第四章 基本平面图形 分节练习2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第四章 基本平面图形 4.1线段、射线、直线 【基础达标】 1.直线、射线和线段三者比较　(　　)（图4-1-1） A.直线比射线长 B.射线比线段长 C.线段比直线长 D.三者无法比较 2.如图4-1-1,下列说法错误的是　(　　) A.点P为直线MN外的一点 B.直线MN不经过点P C.直线MN与直线NM是同一条直线 D.点P在直线MN上 3．下列写法中正确的是　(　　) A.直线a,b相交于点n　　　　 B.直线AB,CD相交于点M C.直线ab,cd相交于点M D.直线AB,CD相交于m 4.如图4-1-2所示,图中有一个端点是D的线段有____ ,以A为端点的射线有___ ___ . 5.狙击手准备射击时,总是半闭着眼,对着准星和目标,用数学知识解释为________________. 6.如图4-1-3所示,读句画图. (1)连接AC和BD,交于点O. (2)延长线段AD,BC,它们交于点E. (3)延长线段CD与AB的反向延长线交于点F. （图4-1-3） （图4-1-2） 【能力提升】 7.直线a,b,c是平面内任意三条直线,交点可能有　(　　) A.1个或2个或3个 B.0个或1个或3个 C.0个或1个或2个 D.0个或1个或2个或3个 8．往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站,假设各段票价不同,则有______种不同的票价(来回票价一样),需准备______种车票. 9.如图4-1-4,图中有a条线段,b条射线,c条直线,求a+b-c的值. （图4-1-4） 【拓展创新】 10.平面内不同的两点确定一条直线,不同的三点最多确定三条直线.若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线,则n的值为________. 11.阅读下表. 线段AB上的点数n (包括A,B两点) 图例 线段总条数N 3 1+2=3 4 1+2+3=6 5 1+2+3+4=10 6 1+2+3+4+5=15 7 解答下列问题:(1)在表中空白处分别画出图形,写出结果. (2)猜想线段总条数N与线段上点数n(包括线段两个端点)有什么关系? (3)计算n=10时N的值. 【预习导航】 预习课本并思考： 1.两点之间的所有连线中, 最短,简记为 . 2.两点之间的距离: (1)定义:两点之间线段的 ，叫做这两点之间的距离. (2)与线段的区别: 两点之间的距离是一个 ，线段是一个 . 3.线段长短的比较方法: 4.线段的中点: 把线段分成 的点叫做线段的中点. 4.2 比较线段的长短 【基础达标】 1.下列四个生活、生产现象: ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时,只要定出两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直,就能缩短路程. 可用公理“两点之间,线段最短”来解释的现象有　(　　) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 2.如果点B在线段AC上,那么下列表达式中: ①AB=AC;②AB=BC;③AC=2AB;④AB+BC=AC,能表示B是线段AC的中点的有　(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知线段a,b,c,如图4-2-1,用直尺(无刻度)和圆规作一条线段,使它的长等于a+b-c. （图4-2-1） 4.如图4-2-2,已知线段AB=6,延长线段AB到C,使BC=2AB,点D是AC的中点.求:(1)AC的长.(2)BD的长.（图4-2-2） 【能力提升】 5.如图4-2-3所示,点B,C在线段AD上,如果AB=CD,则AC和BD的大小关系是　(　　)（图4-2-3） A.AC>BD B.AC<BD C.AC=BD D.无法确定 6.把线段AB延长到D，使BD=AB，再延长BA到C，使CA=AB． （1）若AB=4cm,CD是多少？（2）若AB=1cm, CD是多少？ 7．已知线段AB=10,直线AB上有一点C,且BC=4,M是线段AC的中点,求AM的长度. 【拓展创新】 8. 如图4-2-4，在一个四边形各边上任意取一点，并顺次连接它们.想一想，你得到的图形周长与原四边形周长哪一个大？为什么？如果是一个五边形呢？六边形呢？（图4-2-4） 9.如图4-2-5,点C在线段AB上,AC=8,CB=6,点M,N分别是AC,BC的中点.（图4-2-5） (1)求线段MN的长. (2)若C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a,其他条件不变,你能猜想MN的长度吗?并说明理由. (3)若C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b,M,N分别为AC,BC的中点,你能猜想MN的长度吗?请画出图形,写出你的结论,并说明理由. (4)你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗? 【预习导航】 预习课本，思考： 1．认识角，掌握角的两种定义形式及四种表示方法． 2．认识角度的单位；会初步进行角度的度、分互化运算． 4.3 角（第一课时） 【基础达标】 1.下面,能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角的是　(　　) 2.青少年常被比喻成早晨七、八点的太阳,那么早晨八点钟时,时针与分针所成的角度是　(　　) A.120° B.150° C.100° D.90° 3.把33.28°化成度、分、秒得___ ___;108°20′42″=_____°. 4.如图4-3-1所示,（图4-3-1） 射线OA表示的方向是________度, 射线OB表示的方向是________度. 【能力提升】 5.18°15′和18.15°相等吗?如果不相等,哪个更大? 6.计算: (1)12.42°=______°________′________″. (2)2点30分时,时针与分针所成的角为________°. 7.如图4-3-2,在直线AB上有一点O,作射线OC,OD,OE,则图中共有多少个小于平角(小于180°)的角?它们分别是哪些角? （图4-3-2） 8.甲从A地出发向北偏东30°方向走40m到达点B,乙从A地出发向南偏东60°方向走30m到达点C. (1)用1cm表示10 m,画出示意图.（图4-3-3） (2)试求出∠BAC的度数. (3)你能估算出甲、乙两人相距多少m吗? 【拓展创新】 9.如图4-3-4中图甲所示,将一副三角尺的直角顶点重合在点O处. (1)①∠AOD和∠BOC相等吗?说明理由; ②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系?说明理由. (2)若将这副三角尺按图乙所示摆放,三角尺的直角顶点重合在点O处.①∠AOD和∠BOC相等吗?说明理由; ②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗?说明理由. （图4-3-4） 【预习导航】 预习课本并思考： 1. _________度＜ 锐角 ＜_________度， 直角=_________度， _________度＜ 钝角 ＜_________度. 2. 从_________引出的一条射线，把这个角分成两个_________的角，这条射线叫做这个角的_________.若BD是∠ABC的平分线，则有∠ABD=_________= _________， ∠ABC=2_________=2_________. 3.角的大小的比较方法 4.4 角的比较 【基础达标】 1.已知∠1=17°18′,∠2=17.18°,∠3=17.3°,下列说法正确的是　(　　) A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 C.∠1<∠2 D.∠2=∠3 2.如图4-4-1所示,OC是∠AOB的平分线,则下列结论中正确的个数有　(　　) (1)∠AOC=∠BOC. (2)∠AOB=2∠AOC=2∠BOC. (3)∠AOC=∠BOC=∠AOB . (4)∠AOB=∠AOC+∠BOC. (5)∠BOC=∠AOB-∠AOC. A.5个　　B.4个　　C.3个　　D.2个 3.如图4-4-2,∠AOB,∠COD都是直角,那么∠DOB与∠AOC的大小关系是 ∠DOB________∠AOC. （图4-4-2） （图4-4-1） 4.如图4-4-3,已知∠AOB=50°,∠BOC=90°,OM,ON分别是∠AOB,∠BOC的平分线,求∠MON的度数.（图4-4-3） 【能力提升】 5.借助一副三角尺,你能画出下面哪个度数的角　(　　) A.65° B.75° C.85° D.95° 6.如图4-4-4所示,已知O是直线AB上一点,∠1=40°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是　(　　) A.20° B.25° C.30° D.70° 7.将长方形ABCD沿AE折叠,得到如图4-4-5所示图形.若∠CED′=56°,则∠AED的大小是________. （图4-4-5） （图4-4-4） 8.已知一条射线OA,如果从点O出发再引出两条射线OB和OC,使 ∠AOB=60°,∠BOC=20°,求∠AOC的度数. 【拓展创新】 9.已知:如图4-4-6,OM平分∠AOB,ON平分∠BOC. (1)当∠AOC=90°,∠BOC=60°时,∠MON=______°. (2)当∠AOC=86°,∠BOC=60°时,∠MON=______°. (3)当∠AOC=80°,∠BOC=60°时,∠MON=______°. (4)猜想:不论∠AOC和∠BOC的度数是多少,∠MON与∠AOC的度数关系?（图4-4-6） 【预习导航】 预习课本并思考： 1.多边形相关概念: (1)概念:由若干条不在同一直线上的 首尾顺次相连组成的 . (2)多边形的对角线:连接多边形 两个顶点的线段; (3)正多边形:各边 ,各角 的多边形. 2.圆: (1)圆:平面上,一条 绕着它固定的一个 旋转 ,另一个端点形成的图形. (2)圆弧: 任意两点间的部分. (3)扇形:一条 和经过这条弧的端点的 所组成的图形. (4)圆心角:顶点在 的角. 4.5 多边形和圆的初步认识 【基础达标】 1.从五边形的一个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以把五边形分割成几个三角形　(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.如图4-5-1,图中有两条相交的直径,则图中有扇形　(　　) A.4个 B.6个 C.8个 D.12个 3.如图4-5-2,甲顺着大半圆从A地到B地,乙顺着两个小半圆从A地到B地,设甲、乙走过的路程分别为a,b,则　(　　) A.a=b B.a<b C.a>b D.不能确定 （图4-5-2） （图4-5-1） 4.如图4-5-3,下列图形是多边形的有________(填序号). （图4-5-3） 5.若一个正六边形的边长为4,则它的周长是________. 6.已知一个半径为2的圆. (1)若将圆分成三个扇形,它们的圆心角的比为3∶4∶5,求这三个扇形圆心角的度数. (2)若分成6个大小相同的扇形,每个扇形的圆心角为多少度? (3)若其中一个扇形的圆心角为90度,你会计算这个扇形的面积吗? 【能力提升】 7.如图4-5-4所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n(n是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是　(　　) A.3n B.n(n+2) C.n(n+1) D.2n-1 8.数一数,图4-5-5中有________个三角形. 9.将一个正方形截去一个角,则其边数变为________.（图4-5-5） （图4-5-4） 10.从一个六边形某一边上的一点出发,分别连接各个顶点,可以把六边形分割成多少个三角形? 【拓展创新】 11.李华升入初中,开学第一天,老师让班级的同学每两人相互握一次手,结成好朋友,其中发现所有的同学共握手820次,我们可以通过这个数据求出班级里的学生人数,设班级共有学生n人,则每一个学生需握手n-1次,这样n个学生就握了n(n-1)次手,而每两人之间的握手被重复计算了一次,所以可得=820,这样就可以解出n了. (1)请你运用上述方法,探索八边形对角线的条数.并写出你的思路. (2)请你用题目所给方法得出n边形对角线的条数的公式,并写出你的思路. 【预习导航】 试着完成本章知识总结 第四章 基本平面图形复习 一、选择题 1.如图4-6-1，下列不正确的几何语句是（ ） A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.射线OA与射线OB是同一条射线 C.射线OA与射线AB是同一条射线 D.线段AB与线段BA是同一条线段 2.如图4-6-2，从A地到B地最短的路线是（ ） A.A－C－G－E－B B.A－C－E－B C.A－D－G－E－B D.A－F－E－B （图4-6-2） （图4-6-1） 3.已知A、B两点之间的距离是10 cm，C是线段AB上的任意一点，则AC中点与BC中点间的距离是（ ） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.不能计算 4.用一副学生用的三角板的内角（其中一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一个是30°，60°，90°）可以画出大于0°且小于等于150°的不同角度的角共有（ ）种. A.8 B.9 C.10 D.11 5.已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算（α+β）的结果依次是28°、48°、60°、88°，其中只有一人计算正确，他是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.如图4-6-3，B是线段AD的中点，C是BD上一点，则下列结论中错误的是（　 　） A.BC＝AB－CD B.BC＝AD－CD C.BC＝（AD+CD） D.BC＝AC－BD 7.如图4-6-4，阴影部分扇形的圆心角是（　　） A.15° B.23° C.30° D.36° （图4-6-4） （图4-6-3） 二、填空题 8.已知线段AB=10 cm，BC=5 cm，A、B、C三点在同一条直线上，则AC=_ _ . 9.如图4-6-5，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON=50°，∠BOC=10°，则∠AOD= __________. 10.如图4-6-6，线段AB=BC=CD=DE=1 cm，那么图中所有线段的长度之和等于________cm. 11.一条直线上立有10根距离相等的标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，当他走到第6杆时用了6.5 s，则当他走到第10杆时所用时间是_________. 12.（1）15°30′5″=_______″； （2）7 200″=_______´=________°； （3）0.75°=_______′=________″； （4）30.26°=_______°_______´______〞. 13.平面内三条直线两两相交，最多有a个交点，最少有b个交点，则a+b=___________. 14.上午九点时分针与时针互相垂直，再经过 分钟后分针与时针第一次成一条直线． 15. 如图4-6-7，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB、∠BOD的平分线，若∠AOC=28°，则∠COD=_______，∠BOE=______． （图4-6-5） （图4-6-7） （图4-6-6） 三、解答题 16.按要求作图： 如图4-6-8，在同一平面内有四个点A、B、C、D. 1 画射线CD；（图4-6-8） ② 画直线AD； ③ 连结AB； ④ 直线BD与直线AC相交于点O. 17.已知线段，试探讨下列问题： （1）是否存在一点，使它到两点的距离之和等于？ （2）是否存在一点，使它到两点的距离之和等于？若存在，它的位置唯一吗？ （3）当点到两点的距离之和等于时，点一定在直线外吗？举例说明． 18.如图4-6-9，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数.（图4-6-9） 19. 已知：如图4-6-10，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（图4-6-10） （1）求∠MON的大小. （2）当锐角∠AOC的大小发生改变时， ∠MON的大小是否发生改变？为什么？ 20. 如图4-6-11，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）： （图4-6-11） （1）填写下表： 正方形ABCD内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 4 6 … （2）原正方形能否被分割成2 012个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1线段、射线、直线 1.D 2.D 3.B 4. 线段DA,DE,DB；　射线AM,AN； 5. 经过两点有且只有一条直线(两点确定一条直线)； 6. 7.D 8. 此题相当于一条线段上有3个点,有多少种不同的票价即有多少条线段:4+3+2+1=10；有多少种车票是要考虑顺序的,则有10×2=20(种). 9. 直线只有1条,故c=1,在直线BF上的线段共有4+3+2+1=10(条),以A为端点的线段有5条,故共有15条线段,故a=15,以B,C,D,E,F为端点的射线各2条,故射线共有10条,即b=10.所以a+b-c=15+10-1=24. 10. 平面两点画1条直线,三点最多确定3条直线,四点最多确定6条直线,五点最多确定10条直线,六个点最多确定15条直线.所以答案为6. 11. (1)如下表所示: 线段AB上 的点数n (包括A, B两点) 图例 线段总 条数N 7 1+2+3+4+5+6=21 (2)线段的总条数N与线段上的点数n(包括线段上的两个端点)的关系是N=. (3)当n=10时,N==45. 4.2 比较线段的长短 1. D 2. C 3. 如图,作法:(1)画射线AE.(2)在射线AE上顺次截取线段AC,CD,使AC=a,CD=b.(3)在线段AD上截取线段DB,使DB=c,则线段AB即为所求的线段. 4. (1)因为BC=2AB,AB=6, 所以BC=12,因此,AC=AB+BC=6+12=18. (2)因为D是AC的中点, 所以DC=AC,由AC=18, 得DC=9,所以BD=BC-DC=12-9=3. 5. C 6.(1) CD=16cm； （2）CD=3.5cm； 7. 分两种情况: 如图(1),点C在线段AB右边: 因为AB=10,BC=4, 所以AC=AB+BC=10+4=14. 因为M为AC的中点,所以AM=AC=7. 如图(2),点C在线段AB之间: 因为AB=10,BC=4, 所以AC=AB-BC=10-4=6. 因为M为AC的中点, 所以AM=AC=3. 综上可得AM=7或3. 8. 原四边形周长大.在原四边形的四个内角处构成了四个三角形，每个三角形中，两点之间,线段最短，得到新四边形周长较短. 同理，原五边形和原六边形周长较大. 9. (1)因为M,N分别是AC,BC的中点, 所以MC=AC,NC=BC. 因为MN=MC+CN,AB=AC+BC, 所以MN=AB=7. (2)MN的长度等于a. 根据图形和题意可得: MN=MC+CN=AC+BC = (AC+BC)= a. (3)MN的长度等于b. 根据图形和题意可得: MN=MC-NC=AC-BC = (AC-BC)= b. (4)只要满足点C在线段AB所在直线上,点M,N分别是AC,BC的中点.那么MN的长度就等于AB的长度的一半. 4.3角 1. B 2. A 3. 33°16′48″，108.345； 4. 北偏东50，南偏西75； 5. 不相等,18°15′大,因为15′=15×()°=0.25°, 18°15′=18.25°>18.15°. 6. (1)12，25，12；　(2)105； 7. 共有9个角.以OA为始边的角有:∠AOC,∠AOD,∠AOE(按顺时针方向). 以OC为始边的角有:∠COD,∠COE,∠COB(按顺时针方向); 以OD为始边的角有:∠DOE,∠DOB(按顺时针方向); 以OE为始边的角有:∠EOB. 8. (1)如图, (2)∠BAC=180°-30°-60°=90°. (3)量得示意图中的BC的距离约为5cm, 所以BC的实际距离约为50m. 9. (1)①∠AOD=90°+∠BOD, ∠BOC=90°+∠BOD,所以∠AOD和∠BOC相等. ②∠AOC+90°+∠BOD+90°=360°, 所以∠AOC+∠BOD=180°. (2)①相等.∠AOD=90°-∠BOD,∠BOC=90°-∠BOD, 所以∠AOD和∠BOC相等. ②成立. 由∠AOC=90°+90°-∠BOD可知∠AOC+∠BOD=180°. 4.4 角的比较 1.B 2.A 3. =； 4. 因为∠AOB=50°,OM是∠AOB的平分线,所以∠BOM=25°. 因为∠BOC=90°,ON是∠BOC的平分线,所以∠BON=45°, 所以∠MON=25°+45°=70° 5.B 6.D 7. 62°. 8. 当OC在∠AOB的内部时, 如图, 此时,∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°-20°=40°; 当OC在∠AOB的外部时,如图, 此时,∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°, 所以∠AOC的度数是40°或80°. 9. (1)因为∠AOC=90°,∠BOC=60°, 所以∠AOB=90°+60°=150°. 因为OM平分∠AOB, 所以∠AOM=∠AOB=75°, 所以∠MOC=90°-75°=15°. 又因为ON平分∠BOC, 所以∠NOC=∠BOC=30°, 所以∠MON=∠MOC+∠NOC=15°+30°=45°. (2)因为∠AOC=86°,∠BOC=60°, 所以∠AOB=86°+60°=146°. 因为OM平分∠AOB, 所以∠AOM=∠AOB=73°, 所以∠MOC=86°-73°=13°. 又因为ON平分∠BOC, 所以∠NOC=∠BOC=30°, 所以∠MON=∠MOC+∠NOC=13°+30°=43°. (3)因为∠AOC=80°,∠BOC=60°, 所以∠AOB=80°+60°=140°. 因为OM平分∠AOB, 所以∠AOM=∠AOB=70°, 所以∠MOC=80°-70°=10°. 又因为ON平分∠BOC, 所以∠NOC=∠BOC=30°, 所以∠MON=∠MOC+∠NOC=10°+30°=40°. (4)由以上(1)(2)(3)得出结论: ∠MON=∠AOC. 4.5 多边形和圆的初步认识 1.B 2.D 3.A 4. ③④； 5. 24； 6. (1)一个圆周为360°,所以这三个扇形的圆心角的度数分别为 360°×=90°,360°×=120°, 360°×=150°. (2)把一个圆平均分成6份,所以每个扇形圆心角的度数为=60°. (3)圆的面积为S=πR2=π·22=4π,那么圆心角为90°的扇形的面积为S=×4π=π. 7.B 8. 6； 9. 3或4或5； 10. 应分两种情况: 如果此点为顶点(如图1),可以分割为4个三角形; 如果此点不为顶点,在边上(如图2),则此时可以分割为5个三角形. 11. (1) =20,所以八边形对角线的条数是20. (2)从每一个n边形的顶点出发,可以画(n-3)条对角线,n个顶点就有n(n-3)条,而每一条又重复了一次,所以有条. 第四章 基本平面图形复习 1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.5 cm或15 cm； 9. 90°； 10.20； 11.11.7 s； 12.（1）55 805；（2）120，2；（3）45，2 700；（4）30，15，36； 13.4； 14. ； 15.152°， 62°. 16.解：作图如图所示. 17.解：（1）不存在．因为两点之间，线段最短．因此. （2）存在．线段上任意一点都是． （3）不一定，也可在直线上，如图，线段. C A B 18. 解：∵ ∠FOC=90°，∠1=40°，AB为直线， ∴ ∠3+∠FOC+∠1=180°， ∴ ∠3=180°－90°－40°=50°． ∵ ∠3与∠AOD互补，∴ ∠AOD=180°－∠3=130°. ∵ OE平分∠AOD， ∴ ∠2=∠AOD=65°． 19.解：（1）∵ ∠AOB是直角，∠AOC=40°， ∴ ∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°. ∵ OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线， ∴ ∠MOC=∠BOC=65°，∠NOC=∠AOC=20°． ∴ ∠MON=∠MOC－∠NOC=65°－20°=45°. （2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变． ∵ ∠MON=∠MOC－∠NOC=∠BOC－∠AOC=（∠BOC－∠AOC）=∠AOB， 又∠AOB＝90°，∴ ∠MON=∠AOB=45°． 20.解：（1）有1个点时，内部分割成4个三角形； 有2个点时，内部分割成4+2=6（个）三角形； 那么有3个点时，内部分割成4+2×2=8（个）三角形； 有4个点时，内部分割成4+2×3=10（个）三角形； 有n个点时，内部分割成个三角形. 填表如下： 正方形ABCD内点的个数 1 2 3 4 … N 分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 2n+2 （2）能.当2n+2=2 012时，n=1 005，即正方形内部有1 005个点． 学科网（北京）股份有限公司 $