第一章 三角形 热点题专题进阶2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

热点题专题进阶 重难专题三 构造全等三角形的常见方法 类型1添加公共边构造全等 1.如图，∠A=∠B=90°，AD=BC,试问：AC与BD相等吗？为什么？ A B 2.如图，己知CA⊥AD于点A,CB⊥BD于点B,且AD=BC.求证：AC=BD. 3.如图①，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,E,F分别为垂 足.求证：DE=DF. E D 图① 图② 证明：如图②，连接AD. D是BC的中点， :AB=AC,AD=AD, △ABD≌（)， S.ABD=S.4CD. DE⊥AB,DF⊥AC, 4B:DE-4C-DF, AB AC,:.DE D F (1将上面的证明过程补充完整； (2)用不同的方法证明：DE=DF, 4.如下图，CA=CB,AD=BD,M,N分别是CA,CB的中点.若△ADM的面积为)求 图中阴影部分的面积. M D 类型2作延长线构造全等 1.如图，AC与BD相交于点0,0A=0D,0B=OC. A D B (1)求证：△0AB≌△0DC; (2)△0AB与△ODC是否成轴对称？若是，请用无刻度的直尺画出对称轴；若不是，请说明 理由. 类型3截长补短构造全等 1.在ABC中，AB>AC. 图1 图2 (1)如图1，当AP是∠BAC的内角平分线时，AP交BC于点P,求证：AB-AC>BP-CP; (2)如图2，当AP是∠BAC的外角平分线时，连结PB和PC,猜想AB+AC与BP+CP的大小 关系，并证明你的猜想. 2.【问题发现】 G D D 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上 的点，且EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与∠EAF的数量关系。 小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG，先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是一； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上 的点，且EF=BE+FD,试探究∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线 上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠BAD与 ∠EAF的数量关系，并说明理由 3.阅读下列学习内容： D B E B G B E 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠ABC=∠D=90°，E,F分别 是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系. 探究思路如下：延长EB到点G,使BG=DF,连接AG. AB=AD 「∠GAB=∠DAF →AABG≌△ADF→ ∠ABG=∠D AG=AF ∠BAD=120° →∠DAF+∠BAE=60°→∠GAB+∠BAE=60° ∠EAF=60° AE=AE ∠EAG=60°→∠FAE=∠EAG →△AEF≌AAEG→EF=EG AF=AG 则由探究结果可知，图中线段BE、EF、FD之间的数量关系为 (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,LB+∠D=180 ,E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=。∠BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由； 2 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，点M、 N分别在边BC、CD上，且∠MAN=45°，若BM=4,ND=3,请求直接写出MN的长度. 类型4倍长中线构造全等 1.如图，AD是ABC的中线，延长AD至点E,使ED=AD,连接CE. B b.2 (1)证明△ABD≌△ECD; (2)若AB=5,AC=3,设AD=x,求x的取值范围. 2.补充完成下列推理过程： 如图，在ABC中，D为线段AC中点，AB=5,BC=9,求BD的取值范围. 解：作CE∥AB交BD的延长线于点E. D :AB‖CE, B .∠A=∠ACE D为线段AC中点， :AD=CD,() :在△ABD与△CED中， ∠A=∠ACE AD=CD ∠ADB=∠CDE △ABD≌△CED,( :AB=CE,BD ED.( 在△BCE中，BC-CE<BE<BC+CE, C-B)<C+A) BD=ED=-BE,BC=9,AB=5, ()<BD<（). 3.如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，如果AB>AC,求证：∠DAC>∠BAD. 证明：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE(请完成后续证明) 4.【问题提出】 (1)如图①，在ABC中，若AB=10,AC=6,AD是边BC上的中线，求2AD的取值范 围.小明的做法如下：如图①，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,则 △BDE≌△CDA,依据的判定方法是一，由三角形的三边关系可知2AD的取值范围为 D E 图① (2)如图②，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，点D为BC的中点，试说明： EF=2AD; 图② 【问题解决】 (3)如图③，四边形ABCD是某公园的一片玫瑰园，对角线AC是中间的一条通道，现正 值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线BD铺设一条小路，在两条小路的交点处 修建一座观景塔E(观景塔大小忽略不计)，在边BC的中点F处设置一个出入口，再沿EF 铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道BD与EF之间的数量关系购买原材料.按照设 计要求，∠CEF=∠ADB,∠BAC+∠BAD=I80°，请你帮采购部探究线段BD与EF之间的 数量关系（小路宽度忽略不计）. B 图③ 5.【背景问题】老师提出了如下问题： 如图①，在ABC中，AD是BC边上的中线，AB=3,AD=2,若AC边的长度为奇数，求 AC的长。 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使AD=DE,连接 BE.由已知和作图能得到△EDB≌△ADC,所以AC=BE· (1)请根据小明的方法思考，直接写出AC可能的长= (写一个即可)； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散 的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中. (2)如图②，AD是ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,AC=BF.探究∠AFE与 ∠EAF的关系，并说明理由. 【深入探究】(3)如图③，在ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE,且 ∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE,Q为AD中点，连接QC并延长交BE于 K,CQ=3,CK=2,则SBCE=- 子 E 图① 图② 图③ 6.某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入. D B 图1 图2 图3 【探究与发现】 (1)如图1，AD是ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE, 可证得△ADC≌△EDB,其中判定两个三角形全等的依据为 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA热点题专题进阶 重难专题三 构造全等三角形的常见方法 类型1添加公共边构造全等 1,如图，∠A=∠B=90°，AD=BC,试问：AC与BD相等吗？为什么？ 【答案】AC=BD,见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明RtAACD≌RtA BDC (HL)是关键； 连接CD,如图，然后即可证明RtA ACD≌RtaBDC(HL),进而得到结论. 【详解】解：AC=BD,理由如下： 证明：连接CD,如图， 则在直角三角形ACD和直角三角形BDC中， AD=BC CD=DC .RtAACD≌RtABDC (HL, .AC BD D 2.如图，己知CA⊥AD于点A,CB⊥BD于点B,且AD=BC.求证：AC=BD. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理(HL)与性质，正确作出辅助线是解题 的关键。 通过连接CD构造全等三角形，根据HL证明RtAADCS≌RtaBCD,再根据全等三角形的性质 即可得到AC=BD. 【详解】证明：如图，连接CD. :CA⊥AD,CB⊥BD, ∠DAC=∠CBD=90°. 在Rt△ADC和Rt△BCD中， CD=DC AD=BC' ∴.Rt△ADC≌Rt△BCD(HL), :AC =BD. 3.如图①，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,E,F分别为垂 足.求证：DE=DF. E D 图① 图② 证明：如图②，连接AD。 :D是BC的中点， AB=AC,AD=AD, △ABD≌（)， .S。ABD=SACD· DE⊥AB,DF⊥AC, .AB.DE=IAC.DF, 2 AB=AC,:.DE DF (1)将上面的证明过程补充完整； (2)用不同的方法证明：DE=DF, 【答案】(1)BD=CD,△ACD,SSS: (2)见解析. 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握全等三角形的判定是 解题的关键 (1)先理清证明思路，再证明即可： (2)连接AD,先证△ABD≌△ACD,再证ADE≌ADF即可. 【详解】(1)证明：如图②，连接AD. D是BC的中点， :BD=CD. :AB=AC,AD AD, ∴.△ABD≌△ACD(SSS), .S。ABD=SAcD DE⊥AB,DF⊥AC, AB-DE--AC.DF AB AC,:.DE D F 故答案为：BD=CD,△ACD,SSS; (2)证明：如图，连接AD, :D是BC的中点， :BD CD. AB=AC,ADAD, △ABD≌△ACD, ∠BAD=∠CAD. :DE⊥AB,DF⊥AC, .∠AED=∠AFD=90° 在ADE和△ADF中， ∠AED=∠AFD ∠EAD=∠FAD AD=AD ,△ADE≌△ADF(AAS, .DE DF. 4.如下图，CA=CB,AD=BD,M,N分别是CA,CB的中点.若△ADM的面积为 求 图中阴影部分的面积. C M B D 【答案】3 【分析】此题考查了三角形的全等判定和性质，连接CD,根据三边对应相等的三角形全等 证明△1CD2aBCD(SSS),再中线平分三角形面积可得S%4w=Scv=,进面证明结论. 3 【详解】解：如图，连接CD。 D 在△ACD和△BCD中， CA=CB CD=CD AD=BD .△ACD≌△BCD(SSS), ∴.SAACD=S△BCD: ,M,N分别是CA,CB的中点， 1 SAADM=SAcM=S△AD,S△BDN=SAcN=) 2 SABCD' 3 SAADM SACDM =SACDN 2 三阴影部分的面积=Sacv+Saow=2SAow=2×?-3 类型2作延长线构造全等 1.如图，AC与BD相交于点0,0A=0D,0B=0C. B (1)求证：△0AB≌a0DC; (2)△0AB与△ODC是否成轴对称？若是，请用无刻度的直尺画出对称轴；若不是，请说明 理由， 【答案】(1)见解析 (2)△OAB与△0ODC成轴对称，理由见解析 【分析】本题考查作图一一复杂作图、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握 全等三角形的判定与性质、轴对称的性质是解答本题的关键， (1)结合全等三角形的判定证明即可. (2)结合全等三角形的性质、轴对称的性质，分别延长BA4,CD相交于点E,作直线EO即 可 【详解】(1)证明：在△0AB和aODC中， OA=OD ∠AOB=∠DOC, OB=OC AOAB≌aODC(SAS; (2)解：△0AB与△ODC成轴对称 如图，分别延长BA,CD相交于点E,作直线EO, 则直线EO即为所求。 类型3截长补短构造全等 1.在ABC中，AB>AC. 图1 图2 (1)如图1，当AP是∠BAC的内角平分线时，AP交BC于点P,求证：AB-AC>BP-CP; (2)如图2，当AP是∠BAC的外角平分线时，连结PB和PC,猜想AB+AC与BP+CP的大小 关系，并证明你的猜想. 【答案】(1)见解析 (2)PB+PC>AB+AC,证明见解析 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质以及三角形三边的关系，解题 的关键是作出合理的辅助图 (1)如图所示，在AB上取点D,使AD=AC,证明出△DAP≌△CAP(SAS),得到AD=AC, PD=PC，然后利用三角形三边关系求解即可 (2)延长BA至点E,使AE=AC,连接PE,求证△EAP≌△CAP(SAS),得出EP=CP,再 利用三角形三条边的关系即可得解 【详解】(1)解：如图所示，在AB上取点D,使4AD=AC :AP是∠BAC的内角平分线 .∠DAP=∠CAP 又：AP=AP .△DAP≌△CAP(SAS :AD=AC,PD=PC BD>BP-PD :AB-AD>BP-CP .AB-AC>BP-CP; (2)解：PB+PC>AB+AC.理由如下： 如图所示，延长BA至点E,使AE=AC,连接PE, E D:AP是∠BAC的外角平分线， B ∠EAP=∠CAP. 在△EAP和△CAP中， AE=AC ∠EAP=∠CAP, AP=AP ∴，△EAP≌△CAP(SAS) :EP=CP. 在△PBE,PB+PE>BE. .PB+PC>BE, .BE=AB+AE,AE=AC, :PB+PC>AB+AC. 2.【问题发现】 D E 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=LADC=90°，E、F分别是BC、CD上 的点，且EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与∠EAF的数量关系. 小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 【问题探究】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上 的点，且EF=BE+FD,试探究∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线 上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠BAD与 ∠EAF的数量关系，并说明理由 【答案】(1)∠BAD=2∠EAF;(2)∠EAF=∠BAE+∠FAD;(3) ∠EAF=180°- 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键 是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意：同 角的补角相等. (1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE≌△ADG,进而得出 ∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出 ∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+LDAF,据此得出结论； (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌aADG,进而得出 ∠BAE=∠DAG,，AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出 ∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+LDAF; (3)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定aADG≌△ABE,再判定 △AEF≌△AGF,得出∠FAE=∠FAG,最后根据∠FAE+LFAG+∠GAE=360°，推导得到 2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论 【详解】解：(1)∠BAD=2∠EAF;理由： 如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G B E 图1 在△ABE和△ADG中， (AB=AD ∠B=∠ADG=90°， BE=DG △ABE≌△ADG(SAS, :∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF=BE+DF,DG=BE, :EF=BE+DF=DG+DF=GF AF=AF, △AEF≌△AGF(SSS, :LEAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF. ∴.∠BAE+∠FAD=∠EAF, .∠BAD=2∠EAF, 故答案为：∠BAD=2∠EAF; (2)如图2，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G :∠B+LADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， 图2 ∠B=∠ADG, 又：AB=AD, △ABE≌△ADG(SAS, ∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, △AEF≌△AGF(SSS, :ZEAF ZGAF ZDAG+ZDAF ZBAE+ZDAF :∠EAF=∠BAE+∠FAD (3)∠BAP=180°-∠DAB,理由如下， 2 证明：如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, G B :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， 图3 ∠ADC=∠ABE, 又：AB=AD, ,△ADG≌△ABE(SAS, AG=AE,∠DAG=∠BAE, EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, △AEF≌△AGF(SSS, :∠FAE=∠FAG, :∠FAE+LFAG+LGAE=360°， ∴.2∠FAE+∠GAB+∠BAE=360°， .2LFAE+∠GAB+∠DAG=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， D48 ·∠EAF=180°-1热点题专题进阶 重难专题一三角形中线、高线的应用 类型1三角形的中线与周长 1.如图，在ABC中，AB>AC,AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差 为2，且AB与AC的和为14，则AB= AC= A D 2.如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm, ABC的周长为50cm,且BC=17cm,求AC的长. 3.如图，在ABC中AC>AB,AC=2BC,BC边上的中线AD把ABC的周长分成60 和40两部分，求AC和AB的长， D B 4.如图，CD是ABC的高线，E是AC中点，连接BE交CD于点O. E D B (1)若△ABE的周长为13，AB=6,BC=5.求△BCE的周长； (2)在(1)的情况下，若CD=3.5,求点A到BC的距离. 5.如图，在ABC中，D是BC的中点，AB=12,AC=8,用剪刀从点D处进行裁剪. D D 图1 图2 (1)如图1，若沿DA将ABC剪成两个三角形，求它们周长的差. (2)如图2，若点E在AB上，沿DE将ABC剪开，得到的两部分图形的周长差为2，求AE 的长 类型2三角形的中线与面积 1.如图，ABC的面积为28Ocm,AE=ED,BD=3DC,则图中四边形EDCF的面积等 于() B A.50 B.55 C.60 D.65 2.如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，E是AC的中点，连接DE,若△CDE的面 积为6，则△BDC的面积为. E D B 3.如图，在ABC中，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点.若ABC的面积为 10,则阴影部分图形的面积为 B 4.如图，在ABC中，AE⊥BC于点E,AD为BC边上的中线.DF为△ABD中AB边上的 高线.已知AB=8cm,AC=5cm,△ABC的面积为24cm. D E C (1)求△ABD与△ACD的周长之差； (2)求DF的长. 5.已知ABC的面积是60，请完成下列问题： D D D C B 图1 图2 图3 (1)如图1，若AD是ABC的边BC上的中线，则△ABD的面积 一△ACD的面积（填 “>”w<”或"=”)； (2)如图2，若CD,BE分别是ABC的边AB,AC上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如 下方法：连结A0,由AD=DB得：SADo=SBDO,同理：S。4Eo=S.CEO,设SADo=x,SAEo=y ，则5o=5m=,由题意得：Se=5=30Sc-号 1 S。8c=30,可列方程组为： 2x+y=30 ,解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 x+2y=30 (3)如图3，AD:DB=1:3,CE:AE=1:2,请你计算四边形AD0E的面积，并说明理由. 类型3等积法的应用 1.如图，在ABC中，BE⊥AC,AD⊥CB,交CB的延长线于点D, BC=10,AD=6,BE=5,则AC的长是() d H DB A.12 B.11 C.10 D.9 2.如图，在ABC中，AB=8,BC=6,AB、BC边上的高CE、AD交于点H,则AD与 CE的比值是 H d B D C 3.如图，已知AB⊥BC于点B,AD⊥CD于点D,且AC与BC相交于点O.已知AO=6, 0C=3,CD=2,则AB的长为一· D 4.如图，AD,BE分别是ABC的高，AC=10,BC=12,BE=9,求AD的长. A E D 5.等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法. A D EN M B D 图1 图2 图3 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=10,BD⊥AC,垂足为 点D,则BD的长是 ； (2)如图2，在ABC中，AB=3,BC=6,则ABC的高AD与CE的比是： (3)如图3，在ABC中，∠A=90°，∠ABC>45°，点D,E分别在边BC,AC上，且 BE=EC,DM⊥BE,DN⊥AC,垂足分别为点M,N.若AB=8,DM=3,求DN的 值 类型4分类讨论思想在高线问题中的应用 1.已知ABC的高AD与AB,AC的夹角分别是50°和20°，则∠BAC的度数是_ 2.ABC中，BC=6,BC边上的高AD=3,BD=2,则△ACD的面积是 热点题专题进阶 重难专题四 等腰三角形中的分类讨论问题 类型1 遇边或角需讨论 1．已知等腰三角形的周长为24，且一边长为4，则腰长为（      ） A．4 B．20 C．10 D．4或10 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，解本题的关键在分类讨论．分两种情况：当腰长为时和当底边长为时，根据三角形的周长公式，结合三角形的三边关系，即可得出答案． 【详解】解：当腰长为时， ∵等腰三角形的周长为， ∴底边长为， ∵， ∴不能构成三角形； 当底边长为时， ∵等腰三角形的周长为， ∴腰长为， ∵， ∴可以构成三角形， 综上，等腰三角形的腰长为． 故选：C． 2．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分的差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据两种情况列出求解，然后进行验证即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为， 取一腰的中点，连接该中点与底边顶点形成中线，中线将原三角形的周长分为两部分： 一部分为腰长的一半和底边之和：； 另一部分为腰长的一半和另一腰之和：； 两部分的周长差为，解得或， 验证解： 当时，三边为、、，满足三角形三边关系； 当时，三边为、、，不满足两边之和大于第三边，舍去； 综上，腰长为， 故选：D． 3．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键． 分两种情况讨论：为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：当为底边时： 周长为，两腰之和为，则腰长为． 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 2． 当为腰长时，周长为， 底边长为， 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 综上，优美比k为或． 故选：C． 4．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理．当为顶角时，答案就是本身；当为底角时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：当为顶角时，答案就是本身； 当为底角时，另一个底角为，顶角为， 故顶角为或． 故选：D． 类型2 遇中线、高或垂直平分线需讨论 1．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设，，是边上的中线， ， 分两种情况： 当的周长比的周长大6时， ， 解得：， 的三边长分别为12，12，6， ， 能组成三角形； 当的周长比的周长大6时， 即， 解得：， 的三边长分别为8，8，14； ， 能组成三角形； 综上所述：的长为6或14． 故选：C． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，考查了直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用分类讨论的思想是解答此题的关键． 分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数． 【详解】 解：①若是锐角三角形， 在中，设，于D， ∴，， ∴顶角； ②若是钝角三角形， 在中，设，于D，，， 则， ∴顶角 所以等腰三角形顶角的度数是或． 故答案为：或． 3．等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质等知识，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】解：①如图1，当是钝角时， 由题意：， ∴， ②如图2，当是锐角时， 由题意：， ∴， ∴， 综上，该等腰三角形的底角的度数为或， 故答案为：或． 4．在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图， ∵垂直平分， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，同理可得：， ∴； 故答案为：或 5．在中，与边上的垂直平分线、分别交于点、点．连接、，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 分种情况，①根据线段垂直平分线的性质推得、，根据题意得，利用三角形的外角的性质求得，根据即可求解；②当点与点重合，点与点重合，． 【详解】解：根据题意，有种情况， ①如图， 与边上的垂直平分线、分别交于点、点， ，， ，， ， ， 是的一个外角，是的一个外角， ，， ， ， ． ②如图，当点与点重合，点与点重合， 此时，． 综上所述，或． 故答案为：或． 6．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分为两部分，已知底边长为，则腰长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形定义，三角形三边关系，设，则，又中线将三角形周长分为两部分，则分和两种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，为中线， 设，则， ∵中线将三角形周长分为两部分， ∴，解得， ∴，符合题意， ，解得， ∴， 则三边为，，，不能构成三角形，不符合题意， 故答案为：． 7．已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，求等腰三角形的周长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的周长求解，三角形中线的性质以及三角形三边的关系，分类讨论两部分是哪一部分减哪一部分是解决本题的关键． 根据中线的性质可得，再分类讨论求出另外两边长度，结合三角形三边的关系进行取舍即可． 【详解】解：为的边上的中线， ． 分两种情况讨论： ①当时， 即． ， ， 周长为； ②当时， 即． ， ， 当时，三边长分别为， 而，不能构成三角形，故舍去． 综上，等腰三角形的周长为． 8．如图，在中，，是腰上的中线．若的周长为，将的周长分成差为的两部分，求的边长． 【答案】或． 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义、三角形的中线、三角形的周长、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得：将分成两个三角形的周长差为，再分或两种情况，分别根据三角形的周长列等式求解即可． 【详解】解：∵是腰上的中线． ． ， ∴的周长与的周长之差为． ∵的周长为， ∴，即①， ∵将的周长分成差为的两部分， ∴当②时， ①②联立解得：， 由，则能组成三角形， ∴的边长； 当③时， ①③联立解得：， ∴的边长． 由，则能组成三角形， ∴的边长． 综上，的三边分别为或． 类型3 遇动点、动线段需讨论 1．如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（  ） A．5 B．5或8 C． D．4或 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，等边对等角，解题的关键是分情况讨论． 根据题意分情况讨论，分别根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， 根据题意得，， ①当时，， ②当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③若时，点P在延长线上，不符合题意． 综上所述，t的值是5或8． 故选：B． 2．如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、动点问题及一元一次方程的应用．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的构成条件． （1）用t表示线段长度：分情况为确定；或定； （2）分二种情况讨论，排除时，、两种无解情况． 【详解】解：由题意，动点P速度为速度为运动时间为则． ∵A在延长线上， ∴当P在A到O之间时， 当P在O到B之间时，． 又，A在延长线上，故． 要使为等腰三角形，分以下二种情况： ①若，不可能与其它边相等,因是钝角，是三角形内的最大角，根据“大角对大边”可知最长. ∴，, ∴ 解得 ②若因，使为等腰三角形时，必构成等边三角形， ∴ 解得． 综上，t的值为或． 故答案为：或． 3．如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可． 【详解】解：，为等腰三角形， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或 故答案为：或． 4．如图，是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，则当是直角三角形时，t的值为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：30度角所对的直角边是斜边的一半以及等边三角形的性质，是解题的关键． 根据题意，，分类讨论，当时，，；当时，，．两种情况即可求解． 【详解】解：根据题意，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是， ， 是边长为的等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴， ∴， 即， 解得：． 综上所述，的值为1或2． 故答案为：1或2． 5．如图，长方形 中，，动点 P 从点 A 出发，以秒的速度沿长方形的边返回到点A 停止，设点P 运动的时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)连接，当中有任意两边相等时，求t 的值； (3)Q为边上的一点，且，直接写出当t 为何值时，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形与全等． 【答案】(1) (2)或4或13 (3)4或6或11或13 【分析】本题考查了动点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，灵活运用分类讨论思想是解题关键． （1）根据题中条件求出的长即可求解； （2）分三种情况讨论：①当点P在上时，②当点P在上时，③当点P在上时； （3）连接，要使一个三角形与全等，则另一条直角边必须等于，分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵长方形 中，， ∴， 当时，则， ∴此时，点P在上， ∴； （2）解：当点在上时，是等腰三角形，如图， ∵， ∴， 根据题意得： ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 当点P在上时，是等腰三角形，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 当点P在上时，是等腰三角形．如图所示， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，或4或时，是等腰三角形，即中有任意两边相等； （3）解：根据题意，如图，连接， ∵， ∴， ∴要使一个三角形与全等，则以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形的直角边长分别为， 如图，当时， 此时， ∴（秒）； 如图，当时， 此时，则， ∴（秒）； 如图，当时， 此时， ∴（秒）； 当点重合时，， 此时，（秒）； 综上，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形与全等时，t 的值为4或6或11或13． 类型4 构造等腰三角形时需讨论 1.如图，在中，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，其顶角的度数不可能是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解．本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 【详解】解：①如图1，点P在上时，，顶角为，    ②∵， ∴， 如图2，点P在上时，若，顶角为，    如图3，点P在上时，若，则顶角为，    如图4，点P在上时，若，则顶角为，    综上所述，顶角为或或． 故选：B． 2.如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可． 【详解】解：，为等腰三角形， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或 故答案为：或． 3.如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论． 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，再分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论继续运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ①当，即D点在处时， 此时 ； ②当时，即D点在处时， 此时， ③当时，即D点在处时， 此时， 综上所述的度数是或或． 故答案为：或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点题专题进阶 重难专题四 等腰三角形中的分类讨论问题 类型1 遇边或角需讨论 1．已知等腰三角形的周长为24，且一边长为4，则腰长为（      ） A．4 B．20 C．10 D．4或10 2．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分的差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．或 B． C． D． 3．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（   ） A． B． C．或 D．或 4．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 类型2 遇中线、高或垂直平分线需讨论 1．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为 ． 3．等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ． 4．在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于 ． 5．在中，与边上的垂直平分线、分别交于点、点．连接、，，则 ． 6．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分为两部分，已知底边长为，则腰长为 ． 7．已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，求等腰三角形的周长． 8．如图，在中，，是腰上的中线．若的周长为，将的周长分成差为的两部分，求的边长． 类型3 遇动点、动线段需讨论 1．如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（  ） A．5 B．5或8 C． D．4或 2．如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 3．如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 4．如图，是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，则当是直角三角形时，t的值为 ． 5．如图，长方形 中，，动点 P 从点 A 出发，以秒的速度沿长方形的边返回到点A 停止，设点P 运动的时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)连接，当中有任意两边相等时，求t 的值； (3)Q为边上的一点，且，直接写出当t 为何值时，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形与全等． 类型4 构造等腰三角形时需讨论 1.如图，在中，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，其顶角的度数不可能是（　　）    A． B． C． D． 2.如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 3.如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点题专题进阶 重难专题一 三角形中线、高线的应用 类型1 三角形的中线与周长 1．如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则 ， ． 【答案】 8 6 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． 根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长的周长， 即①， 又②， ①②得．， 解得， ②①得，， 解得， 故答案为：8；6． 2．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了三角形的中线三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，以及构造二元一次方程组解决问题． 根据中线的定义得到，再根据周长之差化简可得，结合已知计算即可，然后根据的周长为，且，得到，再构造二元一次方程组求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵的周长为，且， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为． 3．如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形中线的定义； 根据中线的定义结合已知可得，求出，再根据边上的中线把的周长分成60和40两部分列式计算即可． 【详解】解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 4．如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高线． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的中点 ． （2）解：过作于，如图： 点到的距离为． 5．如图，在中，是的中点，，，用剪刀从点处进行裁剪． (1)如图1，若沿将剪成两个三角形，求它们周长的差． (2)如图2，若点在上，沿将剪开，得到的两部分图形的周长差为2，求的长． 【答案】(1)4 (2)1或 3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由图可得到的周长的周长，即可求解； （2）分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可． 【详解】（1）解：∵是的中点， ， ∴的周长的周长； （2）解：设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得，， ， 解得：； 或3． 类型2 三角形的中线与面积 1．如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积计算，弄清楚各部分面积之比以及利用底一定时三角形面积与高成正比的性质成为解题的关键． 如图：连接，由的面积为、、，可求出的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出的面积，从而得到与高之比为，即与的高之比为，进而得到的面积，最后求出四边形的面积． 【详解】解：如图：连接， ∵的面积为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与面积比为， ∴与高之比为，即与的高之比为， ∴， ∴四边形的面积为． 故选：B． 2．如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分是解题的关键． 先根据三角形的中线的性质求得的面积，再根据三角形中线的性质即可求得的面积． 【详解】解：∵是的中点，的面积为6， ∴的面积为， ∵是边上的中线， ∴的面积等于的面积12． 故答案为：12． 3．如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 连接，根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知阴影部分的面积是的面积的，依此可求解． 【详解】解：连接， 点D、E、F分别是线段、、的中点， ，，， ， ∴， 的面积为10， ， 故答案为：． 4．如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的定义，三角形的中线平分面积，是解题的关键； （1）根据三角形的中线的定义，推出与的周长之差为的长即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：； （2）∵为边上的中线，的面积为， ∴的面积为， ∵为中边上的高线， ∴， ∵， ∴． 5．已知的面积是60，请完成下列问题： (1)如图1，若是的边上的中线，则的面积________的面积（填“”“”或“”）； (2)如图2，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连结，由得：，同理：，设，则，由题意得：，可列方程组为：，解得________，通过解这个方程组可得四边形的面积为________； (3)如图3，，请你计算四边形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)，20； (3)四边形的面积为，理由见解析 【分析】本题考查三角形的中线，解二元一次方程组，熟练掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积作答即可； （2）加减消元法求出的值，再根据得四边形的面积为，进行计算即可； （3）连接，设，仿照（2），进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是的边上的中线， ∴的面积的面积； 故答案为：； （2）解，得：； 由图可知：四边形的面积为； 故答案为：，20； （3）四边形的面积为，理由如下： 连接，设， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，解得：； ∴四边形的面积为． 类型3 等积法的应用 1．如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】本题考查三角形面积公式的应用及等量关系的建立．解题关键在于利用同一三角形面积的不同表达方式建立关于未知边长的等式，从而求解．具体地，根据面积公式：，再代入已知值，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 故选：A． 2．如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，利用三角形的面积公式列出等式是解题关键． 根据三角形的面积公式即可得． 【详解】由题意得： ， 解得． 故答案为：． 3．如图，已知于点B，于点D，且与相交于点O．已知，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了与三角形的高有关计算，根据计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵于点B，于点D， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为： 4．如图，，分别是的高，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是等面积法的应用，由等面积法可得，再进一步计算即可. 【详解】解：，分别是的高， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴． 5．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 类型4 分类讨论思想在高线问题中的应用 1．已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形的高的特征．分两种情况讨论求解即可：①当D在线段上时，②当D在线段的延长线上时． 【详解】解：①当D在线段上时，如图1，； ②当D在线段的延长线上时，如图2，． 故答案为：或． 2．中，，边上的高，，则的面积是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论在内部和在外部两种情况，求出的长度，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 如图所示，当在外部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 综上，的面积是或， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $热点题专题进阶 重难专题二全等 类型1平移模型 1.如图，AB∥FD,BD=CE,∠A=∠F,， 2.如图，点A,D,C,F在同一条直线上 BC与EF之间的关系，并证明你的结论. B E 三角形的常见模型 求证：△ABC≌△FDE. AD=CF,AB=DE,AB∥DE,请写出 3.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE,LABC=LDEF,BC=EF,求 证：∠A=∠D. 4.如图，在ABC中，点D在边BA的延长线上，过点D作射线DM∥BC,点E是射线 DM上一个定点. D M A (1)尺规作图：在射线DM上方求作∠DEF,使得LDEF=LC,与BA的延长线交于点F. (不用写作图步骤，保留作图痕迹) (2)在(1)问条件下，若BD=AF,求证：△ABC≌△FDE.请把以下的解题过程补充完整。 证明：：DM∥BC(己知)， ·∠B=∠FDE(①) :BD=AF（已知)， BD-AD=② (等式的性质)，即AB=FD, ③= 在ABC和FDE中， ∠B=∠FDE, AB=FD .△ABC≌△FDE(④ 类型2对称模型 1.如图，AB=AD,BC=DE,且BA⊥ M E 2.如图，已知点D,E分别在AB,AC D E B AC,DA⊥AE.求证：∠C=∠E. 上，∠B=∠C,DC=BE.求证AD=AE. 3.晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字.如 图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中AC,BD是风筝的支架且 AC⊥BD,AD=CD,AB=CB, (1)求证：△ABD≌△CBD; (2)若AO=30cm,BD=80cm,求四边形ABCD的面积. 4.如图，AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F,AE=BF,∠A=∠B吗？ 为什么？ 5.小刚设计了一个玩具模型，如图所示，其中AB=AC,CDL AB于点D,BE⊥AC于点E ,CD,BE相交于点O,为了使图形美观，小刚希望A0恰好平分∠BAC,他的这个愿望 能实现吗？请你帮他说明理由 类型3旋转模型 1.如图，∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上，∠I=∠2，AE和BD相交于点O. 27 D (1)求证：△AEC≌△BED; (2)若∠1=40°，∠ADE=110°，求∠C的度数. 2.如图，∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,AB=AD.求证：△ABC≌△ADE. D 3.面积相等的两个三角形可分为两类：全等三角形或面积相等但不全等的三角形. G D B B E 图1 图2 图3 (1)如图1，在ABC中，AB=8,AC=BC=6,点P在AB或BC边上，点P与ABC顶点 连线段把ABC的面积等分，此时BP的长度是一； (2)如图2，AB=5,BC=3,点D在AC边上且S4BD=ScBD,BD的长度有可能为4吗？为 什么？ (3)如图3，点E是正方形ABCD的BC边的延长线I上一点，CE=3BC,连接DE,以DE为 边在I上方作正方形DEFG,连接AG，若S正方形ABCo=3,求S4Dc的值. 类型4一线三等角模型(K型) 1.如图，AC⊥CB,DB⊥CB,垂足分别为C,B,点E、F在BC上，AE、DF交于点 O,己知AC=DB,AE=DF,求证：CF=BE. D 2.公路上A、B两车站相距5千米，C、D为公路同侧的两所学校，DA⊥AB,CB⊥AB, 垂足分别为点A、B（如图所示)，DA=3千米·现要在公路AB上建一报亭H(AH<BH), 使得C、D两所学校到H的距离相等，且∠DHC=90°.证明：△ADH≌△BHC,写出答句： 报亭H应建在距离B站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？ H 3.国槐是西安市的市树，其枝叶茂密，绿荫如盖，适作庭荫树，在我国北方多用作行道树.小 海想要测量一棵国槐的高度，如图，他在距离国槐(AB)底部15m的点D处竖直立了一根竹 竿(CD),然后在BD之间选定一点E,使得BE=CD=3m,此时AE⊥CE,其中AB⊥BD ,CD⊥BD,求该国槐AB的高度. E 4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D, BE⊥MN于点E. M M D N 图1 图2 (1)如图1，当ABC在直线MN的同侧时，试说明：①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE (2)如图2，当直线MN与斜边AB相交时，（1)中的结论②还成立吗？若成立，请说明理由： 若不成立，请直接写出DE,AD和BE正确的数量关系，不必说明理由. 热点题专题进阶 重难专题二 全等三角形的常见模型 类型1 平移模型 1．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，理解全等三角形的判定是解答关键． 根据题意易得，由平行线的性质得到，然后利用判定三角形全等的“”来求解． 【详解】证明：， ， 即． ， 在和中， ． 2．如图，点，，，在同一条直线上，，，，请写出与之间的关系，并证明你的结论． 【答案】，，理由见解析． 【分析】先证明 ，再根据全等三角形的性质得出 与 的数量关系和位置关系 ．本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（ 等 ）和性质，以及利用角相等判定两直线平行是解题的关键． 【详解】解：，，理由如下： ，即 在和中， ， 3．如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键，直接证明，得． 【详解】证明：在与中， ∴， ∴． 4．如图，在中，点D在边的延长线上，过点D作射线，点E是射线上一个定点． (1)尺规作图：在射线上方求作，使得，与的延长线交于点F．（不用写作图步骤，保留作图痕迹） (2)在（1）问条件下，若，求证：．请把以下的解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①______） ∵（已知）， ∴②______（等式的性质），即， 在和中，， ∴（④______）， 【答案】(1)见解析 (2)①两直线平行，同位角相等；②；③；④ 【分析】本题考查了尺规作图．熟练掌握作平行线，作角，平行线性质和判定，是解题的关键． （1）根据基本作图——作一个角等于已知角，作图即可： （2）根据平行线的性质，全等三角形的判定和性质填空． 【详解】（1）解：按要求作出，如图， （2）证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知）， ∴（等式的性质），即， 在和中，， ∴（）， 故答案为：两直线平行，同位角相等；；； 类型2 对称模型 1．如图，，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由，得，而，即可根据“”证明，则． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 2．如图，已知点，分别在，上，，求证． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．由，，，根据“”证明，则． 【详解】证明：在和中， ， ， ． 3．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中是风筝的支架且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，是解题的关键 （1）根据证； （2）根据，得，由求出即可． 【详解】（1）证明：在和中， ． （2）解：， ， ． 4．如图，，，，垂足分别是E，F，，吗？为什么？ 【答案】．理由见解析 【分析】利用已知条件先确定两个三角形为直角三角形，再利用线段关系得到直角三角形的一组直角边相等，结合已知的斜边相等，根据“”（斜边、直角边）定理证明两个直角三角形全等，进而得出对应角相等．本题主要考查了直角三角形全等的判定（）及全等三角形的性质，熟练掌握定理证明直角三角形全等是解题的关键． 【详解】解：．理由如下： ∵，， ∴与是直角三角形． 在和中， ∵， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 5．小刚设计了一个玩具模型，如图所示，其中于点，于点，，相交于点，为了使图形美观，小刚希望恰好平分，他的这个愿望能实现吗？请你帮他说明理由． 【答案】能，理由见解析 【分析】先利用“”证明和全等，得到，再依据“”证明和全等，进而得出，说明平分．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（、等）和性质是解题的关键． 【详解】解：能实现 理由：， ， ， ． ． ， ， ， ∴恰好平分，即他的这个愿望能实现． 类型3 旋转模型 1．如图，，点在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据即可证明两三角形全等； （2）由（1）可知，根据平角的定义求出的度数，从而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵AE和BD相交于点O， ． 在和中， ， ． 又， ， ∴，即． 在和中， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ． 2．如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ． 3．面积相等的两个三角形可分为两类：全等三角形或面积相等但不全等的三角形． (1)如图1，在中，，，点在或边上，点与顶点连线段把的面积等分，此时的长度是_______； (2)如图2，，点在边上且，的长度有可能为4吗？为什么？ (3)如图3，点是正方形的边的延长线上一点，，连接，以为边在上方作正方形，连接，若，求的值． 【答案】(1)3或4 (2)不可能，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意分点P在上和点P在上两种情况讨论，然后根据三角形中线的性质求解即可； （2）如图所示，延长到点E使，连接，首先由得到，然后证明出，得到，然后利用三角形三边关系得到，然后得到即可求解； （3）如图所示，过点G作交延长线于点H，首先求出，，然后证明出，得到， 理由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，当点P在上时， ∵点与顶点连线段把的面积等分 ∴是的中线 ∴点P为的中点 ∴； 如图所示，当点P在上时， ∵点与顶点连线段把的面积等分 ∴是的中线 ∴点P为的中点 ∴； 综上所述，的长度是3或4； （2）解：的长度不可能为4，理由如下： 如图所示，延长到点E使，连接 ∵ ∴是的中线 ∴点D为的中点，即 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴的长度不可能为4； （3）解：如图所示，过点G作交延长线于点H ∵ ∴ ∴ ∵四边形，是正方形， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 类型4 一线三等角模型（K型） 1．如图，，，垂足分别为，，点、在上，、交于点，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．由，，垂足分别为，，得，而，，即可根据证明，得，即可证明． 【详解】证明：，，垂足分别为，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 2．公路上、两车站相距千米，、为公路同侧的两所学校，，，垂足分别为点、（如图所示），千米现要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且证明：，写出答句：报亭应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？ 【答案】证明见解析，报亭应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 由垂线的定义可得，再证明，得出千米，，即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 千米，， 千米， 千米， 报亭应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米． 3．国槐是西安市的市树，其枝叶茂密，绿荫如盖，适作庭荫树，在我国北方多用作行道树．小海想要测量一棵国槐的高度，如图，他在距离国槐底部的点处竖直立了一根竹竿，然后在之间选定一点，使得，此时，其中，，求该国槐的高度．    【答案】该国槐的高度为． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明，则，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 在和中， ∵，，， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴该国槐的高度为 4．在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)如图1，当在直线的同侧时，试说明：①；②； (2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)不成立； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据，．可得，再由，可得，从而得到，即可求证； ②根据，可得，，即可求证； （2）证明方法同（1）可得，即可求解． 【详解】（1）证明：①∵，．（已知） ∴（垂直的定义）． ∵（已知） ∴， 又∵( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴(同角的余角相等) 在和中， ∵，，， ∴； ②∵， ∴， ，(全等三角形，对应边相等) ∴ ；(等量代换) （2）解：（1）中的结论②不成立．； ∵，．（已知） ∴（垂直的定义）． ∵（已知） ∴， 又∵( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴ (同角的余角相等) 在和中 ∵，，， ∴， ∴， (全等三角形，对应边相等) ∴ (等量代换) 学科网（北京）股份有限公司 $