专题22.1 比例线段重难点题型专训（5个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2012）

专题22.1 比例线段重难点题型专训 （5个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 成比例线段 题型二 比例的性质 题型三 比例线段 题型四 由平行判断成比例的线段 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 题型六 黄金分割 题型七 相似图形 题型八 相似多边形 题型九 相似多边形的性质 拓展训练一 比例的性质、判定及应用 拓展训练二 平行在比例中的应用 拓展训练三 相似图形的综合问题 知识点一：比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 【解题思路】判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段按照从小到大或从大到小的顺序排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等，比值相等的四条线段成比例； 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 知识点二：比例的基本性质 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 4）等比性质：如果 【即时训练】 1．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知，且，那么 ． 知识点三：黄金分割 黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【即时训练】 1．（2025·云南昆明·一模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”．如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（   ） A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间 2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ． 知识点四：平行线分线段成比例的定理 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 【即时训练】 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D，E，F，若，则的长为 ． 知识点五：平行线分线段成比例的推论 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 【即时训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点D为上一点，过点D作交于点E，过点E作交于点F，连接，交于点K，则下列说法中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，已知，则的值为 ．    【经典例题一 成比例线段】 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 1．（23-24九年级上·广西梧州·期末）是四条线段，下列各组中四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知线段，，线段是a，b的比例中项，则线段的长是（   ） A．10 B．9 C． D．3 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若，，则b的值是 ． 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 【经典例题二 比例的性质】 【例1】（24-25九年级上·福建·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，，求的值． 1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）对于线段，，如果，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）已知，那么 ． 4．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 【经典例题三 比例线段】 【例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 1．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）上午9时，小丽和小芳为了测量一根旗杆的高度，在同一时间同一地点做了以下实验（如图），根据下面的实验，请你求出这根旗杆的高度．    【经典例题四 由平行判断成比例的线段】 【例1】（23-24九年级上·海南海口·期中）如图，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，，，求证：． 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，，，则下列比例式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，D、E、F分别是边、、上的点，，且，那么的值为 ． 4．（24-25九年级下·山东滨州·期中）如图，在的方格纸中，点都在格点上，在图中仅用无刻度的直尺，把线段三等分（保留画图痕迹，不写画法）． 【经典例题五 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例1】（23-24九年级上·山西晋城·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 1．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，已知三条直线互相平行，直线和直线分别与交于，三点以及三点，若，则的长为（　　） A．1.6 B．2.8 C．3.2 D．3.6 2．（25-26八年级上·河北衡水·开学考试）如图，在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，，，，则的长为 ． 4．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，已知，与相交于点．如果，，，求的长． 【经典例题六 黄金分割】 【例1】（23-24九年级上·广东梅州·期中）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 【例2】（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人美感．数学老师身高为160，下半身长x与身高h的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，请你帮她算一算，她应该穿的高跟鞋的高度大约是多少？(结果保留整数)． 1．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，与的比叫做黄金比，其比值是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·全国·期中）已知：线段，点C是的黄金分割点，则 ． 4．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【经典例题七 相似图形】 【例1】（22-23九年级上·广西梧州·期末）在A、B、C、D四个图中，与原图形相似的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？ 1．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ）．    A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 2．（2025·广东深圳·二模）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝ ． 4．（24-25九年级·全国·假期作业）网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上． (1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①； (2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②； (3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ． 【经典例题八 相似多边形】 【例1】（22-23九年级上·全国·期中）如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 【例2】（2023九年级上·全国·专题练习）某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）下列图形，一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）下列图形中，不一定相似的是（　　） A．邻边之比相等的两个矩形 B．四条边对应成比例的两个四边形 C．有一个角相等的菱形 D．两条对角线的比相等且夹角相等的两个平行四边形 3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）在比例尺为1︰300的地图上测得两地的图上面积为15cm2，则实际面积 m2； 4．（23-24九年级·全国·假期作业）下面我们做一次折叠活动：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图1的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展开． 第二步：如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处． 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE就是黄金矩形，你能说明为什么吗？（注：当矩形的宽与长的比为时，称这个矩形为黄金矩形） 【经典例题九 相似多边形的性质】 【例1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 【例2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，已知四边形四边形，求，和． 1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏盐城·二模）若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？ 【拓展训练一 比例的性质、判定及应用】 【例1】（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【例2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 1．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）若，a，c不为零则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C．， D． 2．（2023·浙江湖州·一模）四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若，则的值为 ． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【拓展训练二 平行在比例中的应用】 【例1】（2025·天津南开·一模）如图①，在中，是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画弧，交线段于点，交线段于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，是的中线，过上任意一点，作，与和的延长线分别交于和，交于点 求证：． 1．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．1.5 D．2 3．（22-23九年级上·全国·期中）如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么 ． 4．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【拓展训练三 相似图形的综合问题】 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·课后作业）下列图形不是形状相同的图形是（ ） A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 C．某人的侧身照片和正面像 D．一棵树与它倒影在水中的像 【例2】（24-25九年级下·全国·单元测试）将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可得到的矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN． (1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比变了吗？ (2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？ (3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？ 1．（25-26九年级上·北京·单元测试）下列命题： ①所有的等腰三角形都相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似； ③四个角对应相等的两个梯形相似；④所有的正方形都相似． 其中正确命题的个数为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） ①所有的矩形都是相似图形；②所有的平行四边形都是相似图形；③所有的圆都是相似图形；④所有的正方形都是相似图形；⑤所有的等腰三角形都是相似图形． A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．③④ 3．（22-23九年级上·全国·期中）如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是 ． 4．（2024九年级上·浙江·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）下列四组线段中，不是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·模拟预测）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（    ） A．和之间 B． 和之间 C．和之间 D． 和之间 5．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，一舞台长，是靠近点的黄金分割点，则的长约为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 7．（2024·广东深圳·三模）下列判断正确的是（    ）． A．对角线相等的四边形是矩形 B．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似 C．如果两个相似多边形的面积比为16∶9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4∶3 D．若点是的黄金分割点，且，则的长为 8．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·江苏无锡·一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，则的面积为（    ） A．2 B．3 C． D．4 10．（24-25九年级上·重庆渝中·期中）如图，在中，过点作于点，过点作于点，、交于点，连接．将沿翻折得到，点恰好落在线段上且交于点．若，，，则（ ） A． B． C． D．3 11．（22-23九年级上·全国·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 13．（2025·宁夏银川·三模）黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点C为的黄金分割点，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 14．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 15．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，，D是的中点，过点D作的平行线，交于点E，作的垂线，交于点F．若，且的面积为，则的长是 ． 16．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形四边形，求的值和的大小． 17．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 19．（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，已知，、交于点，且．求证： (1)； (2)． 20．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知E、F、G、H各点分别在四边形的、、、边上（如图）． (1)当时，求证： (2)当上述条件中比值为3，4，…，n时（为自然数），那么与之比是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.1 比例线段重难点题型专训 （5个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 成比例线段 题型二 比例的性质 题型三 比例线段 题型四 由平行判断成比例的线段 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 题型六 黄金分割 题型七 相似图形 题型八 相似多边形 题型九 相似多边形的性质 拓展训练一 比例的性质、判定及应用 拓展训练二 平行在比例中的应用 拓展训练三 相似图形的综合问题 知识点一：比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 【解题思路】判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段按照从小到大或从大到小的顺序排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等，比值相等的四条线段成比例； 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：线段，线段是线段的比例中项， ， ， ， ， 是线段， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了比例尺的性质，科学记数法，设、两地的实际距离是米，根据比例尺的性质列出方程，求出的值，再用科学记数法表示出答案．解题的关键是根据题意列出方程． 【详解】解：设、两地的实际距离是米， 比例尺为，、两地的图上距离是0.15米， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：． 知识点二：比例的基本性质 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 4）等比性质：如果 【即时训练】 1．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出b的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 知识点三：黄金分割 黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【即时训练】 1．（2025·云南昆明·一模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”．如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（   ） A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意知，，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，则， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 根据黄金分割的概念，可得，由此列方程即可求解． 【详解】解：如图：设米， 由题意知 米，米， 由黄金分割可得：， ， 故答案为：． 知识点四：平行线分线段成比例的定理 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 【即时训练】 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例和比例的性质，掌握相关的知识是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，利用比例的性质求的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：D． 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D，E，F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求出，即可求解，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点五：平行线分线段成比例的推论 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 【即时训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点D为上一点，过点D作交于点E，过点E作交于点F，连接，交于点K，则下列说法中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 故选项A、B正确； ∵， ∴，， ∴，， 故选项D不正确， ∴， 故选项C正确． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，已知，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，属于基础题，熟练掌握平行线成比例定理是解答本题的关键．直接利用平行线分线段成比例定理得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵，两条直线与这三条平行线分别交于点和， ， 又， ， 故答案为：. 【经典例题一 成比例线段】 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或，那么线段c是线段a和b的比例中项”进行解答即可得． 本题主要考查比例中项的定义，熟练掌握比例中项的定义解题的关键． 【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，，． 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可． （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值． 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 1．（23-24九年级上·广西梧州·期末）是四条线段，下列各组中四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．把四条线段的长度按大小顺序排列，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可． 【详解】解：A．，不成比例，不合题意； B．，成比例， 符合题意； C．，不成比例，不合题意； D．，不成比例，不合题意； 故选B． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知线段，，线段是a，b的比例中项，则线段的长是（   ） A．10 B．9 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例中项．根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【详解】解：∵线段，，线段是a，b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）， ∴线段的长是3， 故选：D． 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若，，则b的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项的定义，利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即或或，那么线段b叫做线段a、c的比例中项. 根据比例中项的定义即可求解. 【详解】解：∵线段b是线段a和线段c的比例中项，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 【答案】(1)6；4；12 (2)12 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； （2）由线段x是线段、b的比例中项，可得，计算即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∵， 所以， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段x是线段、b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 【经典例题二 比例的性质】 【例1】（24-25九年级上·福建·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.由可得，等式不成立； B.由可得，等式不成立； C.由可得，等式成立； D. 由可得，即，等式不成立； 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】44 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，再代入可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）对于线段，，如果，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意； C、由，设， ∴，故C错误， D、，故D正确 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质对式子进行灵活变形是解题关键． 根据比例的性质得出：，再代入到原式计算即可． 【详解】由，得 ， 则． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】18 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． 设，利用，求得， 再利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 【经典例题三 比例线段】 【例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【答案】C 【分析】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 【答案】公里 【分析】此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一． 根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里． 【详解】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有： ：：， 解得． 答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里． 1．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据，，，，求出，因为将减小，故把代入算出调整后的，即可作答． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵将减小， ∴调整后的， ∵电流表示数才能为0， ∴， ∵，，， 则， 解得， ∴， 即增大， 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，解题的关键是掌握：比例尺图上距离实际距离，根据题意代入数据可直接得出这张地图的比例尺，注意单位要统一． 【详解】解：∵， ∴这幅地图的比例尺为． 故选：D． 3．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段定义即可求解，解题的关键是掌握比例线段定义对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）上午9时，小丽和小芳为了测量一根旗杆的高度，在同一时间同一地点做了以下实验（如图），根据下面的实验，请你求出这根旗杆的高度．    【答案】这根旗杆的高度为米 【分析】设这根旗杆的高度为x米，根据题意得，即可得． 【详解】解：设这根旗杆的高度为x米， ， ， ， ， 即这根旗杆的高度为米． 【点睛】本题考查了比例的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出比例． 【经典例题四 由平行判断成比例的线段】 【例1】（23-24九年级上·海南海口·期中）如图，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解． 【详解】解：∵ A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，符合题意；     C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理可得，，从而推出，即可得证，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：， ，，，； 观察四个选项，选项C符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，，，则下列比例式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴； 故只有选项D错误，符合题意； 故选D． 3．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，D、E、F分别是边、、上的点，，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·山东滨州·期中）如图，在的方格纸中，点都在格点上，在图中仅用无刻度的直尺，把线段三等分（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：如图所示即为所求： 【经典例题五 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例1】（23-24九年级上·山西晋城·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 1．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，已知三条直线互相平行，直线和直线分别与交于，三点以及三点，若，则的长为（　　） A．1.6 B．2.8 C．3.2 D．3.6 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，由此列式求解即可． 【详解】解：由题意得， 即， 解得， 故选D． 2．（25-26八年级上·河北衡水·开学考试）如图，在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：， ，即， 解得， ， 故答案为：9． 4．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，已知，与相交于点．如果，，，求的长． 【答案】16 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ， ，，， ， 解得：， ． 【经典例题六 黄金分割】 【例1】（23-24九年级上·广东梅州·期中）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 【答案】C 【分析】本题考查黄金比例，掌握知识点是解题的关键． 设相邻下一圈螺纹的直径为x，根据黄金比例，列方程求解即可． 【详解】解：设相邻下一圈螺纹的直径为x， 根据题意得： ． 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人美感．数学老师身高为160，下半身长x与身高h的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，请你帮她算一算，她应该穿的高跟鞋的高度大约是多少？(结果保留整数)． 【答案】8 【分析】本题主要考查黄金分割的应用，先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义列方程求解． 【详解】解：设她应该穿的高跟鞋的高度大约是， 根据题意得：，即 ， ∴， 解得： 答：她应该穿的高跟鞋的高度大约是8． 1．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先由勾股定理求出，再由求出，再由勾股定理可得，得，即可得出结论． 【详解】解：解：∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：B. 2．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，与的比叫做黄金比，其比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，设，，则，代入求出即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， 故选：． 3．（22-23九年级上·全国·期中）已知：线段，点C是的黄金分割点，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义和二次根式的运算，解题的关键是掌握黄金分割点的定义． 利用黄金分割点的定义进行求解即可． 【详解】解：∵C为线段的黄金分割点， 则, 或； 故答案为：或． 4．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【答案】这双高跟鞋的高度偏高 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，设出人体上半身长和下半身长成黄金比例时，高跟鞋的高，利用黄金比例求出此时高跟鞋的高是解题的关键. 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例， 由题意得：， 解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 【经典例题七 相似图形】 【例1】（22-23九年级上·广西梧州·期末）在A、B、C、D四个图中，与原图形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似形的定义． 利用相似图形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项四边形为矩形，与原图形中的正方形不相似，该选项不符合题意； B.该选项图形与原图形相似，符合题意； C. 该选项四边形为矩形，与原图形中的正方形不相似，该选项不符合题意； D.该选项三角部分和圆点部分和原图形不一致，该选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？ 【答案】③⑤中的图形形状相同， ①②④⑥中的图形形状不同 【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形是指形状相同的图形，根据题中的图形逐个判断即可得到答案，熟记相似图形定义是解决问题的关键． 【详解】解：③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同． 1．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ）．    A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，正确理解相似图形的概念是解题的关键．根据“对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形”进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形． 故选：D． 2．（2025·广东深圳·二模）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似比得到面积之比是解题的关键． 【详解】解：以顶点为位似中心进行位似变换， 正方形与正方形相似， ， 正方形与正方形的面积比为， 纪念徽章的面积是， 故选：D． 3．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝ ． 【答案】1+ 【分析】根据相似图形的性质先设未知数再解方程即可得到结果. 【详解】解：∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，∴ABEF是正方形． 又∵AB=2，∴AF= AB=EF=2． 设AD=x，则FD=x－2． ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即 解得，（负值舍去）． 经检验是原方程的解． ∴AD. 故答案为 【点睛】此题重点考查学生对相似图形性质的理解，掌握相似图形的性质是解题的关键. 4．（24-25九年级·全国·假期作业）网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上． (1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①； (2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②； (3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)9：4 【分析】（1）原三角形的底和高都是3和3，根据图形放大与缩小的方法，把三角形的底和高按2:1扩大后，得到的是底为6，高为6的三角形，由此可画出这个三角形； （2）原长方形的长和宽分别是8和4，根据图形变大与缩小的变化方法，把长方形的长和宽按1:2缩小后，得到的是长为4宽为2的长方形，由此可画出这个长方形； （3）根据三角形的面积=×底×高和长方形面积=长×宽，分别计算出所画图形的面积，然后计算它们的比． 【详解】（1）解：如图1，①即为所求． （2）解：如图2，②即为所求． （3）解：①的面积： ②的面积： 面积比：18:8=9:4 ∴图形①的面积与图形②的面积最简整数比为9:4． 故答案为：9:4． 【点睛】本题考查图形的放大与缩小（按一定比例把图形放大或缩小，形状不变，边和大小会发生变化，各边的变化都符合指定的比，面积会扩大或者缩小比的平方倍），化简整数比（把比的前项和后项同时除以他们的最大公因数），初步体会图形的相似．解题的关键是理解按2：1放大就是把原图的各边长放大2倍，按1：2缩小就是把原图的各边长乘以及化简比结果是一个比，有比号． 【经典例题八 相似多边形】 【例1】（22-23九年级上·全国·期中）如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 【答案】C 【分析】此题主要考查相似图形性质，关键要找出矩形相邻两边的比例．甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为，然后观察比较就可得出答案． 【详解】解：由于三个图形都为矩形，所以角都是，只看它们的边长比例即可， 甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为， ∴相似的是甲和丙， 故选：C． 【例2】（2023九年级上·全国·专题练习）某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 【答案】不能，见解析 【分析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，解方程即可求解． 【详解】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 即宽度为0米的小路不存在， ∴做不到． 【点睛】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似，因为（a、b、c都是正数）． 1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）下列图形，一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解． 【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似； B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似； C.两个正方形，角都是，边对应成比例，故相似； D.任意两个菱形的边对应成比例，但对应角不一定相等，故不一定相似； 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）下列图形中，不一定相似的是（　　） A．邻边之比相等的两个矩形 B．四条边对应成比例的两个四边形 C．有一个角相等的菱形 D．两条对角线的比相等且夹角相等的两个平行四边形 【答案】B 【分析】根据各选项的条件和相似形的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、邻边之比相等，则四条边对应成比例，又四个角都是直角，所以两矩形相似，故本选项正确； B、四条边对应成比例，但四个角不一定对应相等，故本选项错误； C、有一个角相等，则其它角也对应相等，又菱形的四条边都相等所以对应成比例，两菱形相似，故本选项正确； D、可以证明两平行四边形对应边成比例，对应角相等，所以两平行四边形相似，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似形的定义，多边形相似必须满足对应边成比例、对应角相等，二者缺一不可． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）在比例尺为1︰300的地图上测得两地的图上面积为15cm2，则实际面积 m2； 【答案】45 【详解】试题解析：设两地的实际面积是Scm2， 则根据题意得： ， S=450000cm2=45m2. 4．（23-24九年级·全国·假期作业）下面我们做一次折叠活动：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图1的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展开． 第二步：如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处． 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE就是黄金矩形，你能说明为什么吗？（注：当矩形的宽与长的比为时，称这个矩形为黄金矩形） 【答案】答案见解析 【分析】设正方形BCNM的边长为2，利用对折的性质得ACNC＝1，再在△ABC中根据勾股定理计算出AB，接着利用对折得AD＝AB，所以CD＝AD﹣AC＝1，于是有，然后根据黄金矩形的定义进行判断． 【详解】解：由题意可得正方形BCNM的边长为2， ∵正方形BCNM沿AF对折， ∴ACNC＝1， 在△ABC中，∵BC＝2，AC＝1， ∴AB， ∵AD＝AB， ∴CD＝AD﹣AC＝1， ∴， ∴矩形BCDE就是黄金矩形． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了折叠的性质． 【经典例题九 相似多边形的性质】 【例1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 由裁出的矩形的宽与长的比与矩形的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，． 由，得， 即． ∴． 开平方，得（舍去）， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，已知四边形四边形，求，和． 【答案】，， 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，多边形内角和．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”， 即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，，，，， ∴， ∵，，，，，， ∴， 解得：，． 1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质进行解答即可．解题的关键是熟练掌握两个相似多边形的对应边成比例． 【详解】解：设另一个多边形的最短边长为x， 根据题意得：， 解得：， 即另一个多边形的最短边长为8． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的性质可知，然后代入计算求解即可，熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：由相似多边形的性质可知，， ∵四边形的面积是， ∴， ∴， 故选：． 3．（2025·江苏盐城·二模）若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积的比等于相似比平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可求出结果． 【详解】解：∵两个相似多边形的对应边长分别为和， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积比为． 故答案为： 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？ 【答案】 【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，． 由，得， 即． ∴． 开平方，得（舍去）． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 【拓展训练一 比例的性质、判定及应用】 【例1】（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【答案】A 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 1．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）若，a，c不为零则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查比例性质的变形，根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定成立的选项即可 【详解】解：A.∵，∴，正确，不符合题意； B. ∵，∴，∴，正确，不符合题意； C. ∵，∴，∴，∴，正确，不符合题意； D.当时，原式不成立，故选项D符合题意， 故选：D 2．（2023·浙江湖州·一模）四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1与图2的拼图结果先得出线段间的相等关系，求得h与l，此题即可得解． 【详解】解：如图，图1由一个长方形分割而成，且图中只有角， 则根据题意可知：a∥b， ∴a＝b， 由图2可知c＝2a， ∴l＝a＋b＝2a，h＝a＋2a， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了几何变换，解题的关键是弄清题意，能从图形中找出线段间关系． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查比例的性质. 当时，根据题意可得，，，当时，根据题意可得，分别代入，即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴，，， ∴， 即 ∴； 当时，，则； 综上所述，或， 故答案为：或． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）由题意可知，，，由即可得到答案； （2）①设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； ②由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可； ③根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 【拓展训练二 平行在比例中的应用】 【例1】（2025·天津南开·一模）如图①，在中，是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画弧，交线段于点，交线段于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故不符合题意； D．不一定成立，故符合题意． 故选：D 【例2】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，是的中线，过上任意一点，作，与和的延长线分别交于和，交于点 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，关键是根据题意作出辅助线，构造平行四边形．延长至，使，连接，，证明四边形为平行四边形，进一步得到，证明，得到且，则四边形为平行四边形，即可得到结论． 【详解】证明：延长至，使，连接，， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 又，， ，， ， ∴， 四边形为平行四边形， ． 1．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，故A选项正确，符合题意； 因为，故D选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，而不一定等于，故C选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．1.5 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的性质和平行线分线段成比例定理，延长交于点G，根据平行线分线段成比例定理得出是的中位线即可求解． 【详解】解：延长交于点G， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴，即点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（22-23九年级上·全国·期中）如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理（包括三角形中位线定理的延伸），解题的关键是利用两组平行线、分别得出对应线段的比例关系，通过中间线段建立与的联系． 由，根据平行线分线段成比例定理得；由，同理得=；因此；已知、，代入比例式即可求出的长度． 【详解】解：∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∴（等量代换）． 已知， 设，则，解得． 故答案为： 4．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）掌握相似三角形判定，通过得到对应边成比例，即可计算得出结论； （2）利用得到，利用对应边成比例，即可计算得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在和中， ， ． ． （2）由题意可知，， ，， 在和中， ， ， 由（1）可知，， ，即． 【点睛】本题的关键是掌握相似三角形的判定，两个三角形，对应的两个内角相等，则三角形相似；相似三角形的性质，两个三角形相似，则对应边成比例． 【拓展训练三 相似图形的综合问题】 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·课后作业）下列图形不是形状相同的图形是（ ） A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 C．某人的侧身照片和正面像 D．一棵树与它倒影在水中的像 【答案】C 【分析】利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可． 【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是形状相同的图形，不合题意； B、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是形状相同的图形，不合题意； C、某人的侧身照片和正面像，不是形状相同的图形，符合题意； D、一棵树与它倒影在水中的像，是形状相同的图形，不合题意； 故选C． 【点睛】此题主要考查了相似图形的定义，正确把握定义是解题关键． 【例2】（24-25九年级下·全国·单元测试）将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可得到的矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN． (1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比变了吗？ (2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？ (3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？ 【答案】(1)长和宽的比不变；(2)有成比例的线段．(3)这些大小不同的矩形相似． 【分析】（1）所有矩形的长、宽之比为； （2）第一个矩形的宽为对折后矩形的长，则得到成比例的线段； （3）根据相似多边形的定义回答． 【详解】 设原长方形的长和宽分别为a和a， 第一次对折后，长宽之比为：a∶ a，长宽之比保持； 第二次对折，长宽之比为：a：，长宽之比保持； 第三次对折，长宽比为：，长宽之比保持； 第四次对折，长宽之比为：：，长宽之比保持； ∴在折叠过程中，这些矩形的长和宽的比都为， 长和宽都是成比例的线段，所以这些矩形都相似． 综上所述： (1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比不变； (2)在这些矩形中，有成比例的线段． (3)这些大小不同的矩形相似． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等． 1．（25-26九年级上·北京·单元测试）下列命题： ①所有的等腰三角形都相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似； ③四个角对应相等的两个梯形相似；④所有的正方形都相似． 其中正确命题的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义分别判断即可解答． 【详解】①所有的等腰三角形形状不一定相同，所以不一定都相似，选项A错误； ②利用两角对应相等的两个三角形相似可判定一对锐角相等的两个直角三角形相似，选项B正确； ③四个角对应相等的两个梯形相似；在梯形内，做一腰的平行线，得一小梯形，显然不相似，选项C错误； ④所有的正方形都相似，选项D正确． 故正确的有2个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的形状必须完全相同进而判断是解题关键． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） ①所有的矩形都是相似图形；②所有的平行四边形都是相似图形；③所有的圆都是相似图形；④所有的正方形都是相似图形；⑤所有的等腰三角形都是相似图形． A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的定义，根据形状相同的图形为相似图形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，所有的矩形四个角都是直角，但是对应边不一定成比例， 故所有的矩形不都是相似图形，①是不符合题意； 所有的平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例， 故所有的平行四边形不都是相似图形，②是不符合题意； 所有的圆的形状相同，大小成比例， 故所有的圆都是相似图形，③是符合题意； 所有的正方形的四个角都是直角，且对应边成比例， 故所有的正方形都是相似图形，④是符合题意； 所有的等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例， 故所有的等腰三角形不都是相似图形，⑤是不符合题意； 故选：D 3．（22-23九年级上·全国·期中）如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．先求出矩形的面积，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴， ∴， 故答案为： 4．（2024九年级上·浙江·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点 【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形矩形， ∴， 又∵， 可设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：假设存在矩形与矩形相似； 则必与对应，必与对应， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 而， 依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形， 综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似； 且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）下列四组线段中，不是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段，解题的关键是熟练掌握成比例线段的条件． 利用成比例线段的条件逐项进行判断即可． 【详解】解：A.， ∴该四条线段成比例，不符合题意； B. ， ∴该四条线段成比例，不符合题意； C.∵任意两线段之比都不相等， ∴该四条线段不成比例，符合题意； D. ， ∴该四条线段成比例，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求解，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 4．（2025·云南·模拟预测）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（    ） A．和之间 B． 和之间 C．和之间 D． 和之间 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割、无理数的估算，掌握估算无理数大小的非负数解题的关键． 根据，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，一舞台长，是靠近点的黄金分割点，则的长约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据黄金分割点是指把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比列出比例式，整理得一元二次方程，求解方程即可得解． 【详解】解：黄金分割是指把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比， ， ， ， ， 故选：C． 6．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 7．（2024·广东深圳·三模）下列判断正确的是（    ）． A．对角线相等的四边形是矩形 B．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似 C．如果两个相似多边形的面积比为16∶9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4∶3 D．若点是的黄金分割点，且，则的长为 【答案】C 【分析】A．利用矩形的判定定理对角线相等的平行四边形可判断；B．一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似应满足长与宽相等时可以，而矩形的长与宽一般不等；C.利用相似图形的性质即可；D．利用黄金分割法可求出BC有两个值即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误； B、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误； C、如果两个相似多边形的面积比为16：9，则两个相似多边形的相似比为4:3，那么这两个相似多边形的周长比等于相似比是4：3，故此选项正确； D、若点C是AB的黄金分割点，且AB＝6cm，则BC的长为或，故此选项错误； 故选C． 【点睛】本题综合性考查矩形，矩形相似，相似多边形的性质，黄金分割问题，掌握矩形的判定方法，矩形相似的判定方法，相似多边形的性质，会求黄金分割中线段的长是解题关键． 8．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， ∴，， ∵是的中点，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：D． 9．（2023·江苏无锡·一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，则的面积为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】 设交轴于点，交于点，设，，利用平行线分线段成比例推出和长度，从而求出长度，即可求出的面积. 【详解】解：设交轴于点，交于点，设，则. 在双曲线上， . . 四边形为矩形， . . ， . ， ， ， ， . . 故答案选：B. 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、矩形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键在于学会利用参数解决问题，综合性比较强. 10．（24-25九年级上·重庆渝中·期中）如图，在中，过点作于点，过点作于点，、交于点，连接．将沿翻折得到，点恰好落在线段上且交于点．若，，，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由，，可证明，再根据题意即可证明．再由翻折的特点，可知，为等腰直角三角形，所以AE=EC=3，即求出AF长，由于，，可证明,即可证明，由平行线分线段成比例，可推出，即可得出BG长度． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， 由翻折可知：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 由平行线分线段成比例 ∴ 又∵， ∴ 根据勾股定理 ∴， ∴ 故选C 【点睛】本题考查直角三角形、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和平行线分线段成比例的性质．综合性较强，证明并正确利用平行线分线段成比例是解题关键． 11．（22-23九年级上·全国·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割；根据黄金分割的定义得到，再把代入计算即可． 【详解】解：∵点C，点D是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：2． 13．（2025·宁夏银川·三模）黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点C为的黄金分割点，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点C为的黄金分割点，且，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，过点作交于点．利用平行线等分线段定理，证明即可． 【详解】解：如图，过点作交于点． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，，D是的中点，过点D作的平行线，交于点E，作的垂线，交于点F．若，且的面积为，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理等，过点A作于点H．根据D是的中点，，可得，即．同理可得，即．根据的面积为，可得，进而有，结合面积可得．结合，可得，问题随之得解． 【详解】过点A作于点H． ∵D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴． ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形四边形，求的值和的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴，， 解得，，，， ∴． 17．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练运用是关键； （1）由得，即可求得； （2）由得，再结合即可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 【答案】(1)1； (2)，，． 【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． （1）令，，，把，，，代入，即可计算； （2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令，，， ， ． （2）， ， ， ， ，，． 19．（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，已知，、交于点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键； （1）根据可得，结合已知得出即可证明； （2）根据，得出等量代换即可得出 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴． （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 20．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知E、F、G、H各点分别在四边形的、、、边上（如图）． (1)当时，求证： (2)当上述条件中比值为3，4，…，n时（为自然数），那么与之比是多少？ 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）可先依据题中条件分别得出各个小三角形的面积与四边形面积的关系，进而四边形减去各个小三角形的和即可得出四边形与四边形的关系； （2）规律性问题，根据（1）中结论可得出规律，其证明方法与（1）相同． 【详解】（1）证明：连接、 ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 同理可得， ， ， ． （2）解：当上述条件中比值为3，4，…，n时， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 同理可得， ， ， ． 【点睛】本题考查了两个三角形的高相同时，它们的面积之比就等于底边长之比，熟练掌握以上知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $