1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 【学习目标】 1.理解全称量词命题和存在量词命题与其否定之间的关系.(数学抽象) 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.(逻辑推理) 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(逻辑推理) 【自主预习】 1.命题“所有的自然数都是整数”是什么类型的命题?是真命题还是假命题? 2.命题“存在自然数不是整数”是什么类型的命题?是真命题还是假命题? 3.上述两个命题之间存在什么关系?真假性又存在什么关系? 4.你还能给出类似的例子吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)如果p是真命题,那么 p是假命题. ( ) (2)如果 p是真命题,那么p是假命题. ( ) (3)命题“∀x∈R,x3<0”的否定是“∃x∈R,x3≥0”. ( ) (4)命题“∃x∈R,|x|+x=0”的否定是“∀x∉R,|x|+x≠0”. ( ) 2.命题“∀n∈Z,n∈Q”的否定为( ). A.∀n∈Z,n∉Q B.∀n∈Q,n∈Z C.∃n∈Z,n∈Q D.∃n∈Z,n∉Q 3.若“∀x∈(3,+∞),x>a”的否定是假命题,则实数a的取值范围是_. 4.(人教B版必修第一册1.2.2练习A第2题改编)已知两个命题:(1)若x>0,则2x+1>5;(2)若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等. 下列说法正确的是_. ①命题(1)的否定为“存在x>0,2x+1≤5”; ②命题(2)是存在量词命题; ③命题(2)的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”; ④命题(1)和(2)的否定都是真命题. 【合作探究】 探究1 全称量词命题的否定 德国诗人歌德在公园里散步,与一位批评家在一条仅能让一人通过的小路上相遇,批评家说:“我从来不给智力障碍者让路.”歌德笑着退到路边并说:“我恰恰相反.” 问题1:从命题的角度,批评家说的话是全称量词命题还是存在量词命题? 问题2:从逻辑的角度分析歌德回答的含义. 1.命题的否定:一般地,对一个命题进行否定,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为_.即原命题为p,则该命题的否定为_. 2.全称量词命题的否定 全称量词命题p:∀x∈M,p(x)的否定为 p:_. 全称量词命题的否定是_. 3.常用全称量词的否定形式 词语 每一个 所有的 一个也没有 任意 词语的否定 _ _ _ _ 例1 写出下列全称量词命题的否定. (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2)p:对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3; (3)p:数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数; (4)p:∀x∈Z,x2+3≠0. 【方法总结】 (1)一般地,写全称量词命题的否定时,先找到全称量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,同时否定结论. (2)省略了量词的全称量词命题,可加上“所有的”或“对任意”,它的否定是存在量词命题. 写出下列全称量词命题的否定. (1)等圆的周长相等,面积相等; (2)不论m取何实数,方程x2+x+m=0必有实数根; (3)菱形的对角线互相垂直. 探究2 存在量词命题的否定 “八月桂花遍地开”是描写桂花开放的歌词.杭州满陇桂雨景区有七千多株桂花,2024年秋天某个星期,同学甲说:“杭州满陇桂雨景区有的桂花树开花了.”同学乙说:“你说错了.” 问题1:同学甲的话的意思是全部桂花树开花了吗? 问题2:同学乙的话的意思是什么? 1.存在量词命题的否定 存在量词命题p:∃x∈M,p(x)的否定为 p:_. 存在量词命题的否定是_. 2.常用存在量词的否定形式 词语 词语的否定 存在一个 _ 有的 _ 必有一个 _ 至少有n个 _ 至多有1个 _ 存在 _ 例2 写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)存在一个平行四边形,它的对角线互相垂直; (2)存在一个三角形,它的内角和大于180 ; (3)有的四边形没有外接圆; (4)某些梯形的对角线互相平分. 【方法总结】一般地,写存在量词命题的否定时,先找到存在量词及相应结论,然后把命题中的存在量词改成全称量词,同时否定结论. 写出下列存在量词命题的否定. (1)有一个奇数不能被3整除; (2)有些三角形的三个内角为60 ; (3)∃n∈N,n2>2n. 探究3 应用含量词的命题的否定求参数的取值范围 某校开展小组合作学习活动,高二某班某组的王磊同学给组内张聪同学出题如下:若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求实数m的取值范围.张聪略加思索,也给王磊出了一道题:若命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求实数m的取值范围. 问题1:根据 p的定义,命题p及其否定 p的真假有什么关系? 问题2:你认为两位同学出的题中的m的取值范围一致吗? 全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假情况如下: p p 真 _ 假 _ 例3 已知命题p:∃x∈R,x2-2x+m≤0是假命题,求实数m的取值范围. 【方法总结】在含有量词的命题中求参数的思路 (1)此类题目常以一元二次方程或一元二次不等式等为载体,一般在题目中会出现“恒成立”等词语,解决此类问题,可用判别式法求参数的取值范围,也可以利用分离参数法求得参数的取值范围. (2)求参数的取值范围时,从真命题的角度比较好列关系式,所以如果已知条件是一个存在量词命题,且是假命题,可以写出该命题的否定,利用命题的否定是真命题求得参数的取值范围. 已知命题“存在x∈R,ax2-2x-3>0”是假命题,求实数a的取值范围. 【随堂检测】 1.全称量词命题“∀x∈R,x2+5x=4”的否定是( ). A.∃x∈R,x2+5x=4 B.∀x∈R,x2+5x≠4 C.∃x∈R,x2+5x≠4 D.以上都不正确 2.命题p:∃x∈R,x2+2x+5<0是_(填“全称量词命题”或“存在量词命题”),它是_(填“真”或“假”)命题,它的否定为 p:_. 3.已知命题“∀x∈{x|1<x<2},ax>1”是假命题,则实数a的取值范围是_. 4.已知命题“关于x的一元二次方程x2+2x+a=0无实数解”是假命题,求实数a的取值范围. 参考答案 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 自主预习 悟新知 预学忆思 1.全称量词命题,是真命题. 2.存在量词命题,是假命题. 3.这两个命题存在互相否定的关系,若其中一个为真(假),则另一个必为假(真). 4.能.例如,全称量词命题“∀x∈R,x2≥0”为真命题,存在量词命题“∃x∈R,x2<0”为假命题. 自学检测 1.(1)√ (2)√ (3)√ (4) 2.D 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题,则该命题的否定为“∃n∈Z,n∉Q”.故选D. 3.(-∞,3] 【解析】由题意知,∀x∈(3,+∞),x>a,则a≤3,所以实数a的取值范围是(-∞,3]. 4.① 【解析】因为命题(1)是全称量词命题,所以它的否定为存在x>0,2x+1≤5,①正确; 命题(2)是全称量词命题,②不正确; 命题(2)的否定是存在四边形是等腰梯形,这个四边形的对角线不相等,③不正确; 命题(1)的否定是真命题,命题(2)的否定是假命题,所以④不正确. 故填①. 合作探究 提素养 探究1 情境设置 问题1:是全称量词命题. 问题2:歌德表达的意思是我会给智力障碍者让路. 新知生成 1.原命题的否定 p 2.∃x∈M, p(x) 存在量词命题 3.存在一个 有的 至少有一个 存在 新知运用 例1 【解析】(1) p:存在一个能被3整除的整数不是奇数; (2) p:∃x∈Z,x2的个位数字等于3; (3) p:数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数; (4) p:∃x∈Z,x2+3=0. 巩固训练 【解析】(1)存在两个全等的圆,但这两个圆的周长不相等或面积不相等. (2)存在实数m,使得方程x2+x+m=0没有实数根. (3)存在一个菱形,它的对角线不互相垂直. 探究2 情境设置 问题1:意思是杭州满陇桂雨景区部分桂花树开花了,不是全部桂花树开花. 问题2:在花园里,所有的桂花都没有开花.这是一个全称量词命题. 新知生成 1.∀x∈M, p(x) 全称量词命题 2.每一个 所有的 一个也没有 至多有n-1个 至少有2个 任意 新知运用 例2 【解析】(1)对于任意的平行四边形,它的对角线都不互相垂直.它是假命题. (2)对于任意的三角形,它的内角和小于或等于180 .它是真命题. (3)所有的四边形都有外接圆.它是假命题. (4)任意一个梯形的对角线不互相平分.它是真命题. 巩固训练 【解析】(1)每一个奇数都能被3整除. (2)任意一个三角形的三个内角不为60 . (3)∀n∈N,n2≤2n. 探究3 情境设置 问题1:命题p与 p真假性相反. 问题2:因为命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+m>0”,所以命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,则其否定“∀x∈R,x2+2x+m>0”为真命题,所以两位同学出的题中的m的取值范围是一致的. 新知生成 假 真 新知运用 例3 【解析】(法一) p:∀x∈R,x2-2x+m>0是真命题,即m>-x2+2x=-(x-1)2+1,x∈R恒成立,设函数y=-(x-1)2+1,由二次函数的性质知, 当x=1时,ymax=1,∴m>ymax=1,即实数m的取值范围是(1,+∞). (法二) p:∀x∈R,x2-2x+m>0是真命题, 设函数y=x2-2x+m,由二次函数的图象和性质知, 只需方程x2-2x+m=0的根的判别式 <0,即4-4m<0,解得m>1. 故实数m的取值范围是(1,+∞). 巩固训练 【解析】命题“存在x∈R,ax2-2x-3>0”的否定为“对于任意x∈R,ax2-2x-3≤0”,可知该命题的否定是真命题.事实上,当a=0时,对任意的x∈R,不等式-2x-3≤0不恒成立;当a≠0时,借助二次函数的图象,数形结合,很容易知道不等式ax2-2x-3≤0恒成立的等价条件是a<0且判别式 =4+12a≤0,即a≤-. 综上可知,实数a的取值范围是-∞,-. 随堂检测 精评价 1.C 【解析】∵全称量词命题的否定为存在量词命题,∴原命题的否定是“∃x∈R,x2+5x≠4”. 2.存在量词命题 假 ∀x∈R,x2+2x+5≥0 3.(-∞,1) 【解析】由题意知,命题“∀x∈{x|1<x<2},ax-1>0”的否定“∃x∈{x|1<x<2},使得a≤”是真命题,又<<1,所以a<1. 4.【解析】∵命题“关于x的一元二次方程x2+2x+a=0无解”是假命题, ∴“关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有解”是真命题,即 ≥0,∴4-4a≥0,解得a≤1,故实数a的取值范围是(-∞,1]. 学科网(北京)股份有限公司 $