1.2.2 课时1 空间中的平面与空间向量 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.2.2 课时1 空间中的平面与空间向量 【学习目标】 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.(数学抽象、数学运算) 2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、平面与平面垂直.(逻辑推理、数学运算) 3.了解三垂线定理及其逆定理.(逻辑推理、数学抽象) 4.会借助向量法证明有关平行与垂直的问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.直线与平面垂直的定义是什么? 2.直线与平面垂直的判定定理是什么? 3.平面α的法向量有多少个?它们之间有什么关系? 4.一个平面的法向量和与此平面共面的所有向量间有什么关系? 5.给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A且垂直于向量a的平面吗? 6.平面的法向量有何特点? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l的方向向量平行，则a是平面α的一个法向量. （ ） (2)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直. （ ） (3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量.（ ） (4)若a，b分别是两个平行平面的法向量，则a与b共线. （ ） (5)若a，b分别是两个互相垂直平面的法向量，则a与b垂直. （ ） 2.若直线l的一个方向向量为a=(1，0，2)，平面α的一个法向量为u=(-2，0，-4)，则（ ）. A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交 3.若平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，-1，0)，则平面α与平面β的位置关系为（ ）. A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 4.若两个向量=(1，2，3)，=(3，2，1)，则平面ABC的一个法向量为（ ）. A.(-1，2，-1) B.(1，2，1) C.(1，2，-1) D.(-1，2，1) 5.设平面α的一个法向量为(1，2，-2)，平面β的一个法向量为(-2，-4，k)，若α∥β，则实数k=______. 【合作探究】 探究1平面的法向量 小明利用纸盒折了一个如图所示的正六棱柱，根据正棱柱的定义可知棱AB垂直于棱柱底面. 问题1：图中是底面的法向量吗?唯一吗? 问题2：平面的法向量有何作用? 1.平面的法向量 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量.此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α. 2.平面法向量的性质 (1)如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量. (2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行. (3)如果n是平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上的任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n=0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 例1：如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于点F，分别求平面A1DFE、平面A1B1CD的一个法向量. 【方法总结】求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n=(x，y，z). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组. (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量. 已知A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a=(x，y，z)，则x∶y∶z=______. 探究2三垂线定理及其逆定理 三垂线定理是立体几何中的重要定理之一，它通过平面斜线的射影与平面内一直线的垂直关系来判定斜线与平面内该直线垂直. 问题1：平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的? 问题2：三垂线定理来源于什么? 问题3：如何抓住三垂线定理的实质? 1.射影 已知空间中的平面α以及点A，过点A作α的______l，设l与α相交于点A'，则A'就是点A在平面α内的射影(也称为投影). 2.图形F在平面α内的射影 空间中，图形F上所有的点在平面α内的______所组成的集合F'，称为图形F在平面α内的射影. 3.三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. 4.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 例2：如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC. 【方法总结】利用传统的几何法进行证明，在证明线面垂直时，首先应证明线线垂直，本题在证明线线垂直时，应用到了三垂线定理. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M. 探究3空间向量与平行关系 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点. 问题1：CE与平面C1E1F有什么位置关系? 问题2：如何用空间向量证明上述结论? 1.设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a=(a1，b1，c1)，b=(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔______. 2.设l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，α的法向量为u=(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a·u=0⇔______. 3.设α，β的法向量分别为u=(a1，b1，c1)，v=(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔______. 例3：如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1. 【方法总结】利用空间向量证明线面平行的三种方法 方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示. 方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行的判定定理得证. 方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.求证：AM∥平面BDE. 【随堂检测】 1.已知向量a=(λ+1，0，2)，b=(6，2μ-1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是（ ）. A.2， B.