精品解析： 2025-2026学年苏科版八年级数学上册期中综合能力提升卷 （第1-3章）

2025－2026学年八年级数学期中测试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．） 1. 如图，在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，利用三角形三边的关系可知，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．据此判断． 【详解】解：A．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比上面那根木棒长，这两段相减比上面那根木棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形； B．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比下面那根木棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形； C．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段相减比下面那根木棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形； D．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来和下面那根木棒相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形． 故选：A． 2. 如图所示，，下列四个结论中，不正确的是（ ） A. B. ，且 C. 和的面积相等 D. 和的周长相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握“全等三角形的对应角相等；对应边相等；面积相等；周长相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，故选项A不正确，符合题意； ，和的周长相等，和的面积相等，故选项B、C、D正确，不符合题意； 故选：A． 3. 估算的值在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是求出介于哪两个整数之间． 【详解】解：∵，则 ∴， ∴的值在1与2之间， 故选：A． 4. 如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个正方形的面积求得AB与BD的长度，根据勾股定理求得直角三角形中AD的长度，从而根据圆的面积公式求得半圆的面积. 【详解】由题意可得，BD=6，AB=10， 则在直角三角形ABC中，AD=8， 则以AD为直径的半圆的面积为：. 故选B 【点睛】本题考查了正方形与勾股定理的综合运用，利用正方形的面积求出AB与BD的长度是解题的关键. 5. 如图，是的外角的平分线，， 于点.若，则的长是( ) A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明△BDE和△BDF全等，△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=BF，AF=CE，再用AB、BC表示出AF、CE，整理即可解得． 【详解】如图，过点D作DF⊥AB于F， ∵BD是∠ABP的角平分线， ∴DE=DF， 在△BDE和△BDF中， ∴△BDE≌△BDF(HL)， ∴BE=BF， 在△ADF和△CDE中， ∴△ADF≌△CDE(HL)， ∴AF=CE， ∵AF=AB−BF， CE=BC+BE， ∴AB−BF=BC+BE， ∴2BE=AB−BC， ∵AB=5，BC=3， ∴2BE=5−3=2， 解得BE=1. 故选:C. 【点睛】考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 6. 如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点若以，，为边的三角形的面积为，则的面积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的三边关系得到，根据三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ∵以，，为边的三角形的面积为， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7. 对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的估算，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．根据的含义得到：由a和b为两个连续正整数求得再求出的值，最后求出立方根，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴又a和b为两个连续正整数， ∴ ∴的立方根为． 故选：A 8. 如图，在的正方形网格中，以为边画直角，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，根据格点作图方法以及勾股定理逆定理进行分类讨论①当时，②当时，③当时，即可进行解答． 【详解】解：①当时，如图，可作出2个点C， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形； ②当时，如图，可作出4个点C， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形； ∵，，， ∴， ∴为直角三角形； ③当，如图，可作出2个点C， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形； 综上∶以为边画直角，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，格点作图，勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握格点作图方法和勾股定理定理，解题时要注意找出所有符合条件的点． 9. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 10. 如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【详解】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：． 二、填空题（本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分，不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上）． 11 比较大小：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的大小，然后再比较无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的比较大小，无理数的估算，解题关键是正确掌握实数比较大小的法则． 12. 为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1_____．（填“＞”或“＜”或“=”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】依据勾股定理即可得到AD==，AB==，BD+AD=+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到+1＞． 【详解】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1， ∴CD=2，AD==，AB==， ∴BD+AD=+1， 又∵△ABD中，AD+BD＞AB， ∴+1＞， 故答案为＞． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理以及三角形三边关系是解题的关键． 13. 如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用证明得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．结合网格，画出的垂直平分线，由此即可得． 【详解】解：如图，满足，在的垂直平分线上且在格点上的点有个． 故答案为：5． 15. 将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质和等腰三角形的判定，掌握折叠的性质和等角对等边是解题的关键． 首先根据平行线的性质得出，然后根据折叠的性质得出，通过等量代换得出，从而得出，最后利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ∵点到距离为， 则． 故答案：12． 16. 如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用可证，得到，进而可得，即得，同理可得，，据此即可求解，由全等三角形得到是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即， 同理可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，点与点关于直线对称，动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足，当为等腰三角形时，的长度是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质的应用，题目综合性比较强，难度偏大．解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．分为三种情况：，，，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：，，点与点关于直线对称， ， 分为种情况： 当时， 点与点关于直线对称， ， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， 此时； 当时， ， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； 当时， ， ， 设，则 在中，， ， 解得：； 点在上， 点在点左边， 此时． 当为等腰三角形时，的长度是或． 故答案为：或． 18. 如图，在等腰直角三角形纸片中，是斜边中点，是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点，若，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，于点，于点，连接，，根据折叠的性质可得：，，，根据角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，所以可得，利用勾股定理可以求出. 【详解】解：如下图所示，过点作于点，于点，于点，连接，， ，， ， 点是的中点， 平分， ，， 由折叠的性质可得：，，， ，， 平分， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边之间的关系． 三、解答题（本题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. 已知：和是的两个不同的平方根 （1）求的值． （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）先求出的值，利用平方根的定义即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 20. 如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接． （1）当为边上中线时，若的面积为，求的长； （2）当为的平分线时，若，求的度数． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式、三角形中线的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练运用各性质与定理，结合已知条件逐步推导所需线段长度或角度． （1）先根据三角形面积公式(面积底高)，以为底、为高，结合已知面积和长度求出的长；再由中线性质(中线平分对边)，得为的一半，进而求出的长； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数；再由角平分线性质(角平分线平分角)，得为的一半；接着在中，利用直角三角形两锐角互余求出的度数；最后通过与的差求出的度数． 【小问1详解】 解：∵为边上的高，的面积为， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 某中学计划为新生军训时配备如图所示的折叠凳，图是折叠凳撑开后的侧面示意图（钢管等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，是、的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为．由以上信息求出的长度，并说明理由． 【答案】的长度为，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，得，结合，证得，得，从而完成求解． 【详解】解：长度为，理由如下： ∵凳腿和的长度相等，是它们的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长度为． 22. 如图，在中，． （1）用直尺和圆规作点，使得点到的两边的距离相等，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）过点作，垂足分别为，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和作图，垂直平分线的判定和作图，综合运用这些知识是解题的关键． （1）作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，据此求作； （2）用证得，根据邻补角的性质，即可得出结果． 【小问1详解】 解：点就是求作的点，如图所示； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵点到的两边的距离相等， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 【答案】；q是一个偶数；；p是一个偶数；p，q是互质的正整数 【解析】 【分析】本题主要考查了用假设法证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，等式两边平方得到，由是一个偶数，可得，q是一个偶数，可设（k是正整数），则，即可证明p也是偶数，这与p，q是互质的正整数的假设矛盾，由此即可证明结论． 【详解】解：完整证明过程如下： 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴q是一个偶数． 设（k是正整数）， ， ， 是一个偶数． ∴p是一个偶数． ∴p和q均为偶数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 24. 如图，在等边△ABC外作射线AD，∠BAD=α(0°<α<90°)，点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC，其中PB，PC分别交射线AD于点E，F． （1）①依题意补全图形； ②求∠BPC的度数； （2）用等式表示线段AF，EF与CF之间的数量关系，并证明； （3）若△PBC是等腰三角形，直接写出α的度数． 【答案】（1）①见解析；②30°；（2）CF=2EF+AF；（3）30°或75° 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②连接AP，利用轴对称的性质和等边三角形的性质可得AP=AB=AC，进而可得点P、B、C在以A为圆心，AP为半径的圆上，根据圆周角定理即可解答； （2）在CF上截取FM=AF，根据等边三角形的性质和轴对称的性质证明△AFM为等边三角形，再证明△AFB≌△AMC，则有BF=MC，进而证得CF= BF+AF，再利用轴对称的性质和含30°角的直角三角形性质BF=2EF，即可得到CF=2EF+AF； （3）根据0°<α<90°和等腰三角形的性质分两种情况求解即可． 【详解】（1）①补全图形如图所示； ②连接AP， ∵点B关于直线AD的对称点为P， ∴AP=AB， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∴P、B、C在以A为圆心，AP为半径的圆上， ∴∠BPC= ∠BAC=30°； （2）结论：CF=2EF+AF，理由为： 在CF上截取FM=AF，连接AM、BF， 在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°, 由对称性质知AP=AB，∠PAD=∠BAD， ∴AB=AP=AC，设∠PAD=∠BAD=x， ∴∠APC=∠ACP=（180°﹣60°﹣2x）=60°﹣x， ∴∠AFC=∠APC+∠PAD=60°﹣x+x=60°， ∴△AFM为等边三角形， ∴AF=AM，∠FAM=60°， ∴∠BAF+∠BAM=∠BAM+∠MAC=60°， ∴∠BAF=∠MAC，又AB=AC， ∴△AFB≌△AMC， ∴BF=CM， ∴CF=CM+FM=BF+AF， ∵点B关于直线AD的对称点为P， ∴PF=BF，∠BEF=90°， ∴∠EBF=∠BPC=30°， ∴BF=2EF， ∴CF=2EF+AF； （3）∵0°<α<90°， ∴分两种情况： ①当PB=BC时，如图①，则∠BCP=∠BPC=30°， ∴∠PAB=2∠BCP=60°， ∵点B关于直线AD的对称点为P， ∴∠BAD=∠PAB=30°，即α=30°； ②当PB=PC时，如图②， ∵∠BPC=30°， ∴∠PBC=(180°﹣30°)=75°， ∴∠PBA=∠PBC﹣∠ABC=75°﹣60°=15°， ∵点B关于直线AD的对称点为P， ∴∠BAD=90°﹣15°=75°， 即α=75°， 综上，α的度数为30°或75°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、圆的定义、圆周角定理等知识点，属于与三角形有关的综合题，涉及知识较多，难度较难，解答的关键是正确作出图形，熟练掌握相关知识，利用分类讨论的思想解决问题． 25. 综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）；；；；证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在 和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：由题图，可知， ，． 因为， 所以， 所以， 所以．  （2）由题图，可知，． 所以， 解得． （3）解：在中，由勾股定理，得． 由题意，得． 在中，由勾股定理，得． 所以， 解得：． 26. 在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：　　筝形（填“是”或“不是”）； （2）性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； （3）拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长交于点G． ①若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1）四边形是“筝形”； （2）筝形的角对应相等、对角线互相垂直；（答案不唯一） （3）的度数为，，； 【解析】 【分析】（1）根据题意得，即可证明； （2）连接，根据折叠性质可证明即可得到结论； （3）①分情况讨论：当时，由折叠性质即可求解；当时， 当时，同理可得； ②有折叠性质可证四边形是正方形，设，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：由折叠性质得：，， ∴四边形是“筝形”； 故答案为：是； 【小问2详解】 解：筝形的对应角相等、对角线互相垂直； ； 连接，如图， 在，中， ∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，同理可得； 当时，同理可得， 综上：的度数为，，； 解：②由折叠性质可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ 设，则，， ∴，即，解得：， ∴； 【点睛】本题考查了四边形的综合题，折叠的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质等，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年八年级数学期中测试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．） 1. 如图，在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，，下列四个结论中，不正确的是（ ） A. B. ，且 C. 和的面积相等 D. 和的周长相等 3. 估算的值在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 4. 如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的外角的平分线，， 于点.若，则的长是( ) A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 0.5 6. 如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点若以，，为边的三角形的面积为，则的面积可能是（ ） A. B. C. D. 7. 对于有理数a、b，定义含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 如图，在的正方形网格中，以为边画直角，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ） A. B. 3 C. D. 9 二、填空题（本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分，不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上）． 11. 比较大小：_____． 12. 为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1_____．（填“＞”或“＜”或“=”） 13. 如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则______． 14. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有________个． 15. 将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则________． 16. 如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则________． 17. 如图，在中，，，点与点关于直线对称，动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足，当为等腰三角形时，的长度是______． 18. 如图，在等腰直角三角形纸片中，是斜边的中点，是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点，若，则的周长为________． 三、解答题（本题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. 已知：和是的两个不同的平方根 （1）求的值． （2）求的平方根． 20. 如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接． （1）当为边上中线时，若的面积为，求的长； （2）当为的平分线时，若，求的度数． 21. 某中学计划为新生军训时配备如图所示的折叠凳，图是折叠凳撑开后的侧面示意图（钢管等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，是、的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为．由以上信息求出的长度，并说明理由． 22. 如图，在中，． （1）用直尺和圆规作点，使得点到的两边的距离相等，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）过点作，垂足分别为，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 23. 阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 24. 如图，在等边△ABC外作射线AD，∠BAD=α(0°<α<90°)，点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC，其中PB，PC分别交射线AD于点E，F． （1）①依题意补全图形； ②求∠BPC度数； （2）用等式表示线段AF，EF与CF之间的数量关系，并证明； （3）若△PBC是等腰三角形，直接写出α的度数． 25 综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 26. 在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：　　筝形（填“是”或“不是”）； （2）性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； （3）拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长交于点G． ①若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数； ②若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $