②点E为的内心；③；④；⑤．其中正确的有 ． 三、解答题 16．如图，为以O为圆心的两个同心圆，大圆的弦切小圆于C． (1)求证： (2)若，求圆环的面积． 17．如图，在方格纸中，A，B，C三点均在格点上，试按要求画图与填空． (1)如图1，将绕点B顺时针旋转至，连接，直接写出的度数； (2)如图2，以为直径的交于点E，交于点F，将绕点O旋转至，设交于点M，交于点N，直接写出弧与弧的数量关系． 18．如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小． 19．如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 20．如图，菱形的三个顶点A，B，D在上． (1)①如图1，求证：圆心O在直线上； ②如图1，若，求证：是的切线． (2)如图2，延长交于点E，若，求的度数． (3)如图3，延长交于点E，过点D作于点F，若的面积为a，的面积为b，请用含有a，b的式子表示菱形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十四章 圆 同步练2025—2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C A B A C D D 1．B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，利用内切圆半径（a、b为直角边，c为斜边）易得这个三角形的内切圆的半径． 【详解】解：因为直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，， 则这个三角形的内切圆的半径． 故选：B． 2．B 【分析】先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，最后根据弧中点的性质得到与的关系，进而求出的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆周角的关系，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ∵ 平分 ∴ ∵ 点是劣弧的中点 ∴ ∴ ． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，利用点到直线的距离的定义得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长，也考查了勾股定理． 【详解】解：∵圆心O到弦的距离， ， ， 在中，，， ∴， ． 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 先求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵与所对的弧相同， ∴， 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，可得．再根据点C是AB的中点求出点C的坐标． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴圆心C的坐标为，即圆心C的坐标为 故选：A． 6．B 【分析】本题主要利用圆周角定理和弧长公式来求解的长度，先根据直角三角形的性质和圆周角定理确定中心角的度数，再利用弧长公式计算弧长． 【详解】 解：如图，连接，， ，， ， ， ， ， 的长为． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．先求出的长度，再利用扇形面积公式计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴扇面的面积为：； 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、矩形的判定定理与性质． 根据垂径定理求得的长，并且在中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵弦于点D，于点E， ∴四边形是矩形，cm，cm cm， cm； 故选：C． 9．D 【分析】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是掌握多边形内角和公式．据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是正五边形的内切圆，分别切，于点， 连接，， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 11．或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点M在圆内或圆外进行讨论． 【详解】解：当点M在圆内时，的直径长为，半径为； 当点M在圆外时，的直径长为，半径为； 即的半径长为或， 故答案为：或． 12．51 【分析】本题考查了圆的切线的性质，以及圆周角定理，四边形内角和定理，解决本题的关键是添加辅助线由四边形的内角和求解． 连接，由圆的切线定理与四边形的内角和定理可求解的度数，再根据的度数与的度数的关系由此求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵、是的两条切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵与分别为所对的圆心角与圆周角， ∴． 故答案为：51 ． 13． 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆的切线性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接,利用切线的性质得出，利用勾股定理求出，最后利用垂径定理即可求解． 【详解】解：如图，连接, 根据题意得，， ∵是小圆的切线， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 14．4 【详解】解：如图，取中点，连接，，，，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最大， ∵，中点， ∴， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，此时最大， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：4． 15．①②④⑤ 【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． ①根据切线长定理，证，可得．故．根据圆周角定理即可得出，由此可证得； ②连接；根据圆周角定理，易求得分别平分和；根据三角形内心的定义，即可得出结论②正确； ③若，则，在中，，易得（因为），即；因此弧弧，而这个条件并不一定成立．故③不正确； ④根据圆周角定理得到，．又由②知，是的平分线，根据等腰三角形的“三合一”性质得到．故④正确． ⑤证明，即可判断⑤ 【详解】解：①连接． ∵与是的切线， ∴，， ∴。 又， ∴， ∴∠DCO=∠BCO， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②延长交于点，连接，则， ∵， ∴， 而， ∴， ∵为直径， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴，即是的角平分线， 同理可证得是的平分线， 因此E为的内心，故②正确； ③若，则应有，应有， ∴弧弧，而弧与弧不一定相等，故③不正确； ④如图，∵是直径， ∴，即． 又由②知，是的平分线， ∴是等腰的边上的中垂线，则．故④正确． ⑤∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴，故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理． （1）连接，如图，根据切线的性质得，然后根据垂径定理得到结论； （2）连接，如图，利用圆的面积公式得到圆环的面积，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵大圆的弦切小圆于C， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， 圆环的面积， 在中， 所以圆环的面积． 17．(1)作图见解析； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质找到点D，连接，，，延长至Q，连接，结合勾股定理即可得到答案； （2）根据旋转得到四边形是平行四边形，结合圆的对称性即可得到答案． 【详解】（1）解：根据旋转的性质找到点D，连接，，,如图所示，延长至Q， 根据勾股定理得， ，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵绕点O旋转至， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形与关于点O对称， ∴． 【点睛】本题考查旋转作格点图形，圆的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理逆定理，解题的关键是根据题意画出图形． 18．(1) (2) 【分析】（1）四边形内接于，，则，即可求解； （2）连接，由， ，得；再由同弧所对的圆周角相等可得；由是的直径，得，从而求得． 【详解】（1）解：∵四边形内接于，， ， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，弧、弦及圆周角的关系，直径对的圆周角为直角，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 19．(1) (2)的长度不变， (3)或 (4)的最大值为12，最小值为2 【分析】（1）连接，根据题意可得当A，O，B共线时，，即可求解； （2）证明，即可解答； （3）分两种情况：当点B在F上方时，当点B在F下方时，即可解答； （4）作，且，连接，证明，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵，仅当A，O，B共线时，， 又∵最大为10，， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， 当点B在F上方时，， 当点B在F下方时， ， ∴综上所述，的长为或； （4）解：作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，最小值为． ∴的最大值为12，最小值为2． 【点睛】本题综合考查了圆、正方形、勾股定理、全等三角形等相关知识，要求学生理解并掌握圆的性质、正方形的性质、勾股定理的内容及公式、全等三角形的判定与性质等，并能通过作辅助线构造全等三角形，能进行线段之间的转化和运算等，理解三角形的三边关系，并能用于解决求有一端点为动点的线段的最值问题，该题综合性较强，对学生的分析推理与计算的能力都有一定的要求，蕴含了分类讨论和数形结合的思想． 20．(1)①见解析；②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①如图1，连接，，过作于，于，由垂径定理得到，，由菱形的性质推出，平分，得到，判定，得到，即可证明点在直线上； ②如图1，连接，由平行线的性质推出，求出，求出，由等腰三角形额性质得到，求出，即可证明是的切线； （2）如图2，由平行线的性质推出，得到，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，，即可求出的度数，于是得到； （3）如图3，过作于，于，判定四边形是矩形，得到，判定，得到△的面积△的面积，由圆周角定理得到，因此，判定，得到△的面积△的面积，又，求出△的面积，即可得到菱形的面积． 【详解】（1）证明：①如图1，连接，，过作于，于， ，， 四边形是菱形， ，平分， ， ，， ， ， 平分， 平分， 点在直线上； ②如图1，连接， 四边形是菱形， ， ， ， 由①知：， ， ， ， 半径， 是的切线； （2）如图2， ， ， 四边形是菱形， ∥，， ， ， ， ， ， 的度数， 的度数， ； （3）如图3，过作于，于， 四边形是菱形， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， △的面积△的面积， ， ， ， ， ， △的面积△的面积， ， 四边形的面积， △的面积四边形的面积△的面积， 菱形的面积． 【点睛】本题考查圆的综合题，关键是熟练掌握角平分线的性质，菱形的性质，切线的判定方法，全等三角形的判定和性质，圆的有关性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $