25.2 用列举法求概率（同步练习）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

25.2 用列举法求概率 一．选择题（共8小题） 1．（2025•昆都仑区校级三模）中国“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．如图，下面四张卡片分别代表立春、谷雨、白露、大雪，卡片除正面图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小华随机抽取两张卡片，则小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（2025•龙江县三模）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取两张，则抽取到的卡片上印有汉字恰好是“如”和“意”的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•海淀区校级模拟）不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么这两次摸到一个红球和一个绿球的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•三台县一模）从《三国演义》，《水浒传》，《聊斋志异》，《傲慢与偏见》，《儒林外史》五本古典小说中随机抽取三本，被抽到的三本都是中国古典小说的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（2025•兰陵县一模）消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人都给“好评”的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•高新区校级四模）如图，有4张分别印有Q版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人、D无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“A哪吒”、“B敖丙”的概率为（　　） A． B． C． D． 7．（2025•兴庆区校级一模）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则x的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025•召陵区二模）“少林寺”“龙门石窟”“老君山”和“洛邑古城”是河南省的知名景点，假期期间，小丽想从这四个景点中随机选择两个游览，则这两个景点中恰好有“老君山”的概率为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 9．（2025•宁波模拟）小钱、小塘玩“石头、剪刀、布”游戏，若两人同时随机各出一个手势，则两人分出胜负的概率为　 　 ． 10．（2025•方城县三模）某网店销售的《哪吒之魔童闹海》系列手办盲盒有4个基本款，分别是“捣蛋哪吒”“藕粉哪吒”“战斗敖丙”“乖巧敖丙”，盲盒的外包装完全相同．小颖和小亮分别在该网店下单了一个基本款，网店老板随机发货，则小颖和小亮购买到的盲盒是同一款的概率是　 　 ． 11．（2025•宛城区二模）人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮，即基因BB，bB，Bb均为双眼皮．现有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是　 　 ． 12．（2025•浙江模拟）某校举办“我爱歌唱”比赛，决定从已报名的一名男生和三名女生中选出两名同学担任比赛的主持人，则恰好选出一男一女的概率是　 　 ． 13．（2025•龙华区三模）2025年春节档热映多部精彩电影．小李、小王分别从四部影片：《唐探1900》《哪吒之魔童闹海》《封神》《重启未来》中随机选择一部观看，则两人选择的影片相同的概率为　 　 ． 三．解答题（共2小题） 14．（2025•长春模拟）数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是 　 　 ； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 15．（2025春•高州市期中）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图统计图： 某校学生课余兴趣爱好抽样调查扇形统计图某校学生课余兴趣爱好抽样调查条形统计图 根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“书法”选项所对应的扇形圆心角的大小为多少？ （3）若该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数． （4）学校从“打球”、“书法”和“舞蹈”三类兴趣课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，请你利用树状图或列表的方法，求出“书法”和“舞蹈”被同时选中的概率． 25.2 用列举法求概率 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025•昆都仑区校级三模）中国“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．如图，下面四张卡片分别代表立春、谷雨、白露、大雪，卡片除正面图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小华随机抽取两张卡片，则小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】A 【分析】画树状图，共有12种等可能结果，其中小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：用A，B，C，D分别表示立春、谷雨，白露、大雪，画树状图如图： 由树状图可知：小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的概率为． 故选：A． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 2．（2025•龙江县三模）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取两张，则抽取到的卡片上印有汉字恰好是“如”和“意”的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】B 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【解答】解：将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片分别记为A、B、C、D， 列表得： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由列表可知：抽取到的卡片上印有汉字恰好是“如”和“意”的概率为， 故选：B． 【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．熟练掌握以上知识点是关键． 3．（2025•海淀区校级模拟）不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么这两次摸到一个红球和一个绿球的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】C 【分析】先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【解答】解：红色小球用数字1、2表示，绿色小球用3表示，列表得： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 有列表可知：这两次摸到一个红球和一个绿球的概率为， 故选：C． 【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，解题关键是正确列表或画树状图． 4．（2025•三台县一模）从《三国演义》，《水浒传》，《聊斋志异》，《傲慢与偏见》，《儒林外史》五本古典小说中随机抽取三本，被抽到的三本都是中国古典小说的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用． 【答案】C 【分析】先画出树状图得出共有60等可能的结果，满足随机抽取三本，被抽到的三本都是中国古典小说的结果有24种，则，即可作答． 【解答】解：把《三国演义》，《水浒传》，《聊斋志异》，《傲慢与偏见》，《儒林外史》五本古典小说依次记为A，B，C，D，E，画树状图如下： 共有60等可能的结果，满足随机抽取三本，被抽到的三本都是中国古典小说的结果有24种， ∴随机抽取三本，被抽到的三本都是中国古典小说的概率为， 故选：C． 【点评】本题考查了考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 5．（2025•兰陵县一模）消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人都给“好评”的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】C 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人都给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，作树状图如下： 共有9种等可能的结果数，两人都给“好评”的结果数为1， 所以两人都给“好评”的概率为． 故选：C． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 6．（2025•高新区校级四模）如图，有4张分别印有Q版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人、D无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“A哪吒”、“B敖丙”的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】A 【分析】作树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，然后根据概率公式求解即可． 【解答】解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“A哪吒”、“B敖丙”的结果数为2， ∴两次取出的2张卡片中图案为“A哪吒”、“B敖丙”的概率为， 故选：A． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率公式为解题的关键． 7．（2025•兴庆区校级一模）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则x的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】游戏公平性；概率公式． 【专题】概率及其应用． 【答案】B 【分析】根据题意可得黑球有（10﹣3x）个，根据概率公式可得摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为，使得游戏公平，则概率相等，由此列式求解即可． 【解答】解：口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球， ∴黑球有（10﹣3x）个， ∴摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为， ∵使游戏对小星、小红双方公平， ∴， 解得，x＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键． 8．（2025•召陵区二模）“少林寺”“龙门石窟”“老君山”和“洛邑古城”是河南省的知名景点，假期期间，小丽想从这四个景点中随机选择两个游览，则这两个景点中恰好有“老君山”的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】B 【分析】根据题意，可以先画出相应的树状图，然后即可计算出这两个景点中有“老君山”的概率． 【解答】解：设“少林寺”“龙门石窟”“老君山”和“洛邑古城”分别用A、B、C、D表示， 树状图如下所示， 由树状图可知：这两个景点中有“老君山”的概率为， 故选：B． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握该知识点是关键． 二．填空题（共5小题） 9．（2025•宁波模拟）小钱、小塘玩“石头、剪刀、布”游戏，若两人同时随机各出一个手势，则两人分出胜负的概率为　　 ． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】根据题意画树状图表示出所有等可能的情况，即可解题． 【解答】解：根据题意，画树状图如下：令石头为A，剪刀为B，布为C， 由树状图可知：P（两人分出胜负）． 故答案为：． 【点评】本题考查用列表法或画树状图表示概率，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 10．（2025•方城县三模）某网店销售的《哪吒之魔童闹海》系列手办盲盒有4个基本款，分别是“捣蛋哪吒”“藕粉哪吒”“战斗敖丙”“乖巧敖丙”，盲盒的外包装完全相同．小颖和小亮分别在该网店下单了一个基本款，网店老板随机发货，则小颖和小亮购买到的盲盒是同一款的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】将“捣蛋哪吒”“藕粉哪吒”“战斗敖丙”“乖巧敖丙”这4款盲盒依次记为A，B，C，D，再画树状图得到所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【解答】解：将“捣蛋哪吒”“藕粉哪吒”“战斗敖丙”“乖巧敖丙”这4款盲盒依次记为A，B，C，D， 画树状图如下： 由树状图，概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟练掌握该知识点是关键． 11．（2025•宛城区二模）人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮，即基因BB，bB，Bb均为双眼皮．现有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们的孩子是单眼皮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：列表如下： B b B （B，B） （B，b） b （b，B） （b，b） 由表格可知：他们的孩子是单眼皮的概率为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了简单的概率计算，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2025•浙江模拟）某校举办“我爱歌唱”比赛，决定从已报名的一名男生和三名女生中选出两名同学担任比赛的主持人，则恰好选出一男一女的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选出一男一女的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【解答】解：设用A表示男生，用B、C、D表示女生，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知：恰好选出一男一女的概率为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求解概，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2025•龙华区三模）2025年春节档热映多部精彩电影．小李、小王分别从四部影片：《唐探1900》《哪吒之魔童闹海》《封神》《重启未来》中随机选择一部观看，则两人选择的影片相同的概率为　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】利用画树状图法解答即可． 【解答】解：设“《唐探1900》”表示为A，“《哪吒之魔童闹海》”表示为B，“《封神》”表示为C，“《重启未来》”表示为D，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知：两人恰好选中同一部电影的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 三．解答题（共2小题） 14．（2025•长春模拟）数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是 　　 ； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】统计的应用；数据分析观念． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）∵共有4张卡片， ∴小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是， 故答案为：． （2）根据题意，画树状图如图， 由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有6种， ∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为 【点评】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法求概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（2025春•高州市期中）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图统计图： 某校学生课余兴趣爱好抽样调查扇形统计图某校学生课余兴趣爱好抽样调查条形统计图 根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“书法”选项所对应的扇形圆心角的大小为多少？ （3）若该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数． （4）学校从“打球”、“书法”和“舞蹈”三类兴趣课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，请你利用树状图或列表的方法，求出“书法”和“舞蹈”被同时选中的概率． 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；概率公式． 【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）见解析； （2）72°； （3）800人； （4）． 【分析】（1）先根据阅读人数及其所占百分比求得调查总人数，进而求得打球人数即可补全统计图； （2）由“书法”选项所对占百分比乘以360°可求解； （3）用该校总人数乘以样本中“打球”的学生人数所占比例求解即可； （4）画出树状图得到所有等可能的结果数，找出满足条件的结果，进而利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）本次调查的总人数为：30÷30%＝100（人）， 打球的人数为100﹣30﹣20﹣10＝40（人）， 故补全条形统计图如图： 某校学生课余兴趣爱好抽样调查条形统计图， （2）“书法”选项所对应的扇形圆心角为 （3）（人）， 答：该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为800人； （4）设“打球”、“书法”和“舞蹈”分别为甲、乙、丙，从中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，列树状图如下： 共有6种等可能的结果数，其中恰好选中丙和乙的情况有2种， ∴“书法”和“舞蹈”被同时选中的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率公式，理解题意，正确求解是解答的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $