第24章 圆（单元测试）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第24章 圆 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•丰南区期末）已知⊙O的直径为10，当线段OA＝6时，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 2．（2025•望城区一模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 3．（2024秋•北仑区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠ADC＝120°，∠ABC的度数是（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 4．（2025•红桥区模拟）如图，以AB为直径的⊙O经过点C，D为AC的中点，连接OD，BD，若∠CAB＝26°，则∠ODB的大小为（　　） A．26° B．32° C．38° D．45° 5．（2025•运城模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD，BC．若∠BAC＝32°，则∠D的度数为（　　） A．68° B．58° C．32° D．64° 6．（2024秋•新昌县期末）清康熙《新昌县志》载“光霁桥，在县治东北”，今其遗址位于新昌岙桥里，光霁桥为单孔圆弧石拱桥，如图1，已知桥净跨度AC约6米；矢高BD约2.5米，如图2，则光霁桥桥拱圆弧的半径为（　　） A．2.95米 B．3米 C．3.05米 D．3.5米 7．（2025•长治一模）如图，在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝60°，AO＝8，分别以OA，OB的中点E，F为圆心，OA，OB的长为直径作半圆，两个半圆交于点C．则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．16π 8．（2025•秦都区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠CAB＝35°，则∠D等于（　　） A．35° B．55° C．65° D．70° 9．（2024秋•巴林左旗期末）如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知AD＝6cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长是（　　） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 10．（2024秋•广东校级期末）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，OA＝13，CE＝1，则AB的长为（　　） A．5 B． C．8 D．10 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•南昌期末）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠ACB＝35°，则∠OBA的大小是 　 　 ． 12．（2024秋•南沙区期末）已知⊙O的直径为9，若OA＝5，则点A与⊙O的位置关系是 　 　 ． 13．（2024秋•高要区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝10，AE＝4，则CD等于 　 　 ． 14．（2024秋•汕尾期末）如图，点C，D是以AB为直径的半圆上的点，且∠COD＝60°，半径AO＝3，则阴影部分的面积为　 　 ．（结果保留π） 15．（2024秋•凉州区校级期末）如图，⊙O的内接正六边形的半径是4，则这个正六边形的边长为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（2022秋•大丰区期中）已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证：AB＝CD． 17．（2022秋•淮南月考）如图，AB，CD是⊙O的两条平行弦，MN是AB的垂直平分线．求证：MN垂直平分CD． 18．（2021秋•镇安县期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，求证：DE＝DB． 19．（2021秋•卫辉市期末）如图，已知AB为⊙O的直径，D、C为⊙O上两点，弧AD＝弧DC，连接AC．过点D作DE⊥OB于E．求证：DEAC． 20．（2022秋•淮阴区月考）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠ACB＝70°．求∠BCD和∠ABD的度数． 21．（2021秋•溧水区期末）已知：如图，圆O中的弦AB、CD的延长线交于点P，且DA＝DP．求证：BC＝BP． 22．（2021秋•兴化市期中）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝2cm，AC＝4cm，∠ABD＝45°． （1）求弦BD的长； （2）求图中阴影部分的面积． 23．（2020秋•集贤县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F． （1）求证：BE＝CE； （2）若AB＝6，求弧DE的长； （3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论． 第24章 圆 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•丰南区期末）已知⊙O的直径为10，当线段OA＝6时，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【考点】点与圆的位置关系． 【专题】与圆有关的位置关系；几何直观． 【答案】C 【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d＝r，③点P在圆内⇔d＜r，由此即可判断． 【解答】解：∵⊙O的半径r10＝5，点A与⊙O的圆心O的距离d＝OA＝6， ∴d＞r， ∴点A与⊙O的位置关系是在圆外． 故选：C． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法． 2．（2025•望城区一模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用． 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】D 【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE＝5，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径． 【解答】解：如图，连接OA， ， ∵AB⊥CD，且AB＝10寸， ∴AE＝BE＝5寸， 设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x， ∵CE＝1， ∴OE＝x﹣1， 在直角三角形AOE中，根据勾股定理得： x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25， 即2x＝26， ∴CD＝26寸， 故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是关键． 3．（2024秋•北仑区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠ADC＝120°，∠ABC的度数是（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】C 【分析】由圆内接四边形的性质推出∠ABC+∠ADC＝180°，即可求出∠ABC的度数． 【解答】解∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ADC＝120°， ∴∠ABC＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 4．（2025•红桥区模拟）如图，以AB为直径的⊙O经过点C，D为AC的中点，连接OD，BD，若∠CAB＝26°，则∠ODB的大小为（　　） A．26° B．32° C．38° D．45° 【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系． 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】B 【分析】设AC与DO交点为E，利用圆周角定理得到∠DOA＝2∠OBD＝2∠ODB，再利用垂径定理得到OD⊥AC，最后根据直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，设AC与DO交点为E，如图， ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠BDO， ∴∠DOA＝2∠OBD＝2∠ODB， 又∵D为中点，AB为⊙O直径， ∴OD⊥AC， ∴∠EAO+∠EOA＝90°， 即∠BAC+2∠ODB＝90°， ∵∠CAB＝26°， ∴∠ODB＝32°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理． 5．（2025•运城模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD，BC．若∠BAC＝32°，则∠D的度数为（　　） A．68° B．58° C．32° D．64° 【考点】圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质． 【答案】B 【分析】根据圆中直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，根据直角三角形中两个锐角互余可得：∠B＝58°，根据∠D和∠B都是所对的圆周角可得：∠D＝∠B＝58°． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝32°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣32°＝58°， ∴∠D＝∠B＝58°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键． 6．（2024秋•新昌县期末）清康熙《新昌县志》载“光霁桥，在县治东北”，今其遗址位于新昌岙桥里，光霁桥为单孔圆弧石拱桥，如图1，已知桥净跨度AC约6米；矢高BD约2.5米，如图2，则光霁桥桥拱圆弧的半径为（　　） A．2.95米 B．3米 C．3.05米 D．3.5米 【考点】垂径定理的应用． 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】C 【分析】连接OC，OD，由题意可知，B、O、D三点共线，设光霁桥桥拱圆弧的半径为r，根据垂径定理，得到AD＝CDAC＝3米，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【解答】解：如图，连接OC，OD，由题意可知，B、O、D三点共线，设光霁桥桥拱圆弧的半径为r， ∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣2.5）米， ∵OC是半径，且OD⊥AC， ∵AC＝6米， ∴AD＝CDAC＝3（米）， 在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2， 32+（r﹣2.5）2＝r2， 解得：r＝3.05， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键． 7．（2025•长治一模）如图，在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝60°，AO＝8，分别以OA，OB的中点E，F为圆心，OA，OB的长为直径作半圆，两个半圆交于点C．则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．16π 【考点】扇形面积的计算；菱形的判定与性质． 【专题】圆的有关概念及性质． 【答案】B 【分析】连接CE，CF，易证四边形OECF为菱形．将图中阴影部分的面积转化为扇形ACE与扇形BFC的面积之和，易得圆心角∠AEC＝60°，∠BFC＝60°，半径AE＝BF＝4，根据S扇＝S扇AEC+S扇CFB可求解即可． 【解答】解：如图，连接CE，CF，可得OE＝EC＝CF＝OF， ∴四边形OECF为菱形． ∴∠AEC＝60°，∠BFC＝60°，AE＝BF＝4， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形面积公式是解题的关键． 8．（2025•秦都区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠CAB＝35°，则∠D等于（　　） A．35° B．55° C．65° D．70° 【考点】圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；应用意识． 【答案】B 【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余可计算出∠B＝55°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣35°＝55°， ∴∠D＝∠B＝55°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 9．（2024秋•巴林左旗期末）如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知AD＝6cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长是（　　） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 【考点】三角形的内切圆与内心． 【答案】B 【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝6cm， 设F是⊙O的切点， 故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE， ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AD+AE＝6+6＝12（cm）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的内切圆、切线长定理；由切线长定理得出AM+AN+MN＝AD+AE是解题关键． 10．（2024秋•广东校级期末）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，OA＝13，CE＝1，则AB的长为（　　） A．5 B． C．8 D．10 【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】圆的有关概念及性质． 【答案】D 【分析】根据垂径定理可得AE＝BE，∠AEO＝90°，由线段的和与差可得OE＝OC﹣CE＝12，根据勾股定理可得，进而可得BE＝AE＝5，然后根据AB＝AE+BE即可得解． 【解答】解：∵CD为⊙O的直径，且弦AB⊥CD， ∴AE＝BE，∠AEO＝90°， ∵OC＝OA＝13， ∴OE＝OC﹣CE＝13﹣1＝12， 在Rt△AEO中，根据勾股定理可得： ， ∴BE＝AE＝5， ∴AB＝AE+BE＝5+5＝10， 故选：D． 【点评】本题主要考查了垂径定理，垂线的性质，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•南昌期末）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠ACB＝35°，则∠OBA的大小是 　55°　 ． 【考点】圆周角定理；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系． 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】55°． 【分析】根据圆周角定理求出∠AOB＝80°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝35°， ∴∠AOB＝70°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB（180°﹣70°）＝55°， 故答案为：55°． 【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 12．（2024秋•南沙区期末）已知⊙O的直径为9，若OA＝5，则点A与⊙O的位置关系是 　点A在⊙O外　 ． 【考点】点与圆的位置关系． 【专题】与圆有关的位置关系；几何直观． 【答案】点A在⊙O外． 【分析】首先求出圆的半径r＝4.5，然后比较r与OA的大小即可得出结论． 【解答】解：∵⊙O的直径为9， ∴⊙O的半径r为4.5， 又∵OA＝5， ∴OA＞r， ∴点A在⊙O外． 故答案为：点A在⊙O外． 【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 13．（2024秋•高要区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝10，AE＝4，则CD等于 　16　 ． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】16． 【分析】根据AE＝4，OC＝10，得到OE＝10﹣4＝6，根据CD⊥AB，AB是⊙O的直径得到E为CD的中点，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴E为CD的中点，∠OEC＝90°， ∵OC＝10，AE＝4， ∴OE＝10﹣4＝6， 在Rt△OEC中，CE2＝OC2﹣OE2， ∴， ∴CD＝2CE＝16． 故答案是：16． 【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，准确利用勾股定理计算是解题的关键． 14．（2024秋•汕尾期末）如图，点C，D是以AB为直径的半圆上的点，且∠COD＝60°，半径AO＝3，则阴影部分的面积为　　 ．（结果保留π） 【考点】扇形面积的计算． 【专题】运算能力． 【答案】． 【分析】直接运用扇形面积公式求解即可． 【解答】解：根据扇形的面积公式得阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查求扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 15．（2024秋•凉州区校级期末）如图，⊙O的内接正六边形的半径是4，则这个正六边形的边长为 　4　 ． 【考点】正多边形和圆． 【专题】正多边形与圆． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接OA，OB，证出△BOA是等边三角形， 【解答】解：如图所示，连接OA、OB ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝OB＝4 故答案为4 【点评】本题考查的是正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质是本题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．（2022秋•大丰区期中）已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证：AB＝CD． 【考点】圆心角、弧、弦的关系． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】此题主要两条弦相等，可以转化为证明就可以．已知AC＝BD可以证明得到，进而得到． 【解答】证明：∵AC＝BD， ∴．（2分） ∴．（4分） ∴AB＝CD．（6分） （说明：用全等三角形等方法证明同样给分） 【点评】本题主要考查了：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立． 17．（2022秋•淮南月考）如图，AB，CD是⊙O的两条平行弦，MN是AB的垂直平分线．求证：MN垂直平分CD． 【考点】垂径定理；线段垂直平分线的性质． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧得到MN过圆心O，再利用平行线的性质得到MN⊥CD，然后根据垂径得MN垂直平分CD． 【解答】证明：∵MN是AB的垂直平分线， ∴MN过圆心O， ∵AB∥CD， ∴MN⊥CD， ∴MN垂直平分CD． 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦（不是直径）的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 18．（2021秋•镇安县期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，求证：DE＝DB． 【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据内心的概念得到∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，根据圆周角定理得到∠CAD＝∠CBD，根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理证明即可． 【解答】证明：∵点E是△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC， 由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠DBC， ∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABE+∠BAD＝∠DEB， ∴DE＝DB． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键． 19．（2021秋•卫辉市期末）如图，已知AB为⊙O的直径，D、C为⊙O上两点，弧AD＝弧DC，连接AC．过点D作DE⊥OB于E．求证：DEAC． 【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质；垂径定理． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接DO并延长交⊙O于G，结论DC，DB，延长DE交⊙O于F，由垂径定理得到DEDF，，DG⊥AC，∠C＝∠B，，根据余角的性质得到∠1＝∠2，由圆周角定理得到，等量代换得到结论． 【解答】解：连接DO并延长交⊙O于G，结论DC，DB，延长DE交⊙O于F， ∵AB为⊙O的直径， ∴DEDF，， ∵弧AD＝弧DC， ∴DG⊥AC，∠C＝∠B，， ∵∠1+∠C＝90°，∠2+∠B＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴， ∴， ∴AC＝DF， ∴DEAC． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．（2022秋•淮阴区月考）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠ACB＝70°．求∠BCD和∠ABD的度数． 【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】先由圆内接四边形的对角互补得出∠BCD＝180°﹣∠BAD＝120°，再由∠ACB＝70°得到∠ACD＝50°，然后根据圆周角定理即可得出∠ABD＝∠ACD＝50°． 【解答】解：∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BAD＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝120°， ∵∠ACB＝70°， ∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝50°， ∴∠ABD＝∠ACD＝50°． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，难度适中．准确求出∠BCD的度数是解题的关键． 21．（2021秋•溧水区期末）已知：如图，圆O中的弦AB、CD的延长线交于点P，且DA＝DP．求证：BC＝BP． 【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】由等腰△DPA的性质判定∠P＝∠A；根据圆周角定理可以推知∠C＝∠A，则∠P＝∠C，由“等角对等边”证得结论． 【解答】证明：如图，∵DA＝DP， ∴∠P＝∠A． 又∵∠C＝∠A， ∴∠P＝∠C， ∴BC＝BP． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质．等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 22．（2021秋•兴化市期中）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝2cm，AC＝4cm，∠ABD＝45°． （1）求弦BD的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【考点】扇形面积的计算；圆周角定理． 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】（1）cm； （2）（π）cm2． 【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，由勾股定理求得AB，OB＝5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据S阴影＝S扇形﹣S△OBD即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝2cm，AC＝4cm， ∴AB2cm， ∴OBcm， 连OD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD＝45°， ∴∠BOD＝90°， ∴BDcm． （2）S阴影 π（cm2）， 答：图中阴影部分的面积为（π）cm2． 【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键． 23．（2020秋•集贤县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F． （1）求证：BE＝CE； （2）若AB＝6，求弧DE的长； （3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论． 【考点】切线的判定；弧长的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理． 【专题】与圆有关的计算． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接AE，如图，根据圆周角定理得∠AEB＝90°，然后根据等腰三角形的性质得到BE＝CE； （2）根据等腰三角形的性质得到得到∠CAE∠BAC＝27°，再利用圆周角定理得到∠DOE＝54°，然后根据弧长公式可计算出弧DE的长； （3）当∠F的度数是36°时可得到∠ABF＝90°，则AB⊥BF，然后根据切线的性质可判断BF为⊙O的切线． 【解答】（1）证明：连接AE，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴AE⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE； （2）解：∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC54°＝27°， ∴∠DOE＝2∠CAE＝2×27°＝54°， ∴弧DE的长π； （3）解：当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切． 理由如下：∵∠BAC＝54°， ∴当∠F＝36°时，∠ABF＝90°， ∴AB⊥BF， ∴BF为⊙O的切线． 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理． 学科网（北京）股份有限公司 $