精品解析：期中评价卷 2025-2026学年 青岛版九年级数学上册

期中评价卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 在中，，则的长是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为锐角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC如图放置，则sin∠ABC的值为（ ） A. B. C. D. 1 4. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为（ ） A B. C. D. 5. 如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 我们可用“斜尺”测量管道的内径（如图），若玻璃管的内径正对“30”刻度线，已知长为，，则玻璃管内径的长度等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为1小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（ ） A 1：4 B. 4：1 C. 1：2 D. 2：1 11. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，cosC＝，则△BCD与△ABD的面积比是（ ） A. 1：3 B. 2：7 C. 2：9 D. 2：11 12. 如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　） A. 12 B. 14 C. 18 D. 24 二、填空题（每小题3分，共15分） 13. 如图，相交于点E，若，，则的长为_______． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E.且tan∠BEC＝，则tanA＝_____. 15. 如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点A是位似中心，若点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含a，b的式子表示） 17. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为_____________米．（结果保留根号） 三、解答题（共69分） 18 （1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 19. 如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H． （1）求证：． （2）求长度． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； （2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 21. 如图，在中，，，点D是延长线上一点，． （1）求点A到的距离； （2）求的值． 22. 如图，在正方形中，，在边上取中点E，连结，过点E作与交于点G，与的延长线交于点F． （1）求证：； （2）求的面积． 23. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别． （2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中评价卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 在中，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的概念设AB=13x，AC=12x，根据勾股定理求出BC，结合已知即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∴设AC=12x，AB=13x， 由勾股定理得： ∵，∴x=1 ∴AC=12 故选：B 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键． 2. 已知为锐角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据即可得出的值． 【详解】解:∵，，为锐角， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 3. 在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC如图放置，则sin∠ABC的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】作AD⊥BC于D，由勾股定理得出BC＝=，AB＝＝，由△ABC的面积求出AD＝，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：作AD⊥BC于D，如图所示： 由勾股定理得：BC＝=，AB＝＝， ∵△ABC的面积＝BC×AD＝×3×1−×1×1， ∴××AD＝×3×1−×1×1， 解得：AD＝， ∴sin∠ABC＝==； 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键． 4. 如图，河坝横断面迎水坡坡比为．坝高为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 【详解】解：在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：； ∴AC=BC÷tanA=米， ∴米． 故选：B． 【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，根据坡比求出AC的长度是解答本题的关键． 5. 如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于C，求出长，再用解直角三角形求出即可． 【详解】解：作于C， ∵大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示）， ∴， ∴（米）， ∵， ∴（米） 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识进行计算． 6. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：A. 【点睛】本题主要是考查特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的所有三角函数值，所以要牢记特殊角的三角函数值，另外还考查了实数比较大小. 7. 如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 8. 我们可用“斜尺”测量管道的内径（如图），若玻璃管的内径正对“30”刻度线，已知长为，，则玻璃管内径的长度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案． 【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图． 则DE∥AB， ∴∠APC＝∠EDC． 在△DCE中，有，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键． 10. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（ ） A. 1：4 B. 4：1 C. 1：2 D. 2：1 【答案】D 【解析】 【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出． 【详解】如图：由题意可知，，， ∴， 而， ∴四边形DCBM为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键． 11. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，cosC＝，则△BCD与△ABD的面积比是（ ） A. 1：3 B. 2：7 C. 2：9 D. 2：11 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用∠C的余弦值表示出的其他边，再设，在中，根据勾股定理列式求出k与x的比值，而和的面积比就是k与x的比． 【详解】解：∵BD是AC边上高，∴，， ∵，∴设，， 根据勾股定理， 设，， 在中，根据勾股定理，，则，整理得， ∵和同高， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数，勾股定理方程思想，解题的关键是设边长利用条件去列出式子，求得比例关系． 12. 如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　） A. 12 B. 14 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．连接，由点是的重心，点是边的中点，可得点在一条直线上，且，，通过可得，从而得到，通过，可得，再根据四边形的面积为6，可得出，进而可得出的面积． 【详解】解：如图所示，连接， 点是的重心，点是边的中点， 点在一条直线上，且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 13. 如图，相交于点E，若，，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E.且tan∠BEC＝，则tanA＝_____. 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△EBC中，先用含k的代数式表示出BC、CE、BE，再利用线段垂直平分线的性质说明BE与AE的关系，最后在Rt△ABC中求出∠A的正切. 【详解】解：在Rt△EBC中， ∵tan∠BEC＝＝， 设BC＝3k，CE＝4k. ∴BE＝＝5k. ∵D是AB的中点，ED⊥AB， ∴BE＝AE＝5k. ∴AC＝AE+CE＝5k+4k＝9k. 在Rt△ABC中， tanA＝， 故答案为：； 【点睛】本题考查了解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的边角间关系及“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”是解决本题的关键． 15. 如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由正方形的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为3． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点A是位似中心，若点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含a，b的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的坐标. 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵与的相似比为，点是位似中心，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为_____________米．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解． 【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N， 由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵博雅楼顶部E的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∵点A是的中点， ∴， 由题意可得四边形是矩形， ∴， ∵尚美楼顶部F的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题． 三、解答题（共69分） 18. （1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 【答案】（1）2（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算出，再代入原式，接着计算特殊角的三角函数值，最后根据实数的混合运算计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）且是锐角， ， ． 19. 如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H． （1）求证：． （2）求长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． ()根据两个角对应相等即可证明； () 根据得到，由，对应线段成比例可得，再结合() ，对应边成比例即可求出的长度； 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 答：的长度为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； （2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可，再进一步确定点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ∴点的坐标为． 21. 如图，在中，，，点D是延长线上一点，． （1）求点A到的距离； （2）求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）作于点E，设，由可得，由可得．由得到，解得，得到，即可得到点A到的距离； （2）作于点F，由（1）可得，，由勾股定理得到，，由得到CF＝，即可得到的值． 【小问1详解】 解：作于点E， 设， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 即点A到距离为3； 【小问2详解】 作于点F， 由（1）可得，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 则． 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键． 22. 如图，在正方形中，，在边上取中点E，连结，过点E作与交于点G，与的延长线交于点F． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）36 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． （1）根据正方形的性质得出，再通过同角的余角相等得出，最后根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据正方形的性质得出，，由点是的中点，求出，根据求出，根据相似得出比例式，面积比等于相似比的平方求出即可． 【小问1详解】 证明：在正方形中，， ，， ，， ， ∴； 【小问2详解】 解：在正方形中，，， 点是的中点， ， ∵， ， ， ， ，且， ∵， ∴， ， ∴． 23. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别． （2）身高小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据） 【答案】（1） （2）能，见解析 【解析】 【分析】（1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度． （2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示， 在中，． ． ， ． ． ，， 小杜下蹲的最小距离． 【小问2详解】 解：能，理由如下： 过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示， 在中，． ， ， ． ， ． 小若垫起脚尖后头顶的高度为． 小若头顶超出点N的高度． 小若垫起脚尖后能被识别． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $