第二十三章旋转同步练2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十三章 旋转 同步练 一、单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．顶点为P的抛物线与y轴相交于点A，把该抛物线绕顶点P旋转得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．如图，将菱形绕点A沿逆时针方向旋转，得菱形，连接，，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转后得到（点A的对应点是点，点C的对应点是点），连接，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 5．已知点M与点N关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 6．已知关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D．不存在 7．如图，四边形为正方形，E、B、C共线，把绕A点逆时针方向旋转到处，F在上，连，则①旋转角度为；②；③为等腰直角三角形；④，其中正确的是（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 8．如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则下列旋转方式中，符合题意的是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 10． 如图，绕点A按顺时针方向旋转后得到，且点D恰好是边的中点，交于F，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 二、填空题 11．，，且A，关于M对称，点M的坐标为 ． 12．如图，、为正方形对角线上两点，，，，则的长为 ． 13．如图，已知中，，将直角边绕A点逆时针旋转至，连接，E为的中点，连接，则的最大值为 ． 14．如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则 ．    15．如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 16．如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． (1)求证： (2)试判断四边形的形状，并说明理由 17．如图，在的网格纸中给定了图形Ⅰ和格点O的位置（图形I的顶点均在格点上）． (1)画出图形I先向下平移4格，再向右平移2格后的图形Ⅱ； (2)画出图形Ⅰ绕点O旋转后的图形Ⅲ； (3)在（1），（2）所作的图形中，图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 18．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求线段的长； (2)点M是x轴上一点，若以为直角边构造直角三角形，请求出满足条件的点M的坐标； (3)如图2，以点A为直角顶点作，射线交轴的负半轴于点，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)． 19．在长方形中，，．延长至点，使得，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，连接，设点的运动时间为（秒）． (1)________； (2)用含的代数式表示线段的长度； (3)当点在线段上运动时，作点关于点的对称点，连接．当线段将的面积分成两部分时，求的值； (4)在整个运动过程中，将点绕点逆时针旋转得到点，当时，直接写出的值． 20．在中，，点D为线段上一动点，连接． (1)如图1，E为外一点，连接，且，若，，连接，求线段的长； (2)如图2，过点D作于点G，平分交于点H，连接，，若，求证：； (3)如图3，若，F为边上一点且，M为边上一动点，连接，，将沿翻折至所在的平面内，得到，连接，过作的垂线，N为垂线上一动点，连接，将绕着点N逆时针旋转到，连接，在M、N运动过程中，当线段和均取得最小值时，请直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十三章 旋转 同步练2025—2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C C C D C B A 1．B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．A 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，和抛物线将一般式转化顶点式的能力．根据题目要求，求出A和B的坐标，再求出三角形的面积即可． 【详解】解：由题意知，所构成的大致图像如图所示： ∵抛物线与y轴相交于点A， ∴当时，， ∴点A的坐标为， 将抛物线一般式转化为顶点式得：， ∴顶点P的坐标为， 把它绕顶点P旋转得到一个新的抛物线是， ∴与y轴的交点B为，顶点P的坐标为， ∴． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了图形的旋转，菱形的性质，解决本题的关键是求解出旋转角度． 根据菱形的性质可得，再由旋转角度即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， ， 将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得菱形， ． 故选：． 4．C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 利用旋转的性质得出相等的角和线段，证明为等腰直角三角形，得出，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∵，且旋转， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P关于原点O的对称点是，进而求出即可． 【详解】解：∵点M与点N关于原点对称， ∴，， 故． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了点的坐标与轴对称，解一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标与轴对称变换规律是解题关键．先判断出点在第三象限，再根据第三象限的点的横坐标小于0、纵坐标小于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：点关于原点的对称点在第一象限， 点在第三象限， ， 解得：， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，由正方形结合旋转的性质可得，，可得判断①②，进一步可得，，，可判断③④． 【详解】解：∵四边形为正方形，E、B、C共线，把绕A点逆时针方向旋转到处，F在上， ∴，，即旋转角为，故①②正确， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形；故③正确， ∴，故④正确． 故选：D 8．C 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ， ， ， ， ， 故选：C． 9．B 【分析】本题考查旋转的性质，在解题时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案． 【详解】解：根据图形可知：将绕点A逆时针旋转可得到． 故选：B． 10．A 【分析】先由旋转的性质得出，，则为等边三角形，再根据等边三角形、等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出，然后在直角与直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，，则，进而求出的值． 【详解】解：绕点按顺时针方向旋转后得到， ，， ，． 为等边三角形， ，． 点是边的中点， ， ， ， ， 在直角中，，， ． 在直角中，，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质及三角形外角的性质，综合性较强，有一定难度，证明出是关键的一步． 11． 【分析】本题考查的是中心对称，根据，，且A，关于M对称，可得，进一步，可得答案． 【详解】解：∵点A、关于点M对称， ∴点M是线段的中点， ∵，， ∴，即． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 将绕点顺时针旋转，得到，连接，利用正方形的性质和旋转的性质证明相等的角和边，证明，得出，然后再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，在正方形中，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，取的中点，连接，根据旋转的性质，三角形的中位线定理求出的长，勾股定理结合斜边上的中线，求出的长，再根据，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵旋转， ∴， 取的中点，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．旋转之后得出，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：由绕点A逆时针旋转得到， ， 故答案为：． 15．①③ 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的判断和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 利用旋转的性质和正方形的性质，证明，可判定结论①正确； 利用勾股定理可得，可判定结论②错误； 利用等腰三角形的性质推出，利用勾股定理逆定理可推出，可判定结论③正确； 过点D作交延长线于点E，利用勾股定理可求出，进而可判定结论④错误． 【详解】由旋转可知，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 可以由绕点A逆时针旋转得到， 故结论①正确； 由勾股定理得， 故结论②错误； ，， ， 由得， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故结论③正确； 如图，过点D作交延长线于点E，则， ，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得， ，， 由勾股定理得， 正方形的面积等于， 故结论④错误； 综上可知，正确的结论是①③． 故答案为：①③． 16．(1)见详解 (2)四边形是菱形，理由见详解 【分析】（1）由旋转的性质可知，，则有，，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵是由在平面内绕点B旋转而得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)旋转或轴对称 【分析】本题主要考查了平移，旋转作图，轴对称的定义，熟练掌握轴对称，旋转和平移的性质，是解题的关键． （1）根据平移的性质先作出三角形三个顶点的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质先作出三角形三个顶点的对应点，然后顺次连接即可； （3）根据旋转和轴对称的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，图形Ⅱ即为所求作的图形； （2）解：如图，图形Ⅲ即为所求作的三角形； （3）解：如图，图形Ⅲ可以由图形Ⅱ沿直线l折叠得到，即图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次轴对称得到； 图形Ⅲ可以由图形Ⅱ绕点M旋转得到，即图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次旋转得到． 故答案为：轴对称或旋转． 18．(1) (2) (3)不变， 【分析】本题考查了勾股定理解三角形、全等三角形的判定和性质，坐标与图形，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由两点的坐标结合勾股定理求解即可； （2）过作的垂线，交轴于点，过点作轴于点，设，利用勾股定理建立方程求解即可； （3）过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为, 可证明可得到，从而可把 转化为，再利用线段的和差可求得． 【详解】（1）解：过点A作轴，如图所示： ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴； （2）∵是以为直角边的直角三角形，且点M是x轴上一点， ∴， 过作的垂线，交轴于点，过点作轴于点，如图所示： ∴， 设， ∴，， ∵即， 即， ∴， 解得：， ∴； （3）不变，理由如下： 过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，如图 则， 又∵， ∴， ∴， ∵, ∴, ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴， 故的值不发生变化，值为． 19．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（）由题意可得四边形是直角梯形，进而根据梯形的面积公式计算即可； （）分点在线段上运动和点在线段上运动两种情况解答即可； （）由题意得，，进而由对称得到，再分或两种情况解答即可； （）分点在直线的右侧和点在直线的左侧两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形中，， ∴，，， ∴四边形是直角梯形， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当点在线段上运动，即时， 由题意得，， ∴； 当点在线段上运动，即时， 由题意得，； 综上，； （3）解：如图， ∵，，点与点关于点对称， ∴， ∴， ∵线段将的面积分成两部分， ∴或， ∵， ∴或， 解得或； （4）解：当点在直线的右侧时，如图，过点作于点， 则， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； 当点在直线的左侧时，如图，过点作于点， 同理可得，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 即， 解得； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，列代数式，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 20．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由勾股定理可得长度，过作于点，证，最后在中利用勾股定理求解即可； （2）线段有关系，所以联想等腰直角三角形，过作，交延长线于点，证是等腰直角三角形即可得证，所以很明显要证，根据题意可以，再通过导角推出，所以可证，得到，再通过导角证出，易证，即可得证； （3）先求出，由三边关系可知，当且仅当、、三点共线时取等，所以，再由题识别瓜豆模型——点在直线上，点是主动点，点是从动点，所以需要找到点的运动轨迹，构造全等，将绕点顺时针旋转得到，连接，证，得到，，所以点就在垂直的直线上运动，再根据特殊角求解即可． 【详解】（1）解：过作于点， 在中，，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，； （2）证明：过作，交延长线于点，则， ，平分， ， 设，则， 于点， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：如图，过作于点， 在中，， ， ， 由折叠可知，， ， 在中，， 在中，，当且仅当、、三点共线时取等，如图所示， 此时， 如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接， 绕点逆时针旋转得到， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点就在垂直的直线上运动， 当时，有最小值， 如图所示，连接， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形中所对的直角边是斜边的一半、旋转的性质、折叠的性质等内容，其中最后一问识别瓜豆模型—点在直线上是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $