13.2.2三角形的中线、角平分线、高课件-2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

13.2.2三角形的中线、角平分线、高 第十三章 三角形 人教版（2024） 1 素养目标 1.了解三角形的中线、角平分线与高线的概念； 2.能正确画出一个三角形的中线、角平分线、高； 重点 重难点 3.了解三角形的重心的概念； 4.能应用三角形的中线、角平分线与高的性质进行简单计算. 2 知识回顾 1.三角形三边的关系： 三角形两边的和_____第三边. 三角形两边的差_____第三边. 第三边取值范围：_________＜第三边＜_________ 小于 两边之差 两边之和 大于 2.三角形具有 . 稳定性 3.已知一个三角形的最小边为2cm，另两边分别为6cm和acm，a的取值范围是什么？ 4＜a＜8 3 新知导入 与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段： 三角形的中线、角平分线、高. 下面我们开始进行本节知识的学习 4 探究新知 问题 1 任意画一个△ABC，连接顶点A和它所对的边BC的中点D 连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. ∵ BD=CD ∴ AD是△ABC的中线 ∵ AD是△ABC的中线 ∴ BD=CD 问题 2 任意画一个△ABC，作出所有的中线，你发现了什么？ 三角形的三条中线相交于一点.这个交点叫做三角形的重心 三角形中线 ( 教材P7) 1.定义：顶点—对边中点的线段 2.作图： 3.表示： ∵ BD=CD ∴ AD是△ABC的中线 ∵ AD是△ABC的中线 ∴ BD=CD 重心 三角形的三条高相交于一点,这个交点叫作什么呢？ 只有这一条吗？还有其他的高吗？ A B C 如图，,从△ABC 的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D, 所得线段AD叫作什么呢？ D E F 垂心 叫作△ABC的边BC上的高线.三角形的高线简称三角形的高. 高 . 符号语言： ∵AD⊥BC(∠BDA=∠CDA=90°)， ∴AD是△ABC的高. 新知探究 （1）锐角三角形 锐角三角形的三条高（线段AD、BE、 CF） ，且 . 探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现? A B C D E F . 相交于一点 该点位于三角形的内部 新知探究 A B C D A B C （2）直角三角形 直角三角形的三条高 . 相交于直角顶点 （3）钝角三角形 钝角三角形的三条高 . 三条高所在直线 ，并且这 个点在 . 不相交于一点 D E F 三角形外部 交于一点 . 新知探究 思考 如图，在△ABC中，AP是△ABC的中线，AD是△ABC的高．试判断△ABP和△ACP的面积有什么关系，为什么？ B C P D A 分析：先将△ABP和△ACP的表示出来. 解：S△ABP=BP·AD S△ACP=CP·AD ∵AP是△ABC的中线 ∴BP=CP ∴S△ABP=S△ACP. 思考 通过上面的问题，你能发现什么规律？ 三角形的中线能将三角形的面积平分. 新知探究 如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 1 2 A B C D 如图，线段AD是△ABC的角平分线. 符号语言： ∵AD 是△ABC 的角平分线，( 已知 ) ∴∠1 = ∠2 = ∠BAC. ( 三角形角平分线定义 ) 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. 新知学习 探究3 画出下列△ABC的三个角的角平分线，你有什么发现？ A B C A B C A B C D E F O D E F O D E F O 新知学习 例2 如图，钝角△ABC中，AB边上的高是( ) A. AF B. BD C. CE D. CA C A E C F D B 新知学习 注意：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三条高的位置不同 ①三角形的一条中线平分三角形的一条边及三角形的面积； ②一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 三角形的中线、 角平分线、高 中线 角平分线 高 课堂小结 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 １．如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线． (1)AC = AE ，AE=_____； CD = ； AF = AB； (2)若S△ABC = 12 cm2， 则S△ABD = ． A B C D E F G 2 BD 6 cm² EC 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.（1）AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2_____=2_____，BD=_______，AE=_______。 F E D C B A AF BF CD 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 ∠2 2.（2）如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，填空： ∠1 = ； ∠3 = ； ∠ACB = 2 . ∠ABC ∠4或∠ACF A B C D E F 1 2 3 4 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.如图，在ΔABC中，ADIBC于点D，点E是边BC的中点，AD＝8，SΔABC＝48，则BE的长为____. 7.如图,在△ABC中,∠B=46°,△ABC的外角∠DAC和∠ACF 的平分线交于点E,则∠AEC=　　　　    .   67° 初中数学 解析　∵∠B=46°, ∴∠BAC+∠BCA=180°-46°=134°, ∴∠DAC+∠ACF=180°-∠BAC+180°-∠BCA=360°-134°= 226°, ∵AE和CE分别平分∠DAC和∠ACF, ∴∠EAC= ∠DAC,∠ECA= ∠ACF, ∴∠EAC+∠ECA= (∠DAC+∠ACF)=113°, ∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-113°=67°. 初中数学 8.如图,在△ABC中,BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分 线,BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线. (1)当∠ABC=64°,∠ACB=66°时,∠D=　　　　    °,∠P= 　    　　    °. (2)当∠A=56°时,求∠D、∠P的度数. (3)当∠A的大小发生变化时,∠D+∠P的 值是否发生变化?请说明理由. 初中数学 解析    (1)115;65. 详解:∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线,∠ABC= 64°,∠ACB=66°,∴∠DBC= ∠ABC=32°,∠DCB=  ∠ACB=33°,∠EBC=116°,∠FCB=114°, ∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=115°. ∵BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线, ∴∠CBP= ∠EBC=58°,∠BCP= ∠FCB=57°, 初中数学 ∴∠P=180°-∠CBP-∠BCP=65°. (2)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠DBC=  ∠ABC,∠DCB= ∠ACB,∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)= 180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A, ∵∠A=56°,∴∠D=90°+ ×56°=118°. ∵BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线, 初中数学 ∴∠CBP+∠BCP= ∠EBC+ ∠FCB= (∠EBC+∠FCB)=  (∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)= (180°+∠A)=90°+ ∠A, ∴∠P=180°-(∠CBP+∠BCP)=90°- ∠A=90°-28°=62°. (3)∠D+∠P的值不变.理由如下: 由(2)知∠D=90°+ ∠A,∠P=90°- ∠A, ∴∠D+∠P=180°, ∴当∠A的大小发生变化时,∠D+∠P的值不变. 初中数学 已知△ABC，如何将它分成四个面积相等的三角形? 探究与应用 【拓展提升】 Lenovo (L) - 处理方式： 学生分小组活动，通过交流讨论，得出结论，组内成员畅所欲言，最后总结答案，公开展示，各个小组互相对比，教师给予评价。 1.如图，AC⊥BC，CD ⊥ AB ，DE⊥BC，垂足分别为点C，D，E，则下列说法不正确的是（ ） A. AC是△ABC的高 B. DE是△BCD的高 C. DE是△ABE的高 D. AD是△ACD的高 C C A B D E √ √ √ △BCD或△BDE或△CDE 针对训练 针对训练 2. 在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是（ ） C A. B. C. D. A D C B A D C B A D C B A D C B 随堂演练 教材P8练习 第1题 1. 如图，过△ABC 的顶点 C，分别画出它的中线、角平分线和高. A B C D E F 解：如图，AD，AE，AF 分别是 △ABC 的中线、角平分线和高. 2. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线. （1）AC = ____AE =____EC； CD =______； AF =____AB； （2）若 S△ABC = 12 ，则 S△ABD =____. A B C D E F 2 2 BD 6 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 随堂演练 3. 如图，CM 是△ABC 的中线，△BCM 的周长 比△ACM 的周长大 3 cm，BC = 8 cm，则 AC 的长为____cm. A B C M 分析： CM 是中线 C△BCM – C△ACM = 3 cm AM = BM BC – AC = 3 cm BC = 8 cm AC = 5 cm 5 随堂演练 $