精品解析： 2025—2026学年人教版八年级数学上学期期中综合练习试题

八年级数学上学期期中综合练习题2025—2026学年度人教版 （第13—15章） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，6，11 2. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（　　） A. 20° B. 30° C. 10° D. 15° 5. 能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，于点，，于点， ，已知，，则度数为（ ） A B. C. D. 7. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8. 如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. 平分 C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，交轴于点，关于直线对称，点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 点关于y轴对称点的坐标是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________． 13. 茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为________cm． 14. 如图，在中，D是上一点，E是上一点，相交于点F，，则的度数为________． 15. 若△ABC的周长为18，其中一条边长为4，则△ABC中的最长边x的取值范围为______． 三、解答题：本题共9小题，共75分． 16. 如图，在中，，，分别是，上的点，已知． （1）试说明． （2）若平分，，求的度数． 17. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 19. 如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． （1）若，求的度数； （2）若，则= °；（用含的代数式表示） （3）如图，若，过点作交于点，求与的数量关系． 20. 如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点. （1）求证： （2）求证： 21. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为，，． （1）将点A、B、C的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，得到点，请在图中作出，则与关于 轴对称； （2）在y轴的负半轴上找一点P使得的面积与面积相等，则点P的坐标为 ． 22. 如图，BM、CN是△ABC高，点P在线段BM上，点Q在线段CN的延长线上，且BP=AC，CQ=AB. (1)猜想AQ与AP的大小关系，并说明理由： (2)判断AQ与AP有何特殊位置关系？并说明理由． 23. 在中，，点是边上一点，，过点作，垂足为点，与相交于点． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，请你直接写出度数． 24. 如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． （1）如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； （2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中综合练习题2025—2026学年度人教版 （第13—15章） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，6，11 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系即可求解. 【详解】A选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 B选项，，，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形 C选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 D选项，，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形 故选B． 【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边. 2. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 3. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 4. 如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（　　） A. 20° B. 30° C. 10° D. 15° 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】∵∠BAC=60°，∠C=80°， ∴∠B=180°-∠BAC-∠C=40°， 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠BAC=30°， ∴∠ADE=∠B+∠BAD=70°， 又∵OE⊥BC， ∴∠EOD=90°-∠ODE=90°-70°=20°．故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义等知识，此类题要首先明确解题思路，再利用相关知识解答． 5. 能判定的条件是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定条件逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、B、C中的条件都是，不能判定两个三角形是否全等，故不符合题意 D、满足“”，所以，符合题意， 故选：D． 6. 如图，于点，，于点， ，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由垂直定义可证得，证明，由全等三角形的性质得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：，， ，， ∴， 即， 在和中， ， ． ， ， ． 故选：C． 7. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 8. 如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，交轴于点，关于直线对称，点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的两点到对称轴的距离相等，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，点和点是关于直线对称的对应点，它们到的距离相等是个单位长度， ∴点的坐标是，即． 故选：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点关于直线的对称，掌握轴对称的两点到对称轴的距离相等是解题的关键． 10. 如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理；由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，即可求的度数． 【详解】解：将沿，翻折，顶点，均落在点处， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 点关于y轴对称点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平面直角坐标系内点的坐标的特点，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，据此即可求出答案． 【详解】解：点关于y轴对称点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先根据点的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点的坐标为， ， 由同圆半径相等得：， 是等腰三角形， ， （等腰三角形的三线合一）， 又点位于轴正半轴， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 13. 茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为________cm． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，首先证明，可得，即可知与的周长相等，从而得整个金属框架所需这种材料的长度为的周长的2倍减去长度即可． 【详解】解：， ， 即， 和中， ， ， ， 的周长为，， 制成整个金属框架所需这种材料的长度为， 故答案为：45． 14. 如图，在中，D是上一点，E是上一点，相交于点F，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，先利用三角形外角的性质求出，再利用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：． 15. 若△ABC的周长为18，其中一条边长为4，则△ABC中的最长边x的取值范围为______． 【答案】7＜x＜9． 【解析】 【分析】根据已知条件可以得到三角形的第三边的长，再根据三角形的三边关系以及x为△ABC中的最长边可以得到关于x的不等式组，解出不等式组即可． 【详解】∵△ABC的周长为18，其中一条边长为4，这个三角形的最大边长为x， ∴第三边的长为：18-4-x=14-x， ∴x＞4且x＞14-x， ∴x＞7， 根据三角形的三边关系，得： x＜14-x+4， 解得：x＜9； ∴7＜x＜9， 故答案为7＜x＜9． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，要能够根据三角形的三边关系分析得到关于x的不等式． 三、解答题：本题共9小题，共75分． 16. 如图，在中，，，分别是，上的点，已知． （1）试说明． （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定与性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据直角三角形性质得，再根据得，然后根据同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）先求出，再根据（1）的结论得，然后根据角平分线的定义即可得出的度数． 【小问1详解】 证明：在中，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， 由（）可知：， ， ， 平分， ． 17. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果. 【详解】解：（1）∵AE∥BF， ∴∠A=∠DBF， ∵AB=CD， ∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD， 又∵AE=BF， ∴△ACE≌△BDF（SAS）， ∴∠E=∠F； （2）∵△ACE≌△BDF， ∴∠D=∠ACE=80°， ∵∠A=40°， ∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件. 18. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． （1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论； （2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形内角和等于即可求解． 【小问1详解】 解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 、是角平分线， ， ． 19. 如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． （1）若，求的度数； （2）若，则= °；（用含的代数式表示） （3）如图，若，过点作交于点，求与的数量关系． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形外角的性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到，根据（2）的结论解答． 【小问1详解】 解：， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ； 【小问2详解】 ， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ， 故答案为：； 【小问3详解】 ， ． ． 由（）得． ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 20. 如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点. （1）求证： （2）求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C=∠BAD； （2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC=EF． 【详解】（1）如图 ∵， ∴是等腰三角形 又∵为的中点， ∴（等腰三角形三线合一） 在和中， ∵为公共角，， ∴. 另解：∵为的中点， ∵，又，， ∴， ∴，又， ∴ ∴， 在和中， ∵为公共角，， ∴. （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 21. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为，，． （1）将点A、B、C的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，得到点，请在图中作出，则与关于 轴对称； （2）在y轴的负半轴上找一点P使得的面积与面积相等，则点P的坐标为 ． 【答案】（1）见解析，y （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据题意描出点，，，再连线即可；由题意得，与关于y轴对称． （2）设点P的坐标为，，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 结合图形得，与关于y轴对称． 【小问2详解】 解：设与y轴交于点D， 则， 设点P的坐标为，， 的面积与的面积相等， ， 即， 解得， 点P的坐标为 故答案为： 22. 如图，BM、CN是△ABC的高，点P在线段BM上，点Q在线段CN的延长线上，且BP=AC，CQ=AB. (1)猜想AQ与AP的大小关系，并说明理由： (2)判断AQ与AP有何特殊位置关系？并说明理由． 【答案】（1）AQ =AP（2）AQ⊥AP 【解析】 【详解】【分析】（1）AQ =AP．理由如下：先求出∠ABP =∠ACQ，再利用SAS证明△ABP ≌△QCA，然后利用全等三角形的对应边相等即可得AQ =AP； （2）AQ⊥AP．理由如下：设AP与QC相交于点F，由△ABP ≌△QCA，可得∠Q =∠BAP，继而可得到∠FAQ =90°，即可得. 【详解】（1）AQ =AP，理由如下： 因为BM、CN是△ABC的高， 所以∠ANC =∠AMB =90°， 所以∠ABP +∠BAC =∠ACQ +∠BAC， 所以∠ABP =∠ACQ， 在△ABP和△QCA中， ， 所以△ABP ≌△QCA（SAS）， 所以AQ =AP； （2）AQ⊥AP，理由如下： 如图，设AP与QC相交于点F， 因为△ABP ≌△QCA， 所以∠Q =∠BAP； 又因为∠BAP＋∠AFN =90°， 所以∠Q＋∠AFN =90°， 所以∠FAQ =90°， 所以AQ⊥AP． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键. 23. 在中，，点是边上一点，，过点作，垂足为点，与相交于点． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，请你直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解答本题的关键． （1）设，则，根据得，进而得，由此即可得出结论； （2）由（1）知，，，再分别求出，,，则，因此当是等腰三角形时，有以下两种情况：当时，则，进而得，由此解出可得的度数；当时，则，进而得，由此解出可得的度数，综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 证明：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 是一个外角， ， ，， ， 又， ， 当是等腰三角形时，有以下两种情况： 当时，则， ， 解得：， ； 当时，则， ， 解得：， ， 综上所述：的度数是或． 24. 如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． （1）如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； （2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①；② （2），证明见详解 【解析】 【分析】（1）①根据，即可获得答案； ②连接，证明，即可获得答案； （2）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，由全等三角形的性质可得，即可获得结论． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ②如下图，连接， 由对称性质可得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①；②； 【小问2详解】 ，证明如下： 作点关于直线对称点，连接，如下图， 由对称的性质可得，，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $