1.1.1 课时2 空间向量的数量积运算 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.1.1 课时2 空间向量的数量积运算 【学习目标】 1.掌握空间向量的数量积运算的定义与概念,理解投影的概念.(数学抽象) 2.理解空间向量的数量积的运算律(交换律和分配律),并可以与数的乘法相联系与区别.(数学运算) 3.可以结合实际问题,灵活运用相关知识解决问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.上节课所讲的向量线性运算的相关知识有哪些? 2.空间向量的线性运算满足哪些运算律? 3.空间向量夹角的取值范围是多少?如何定义空间向量的垂直? 4.类比平面向量的数量积的定义,如何定义空间向量的数量积运算? 5.类比平面向量的数量积的运算律,空间向量的数量积运算满足哪些运算律? 6.数量积运算能否判断两个向量的平行或者垂直关系,能否用来求角? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)两个向量的数量积是实数. ( ) (2)对于非零向量a,b,<a,b>与<a,-b>相等. ( ) (3)对于任意向量a,b,c,都有(a b) c=a (b c). ( ) (4)(3a+2b) (3a-2b)=9|a|2-4|b|2. ( ) 2.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a b=-,则两直线的夹角为( ). A.30 B.60 C.120 D.150 3.(人教B版选择性必修第一册P12练习BT4改编)(多选题)已知正四面体OABC的棱长为1,如图所示.若E,F分别是OA,OC的中点,则下列结论正确的是( ). A. =- B. = C. =- D. =- 4.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a b=_. 【合作探究】 探究1空间向量的夹角 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W=F s=|F||s|cos ,其中 是F与s的夹角. 为了在数学中体现“功”这样一个标量,我们引入了向量“数量积”的概念. 问题1: 是哪两个量的夹角? 问题2:任意两个向量的数量积是向量吗?两个向量的数量积一定是非负数吗? 问题3:如图所示,空间四边形的各边和对角线长均等于1,E是BC的中点,则下列说法正确的有哪些? (1) <0;(2) = ;(3) = . 问题4:若两个向量的夹角为0或 ,则这两个向量分别是什么关系? 1.定义:如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则_叫作向量a,b的夹角,记作_. 2.范围:<a,b>∈_.特别地,当<a,b>=0时,两个向量a,b同向共线,当<a,b>=_时,两个向量a,b反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=_;当<a,b>=时,两个向量a,b互相_,记作_. 例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)求与夹角的大小; (2)求与夹角的大小. 【方法总结】求两个向量夹角的方法 先根据题设条件将一个向量平移到另一个向量所在的平面内,然后解三角形求解. 已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足 =0, =0, =0,M为BC的中点,则与的夹角是_. 探究2空间向量数量积及其性质 问题1:两个向量的数量积与数乘向量有何不同? 问题2: “若a b=a c,则b=c”,这种说法正确吗? 问题3:数量积的运算不满足结合律吗? 已知两个_向量a,b,则_叫作向量a,b的数量积(内积),记作a b,即a b=_.零向量与任意向量的数量积为_,即0 a=_ a⊥b _;a a=|a||a|cos<a,a>=_=_ ( a) b=_( ∈R) a b=b a(交换律) (a+b) c=_(分配律) 例2:如图所示,已知正四面体OABC的棱长为1,E,F分别是OA,OC的中点.求下列向量的数量积: (1) ; (2) ; (3)(+) (+). 【变式设问】若H为BC的中点,其他条件不变,求EH的长. 【方法总结】在几何体中,求空间向量的数量积的步骤: (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式; (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积; (3)代入公式a b=|a||b|cos<a,b>求解. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,Q是棱BC上的动点,P是棱B1C1上的动点,AB=BC=2,AA1=1. (1)求 ; (2)求 的取值范围. 探究3投影与投影的数量 我们在测量树的高度时,常利用阳光下的影子测量其高度,如图所示. 问题1:若测得||=2,如何求在上的投影? 问题2:平面向量的数量积的投影定义,在空间中还成立吗? 1.向量的投影 如图所示,过向量a的始点和终点分别向向量b所在的直线作垂线,即可得到向量a在向量b上的投影a'. 2.数量积的几何意义 a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积.特别地,a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0. 3.向量在直线(或平面)上的投影 一般地,给定空间向量a和空间中的直线l(或平面 ),过a的始点和终点分别作直线l(或平面 )的垂线,假设垂足为A,B,则向量称为a在直线l(或平面 )上的投影. 例3:如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,AD=2,∠BAA1=∠DAA1=60 ,E为棱C1D1的中点,则||=_;在上的投影是_. 【方法总结】根据投影的定义可得|b|cos<a,b>=,此结论用于求空间中的距离问题时,注意区分投影与投影数量. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.若∠BAC=90 ,∠BAA1=∠CAA1=60 ,AB=AC=AA1=1,求向量在上的投影数量. 【随堂检测】 1.对于向量a,b,c和实数 ,下列命题是真命题的为( ). A.若a b=0,则a=0或b=0 B.若 a=0,则 =0或a=0 C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a b=a c,则b=c 2.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos<,>的值为( ). A. B. C.- D.0 3.在空间四边形ABCD中, + + =_. 4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,M是BC的中点,∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60 ,求A1M的长. 参考答案 1.1.1 课时2 空间向量的数量积运算 自主预习 悟新知 预学忆思 1.向量的加法、减法、数乘运算. 2.向量的线性运算满足交换律、结合律和分配律. 3.夹角的取值范围是[0, ].若夹角为,则向量垂直. 4.a b=|a||b|cos<a,b>. 5.空间向量的数量积的运算满足交换律和分配律. 6.能判断垂直关系,若a b=0,则向量a,b垂直.cos<a,b>=. 自学检测 1.(1)√ (2) (3) (4)√ 2.B 【解析】设向量a,b的夹角为 ,则cos ==-,所以 =120 ,则两个方向向量对应的直线的夹角为180 -120 =60 . 3.BD 【解析】在正四面体OABC中,||=||=||=||=||=||=1, 则 =||||cos∠AOB=1 1 cos 60 =,A错误; 因为E,F分别是OA,OC的中点, 所以 = =|||| cos<,>= 1 1 cos 60 =,B正确; = =||2=,C错误; = =||||cos<,>= 1 1 cos 120 =-,D正确. 4.-2 【解析】a b=(2i-j+k) (i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2. 合作探究 提素养 探究1 情境设置 问题1: 是力F与位移s的夹角. 问题2:不是向量,两个向量的数量积是实数,不一定是非负数. 问题3:∵E是BC的中点,AB=AC,∴⊥,即 =0,∴(1)错误; 由题意知与的夹角为120 ,∴ =1 1 cos 120 =-, 由题意知与的夹角为60 ,∴ =1 1 cos 60 =,∴(2)错误; ∵E是BC的中点,且 BCD是正三角形,∴BC⊥ED,∴ =0, ∴ = ,∴(3)正确. 综上,只有(3)正确. 问题4:若两个向量的夹角为0,则这两个向量方向相同;若两个向量的夹角为 ,则这两个向量的方向相反. 新知生成 1.∠AOB <a,b> 2.[0, ] 0或 垂直 a⊥b 新知运用 例1 【解析】(1)如图,连接AD1,CD1,因为=,所以∠CAD1的大小就等于<,>. 因为 ACD1为等边三角形,所以∠CAD1=60 ,所以与夹角的大小为60 . (2)如图,将平移到平面ADD1A1内,则与重合. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为四边形ADD1A1是正方形,所以⊥, 所以与夹角的大小为90 . 巩固训练 90 【解析】因为M为BC的中点,所以=(+),所以 =(+) = + =0,所以AM⊥AD,所以与的夹角是90 . 探究2 情境设置 问题1:两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积,其结果是实数;数乘向量是一个数与一个向量的乘积,其结果仍是一个向量,如0 a=0,而0 a=0. 问题2:不正确,向量不能约分. 问题3:向量的数量积运算不满足结合律,即(a b) c不一定等于a (b c). 新知生成 非零 |a||b|cos<a,b> |a||b|cos<a,b> 0 0 a b=0 |a|2 a2 (a b) a c+b c 新知运用 例2 【解析】(1)因为正四面体OABC的棱长为1,所以||=||=1. 又 OAB为等边三角形,所以∠AOB=60 , 所以 =||||cos<,>=|||| cos∠AOB=1 1 cos 60 =. (2)因为E,F分别是OA,OC的中点,所以EF AC, 于是 =||||cos<,>=|| ||cos<,>= 1 1 cos<,>= 1 1 cos 120 =-. (3)(+) (+)=(+) (-+-)=(+) (+-2)=+ -2 + +-2 =1+-2 ++1-2 =1. 变式设问 提示:如图所示,由题意知=(+),=, 所以=-=(+-), 所以||2=(+++2 -2 -2 ), 又||=||=||=1,且<,>=60 ,<,>=60 ,<,>=60 , 所以 =, =, =. 所以||2==, 即||=,所以EH的长为. 巩固训练 【解析】(1) =(++) = + + . 因为AD⊥AB,AD⊥AA1,所以⊥,⊥,即 =0, =0, 因此 =||2=4. (2) =(++) (+) = + + + + + , 因为AA1⊥AB,C1P⊥AB,AA1⊥BQ,AB⊥BQ, 所以 =0, =0, =0, =0, 因此 = + =||2-|| ||. 设||=x,||=y,0≤x≤2,0≤y≤2,则 =4-xy, 因为0≤xy≤4, 所以0≤4-xy≤4,故 的取值范围为[0,4]. 探究3 情境设置 问题1:根据平面数量积的几何意义知,在上的投影为||cos( -∠OAB) =-=. 问题2:根据空间向量的数量积公式可知,依然成立. 新知运用 例3 【解析】由题图可知=++, 所以||= ==, = + +=4 3 cos 60 +0+ 42=14. 故在上的投影是 =. 巩固训练 【解析】由图可知=++=++ =(c-a)+a+(b-a)=a+b+c, 所以 =b = =. 因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a b+2b c+2a c=1+1+1+0+2 1 1 +2 1 1 =5, 所以|a+b+c|=,所以||=|a+b+c|=. 所以向量在上的投影数量是 =. 随堂检测 精评价 1.B 【解析】对于A,可举反例,当a⊥b时,a b=0; 对于C,a2=b2,只能推出|a|=|b|,而不能推出a= b; 对于D,a b=a c可以移项整理推得a⊥(b-c),无法判断b与c的关系. 2.D 【解析】∵ = (-)= - =||||cos∠AOC-||||cos∠AOB=||||-||||=0, ∴⊥,∴cos<,>=0. 3.0 【解析】原式= + + (-)= (-)+ (+)= + =0. 4.【解析】设=a,=b,=c, 则a b=1 1 cos 60 =,b c=a c=1 2 cos 60 =1. 因为=+=-c+, 所以A1M=||===. 学科网(北京)股份有限公司 $