1.2.3 课时1 充分条件、必要条件 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.2.3 课时1 充分条件、必要条件 【学习目标】 1.通过具体的实例理解充分条件、必要条件的概念.(数学抽象) 2.会判断充分条件、必要条件.(逻辑推理) 3.理解判定定理与充分条件的关系;理解性质定理与必要条件的关系.(数学抽象) 4.能够从集合的角度去理解充分条件、必要条件.(数学抽象) 【自主预习】 1.我们知道1+1=2,那么“a=b=1”是“a+b=2”的什么条件? 2.“没有共产党就没有新中国”,则有共产党是有新中国的什么条件? 3.若命题“若p,则q”为真命题,则p是q的什么条件? 4.若命题“若p,则q”为假命题,则p是q的什么条件? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)如果q是p的必要条件,那么q是唯一的. ( ) (2)q是p的必要条件的含义是:如果q不成立,那么p一定不成立. ( ) (3)“xy>0”是“x,y都大于0”的充分条件. ( ) (4)若p是q的充分条件,则q是p的必要条件. ( ) 2.(多选题)下列条件是x2>4的充分条件的是( ). A.x>-2 B.x<-2 C.x<-3 D.x>4 3.使|x|=x成立的一个必要条件是( ). A.x<0 B.x≥0或x≤-1 C.x>0 D.x≤-1 4.若p是q的充分条件,p是r的必要条件,则r是q的_条件.(填“充分”或“必要”) 【合作探究】 探究1 充分条件的判断 某年秋季开学后,高一的新生小何逐渐找到了多种可供选择的从学校回到家的交通方式,其中有骑自行车回家,坐公交车回家,步行回家,坐出租车回家. 问题1:小何骑自行车回家与小何回到家有什么逻辑关系? 问题2:上述四个条件(交通方式)满足几个,可以达到回家这个结果? 充分条件 命题“若p,则q”为真命题,记作p q,则称p是q的_条件; 命题“若p,则q”为假命题,记作p / q,则称p不是q的_条件. 条件p成立,就一定能得出结论q成立.但条件p不成立时,结论q未必不成立. 例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若a∈Q,则a∈R; (2)若a=b(b≠0),则=1; (3)若x,y∈R,|x|=|y|,则x=y; (4)若(a-2)(a-3)=0,则a=3; (5)在 ABC中,若A>B,则BC>AC; (6)若四边形ABCD是正方形,则四边形ABCD是菱形. 【方法总结】充分条件的判断方法 (1)定义法:由充分条件的概念进行判断,即判断由已知和结论构成的命题的真假. (2)推出法:此法主要适用于抽象命题的判定,其表现形式为利用推出符号表示其关系. 设q:2x>1,则q成立的充分条件为( ). A.x>2 B.x>0 C.x>-1 D.x<-1 设集合M={x|0<x≤2},N={x|0<x≤3},那么“a∈M”是“a∈N”的_条件.(填“充分”或“必要”) 探究2 必要条件的判断 经常逛商场的钱阿姨常说“便宜没好货”. 问题1:“好货”是“不便宜”的什么条件? 问题2:“不便宜”是“好货”的什么条件? 必要条件 命题“若p,则q”为真命题,记作p q,则称q是p的_条件; 命题“若p,则q”为假命题,记作p / q,则称q不是p的_条件. q是p的必要条件的理解要点: (1)有了条件q,结论p未必会成立,但是没有条件q,结论p一定不成立; (2)若p是q的充分条件,则q一定是p的必要条件. 真命题的条件是结论的充分条件;真命题的结论是条件的必要条件.假命题的条件不是结论的充分条件,但是有可能是必要条件. 例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若一个四边形是等腰梯形,则这个四边形的两条对角线相等; (2)若 ABC是直角三角形,则 ABC是等腰三角形; (3)若=,则x=y; (4)若关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,则a>0. 【方法总结】必要条件的判断方法 (1)定义法:由必要条件的概念进行判断,即判断由已知和结论构成的命题的真假. (2)推出法:此法主要适用于抽象命题的判定,其表现形式为利用推出符号表示其关系. 设集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},则“A∪B=R”是“a=1”的_条件.(填“充分”或“必要”) 王昌龄的《从军行》中有两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的_条件. 探究3 充分条件、必要条件的应用 已知p:{x|1-x<0},q:{x|x>a}. 问题1:若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是什么? 问题2:若p是q的必要条件,则实数a的取值范围是什么? 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围的问题. (2)求解步骤:先把p,q等价转化,再利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解. 例3 已知p:实数x满足3a<x<a,其中a<0;q:实数x满足-2≤x≤3.若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是_. 【方法总结】充分条件、必要条件的应用 (1)已知条件是结论的充分条件,即由条件推出结论,由此建立逻辑关系解决问题. (2)已知条件是结论的必要条件,即由结论推出条件,由此建立逻辑关系解决问题. 从集合的角度来看,满足条件的对象所构成的集合与满足结论的对象所构成的集合之间是包含关系. 若不等式-a<x<-1成立的一个充分条件是-2<x<-1,则实数a的取值范围是_. 若“x<-1或x>1”是“x<a”的必要条件,则实数a的最大值为_. 【随堂检测】 1.设x∈R,则x>2的一个必要条件是( ). A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3 2.如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( ). A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙是甲的充分条件,也是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 3.已知p:a和b都是奇数,q:a+b是偶数,下列结论正确的是( ). A.p是q的充分条件 B.p是q的必要条件 C.p既是q的充分条件,也是q的必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 4.设集合A={x|-1≤x≤2},非空集合B={x|2m<x<1}.若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则实数m的取值范围为_. 参考答案 1.2.3 课时1 充分条件、必要条件 自主预习 悟新知 预学忆思 1.充分条件. 2. 必要条件. 3. 充分条件. 4.不充分条件. 自学检测 1.(1) (2)√ (3) (4)√ 2.BCD 【解析】当x=0时,x>-2,但x2<4,故A错误,B,C,D都正确. 3.B 【解析】因为|x|=x x≥0 x≥0或x≤-1,所以使|x|=x成立的一个必要条件是x≥0或x≤-1. 4.充分 【解析】依题意,p q,r p,所以r q. 合作探究 提素养 探究1 情境设置 问题1:小何骑自行车回家能保证小何回到家. 问题2:要达到回家这个结果,我们只要选择其中一个条件就足够了,也就是说,满足这其中的任何一个条件,回家这个结果就能达到,那么我们可以把其中的任何一个条件都叫作达到回家这个结果的充分条件. 新知生成 充分 充分 新知运用 例1 【解析】(1)因为Q⫋R,所以p q,所以p是q的充分条件. (2)因为a=b,b≠0,所以=1.因此p q,所以p是q的充分条件. (3)若x=1,y=-1,则|x|=|y|,但x≠y,所以p / q,所以p不是q的充分条件. (4)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3,因此p / q,所以p不是q的充分条件. (5)由三角形中大角对大边可知,若A>B,则BC>AC,因此p q,所以p是q的充分条件. (6)由菱形和正方形的定义可知,所有的正方形都是菱形,所以p q,所以p是q的充分条件. 巩固训练1 A 【解析】因为q:x>,所以x>2一定可以推出x>. 巩固训练2 充分 【解析】由题意得M⫋N,所以“a∈M” “a∈N”,所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件. 探究2 情境设置 问题1:“好货”是“不便宜”的充分条件. 问题2:便宜没好货,等价于好货不便宜.“不便宜”是“好货”的必要条件. 新知生成 必要 必要 新知运用 例2 【解析】(1)等腰梯形的两条对角线相等,因此p q,所以q是p的必要条件. (2)直角三角形不一定是等腰三角形,因此p / q,所以q不是p的必要条件. (3)命题“若=,则x=y”是真命题,因此p q,所以q是p的必要条件. (4)命题“若关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,则a>0”为假命题,因此p / q,所以q不是p的必要条件. 巩固训练1 必要 【解析】因为集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},所以当A∪B=R时,a≤1.因为“a≤1” / “a=1”,但“a=1” “a≤1”,所以“A∪B=R”是“a=1”的必要条件. 巩固训练2 必要 【解析】“不破楼兰终不还”可理解为“若返回家乡,则攻破楼兰”,所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件. 探究3 情境设置 问题1:p对应的集合是q对应的集合的子集,所以a≤1. 问题2:q对应的集合是p对应的集合的子集,所以a≥1. 新知运用 例3 -,0 【解析】由题意,得p对应的集合为A={x|3a<x<a}, q对应的集合为B={x|-2≤x≤3}. 因为p是q的充分条件,所以p q,所以A⊆B,所以解得-≤a<0, 所以实数a的取值范围是-,0. 巩固训练1 [2,+∞) 【解析】由题意得{x|-2<x<-1}⊆{x|-a<x<-1},∴-2≥-a,即a≥2. 巩固训练2 -1 【解析】因为“x<-1或x>1”是“x<a”的必要条件,所以a≤-1,所以实数a的最大值为-1. 随堂检测 精评价 1.A 【解析】由x>2只能推出x>1,故选A. 2.A 【解析】因为甲是乙的必要条件,所以乙 甲. 因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙 乙,但乙 / 丙,如图. 综上可知,有丙 甲,但甲 / 丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件. 3.A 【解析】两个奇数的和是偶数,但和为偶数的两个数有可能是两个偶数,也有可能是两个奇数,所以“a和b都是奇数” “a+b是偶数”,“a+b是偶数” / “a和b都是奇数”,所以“a和b都是奇数”是“a+b是偶数”的充分条件. 4.-, 【解析】因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B⊆A, 又B≠ ,所以-1≤2m<1,解得-≤m<, 故实数m的取值范围是-,. 学科网(北京)股份有限公司 $