专题2.1 函数概念重难点题型讲义（1个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题2.1 函数概念重难点题型专训 （1个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 函数关系的判断 题型二 求函数值 题型三 已知函数值求自变量或参数 题型四 具体函数的定义域 题型五 抽象函数的定义域 题型六 复合函数的定义域 题型七 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型八 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型九 根据值域求参数的值或者范围 题型十 已知函数类型求解析式 题型十一 已知f(g(x))求解析式 题型十二 求抽象函数的解析式 题型十三 判断两个函数是否相等 拓展训练一 求函数的定义域 拓展训练二 函数值域相关问题 拓展训练三 求函数解析式 知识点一：函数的概念 1 概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 比如 贵哥西藏骑旅中，以的速度从大理去相距的丽江，出发小时后行驶的路程是，则是的函数，记为，定义域是，值域为．对集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一的数和它对应． 对函数概念的理解 ① 是非空的数集，一方面强调了只能是数集，即中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集． ② 函数中，集合间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合中的元素可以在集合没元素对应. ③ 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集中的任意一个(任意性)元素，在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数． 2 定义域 ① 概念：函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com] 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． 3 值域 ① 概念：函数值的取值范围 ② 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 4 区间 区间的几何表示如下表所示： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 半开半闭区间 开区间 开区间 【即时训练】 1．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 2．（2025高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域； （2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域． 【详解】（1）设． 因为的定义域为， 所以要使有意义，必须，解得， 所以的定义域为，即的定义域为． （2）设，考查函数． 因为的定义域为， 所以，得， 所以的定义域为． 设，要使有意义， 必有，解得． 故的定义域为． 故答案为：；． 【经典例题一 函数关系的判断】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【答案】C 【分析】由知，且不能只，中至少还要有1个函数值等于1，然后进行分类列举即可. 【详解】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)不是集合A到集合B的函数 (2)是集合A到集合B的函数 (3)不是集合A到集合B的函数 (4)是集合A到集合B的函数． 【分析】函数要求对于数集A中的任意一个实数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，由此可判断题中关系是否为函数. 【详解】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． （2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数． （3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数． （4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）存在定义域为的函数，满足对任意，使得下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为有两个不相等的根和，所以当时，； 当，，与函数的定义不符，故A不成立； 对于B，令，则，令，则，与函数定义不符，故B不成立； 对于C，令，则，令，则，与函数定义不符，故C不成立； 对于D，，，唯一确定，符合函数定义.故D成立， 故选：D. 2．（多选题）（24-25高一上·浙江温州·期中）设，，，，记为平行四边形内部（不包含边界）的“格点”的个数（格点是指横坐标和纵坐标都是整数的点），则函数可能的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对的取值进行分类讨论即可. 【详解】对，设平行四边形内部位于直线上的格点数目为，则. 而就是开区间上的整数个数，所以当是整数时，；当不是整数时，. 这就得到，所以由可得. 由于，故如果中有两个是整数，则剩余的第三个一定是整数，所以. 这就得到. 由，，可知，的全部可能值为. 故选：ABD. 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为 . 【答案】 【分析】对、、的取值进行分类讨论，计算出不同情况下函数的个数，即可得解. 【详解】分以下几种情况讨论： ①当、、全为时，只有种； ②当、、中有两个为，一个为时，有种； ③当、、中有两个为，一个为时，有种； ④当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种； ⑤当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种. 综上所述，满足条件的函数的个数为个. 故答案为：. 4．（23-24高一·全国·课后作业）下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？ ①f：把对应到；   ②g：把对应； ③h：把对应到 ；       ④r：把对应到. 【答案】①是实数集R上的一个函数；②是实数集R上的一个函数；③不是实数集R上的函数；④不是实数集R上的函数. 【分析】根据函数的概念及其对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，实数集R上的一个函数，它的对应关系是：把乘3再加1，对于任意，都有唯一确定的值与之对应，如当时，有与之对应. 同理，对于②中，把对应也是实数集R上的一个函数. 对于③中，把对应到不是实数集R上的函数，因为当x＝0时，的值不存在. 对于④中，把对应到不是实数集R上的函数，因为当时，的值不存在. 【点睛】本题主要考查了函数的定义及其判定，其中解答中熟记函数的概念及函数的对应关系是解答的关键，属于基础题. 【经典例题二 求函数值】 【例1】（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知函数满足，且，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】分别取代入，联立可解得，然后可求. 【详解】因为函数满足， 所以有，， 又，所以， 解得，则. 故选：A． 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据解析式代入运算得解； （2），利用解析式代入运算证明； （3）利用，运算得解. 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）由（1）发现． 证明如下：． （3）． 由（2）知，， 所以原式. 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可求出的值，令可求出的值，令可求出的值. 【详解】令，可得，故， 令可得，即，解得， 令可得，即，解得. 故选：D. 2. （2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据的解析式，进行相关的运算判断各个选项即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由选项C知，且， ，故D正确. 故选：BCD. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数的定义域为，若，则 ． 【答案】 【分析】令得，再令得，最后令，利用赋值法即可求解. 【详解】令，则，即，可得； 令，则，即，可得； 令，可得. 故答案为：. 4．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数. (1)求的值； (2)探索； (3)利用（2）中结论，求的值. 【答案】(1)1;1 (2)1; (3). 【分析】（1）已知函数，根据解析式即可求解； （2）计算可得出定值1； （3）根据（2）的结论，运用到式子中化简即可求值. 【详解】（1）因为函数， 所以， 所以. （2）由函数，可得， 所以. （3）由函数可得. 根据（2）的结论， 所以 . 【经典例题三 已知函数值求自变量或参数】 【例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【分析】中令，结合可得答案. 【详解】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）设，，若，求的值． 【答案】或 【分析】将代入等式即可构造方程求得结果. 【详解】，， ，即，解得：或. 1．（22-23高一上·江苏徐州·期末）已知函数满足：对任意的非零实数x，y，都成立，.若，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意可得，， 又， 所以，而，可得. 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，再用计算即可. 【详解】令，解得，则，则． 故选：D. 3．（23-24高三上·浙江湖州·期末）设函数.已知，且，，则 . 【答案】 【解析】先将进行因式分解再与比较，利用对应系数相等可得关于的方程，即可得的值，即可求解. 【详解】因为， 所以， ， 因为， 所以，对任意的恒成立， 所以不恒为， 所以 展开整理可得：， 所以 解得：或（舍）， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将进行因式分解，由不恒为，得出利用待定系数法可求的值. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知a，b，c为非零实数，，，且，.若当时，对于任意实数x，均有，试求出值域以外的唯一数. 【答案】58 【分析】依题意得，化简得，则有，结合，，即19，97是方程的两根，韦达定理得，，得，，，进而得到，得到答案. 【详解】当时，有， 则，化简得. 由于该方程对恒成立，故，，则. 又，，即19，97是方程的两根， 即19，97是方程的两根，由韦达定理得，. 结合，得，，，从而， 故取不到58这个数，即58是的值域外的唯一数. 【经典例题四 具体函数的定义域】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由具体函数的定义域求法即可解答. 【详解】函数的定义域为，A正确； 由知的定义域为，B错误； 对于C，D，易知的定义域为，C，D错误． 故选：A. 【例2】（24-25高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】(1)要使函数有意义，只需令，其解集即为函数的定义域. (2)要使函数有意义，需满足,其解集即为的定义域. 【详解】（1）要使函数有意义，只需令，解得：, 所以函数的定义域为：. （2）要使函数有意义，需满足,所以, 所以的定义域为: 1．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D． 【答案】D 【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】根据题意，得到，解得且.故定义域是. 故选：D. 2．（22-23高一上·江西·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C. 3．（23-24高一上·广东惠州·期中）函数定义域为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式和分式的意义可得. 【详解】要使有意义， 则，解得， 所以定义域为， 故答案为：. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）利用具体函数定义域的求法，分类讨论的取值范围即可得解. 【详解】（1）当时，，此时函数的定义域为， 当时，，解得，此时函数的定义域为； 当时，，此时函数的定义域为； （2）令，解得或， 当时，此时的定义域为或， 当时，恒成立，此时的定义域为， 当时，此时的定义域为或. 【经典例题五 抽象函数的定义域】 【例1】（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，由，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 【例2】（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】（1）{，或}；（2） 【分析】（1）根据的定义域列不等式求解x，即为的定义域； （2）由的定义域可得，求出的范围即为的定义域. 【详解】（1）的定义域为， 要使有意义，须使，即或， 函数的定义域为{，或}. （2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是， 令，，的定义域为， 函数的定义域为. 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 2．（22-23高一上·辽宁本溪·期末）若函数的定义域是[1，2023]，则函数的定义域是（    ） A．[0，2022] B． C．（1，2024] D． 【答案】D 【分析】由抽象函数定义域相关概念可得答案. 【详解】因的定义域是[1，2023]， 则由可得：， 则定义域为：. 故选：D 3．（22-23高三·全国·对口高考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义的求法，得到，即可求得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，所以，即且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【详解】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 【经典例题六 复合函数的定义域】 【例1】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的定义可知，，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以中，，解得：， 所以函数的定义域为. 故选：B 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）（1）已知函数y＝f(x)的定义域为[－2，3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域； （2）已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2，3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域. 【答案】（1）；（2）[－9，1]. 【分析】（1）根据函数y＝f(2x－3)中2x－3的范围与函数y＝f(x)中x的范围相同，解不等式－2≤2x－3≤3可得结果； （2）根据－2≤2x－3≤3，解得≤x≤3，再根据－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，可得结果. 【详解】（1）因为函数y＝f(x)的定义域为[－2，3]，即x∈[－2，3]， 函数y＝f(2x－3)中2x－3的范围与函数y＝f(x)中x的范围相同， 所以－2≤2x－3≤3，解得≤x≤3， 所以函数y＝f(2x－3)的定义域为. （2）因为x∈[－2，3]，所以2x－3∈[－7，3]，即函数y＝f(x)的定义域为[－7，3]. 令－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，所以函数y＝f(x＋2)的定义域为[－9，1]. 【点睛】本题考查了复合函数定义域的求法，属于基础题. 1．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知求出中的取值范围，它即为中的范围，再结合分母不等于0，二次根式中被开方数非负得出结论． 【详解】中，，则， 所以函数中，解得， 故选：A． 2．（多选题）（23-24高一上·浙江金华·期末）已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 【答案】BC 【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据值域为，即可判断选项B，令， 求得范围即为定义域，由可得值域，即可判断选项C，由的值域为可得，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A：令可得，所以函数的定义域为， 故选项A不正确； 对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确； 对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确； 对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确， 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是已知的定义域，可以先求的定义域，再由的定义域求的定义域. 3．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数.的定义域求出函数的定义域，再求函数的定义域即可. 【详解】函数的定义域为， , , 函数的定义域是, 令, , 函数的定义域为. 故答案为: 【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题,解题的关键是明确函数的定义域是求自变量的取值范围，是基础题目. 4．（23-24高一上·浙江·课后作业）若函数的定义域为，求的定义域． 【答案】分类讨论，答案见解析. 【分析】根据复合函数的定义域的求法，建立不等式组即可得到结论． 【详解】解：∴的定义域为，∴中的自变量应满足 即 当，即 时， ；当 ，即 时， ，如图： 当，即时，，如图 综上所述，当时，的定义域为； 当时，的定义域为；当时，函数不存在． 【经典例题七 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 【例1】（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 【例2】（24-25高一上·上海·假期作业）求值域： (1)， (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过配方，由二次函数的值域即可求解； （2）根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以函数的值域为. （2）因为，其中对称轴为，且， 则时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为， 所以函数值域为. 1．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）在实数集中定义一种运算“”，具有下列性质： ①对任意a，，； ②对任意，； ③对任意a，，． 则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】注意新定义的运算方式即可. 【详解】在③中，令，则，所以． 函数在时取最小值，最小值为；在时取最大值，最大值为5，所以函数的值域是． 故选：B． 2．（多选题）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知，，为大于0的常数，则的值域可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对二次函数进行配方，得最低点，计算出，根据二次函数的性质可得结果. 【详解】因为，， 当时，的值域为， 由二次函数的性质可得值域不可能是， 当且满足时，的值域为， 无论取任何正实数，二次函数的最小值定小于，即值域不可能为， 故可得的值域可能为，， 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了二次函数的值域问题，考查了数形结合思想，属于中档题. 3．（24-25高一上·江苏连云港·期中），的值域为 ． 【答案】 【分析】利用配方法求二次函数的对称轴,判断函数在区间上的单调性,进而求出在区间上的最值即可. 【详解】根据题意,, 所以函数图象的对称轴为,开口向上, 所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以当时，函数有最小值为2, 当时,函数有最大值为, 故答案为： 【点睛】本题考查求二次函数在给定区间上的值域;正确判断函数在给定区间上的单调性是求解本题的关键;属于中档题. 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）设函数的定义域为集合. （1）求集合； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）函数的定义域由函数和函数的定义域构成，分别求出两者的定义域而后取交集即可； （2）根据二次函数在给定区间上的值域的求法进行计算即可. 【详解】（1）由题意： ∴. （2）， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 又，则，但时， 故值域为. 【经典例题八 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【详解】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】由题知，等价于在上有根，再利用判别式求解即可. 【详解】，定义域为， 所以，即， 则在上有根， 所以， 解得，即或， 又，即， 所以函数的值域为． 1．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）与函数值域相同的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据基本不等式确定函数的最值，从而得其值域，再结合二次函数、绝对值函数、对勾函数、一次函数的性质确定函数值域即可得答案. 【详解】当时，函数，当且仅当时，等号成立，则的值域为， 对于A，函数，当时有最小值，故其值域为，故A正确； 对于B，因为，则，则的值域为，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故的值域为，故C正确； 对于D，当时，函数，其值域为，故D错误． 故选：AC. 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令，换元得，再求二次函数的值域即可. 【详解】， 令，则， 得， 当时，取得最小值为， 则函数的值域为 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式将问题转化为动点到，两点的距离之差最小或最大． 【详解】， 问题转化为动点到，两点的距离之差最小或最大.    当A，B，P三点共线，且点位于点和点之间时距离之差最小， 所以； 当点P的横坐标x趋向于负无穷大时，直线趋近于重合，此时接近于， 即距离之差的最大值趋近于5， 所以， 函数的值域为：. 【经典例题九 根据值域求参数的值或者范围】 【例1】（23-24高一上·湖北荆州·期中）函数在上的值域是，若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在处取得最大值1，并且方程的根是或1，又，则，从而求得的取值集合． 【详解】解：， 时，取到最大值1， 方程的根是或1． 若，则， 的取值集合围是：，． 故选：B． 【例2】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数 （1）若求的定义域. （2）若的值域为求实数的取值范围. 【答案】（1）的定义域为（2） 【分析】（1）将代入计算即可得出的定义域. （2）的值域为等价于函数的最小值，讨论为一次函数还是二次函数，求出实数的取值范围即可． 【详解】（1） （2）的值域为等价于函数的最小值， 即①当时，，不成立 ②当时，，满足题意 ③当时，为二次函数，开口必须朝上，即解得，对称轴 ， 所以解得 综上所述 1．（2023·江西·模拟预测）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出二次函数在上的值域为，分、、两种情况讨论，求出函数在上的值域，由题意可得出，当时，直接验证即可，在、两种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】函数， 当时，，则，则， 函数在的值域记为， 对任意的，存在，使，则， ①当时，，则，则； ②当时，因为，则，则， 所以，，解得； ③当时，因为，则，即， 所以，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 2．（多选题）（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若函数的值域为，则下列的值满足条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】分和分别讨论和的值域，判断是否满足值域的并集为即可. 【详解】若，当时，，， 若函数的值域为，则时，的对称轴， 此时在单调递减，且，满足题意； 所以选项ACD符合题意， 若，当时，， 当时，的对称轴，此时， 不满足值域为，所以不符合题意； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟悉一次和二次函数的图象，讨论和时 以及的单调性，且对于，当时，即可判断时，，可判断时不符合题意. 3．（22-23高一上·宁夏银川·期中）已知函数的值域为，求实数k的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据函数的值域为，可得是函数的值域的子集，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 所以是函数的值域的子集， 当时，，符合题意， 当时， 则，解得， 综上所述，. 故答案为：. 4．（23-24高一上·浙江·课后作业）已知函数的值域为，求的值. 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，根据值域得出，令结合判别式法，即可得出的值. 【详解】 令，即有实根 ，即 由是方程的两根 由韦达定理可知，，解得 【经典例题十 已知函数类型求解析式】 【例1】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）设二次函数，集合，且，求函数的解析式. 【答案】 【分析】由求出的值，再根据集合的概念可知得解为和，代入求出即可. 【详解】由可得， 又因为集合，所以得解为和， 代入得，解得， 所以. 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，为常数，且，满足．若关于的方程只有一解，则的值的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据和关于的方程只有一解，可求的值. 【详解】由； 又或, 因为关于的方程只有一解， 当为方程的唯一解时，，或方程无解，得； 当不为方程的解时，， 此时，满足题意； 所以或或. 故选：C 2．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知为一次函数，且则的值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设，代入得到或，计算得到答案. 【详解】设 则 或 综上： 故答案选B 【点睛】本题考查了一次函数的计算，待定系数法是常规方法，需要灵活掌握和应用. 3．（23-24高一上·天津静海·阶段练习）已知函数是一次函数，且，则一次函数的解析式为 . 【答案】或 【分析】根据题意设出函数的解析式，再根据，即可得出的解析式. 【详解】函数是一次函数， 设. ， ，解得或， 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查的是函数的解析式，利用待定系数法求解析式，考查学生的计算能力，是基础题. 4．（2025高三·全国·专题练习）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式.由得 ； ，得；以及.即可得出解析式. 【详解】设 . 由，得 得；① 设的根为， 则， 所以② 又由已知得.③ 由①②③解得， 所以． 【经典例题十一 已知f(g(x))求解析式】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令求解析式，注意的取值范围． 【详解】令，则，因为，则， ， 所以． 故选：B． 【例2】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【答案】（1） （2） 【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后根据求出参数，进而得到函数的解析式. （2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式. 【详解】（1）因为函数是一次函数，则设. 由于，所以 所以.化简得： 这是一个恒等式，所以，且. 所以. 所以函数的解析式为. （2）， 令，. 所以. 所以函数的解析式为. 1．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，表示出即可得到的解析式. 【详解】令，则，， ∴， ∴. 故选：B. 2．（多选题）（2025高一·全国·专题练习）（多选题）存在函数满足：对任意都有（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于AC，通过赋值说明不符合函数的定义即可判断；对于BD，找到对应的函数解析式即可判断. 【详解】A选项中，当或时，，有或，不符合函数的定义； C选项中，当时，有，当时，，不符合函数的定义； B选项和D选项中，与的图象具有相同的对称轴， 与的图象也具有相同的对称轴，因此不符合函数定义的情况不会发生． 事实上，对于B选项，取即可； 对于D选项，， 令，则，，取即可． 故选：BD． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则 ． 【答案】（且） 【分析】运用换元法求解即可. 【详解】由于，（且）， 则， 所以,且，所以（且）． 故答案为：（且）． 4．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 【答案】（1），（2），（3） 【分析】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）. 【详解】（1）设， 因为，所以，则. 由题意可知:， 对照系数可得，解得. 所以. （2）令，则， 所以. 所以. （3）设， 因为，所以， 对照系数可得，解得， 所以. 【经典例题十二 求抽象函数的解析式】 【例1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知表达式，采用换元法用替换，构造方程 ， 与联立消即可求解． 【详解】因为①， 所以用替换，得 ② 由得 故选B 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）设函数满足，求. 【答案】. 【分析】利用解方程的方法得到方程组，即可得答案； 【详解】因为对任意的且都有成立， 所以对于，且，有 两式组成方程组 ②×2-①得，. 1．（22-23高三上·山东·阶段练习）设为常数，，，则（    ） A． B． C．满足条件的不止一个 D．恒成立 【答案】D 【分析】利用赋值法逐一对各选项进行验证. 【详解】令，可得， 因为，所以，故选项A不正确； 令，得， 代入，得， 原等式变形为，故选项B不正确； 在中， 令，得，即函数取值非负， 令，得，所以， 即恒成立，满足条件的只有一个， 故选项D正确，C不正确. 故选:D. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将换成，建立方程组，即可得出的解析式. 【详解】把①中的换成，得② 由①②得. 故选：D 【点睛】本题主要考查求函数的解析式，属于中档题. 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数满足，则的解析式为 . 【答案】 【分析】将x换成，得到，与原函数联立解得答案. 【详解】，∴将x换成，得， 消去，得，即. 故答案为 【点睛】本题考查了方程组法求函数解析式，忽略掉定义域是容易发生的错误. 4．（2025高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出． 【答案】 【分析】应用赋值法结合已知等式计算求解即可. 【详解】令代入条件得出，∴． 令代入条件得出， ∴． 再令，则有， 而用代入条件中得，       ① ①中与条件相加得 ． ∵， ． ∴， 于是． 令，有， ∴，∴或． 当时，，∴． ∵，∴， ∴，即为所求． 【经典例题十三 判断两个函数是否相等】 【例1】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数. 【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）（1）函数和是同一个函数吗？为什么？ （2）函数和是同一个函数吗？为什么？ 【答案】（1）不是同一个函数，理由见解析；（2）是同一个函数，理由见解析 【分析】利用函数定义域与对应法则判断两函数是否为同一函数即可. 【详解】（1）和不是同一个函数，理由如下： 对于，其定义域为； 对于，其定义域为； 所以和不是同一个函数. （2）和是同一个函数，理由如下： 对于，其定义域为； 对于，由，得，则其定义域为， 又， 所以和是同一个函数. 1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】定义域相同，对应关系完全一致的两个函数为同一函数，以此逐项判断可确定选项. 【详解】，定义域为. A.，定义域为，与不是同一函数. B.，定义域为，与不是同一函数. C.，定义域为，与不是同一函数. D. ，定义域为，与是同一函数. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高一上·河南洛阳·期中）下列各组函数中，不是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C． 与 D．=与 【答案】BCD 【分析】判断两个函数是否相同，需要从函数的定义域和对应关系两方面进行分析. 【详解】对于A选项，对于，当时，； 当时，. ， 与的定义域都是，且对应关系相同，所以与是同一个函数.   对于B选项，，. 虽然定义域都是， 但是当时，，，对应关系不同，所以与不是同一个函数.   对于C选项，，定义域为；，定义域为. 对，，对应关系不同，所以与不是同一个函数.   对于D选项，，定义域为；，定义域为. 定义域不同，所以与不是同一个函数. 故选：BCD. 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知下列三组函数：①与；②与，③，与，，表示同一函数的是 （写出所有符合要求的函数组的序号）. 【答案】②③ 【分析】通过看定义域可判断①的两函数不是同一函数，对于②可得出，显然与是同一函数，对于③的两函数都表示两个点，，从而是同一函数，从而得出是同一函数的为②③． 【详解】解：①的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数； ②，与是同一函数； ③，，表示两个点，，，，表示两个点，，是同一函数； 表示同一函数的是②③． 故答案为②③． 【点睛】考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同． 4．（23-24高一·全国·课后作业）下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （1），； （2），； （3），； （4），. 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是 【分析】（1）由定义域不同，对应法则也不同判断； （2）由对应法则不同判断； （3）由两函数定义域不同判断； （4）由定义域都为(−∞,0)∪(0,+∞)，且对应法则也相同，判断是同一函数， 【详解】（1）函数的定义域为R,函数定义域为[0,+∞)， 定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； （2）函数，对应法则不同，即解析式不同， 两个函数不是同一函数，函数与不是同一函数； （3），由于的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，两个函数不是同一函数； （4）函数与的定义域都为(−∞,0)∪(0,+∞)， 且对应法则也相同，是同一函数. 【拓展训练一 求函数的定义域】 【例1】（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由，得，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）法一：根据复合函数成立的条件即可求出函数的定义域．法二：利用平移变换可求函数的定义域. （2）利用抽象函数的定义域求解. 【详解】（1）法一：设中，，则， 由函数的定义域是，得函数的定义域是． 即，故，，于是函数的定义域是． 法二：函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位而得到， 故函数的定义域可由函数的定义域向右平移一个单位，得到． 即函数的定义域是． （2）由题意，，，所以的定义域为． 1．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解. 【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足： ，解得或， 故定义域为： 故选：D 2．（多选题）（24-25高一上·广东梅州·开学考试）下列各组中不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同课判断. 【详解】选项A：的定义域为，此时，故两个函数是同一个函数； 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数； 选项C：两个函数的定义域都是，，故是同一个函数； 选项D：函数的定义域为，函数的定义域是，定义域不同，故不是同一函数， 故选：BD 3．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 【答案】 【分析】由题设结合抽象函数，根式与分式的意义列出关于x的不等式计算即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·山西·阶段练习）求函数的定义域． （1）函数的定义域； （2）已知的定义域为，求函数的定义域； （3）已知的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据二次根式需被开方数大于或等式0，得，再分和两种情况分别求解不等式，再求所得的解集的并集； （2）根据复合函数的定义域的求法：已知的定义域是A,求的定义域，通过解关于的不等式,求出 x的范围的方法得解； （3）根据复合函数的定义域的求法：已知的定义域是B,求的定义域，由时，得的范围的方法得解； 【详解】（1），①时，，即， 或，故. ②时，，即， 或，故. 综上：. 所以函数的定义域是． （2）因为的定义域为，，， ，故. 所以函数的定义域是； （3），，故. 所以函数的定义域是． 【拓展训练二 函数值域相关问题】 【例1】（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得答案. 【详解】， ，， 从而可知函数的值域为. 故选：D. 【例2】（23-24高一上·上海·课后作业）已知函数的定义域是，值域是．求实数a，b的值． 【答案】 【分析】由题意，函数图象的对称轴为.分、、、四种情况讨论的最大值和最小值，即可求出a，b的值． 【详解】由题意. ，其图象的对称轴为. 当时，函数在上单调递增，有，解得（舍）. 当时，有，解得. 当时，有，解得（舍）. 当时，函数在上单调递减，有，无解. 综上，. 1．（2023·湖南怀化·三模）已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得函数的定义域，换元后利用配方法求函数的值域． 【详解】， 由，解得. . 令， 函数. 当时，； 当时，， 函数的值域为. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的定义域、值域及其求法，训练了利用换元法与配方法求函数的值域，是中档题． 2．（多选题）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数在上的值域为 【答案】AC 【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以， 解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，， 所以，即函数的值域为，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，，其图象的对称轴为直线，且，， 所以函数在上的值域为，故D不正确． 故选：AC． 3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ． 【答案】2 【分析】利用换元法，结合对勾函数性质求解即可. 【详解】令，则原函数化为函数 函数图像如下：    由对勾函数性质得在上单调递增， 所以当时，函数取最小值 故答案为：2 4. （23-24高一·浙江杭州·期末）求下列两个函数的值域： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）将函数化为关于的方程，是参数，使得方程有解的的取值范围即为值域； （2）令，，则函数化为，利用二次函数的性质可求出. 【详解】（1）函数化为， 可知关于的该方程一定有解， 当时，，满足题意， 当时，则， 解得且， 综上，， 的值域为； （2）令，，则， （）， 当时，，无最大值， 的值域为. 【拓展训练三 求函数解析式】 【例1】（22-23高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：利用换元法即可求解，注意自变量的范围；法二：利用配凑法即可求解，注意自变量的范围； （2）利用配凑法即可求解. 【详解】（1）法一：（换元法）令，则，， 所以， 所以的解析式为. 法二：（配凑法）. 因为，所以的解析式为 （2）， 所以 1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】代入求解，即可求解. 【详解】，，，     所以，，BD正确，AC错误， 故选：BD 3．（23-24高一上·上海金山·期末）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】通过令代入即可求解 【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得 ，故． 此时 ， 符合题设要求. 故答案为： 4．（22-23高三·全国·对口高考）（1）已知，求； （2）已知，求； （3）已知是一次函数，且满足，求； 【答案】（1）或;（2）;（3）. 【分析】（1）将函数变形为，利用凑配法求解析式； （2），利用换元法求解析式； （3）设,代入条件求得解析式. 【详解】 因为当时，当时， 所以或. (2)令, 则, (3)设, 则 所以. 1．（22-23高一下·上海青浦·开学考试）已知函数的值域为，关于其定义域，下面说法正确的是（    ）． A． B．不可能是无穷多个闭区间的并集 C．任取中两个元素，乘积一定非负 D．可能是所有有理数以及负无理数所成集合 【答案】D 【分析】对于ABC：找反例即可判断；对于D：所有非正有理数以及负无理数所成集合为,即可判断. 【详解】对于A：取时，函数的值域为，A错误； 对于B：可能是无穷多个闭区间的并集，比如，B错误； 对于C：当函数的值域为，取其定义域，取，则，C错误； 对于D：所有非正有理数以及负无理数所成集合为，此时函数的值域为.而函数在上为偶函数，所以当为正有理数时，函数值大于0，D正确. 故选：D 2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A 4．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知函数，，对于任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别求两个函数在区间的值域，再根据条件转化为子集关系求解. 【详解】时单调递增函数， 的值域是， 的对称轴是，在上，函数单调递减， 的值域是， 对于任意的，存在，使得， ， ，解得：. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查双变量函数相等问题，此类问题，转化为求函数值域，并转化为子集问问他解决. 5．（22-23高一上·广西柳州·期中）已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求函数解析式即可. 【详解】令由于，则， 所以，，得； 所以，函数的解析式为； 故选：B. 6．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】AD 【分析】运用代入法，结合换元法逐一判断即可. 【详解】C选项：令，∴，∴， ∴，故C错误； A选项：，故A正确； B选项：，故B错误； D选项：（且），故D正确． 故选：AD 【点睛】关键点睛：利用换元法求函数解析式是解题的关键. 7．（多选题）（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】对于A，先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于B，由函数定义分函数在处有没有定义即可判断；对于C，由函数的定义域和对应关系即可判断；对于D，先由函数定义域为得，从而得函数有，解该不等式即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数定义域为R， 故函数和不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个， 若函数在处没有定义，则的图象与直线的没有交点； 所以函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确； 对于C，因为函数与的定义域均为R， 且两函数对应关系相同，所以函数与是同一函数，故C正确； 对于D，对函数，其定义域为，所以，故， 所以对函数有，解得， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：判断函数是不是同一函数的方法： 1.先求出两函数定义域，判断定义域是否相同，若不相同，则是不同的函数，若相同，再判断对应关系； 2.定义域相同情况下，判断函数的对应关系，若对应关系相同，则为同一函数，若不相同则不是同一函数. 8．（多选题）（23-24高一上·福建福州·阶段练习）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A．=5x+1 B．=x2+1 C．= D．= 【答案】ACD 【分析】根据解析式直接分析函数的定义域及值域即可求解. 【详解】对A，=5x+1定义域及值域都为R, 对B，=x2+1的定义域为R,值域为， 对C，=的定义域为，值域为， 对于D，=的定义域为，值域为. 故选：    ACD 9．（多选题）（2022高三·全国·专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，代入列方程组求解即可. 【详解】设， 由题意可知， 所以，解得或， 所以或. 故选：AD. 10．（多选题）（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C正确，D错误. 故选：AC 11．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为： 12．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数满足得函数满足，解该不等式即可求解. 【详解】由题可知，对于函数满足，所以， 所以对于函数有，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 13．（2022·上海·高考真题）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 . 【答案】，， 【分析】由可得，可判断当时，；当时，；从而可得，，时，参数的最小值为，从而求得． 【详解】令得，或（舍去）； 当时，，故对任意， 都存在，，，故， 故，，，而当时，， 故当，，时，参数的最小值为， 故参数的取值范围为，， 故答案为：，． 14．（24-25高一上·江西南昌·期中）函数的值域为 【答案】 【分析】根据换元法得到有关的函数，根据取值可得到值域. 【详解】令，则，，则在上是减函数， 所以， 所以，故的值域为， 故答案为：. 15．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有 个. 【答案】 【分析】求出使得函数的值域为的定义域的个数，即可得解. 【详解】由，可得；由，可得； 由，可得. 所以，使得函数的值域为的定义域中至少含、中的一个， 至少含、中的一个，至少含、中的一个， 而、的放法种数等价于集合的非空子集个数，即、的放法种数为种， 同理可知，、的放法种数为，、的放法种数为， 因此，数解析式为，值域为的“同族函数”共有个. 故答案为：. 16．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数解析式代入运算可得解； （2）根据函数解析式列式运算可得证； （3）由（2）的结论，组合运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以； （2）证明：为定值； （3）由（2）可知，，， 所以 ． 17．（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求定义域就是求使式子有意义的实数的集合. 【详解】（1）要使分式有意义，则， 由任意，恒成立， 故函数的定义域为； （2）要使式子各部分有意义，则，解得，且. 故的定义域为； （3）要使分式有意义，则， 当时，，则在恒有意义； 当时，，则，无意义； 综上可知，的定义域为. 18．（23-24高一上·浙江丽水·阶段练习）已知函数，， （1）求，的值； （2）求满足的的值； （3）求函数的解析式及定义域. 【答案】（1），；（2）； （3）的解析式及定义域为. 【解析】（1）直接代入计算即可； （2）由可得答案； （3）用直接代入求得解析式，再根据条件求其定义域. 【详解】（1）函数，， 所以，，. （2）由得，即. （3），， 所以， ， 即， 由可得，当时，，当时，， 可得符合条件的值域为： ，所以，是合理的， 综上所述函数的解析式及定义域为. 19．（23-24高一·全国·课后作业）求下列函数的定义域 （1）已知函数定义域是，求的定义域. （2）已知函数定义域是，求的定义域. （3）已知函数定义域是，求的定义域. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由定义域，建立不等式，求解不等式可得的定义域. （2）由定义域，根据不等式的性质得，可求得的定义域. （3）由定义域，根据不等式的性质得，先求得的定义域，再建立不等式，求解不等式可得的定义域. 【详解】（1）因为定义域是，所以，解得，所以的定义域是. （2）因为函数定义域是，所以，所以，即，所以的定义域是. （3），故的定义域为， 所以令，解得， 故的定义域是. 20．（23-24高一上·浙江宁波·期中）求下列两个函数的值域． （1）； （2）． 【答案】（1）;（2） 【分析】（1）首先函数化简为，然后再换元，令，利用基本不等式求取值范围； （2）函数变形为，再通过换元可得 ，分别讨论函数在定义域下的单调性求取值范围. 【详解】（1）函数的定义域是， ， 设 ， ， ， 当时， ， 当时， ，， 当时， ， ， 当时， ， 综上：函数的值域是 . （2）函数的定义域 ， 解得或， 即定义域是 ， 设 ，或 ， 当时，函数是增函数+增函数=增函数 时，函数取值最小值3， 当时，函数的值域是 当时， ， 函数单调递减，当时，取得最小值1， 当时， ， 所以当时，函数的值域是 综上：函数的值域是 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 函数概念重难点题型专训 （1个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 函数关系的判断 题型二 求函数值 题型三 已知函数值求自变量或参数 题型四 具体函数的定义域 题型五 抽象函数的定义域 题型六 复合函数的定义域 题型七 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型八 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型九 根据值域求参数的值或者范围 题型十 已知函数类型求解析式 题型十一 已知f(g(x))求解析式 题型十二 求抽象函数的解析式 题型十三 判断两个函数是否相等 拓展训练一 求函数的定义域 拓展训练二 函数值域相关问题 拓展训练三 求函数解析式 知识点一：函数的概念 1 概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 比如 贵哥西藏骑旅中，以的速度从大理去相距的丽江，出发小时后行驶的路程是，则是的函数，记为，定义域是，值域为．对集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一的数和它对应． 对函数概念的理解 ① 是非空的数集，一方面强调了只能是数集，即中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集． ② 函数中，集合间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合中的元素可以在集合没元素对应. ③ 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集中的任意一个(任意性)元素，在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数． 2 定义域 ① 概念：函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com] 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． 3 值域 ① 概念：函数值的取值范围 ② 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 4 区间 区间的几何表示如下表所示： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 半开半闭区间 开区间 开区间 【即时训练】 1．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 2．（2025高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【经典例题一 函数关系的判断】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）存在定义域为的函数，满足对任意，使得下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·浙江温州·期中）设，，，，记为平行四边形内部（不包含边界）的“格点”的个数（格点是指横坐标和纵坐标都是整数的点），则函数可能的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？ ①f：把对应到；   ②g：把对应； ③h：把对应到 ；       ④r：把对应到. 【经典例题二 求函数值】 【例1】（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知函数满足，且，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 2. （2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数的定义域为，若，则 ． 4．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数. (1)求的值； (2)探索； (3)利用（2）中结论，求的值. 【经典例题三 已知函数值求自变量或参数】 【例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）设，，若，求的值． 1．（22-23高一上·江苏徐州·期末）已知函数满足：对任意的非零实数x，y，都成立，.若，，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 3．（23-24高三上·浙江湖州·期末）设函数.已知，且，，则 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知a，b，c为非零实数，，，且，.若当时，对于任意实数x，均有，试求出值域以外的唯一数. 【经典例题四 具体函数的定义域】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域： (1)； (2). 1．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D． 2．（22-23高一上·江西·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东惠州·期中）函数定义域为 ． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，求下列函数的定义域： (1)； (2). 【经典例题五 抽象函数的定义域】 【例1】（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·辽宁本溪·期末）若函数的定义域是[1，2023]，则函数的定义域是（    ） A．[0，2022] B． C．（1，2024] D． 3．（22-23高三·全国·对口高考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 4．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【经典例题六 复合函数的定义域】 【例1】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）（1）已知函数y＝f(x)的定义域为[－2，3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域； （2）已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2，3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域. 1．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·浙江金华·期末）已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 3．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 4．（23-24高一上·浙江·课后作业）若函数的定义域为，求的定义域． 【经典例题七 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 【例1】（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·假期作业）求值域： (1)， (2)， 1．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）在实数集中定义一种运算“”，具有下列性质： ①对任意a，，； ②对任意，； ③对任意a，，． 则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知，，为大于0的常数，则的值域可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏连云港·期中），的值域为 ． 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）设函数的定义域为集合. （1）求集合； （2）求函数的值域. 【经典例题八 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 1．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）与函数值域相同的函数有（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【经典例题九 根据值域求参数的值或者范围】 【例1】（23-24高一上·湖北荆州·期中）函数在上的值域是，若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数 （1）若求的定义域. （2）若的值域为求实数的取值范围. 1．（2023·江西·模拟预测）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若函数的值域为，则下列的值满足条件的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·宁夏银川·期中）已知函数的值域为，求实数k的取值范围 ． 4．（23-24高一上·浙江·课后作业）已知函数的值域为，求的值. 【经典例题十 已知函数类型求解析式】 【例1】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）设二次函数，集合，且，求函数的解析式. 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，为常数，且，满足．若关于的方程只有一解，则的值的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 2．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知为一次函数，且则的值为 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·天津静海·阶段练习）已知函数是一次函数，且，则一次函数的解析式为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 【经典例题十一 已知f(g(x))求解析式】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 1．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025高一·全国·专题练习）（多选题）存在函数满足：对任意都有（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则 ． 4．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 【经典例题十二 求抽象函数的解析式】 【例1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）设函数满足，求. 1．（22-23高三上·山东·阶段练习）设为常数，，，则（    ） A． B． C．满足条件的不止一个 D．恒成立 2．（2024高三·全国·专题练习）已知满足，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数满足，则的解析式为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出． 【经典例题十三 判断两个函数是否相等】 【例1】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）（1）函数和是同一个函数吗？为什么？ （2）函数和是同一个函数吗？为什么？ 1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·河南洛阳·期中）下列各组函数中，不是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C． 与 D．=与 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知下列三组函数：①与；②与，③，与，，表示同一函数的是 （写出所有符合要求的函数组的序号）. 4．（23-24高一·全国·课后作业）下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （1），； （2），； （3），； （4），. 【拓展训练一 求函数的定义域】 【例1】（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 1．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·广东梅州·开学考试）下列各组中不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，. 3．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 4．（23-24高一上·山西·阶段练习）求函数的定义域． （1）函数的定义域； （2）已知的定义域为，求函数的定义域； （3）已知的定义域为，求函数的定义域． 【拓展训练二 函数值域相关问题】 【例1】（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·上海·课后作业）已知函数的定义域是，值域是．求实数a，b的值． 1．（2023·湖南怀化·三模）已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数在上的值域为 3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ． 4. （23-24高一·浙江杭州·期末）求下列两个函数的值域： （1）； （2）. 【拓展训练三 求函数解析式】 【例1】（22-23高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求. 1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海金山·期末）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 4．（22-23高三·全国·对口高考）（1）已知，求； （2）已知，求； （3）已知是一次函数，且满足，求； 1．（22-23高一下·上海青浦·开学考试）已知函数的值域为，关于其定义域，下面说法正确的是（    ）． A． B．不可能是无穷多个闭区间的并集 C．任取中两个元素，乘积一定非负 D．可能是所有有理数以及负无理数所成集合 2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知函数，，对于任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·广西柳州·期中）已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（且） 7．（多选题）（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 8．（多选题）（23-24高一上·福建福州·阶段练习）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A．=5x+1 B．=x2+1 C．= D．= 9．（多选题）（2022高三·全国·专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 12．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 13．（2022·上海·高考真题）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 . 14．（24-25高一上·江西南昌·期中）函数的值域为 15．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有 个. 16．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 17．（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域 (1) (2) (3) 18．（23-24高一上·浙江丽水·阶段练习）已知函数，， （1）求，的值； （2）求满足的的值； （3）求函数的解析式及定义域. 19．（23-24高一·全国·课后作业）求下列函数的定义域 （1）已知函数定义域是，求的定义域. （2）已知函数定义域是，求的定义域. （3）已知函数定义域是，求的定义域. 20．（23-24高一上·浙江宁波·期中）求下列两个函数的值域． （1）； （2）． 学科网（北京）股份有限公司 $