1.2.2 课时2 空间向量与垂直关系 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“空间向量与垂直关系”，核心内容为用向量语言表述及证明线线、线面、面面垂直关系。通过自主预习问题（如平面垂直判定定理、方向向量与法向量关系）和自学检测题，衔接平面平行、线面平行等旧知，搭建学习支架，引导学生逐步深入新知。 资料亮点在于“合作探究”环节结合正六棱柱、圆锥等现实情境，培养学生用数学眼光观察世界，例题与训练通过向量坐标运算、数量积推理证明垂直，提升逻辑推理和数学运算素养，向量语言表述精准，方法总结与随堂检测助力自主学习，适配新课标核心素养培养需求。

1.2.2 课时2 空间向量与垂直关系 【学习目标】 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.(直观想象、逻辑推理) 2.能用向量方法证明有关直线、平面之间的垂直关系.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.平面与平面垂直的判定定理是什么? 2.平面与平面平行的判定定理是什么? 3.如何由直线的方向向量与平面的法向量得到直线与平面的平行关系? 4.由平面与平面的平行关系，可以得到两平面的法向量有什么关系? 5.如何由直线的方向向量与平面的法向量得到直线与平面的垂直关系? 6.由平面与平面的垂直关系，可以得到两平面的法向量有什么关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量n1，n2为平面α的两个法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行. （ ） (2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行. （ ） (3)已知n是平面α的一个法向量，若p∥n，则向量p垂直于平面α，否则向量p不垂直于平面α. （ ） (4)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合. （ ） 2.设u=(2，2，-1)是平面α的一个法向量，a=(-3，4，2)是直线l的一个方向向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）. A.平行或直线在平面内 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 3.已知平面α的一个法向量是(2，3，-1)，平面β的一个法向量是(4，λ，-2)，若α∥β，则λ的值是（ ）. A.- B.6 C.-6 D. 4.设u，v分别是平面α，β的一个法向量，已知u=(-2，2，5)，当v=(3，-2，2)时，α与β的位置关系为______；当v=(4，-4，-10)时，α与β的位置关系为______. 【合作探究】 探究1线线垂直 小明利用纸盒折了一个正六棱柱，如图，根据正棱柱的定义可知AB⊥AE. 问题1：图中AE与CD，AB与CD是什么位置关系? 问题2：如何用向量法证明AB与CD垂直? 设直线l1的方向向量为a=(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为b=(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. 例1：已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别是棱BB'，对角线CA'的中点.求证：MN⊥BB'，MN⊥A'C. 【方法总结】用向量方法证明直线l1与l2垂直，取l1，l2的方向向量e1，e2，则e1·e2=0或cos<e1，e2>=0. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1.求证：AB1⊥MN. 探究2线面垂直 如图，这是绕直角三角形的一条直角边OA旋转一周形成的图形. 根据图形回答下列问题. 问题1：圆锥的旋转轴OA与底面上的任意一条直线是否垂直?为什么? 问题2：如何用向量法证明直线与平面垂直? 设直线l的一个方向向量是a=(a1，b1，c1)，平面α的一个法向量是u=(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔______⇔______⇔______. 例2：如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD. 【方法总结】向量法证明线面垂直有两种思路 (1)建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示，找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量，分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. (2)建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示，求出平面的法向量，判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行. 使用向量法证明时，若平面的法向量很明显，则可以选用思路二，否则选用思路一解决. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点. (1)求证：EF⊥CD. (2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB?若存在，请确定点G的位置；若不存在，请说明理由. 探究3面面垂直 铅垂线多用于建筑测量.用一条细绳一端系重物，在相对于地面静止时，这条绳所在直线就是铅垂线，又称重垂线.铅垂线的作用是判断物体是否与地面垂直，如图所示. 问题1：为什么利用铅垂线能检查所砌墙面是否与地面垂直? 问题2：用向量法如何证明两个平面垂直? 若平面α的一个法向量u=(a1，b1，c1)，平面β的一个法向量v=(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0. 例3：如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，BB1=1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【方法总结】利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理，将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直. 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，A1A=，AB=AC=2A1C1=2，D为BC中点.求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1. 【随堂检测】 1.已知平面α的一个法向量为a=(1，2，-2)，平面β的一个法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则实数k=（ ）. A.4 B.-4 C.5 D.-5 2.已知平面α的一个法向量为(4，3，-7)，若直线l⊥平面α，则直线l的一个方向向量可以为（ ）. A.(8，6，14) B.(-8，-6，14) C. D. 3.同时垂直于a=(2，2，1)，b=(4，5，3)的单位向量是______. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD. 参考答案 1.2.2 课时2 空间向量与垂直关系 自主预习·悟新知 预学忆思 1.如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直. 2.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 3.直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内. 4.两平面的法向量平行. 5.直线的方向向量与平面的法向量平行. 6.两平面的法向量垂直. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.A　【解析】∵u=(2，2，-1)是平面α的一个法向量，a=(-3，4，2)是直线l的一个方向向量，u·a=2×(-3)+2×4+(-1)×2=-6+8-2=0， ∴直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内. 3.B　【解析】∵α∥β， ∴α的法向量与β的法向量也互相平行， ∴==，∴λ=6. 4.α⊥β　α∥β　【解析】∵u，v分别为平面α，β的一个法向量且u=(-2，2，5)， 当v=(3，-2，2)时，u·v=-6-4+10=0，∴u⊥v，即α⊥β； 当v=(4，-4，-10)时，v=-2u，∴u∥v，即α∥β. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：AE∥CD， AB与CD是异面直线，且垂直. 问题2：证明直线AB，CD的方向向量的数量积为0. 新知运用 例1　【解析】设正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则M，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A'(0，0，1)，N，B'(1，0，1)，所以=，=(1，1，-1)，=(0，0，1)， 故·=·(1，1，-1)=0，·=·(0，0，1)=0， ∴MN⊥A'C，MN⊥BB'. 巩固训练　【解析】如图，以A为原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，AC，AA1所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B1，M，N，所以=，=，故·=-++=0. 因此⊥，即AB1⊥MN. 探究2　情境设置 问题1：垂直，因为OA⊥底面，所以OA垂直底面上的任意一条直线. 问题2：证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可. 新知生成 a∥u　a=ku(k∈R)　(a1，b1，c1)=k(a2，b2，c2)(k∈R) 新知运用 例2　【解析】(法一)如图所示，取BC的中点O，连接AO. 因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1，以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，所以=(1，2，-)，=(-1，2，)，=(-2，1，0)， 故·=1×(-1)+2×2+(-)×=0，·=1×(-2)+2×1+(-)×0=0， 所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD. 又因为BA1∩BD=B，且BA1，BD⊂平面A1BD，所以AB1⊥平面A1BD. (法二)建立同法一的空间直角坐标系. 设平面A1BD的一个法向量为n=(x，y，z)， 则即 令x=1，得平面A1BD的一个法向量为n=(1，2，-). 又=(1，2，-)，所以n=，即∥n，所以AB1⊥平面A1BD. 巩固训练　【解析】(1)如图，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设AD=a(a>0)，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，所以=，=(0，a，0). 因为·=0，所以⊥，即EF⊥CD. (2)存在.设G(x，0，z)，则=， 若使GF⊥平面PCB，则需·=0，且·=0. 又=(a，0，0)，=(0，-a，a)， 由·=·(a，0，0)=a=0，得x=， 由·=·(0，-a，a)=+a=0，得z=0， 所以点G的坐标为，即当G为AD的中点时，GF⊥平面PCB. 探究3　情境设置 问题1：由于铅垂线总是垂直于水平面，根据垂线的性质，可用铅垂线来检查所砌墙面是否垂直. 问题2：证明两个平面的法向量的数量积为0即可. 新知运用 例3　【解析】由题意得AB，BC，BB1两两垂直，以B为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E， ∴=(0，0，1)，=(-2，2，0)，=(-2，2，1)，=. 设平面AA1C1C的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则⇒ 令x1=1，则y1=1， ∴平面AA1C1C的一个法向量为n1=(1，1，0). 设平面AEC1的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则⇒ 令z2=4，则x2=1，y2=-1， ∴平面AEC1的一个法向量为n2=(1，-1，4). ∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0， ∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 巩固训练　【解析】如图，建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，). 因为D为BC的中点，所以点D的坐标为(1，1，0)， 所以=(-2，2，0)，=(1，1，0)，=(0，0，)， 故·=-2+2+0=0，·=0+0+0=0， 所以⊥，⊥，即BC⊥AD，BC⊥AA1. 又AD∩AA1=A，所以BC⊥平面A1AD，而BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1. 随堂检测·精评价 1.D　【解析】∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b=-2-8-2k=0，∴k=-5. 2.B　【解析】因为直线l⊥平面α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行，又(-8，-6，14)=-2(4，3，-7)，所以B正确. 3.或　【解析】设所求向量为c=(x，y，z)， 则 解得或 故c=或c=. 4.【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则D(0，0，0)，B1(1，1，1)，E，故=(1，1，1)，=.设平面B1ED的一个法向量为n1=(x，y，z)，则x+y+z=0且y+z=0，令z=-2，则y=1，x=1，∴n1=(1，1，-2). 同理求得平面B1BD的一个法向量为n2=(1，-1，0)， 由n1·n2=0，知n1⊥n2， ∴平面B1ED⊥平面B1BD. 学科网（北京）股份有限公司 $