13.3.1 三角形的内角 （预习讲义）2025-2026学年人教版数学八年级上册

第13章 三角形 13.3.1 三角形的内角 （预习讲义） 学习目标 1. 知识与技能： (1) 理解三角形内角和定理的内容。 (2) 掌握三角形内角和定理的证明方法（重点是通过作辅助线和平行线的性质进行推导）。 (3) 能运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题。 2. 过程与方法： (1) 通过观察、实验、猜想、推理等数学活动，体验三角形内角和定理的探索过程。 (2) 在探究活动中，发展推理能力和有条理的表达能力。 3. 情感态度与价值观： (1) 通过对三角形内角和定理的探究和证明，感受数学的严谨性和逻辑性。 (2) 在合作与交流中，培养团队协作精神，激发学习数学的兴趣。 知识点梳理 一、三角形内角的概念 · 定义： 三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。 · 注： 一个三角形有三个内角。例如，在△ABC中，∠A、∠B、∠C都是它的内角。 二、三角形内角和定理 · 定理内容： 三角形三个内角的和等于180度。 几何语言表示：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。 三、三角形内角和定理的证明 · 探究思路： 如何说明一个三角形的三个内角之和是180度呢？ (1) 方法一（剪拼法 - 实验验证）： 1. 画一个任意三角形。 2. 把它的三个内角剪下来。 3. 将三个角的顶点重合，且使其中的一个角的一边与另一个角的一边重合，依次拼在一起。 4. 观察发现：三个角正好组成一个平角，即180度。 · 注： 这是一种直观的实验方法，能帮助我们得出猜想，但不能作为严格的证明。 (2) 方法二（作辅助线证明 - 逻辑推理）： （人教版教材常用方法，利用平行线的性质） · 已知： △ABC。 · 求证： ∠A + ∠B + ∠C = 180°。 · 证明思路： 通过作一条辅助线，将三角形的三个内角转化到一个平角或同旁内角中。 · 证明过程（例如）： a. 如图，延长BC到点D。 b. 过点C作直线CE平行于AB。 c. 因为CE∥AB（已作）， 所以 ∠A = ∠ACE（两直线平行，内错角相等）， ∠B = ∠ECD（两直线平行，同位角相等）。 d. 因为 ∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180°（平角的定义）， 所以 ∠ACB + ∠A + ∠B = 180°（等量代换）。 e. 即 ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°。 · 辅助线： 为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。辅助线通常画成虚线。 · 注： 证明方法不止一种，还可以过三角形的一个顶点作另一边的平行线，或将三角形的一个内角沿一边平移等。 四、三角形内角和定理的初步应用 · 已知三角形的两个内角，求第三个内角。 方法：第三个内角 = 180° - 已知的两个内角的和。 · 已知三角形三个内角之间的数量关系（如一个角是另一个角的几倍，或两个角相等），求各内角的度数。 方法：设其中一个角为x度，根据题意用含x的式子表示出其他角，再根据内角和定理列出方程求解。 · 判断三角形的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。 直角三角形的两个锐角互余（即和为90度）。因为直角为90度，所以另外两个内角之和为180° - 90° = 90°。 知识点总结 1. 三角形内角的定义： 三角形相邻两边组成的角。 2. 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180度。（核心知识点） 表达式：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。 3. 定理的证明： 关键在于通过作辅助线（如作平行线），将三个内角转化为一个平角或利用平行线的性质进行推导。 4. 定理的应用： (1) 已知两角求第三角。 (2) 已知角之间的关系求各角的度数（方程思想）。 (3) 直角三角形的两个锐角互余（重要推论）。 巩固练习 一、选择题 1．一个三角形三个内角的度数之比是1：2：3，则这个三角形属于（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．若直角三角形的一个锐角是35°，则另一个锐角的度数是 (　　) A．75° B．65° C．55° D．45° 3．若三角形有两个内角的和是，那么这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 4．如图，在△ABC中，BD 是∠ABC 的平分线，AE 是△ABC 的高，AE，BD 相交于点 F，若∠BAC=58°，∠AFD=48°，则∠EAC 的度数为(　　) A．42° B．45° C．48° D．52° 5．将一副三角板如图摆放，则图中的度数是（　　） A． B． C． D． 6．以下四个三角形分别满足以下条件：①；②；③；④，其中是直角三角形的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 7．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 8．在中，若一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 9．在中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图为台球桌示意图，已知台球桌边框AB与BC垂直，球杆沿着直线m击打白球后，经过两次撞击后沿着直线n运动，已知∠ADF=46°，则∠GEC的度数为 (　　) A．47° B．46° C．45° D．44° 二、填空题 11．直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角的度数是　 　 12．在中，，那么是　 　（填“直角三角形”、“钝角三角形”或“锐角三角形”） 13．把一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，则的度数为　 　． 14．如图，在中，与互余，，是高，是角平分线，则的度数是　 　． 15．如图，△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∠A＝25°，则∠BCD的度数是 　 　． 16． 两个直角三角形积木 和 按如图所示摆放在水平桌面上， 已知 ， ， 把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点 处， 则 　 　 17．图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，刚好至点，当时，恰好平分，若，则　 　． 18．如图所示为某城市几条道路的位置关系，道路AB与道路CD平行，。城市规划部门计划新修一条道路DE，要求，则的度数是　 　. 19．如图，一副三角板叠放在一起，则的度数是　 　． 三、解答题 20．如图，在中，是的角平分线，，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 21．如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，点F在AE上且CF∥AD． （1）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝80°，则∠CFE＝　 　度． （2）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＞∠B，∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝　 　（用含x，y的代数式表示）． （3）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠ACB为钝角，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由． 22．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若，则度，　 　度，　 　度； （2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； （3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式． 23．如图，在△ABC中，AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，且AE，CD相交于点F. （1）若∠BAC=80°，∠ACB=40°，求∠AFC的度数； （2）若∠B=80°，求∠AFC的度数； （3）若∠B=x°，用含x的代数式表示∠AFC的度数. 参考答案 1．A 2．C 3．D 4．D 5．A 6．B 7．A 8．B 9．C 10．D 11．35° 12．直角三角形 13．15° 14． 15．25° 16．15° 17． 18．24° 19． 20．（1）解：， 是的角平分线， （2）解：， ， 由（1）得：， 21．（1）25 （2） （3）解：（2）中的结论成立，理由： 在△ABC中，∠B＝x，∠ACB＝y， ∴∠BAC＝180°-∠B-∠ACB＝180°-x-y， ∵AD平分∠BAC， ∴ ， ∵∠ACB＝y， ∴∠ACE＝180°-∠ACB＝180°-y， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°-∠ACE＝90°-（180°-y）＝y-90°， ∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE ＝ ＝ 22．（1）90；35 （2）解：猜想：， 理由：在中，， ， 又在中，， ； （3）不成立，或或 23．（1）解：∵AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线， ∴∠CAF=∠BAC=×80°=40°，∠ACF=∠ACB=×40°=20°， ∴∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF=180°-40°-20°=120° （2）解：∵AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线， ∴∠CAF=∠BAC，∠ACF=∠ACB， ∴∠CAF+∠ACF=（∠BAC+∠ACB）； ∵∠BAC+∠ACB=180°-∠B=180°-80°=100°， ∴∠CAF+∠ACF=×100°=50°， ∴∠AFC=180°-（∠CAF+∠ACF）=180°-50°=130° （3）解：∵AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线， ∴∠CAF=∠BAC，∠ACF=∠ACB， ∴∠CAF+∠ACF=（∠BAC+∠ACB）； ∵∠BAC+∠ACB=180°-∠B=180°-x°， ∴∠CAF+∠ACF=×（180°-x°）=90°-x°， ∴∠AFC=180°-（90°-x°）=180°-90°+x°=90°+x° 学科网（北京）股份有限公司 $