， C.-3，2 D.2，2 2.若直线l的一个方向向量为a=(2，2，-1)，平面α的一个法向量为μ=(-6，8，4)，则直线l与平面α的位置关系是______. 3.已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n=(-1，-1，-1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是______. 4.在四面体P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB. 参考答案 1.2.2 课时1 空间中的平面与空间向量 自主预习·悟新知 预学忆思 1.如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫作垂足. 2.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直. 3.无数个；平行. 4.垂直. 5.可以确定. 6.设向量n是平面α的一个法向量，则 (1)n是一个非零向量. (2)向量n与平面α垂直. (3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反. (4)给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2.B　【解析】∵a=(1，0，2)，u=-2(1，0，2)=-2a， ∴u与a平行，∴l⊥α. 3.C　【解析】∵(1，2，0)·(2，-1，0)=0，∴两法向量垂直，从而可得两平面垂直，即α⊥β. 4.A　【解析】设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)， 则取x=-1，得平面ABC的一个法向量为(-1，2，-1). 5.4　【解析】∵α∥β，∴两平面的法向量平行，∴==，∴k=4. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：是正六棱柱底面的法向量，但不唯一，它们都是共线的. 问题2：平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系. 新知运用 例1　【解析】∵四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形， ∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1=AB=AD， 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB=AD=AA1=1，可得A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D(0，1，0)，E. 设平面A1DFE的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)，=，=(0，1，-1)， 由n1⊥，n1⊥，得令z1=1，则 故平面A1DFE的一个法向量为n1=(-1，1，1). 设平面A1B1CD的一个法向量为n2=(x2，y2，z2)， =(1，0，0)，=(0，1，-1)， 由n2⊥，n2⊥，得令z2=1，则 故平面A1B1CD的一个法向量为n2=(0，1，1). 巩固训练　2∶3∶(-4)　【解析】因为=，=，且a·=0，a·=0，所以解得 故x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4). 探究2　情境设置 问题1：当平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直时. 问题2：三垂线定理来源于“线面垂直”. 问题3：抓住平面α的垂线，就抓住了定理的实质与关键. 新知生成 1.垂线　2.射影 新知运用 例2　【解析】如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE. ∵PA⊥平面ABC，AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心)， ∴PE⊥BC(三垂线定理)， ∴点Q在PE上. ∵AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE=E， 且AE，PE⊂平面PAE， ∴BC⊥平面PAE. ∵OQ⊂平面PAE，∴BC⊥OQ. 连接BO并延长交AC于点F，则BF⊥AC. 连接BQ并延长交PC于点M，则BM⊥PC. 连接MF. ∵PA⊥平面ABC，BF⊥AC， ∴BF⊥PC(三垂线定理). ∵BM⊥PC，BF⊥PC，BM∩BF=B， 且BM，BF⊂平面BMF，∴PC⊥平面BMF. ∵OQ⊂平面BMF，∴PC⊥OQ. 又BC∩PC=C，∴OQ⊥平面PBC. 巩固训练　【解析】如图，连接AC1， ∵==，==， ∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∠AC1C=∠MA1C1， ∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°， ∴A1M⊥AC1. ∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴B1C1⊥CC1. 又B1C1⊥A1C1，A1C1∩CC1=C1， ∴B1C1⊥平面AA1C1C，由三垂线定理知，AB1⊥A1M. 探究3　情境设置 问题1：平行. 问题2：证明CE的方向向量与平面C1E1F的法向量垂直即可. 新知生成 1.(a1，b1，c1)=k(a2，b2，c2)(k∈R)　2.a1a2+b1b2+c1c2=0 3.(a1，b1，c1)=k(a2，b2，c2)(k∈R) 新知运用 例3　【解析】以A为坐标原点，平面ABC内过点A垂直于AC的直线为x轴，AC，AA1所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)， 则A(0，0，0)，B，B1，C1(0，a，b)，D， ∴=，=，=. 设平面DBC1的一个法向量为n=(x，y，z)， 则∴ 不妨令y=2b，则n=(0，2b，-a)为平面DBC1的一个法向量. 由·n=ab-ab=0，得⊥n. 又AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1. 巩固训练　【解析】由题意得CD，CB，CE两两垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 设AC∩BD=N，连接NE，则N，E(0，0，1)，所以=. 又A(，，0)，M，所以=， 所以=，又A∉NE，所以NE∥AM. 又因为NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE. 随堂检测·精评价 1.A　【解析】因为a∥b，所以解得或故选A. 2.l⊂α或l∥α　【解析】∵μ·a=-12+16-4=0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 3.平行　【解析】由题意可得=(0，1，-1)，=(1，0，-1)，又n·=0，n·=0，所以n⊥，n⊥，故n也是平面α的一个法向量. 又因为α与β不重合，所以α∥β. 4.【解析】如图，过点P作PH⊥平面ABC，连接AH并延长交BC于点E，连接BH并延长交AC于点F. 因为PH⊥平面ABC，PA⊥BC， 而PA在平面ABC内的射影为AH，由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH， 同理可证BF⊥AC，则H为△ABC的垂心，连接CH并延长交AB于点G， 于是CG⊥AB，而CH是PC在平面ABC内的射影，故PC⊥AB. 学科网（北京）股份有限公司 $