1.2.1 课时1 空间中的点、直线与空间向量 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间中的点、直线与空间向量，引导学生理解空间中点的位置向量概念，掌握直线方向向量的表示及直线平行的向量证明方法，通过自主预习问题衔接平面向量知识，搭建从平面到空间的学习支架。 以情境化探究（如信号塔塔顶位置向量）和分层练习（预习、探究、检测）为特色，融合数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，帮助学生从具体实例抽象出数学概念，通过问题链和例题提升推理与运算能力，自主学习设计培养学生独立思考习惯，便于教师评估教学效果。

1.2.1 课时1 空间中的点、直线与空间向量 【学习目标】 1.了解空间中的点的位置向量、直线的方向向量.(数学抽象) 2.会用向量方法证明直线与直线平行.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.在空间中，如何用向量表示空间中的一个点? 2.如果向量v为直线AB的一个方向向量，那么只借助向量v能否确定直线AB在空间中的位置? 3.空间中给定一个点A和一个方向向量能确定唯一一条直线l吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量能作为直线的方向向量. （ ） (2)直线的方向向量是唯一的，即一条直线不可能存在两个不同的方向向量. （ ） (3)若非零向量v1，v2满足v1∥l，v2∥l，则一定存在非零实数λ，使得v2=λv1.（ ） (4)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量. （ ） 2.若点A(1，2，3)，B(2，1，0)在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ）. A.(1，-1，-3) B.(-1，1，-3) C.(3，3，3) D.(-3，0，1) 3.已知向量a=(2，4，5)，b=(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，且l1∥l2，则（ ）. A.x=6，y=15 B.x=3，y= C.x=3，y=15 D.x=6，y= 4.已知直线l过点A(3，2，1)，B(2，2，2)，且a=(2，0，x)是直线l的一个方向向量，则x=______. 【合作探究】 探究1空间中点的向量表示 信号塔，是中国移动、中国联通、中国电信等网络运营商所建立的一种无线信号发射装置，外形像塔，所以叫作信号塔. 问题1：如何用向量表示塔顶P的位置? 问题2：在空间直角坐标系中如何确定点P的位置? 点的向量表示：在空间中指定一点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 例1：在空间直角坐标系中，已知A(1，-2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|=|PB|. (1)求点P的坐标； (2)求点P的位置向量； (3)求点B到原点的距离. 【方法总结】确定空间一点的位置向量的关键是指定一点，在空间直角坐标系中，一般把坐标原点当作指定的点. 已知△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，则BC边上中点的位置向量是（ ）. A.(2，1，1) B.(2，1，0) C.(1，2，0) D.(1，0，2) 探究2空间中直线的向量表示 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点. 问题：点P在直线l上的充要条件是什么? 1.直线l的方向向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，那么称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. 2.空间中直线的方向向量的性质 (1)如果A，B是直线l上两个不同的点，那么v=就是直线l的一个方向向量. (2)如果v是直线l的一个方向向量，那么对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行. (3)如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，那么对于直线l上任意一点B，向量一定与非零向量v平行，从而可知存在唯一的实数λ，使得=λv，这就是说，空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定. (4)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，那么v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合. 例2：已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5). (1)若=(-)，求点P的坐标； (2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB=1∶2，求点P的坐标. 【方法总结】可利用共线向量基本定理来求解直线的方向向量或直线上的点的坐标. 已知直线l的一个方向向量为m=(2，-1，3)，且直线l过A(0，a，3)，B(-1，2，b)两点，则a+b=（ ）. A.0 B.1 C. D.3 【随堂检测】 1.(多选题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与点C1，C重合的任意一点，则能作为直线AA1的方向向量的是（ ）. A. B. C. D. 2.已知两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1，0，-1)，v2=(-2，0，2)，则l1与l2的位置关系是（ ）. A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定 3.已知a=(1，2，-y)，b=(x，1，2)，且(a+2b)∥(2a-b)，则（ ）. A.x=，y=1 B.x=，y=-4 C.x=2，y=- D.x=1，y=-1 4.若直线a与b的方向向量分别为m=(2x，1，3)，n=(1，-2y，9)，且a与b平行，求实数x+y的值. 参考答案 1.2.1 课时1 空间中的点、直线与空间向量 自主预习·悟新知 预学忆思 1.在空间中，我们指定一点O，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示. 2.不能，但是向量v可以描述所有与直线AB平行或重合的直线. 3.能. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.A　【解析】=(2，1，0)-(1，2，3)=(1，-1，-3).故选A. 3.D　【解析】因为l1∥l2，所以a∥b，则 = = ，得x=6，y=.故选D. 4.-2　【解析】∵直线l过点A(3，2，1)，B(2，2，2)，∴=(-1，0，1). 又a=(2，0，x)是直线l的一个方向向量，∴∥a，∴x=-2. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：在空间中指定一点O作为基点，空间中的任意一点P就可以用向量来表示. 问题2：点P的位置用(x，y，z)表示. 新知运用 例1　【解析】(1)依题意设P(0，0，z)， 则有=，解得z=3， 所以点P的坐标为(0，0，3). (2)因为坐标原点O是空间指定的点，所以点P的位置向量是=(0，0，3). (3)因为||==2，所以点B到原点的距离是2. 巩固训练　B　【解析】由题意可知A(0，0，1)，B(4，0，0)，C(0，2，0)，所以BC边的中点坐标为D(2，1，0)，所以BC边的中点的位置向量为=(2，1，0). 探究2　情境设置 问题：充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t. 新知运用 例2　【解析】(1)∵=(-1，1，5)，=(-3，-1，5)， ∴=(-)=(2，2，0)=(1，1，0)， 故点P的坐标为(1，1，0). (2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB=1∶2，知=. 设点P的坐标为(x，y，z)， 则=(x-3，y-4，z)，=(2-x，5-y，5-z)， 故(x-3，y-4，z)=(2-x，5-y，5-z)， 即解得 因此点P的坐标为. 巩固训练　D　【解析】∵A(0，a，3)，B(-1，2，b)， ∴=(-1，2-a，b-3). ∵直线l的一个方向向量为m=(2，-1，3)，∴设=λm， ∴(-1，2-a，b-3)=λ(2，-1，3)，即λ=-，a=b=，∴a+b=3. 随堂检测·精评价 1.ABD　【解析】由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1 平行或重合，则这个向量就称为直线AA1 的一个方向向量.A，B，D均满足题意. 2.A　【解析】因为v2=-2v1，所以v1∥v2，即l1∥l2. 3.B　【解析】由题意得a+2b=λ(2a-b)，可得x=，y=-4. 4.【解析】因为a与b的方向向量分别是m，n，且a∥b，所以m∥n，所以==，解得x=，y=-，所以x+y=-. 学科网（北京）股份有限公司 $