24.3 正多边形和圆（同步练习）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.3 正多边形和圆 一．选择题（共8小题） 1．（2025•梅河口市模拟）苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O为正六边形ABCDEF的中心．若CD＝1，则OC的长是（　　） A．1 B． C．2 D．3 2．（2025春•南宁月考）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点O为正八边形的中心，则∠AOB的度数为（　　） A．60° B．54° C．45° D．30° 3．（2025•五华区校级模拟）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（　　） A．150° B．145° C．140° D．135° 4．（2025•西城区校级三模）若正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 5．（2025•青岛模拟）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，在BC边上以B为顶点作正方形BEMN，若∠ABN＝45°，则该n边形的内角和为（　　） A．900° B．1080° C．1260° D．1440° 6．（2025•清远一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，则这个正多边形的边数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 7．（2025•合肥模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠OCB+∠ODE＝（　　） A．72° B．98° C．102° D．108° 8．（2025•市中区二模）若正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 二．填空题（共5小题） 9．（2025•渝北区校级模拟）如图，以正五边形ABCDE的边AB向内作正方形ABGF，连接FE，则∠EFG的度数为 　 　 ． 10．（2025•济阳区二模）正六边形ABCDEF和正方形ABGH如图所示摆放，连接CG，则图中∠BCG的度数为 　 　 ． 11．（2025•南关区二模）正九边形的一个外角的大小为　 　 度． 12．（2025•雁塔区校级模拟）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线CG，BE交于点P，则∠GPE＝ 　 　 °． 13．（2025•西宁二模）一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 　 　 ． 三．解答题（共2小题） 14．如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，P是ED的中点，连接AP，求AP的长． 15．已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形． 24.3 正多边形和圆 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025•梅河口市模拟）苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O为正六边形ABCDEF的中心．若CD＝1，则OC的长是（　　） A．1 B． C．2 D．3 【考点】正多边形和圆． 【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：∵点O为正六边形ABCDEF的中心， ∴∠COD60°， ∵OC＝OD， ∴△COD是等边三角形， ∴OC＝CD＝1， 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 2．（2025春•南宁月考）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点O为正八边形的中心，则∠AOB的度数为（　　） A．60° B．54° C．45° D．30° 【考点】正多边形和圆． 【专题】正多边形与圆；运算能力． 【答案】C 【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可． 【解答】解：正八边形的中心角的度数为45°， 故选：C． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正n边形的中心角的度数为是正确解答的关键． 3．（2025•五华区校级模拟）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（　　） A．150° B．145° C．140° D．135° 【考点】正多边形和圆． 【专题】正多边形与圆；推理能力． 【答案】A 【分析】根据多边形内角和定理及正多边形的每一个内角都相等计算即可． 【解答】解：正十二边形一个内角的度数为150°， 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 4．（2025•西城区校级三模）若正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【考点】正多边形和圆；多边形的对角线． 【专题】多边形与平行四边形；运算能力． 【答案】D 【分析】根据多边形从一个顶点所画对角线的条数的规律列方程求解即可． 【解答】解：设这个正多边形为正n边形，由题意得， n﹣3＝15， 解得n＝18， 故选：D． 【点评】本题考查多边形的对角线，理解多边形对角线的定义，掌握多边形对角线条数的计算方法是正确解答的关键． 5．（2025•青岛模拟）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，在BC边上以B为顶点作正方形BEMN，若∠ABN＝45°，则该n边形的内角和为（　　） A．900° B．1080° C．1260° D．1440° 【考点】正多边形和圆． 【专题】正多边形与圆；推理能力． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得出∠EBN＝90°，即可得出∠ABC＝135°，再根据正多边形的每个内角都相等以及多边形的内角和定理列出（n﹣2）×180°＝135°n，即可求出n的值，然后求其内角和即可． 【解答】解：∵四边形BEMN是正方形， ∴∠EBN＝90°， ∵∠ABN＝45°， ∴∠ABC＝∠ABN+∠EBN＝135°， ∵AB，BC，CD是正n边形的三条边， ∴（n﹣2）×180°＝135°n， 解得n＝8， ∴该n边形为正八边形， ∴其内角和是（8﹣2）×180°＝1080°， 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质以及多边形的内角和定理是解题的关键． 6．（2025•清远一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，则这个正多边形的边数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【考点】正多边形和圆． 【专题】正多边形与圆；推理能力． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠ABC，再根据正多边形内角的求解方法列方程求解即可． 【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝15°， ∴∠ABC＝180°﹣15°﹣15°＝150°， 设这个正多边形为正n边形，则 解得n＝12， 经检验n＝12是原方程的解， 即这个正多边形是正十二边形， 故选：C． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角的计算方法是解决问题的关键． 7．（2025•合肥模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠OCB+∠ODE＝（　　） A．72° B．98° C．102° D．108° 【考点】正多边形和圆；圆周角定理． 【专题】正多边形与圆；运算能力． 【答案】D 【分析】根据多边形的内角和可以求得∠BCD＝∠CDE＝108°，根据周角等于360°，可以求得∠COD的度数，然后即可计算出∠OCB+∠ODE的度数． 【解答】解：∵，， OC＝OD， ∴， ∴∠OCB+∠ODE ＝∠BCD+∠CDE﹣∠OCD﹣∠ODC ＝108°+108°﹣54°﹣54°＝108°， 故选：D． 【点评】本题考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角等知识，正确进行计算是解题关键． 8．（2025•市中区二模）若正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【考点】正多边形和圆． 【专题】多边形与平行四边形． 【答案】D 【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案． 【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得： （n﹣2）•180°＝140°×n， 解得n＝9， 故选：D． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握其性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 9．（2025•渝北区校级模拟）如图，以正五边形ABCDE的边AB向内作正方形ABGF，连接FE，则∠EFG的度数为 　171°　 ． 【考点】正多边形和圆；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】正多边形与圆；推理能力． 【答案】171°． 【分析】根据正多边形的每条边都相等，每个角都相等得出AB＝AE，∠BAE＝108°，根据正方形的每条边都相等，每个角都等于90°得出AB＝AF，∠BAF＝∠AFG＝90°，继而得出AE＝AF，∠EAF＝18°，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求出∠AFE的度数，从而求出∠EFG的度数． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝AE，∠BAE108°， ∵四边形ABGF是正方形， ∴AB＝AF，∠BAF＝∠AFG＝90°， ∴AE＝AF，∠EAF＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣90°＝18°， ∴∠AEF＝∠AFE81°， ∴∠EFG＝∠AFE+∠AFG＝81°+90°＝171°， 故答案为：171°． 【点评】本题考查了正多边形和圆，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 10．（2025•济阳区二模）正六边形ABCDEF和正方形ABGH如图所示摆放，连接CG，则图中∠BCG的度数为 　15°　 ． 【考点】正多边形和圆；等腰三角形的判定与性质． 【答案】15°． 【分析】根据正多边形的每条边都相等，每个角都相等得出AB＝BC，∠ABC＝120°，AB＝BG，∠ABG＝90°，继而得出BC＝BG，∠CBG＝150°，即可求出∠BCG的度数． 【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝BC，∠ABC120°， ∵多边形ABGH是正方形， ∴AB＝BG，∠ABG＝90°， ∴BC＝BG，∠CBG＝360°﹣120°﹣90°＝150°， ∴∠BCG＝∠BGC15°， 故答案为：15°． 【点评】本题考查了正多边形和圆，等腰三角形的判定与性质，求出BC＝BG，∠CBG＝150°是解题的关键． 11．（2025•南关区二模）正九边形的一个外角的大小为　40　 度． 【考点】正多边形和圆；多边形内角与外角． 【专题】正多边形与圆；运算能力． 【答案】40． 【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 【解答】解：正九边形的一个外角的大小40°， 故答案为：40． 【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握任意凸多边形的外角和均为360°是解题的关键． 12．（2025•雁塔区校级模拟）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线CG，BE交于点P，则∠GPE＝ 　67.5　 °． 【考点】正多边形和圆． 【专题】正多边形与圆；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据正八边形的性质得出CG是它的一条对称轴，BE∥CD，∠BCD＝135°，即可得出∠DCG的度数，从而求出∠GPE的度数． 【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴CG是它的一条对称轴，BE∥CD，∠BCD135°， ∴∠DCG∠BCD＝67.5°， ∴∠GPE＝∠DCG＝67.5°， 故答案为：67.5． 【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 13．（2025•西宁二模）一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 　9　 ． 【考点】正多边形和圆． 【专题】正多边形与圆；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得，40°， 解得，n＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键． 三．解答题（共2小题） 14．如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，P是ED的中点，连接AP，求AP的长． 【考点】正多边形和圆． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接AE，过点F作FH⊥AE，根据正多边形的内角和得出∠AFE＝∠DEF＝120°，再根据等腰三角形的性质可得∠FAE＝∠FEA＝30°，得出∠AEP＝90°，由勾股定理得FH，AE，从而得出AP． 【解答】解：连接AE，过点F作FH⊥AE， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝2， ∠AFE＝∠DEF＝120°， ∴∠FAE＝∠FEA＝30°， ∴∠AEP＝90°， ∴FH＝1， ∴AH，AE＝2， ∵P是ED的中点， ∴EP＝1， ∴AP． 【点评】本题考查了正多边形和圆，以及勾股定理、等腰三角形的性质，是中考的常见题型． 15．已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形． 【考点】正多边形和圆． 【答案】见试题解答内容 【分析】要求证五边形AEBCD是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等进而得出即可． 【解答】证明：连接BF，CE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 又∵∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°． 又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F， ∴AF＝CF，AE＝BE， ∴∠BAC＝∠BCE＝∠ACE＝∠ABF＝∠FBC＝36°， ∴， ∴AE＝AF＝BE＝BC＝FC， ∴∠EAF＝∠AFC＝∠FCB＝∠CBE＝∠BEA． ∴五边形AEBCD为正五边形． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆，得出是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $