15.3 等腰三角形（同步练习）-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

15.3 等腰三角形 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•柳州期末）下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•潼南区期末）如图，小李在池塘一侧选取了点O，测得OA＝20m，OB＝13m，则池塘两岸A，B间的距离可能是（　　） A．7m B．27m C．34m D．43m 3．（2024秋•柳州期末）已知△ABC中∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 4．（2024秋•大余县期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．6 D．8 5．（2024秋•白云区期末）如图，在△ABC中，∠A＝40°，外角∠ACD＝100°，则∠B的度数是（　　） A．100° B．80° C．60° D．40° 6．（2024秋•渭源县期末）如果等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个内角分别是（　　） A．80°和40° B．40°和40° C．100°和100° D．100°和40° 7．（2025•沙坪坝区校级开学）把一根长12的铁丝按下面的长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A．6、4、2 B．6、3、2 C．7、3、2 D．5、5、2 8．（2024秋•五华区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．（2024秋•义乌市期末）如图，两根竹竿AB和DB斜靠在墙CE上，∠ACB＝90°，∠DBF＝110°，则∠ADB的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 10．（2024秋•庄浪县期末）如图是某支架的侧面示意图，经测量，∠BAC＝48°，∠BCE＝117°，则图中∠CBD的度数为（　　） A．69° B．89° C．111° D．165° 二．填空题（共5小题） 11．（2025春•南岗区校级月考）在△ABC中，BD和BE分别为△ABC的高和角平分线，∠A＝30°，∠DBE＝10°，则∠ABC的度数为　 　 ． 12．（2025春•金山区期末）在△ABC中，若∠C＝60°，∠B＝2∠A，则∠A＝　 　 °． 13．（2025春•嘉定区期末）在△ABC中，如果∠A＝36°，∠B＝44°，那么△ABC是　 　 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 14．（2024秋•广州期末）如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝　 　 °． 15．（2025春•杨浦区期中）如图，将一副三角板的一边叠合，图中∠α的大小为 　 　 °． 三．解答题（共7小题） 16．（2025春•鲤城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠ACB＝60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求∠BAC和∠E的度数． 17．（2025春•尧都区校级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解都是正数． （1）求a的取值范围； （2）化简：|a+1|﹣|1﹣a|； （3）查阅资料发现：若要三条线段首尾相接构成一个三角形，必须满足任意两边之和大于第三边．如果上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为12，求a的值． 18．（2025春•沈北新区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长是8cm，△ABD的周长是10cm，AB比AC长多少厘米？ 19．（2025春•龙口市期中）在数学研究中，一般经历观察、猜想、验证、结论四个过程，也是我们常用的几何探究方式． 在同一平面内，请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． （1）若边BA和边BE所在直线重合，如图1所示，求∠CBD的度数； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使∠CBD＝90°，求如图2所示的∠ABE的度数； （3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后将三角板BDE绕着点B旋转，使得∠ABD与∠ABE中其中一个角是另一个角的两倍，请求出∠ABE的度数． 20．（2024秋•襄城县期末）如图，CD是△ABC的高线，E为BC边上的一点，连接AE交CD于点F，∠BCD＝10°，∠AEB＝75°． （1）求∠BAE的度数； （2）若AE平分∠BAC，求∠ACD的度数． 21．（2025春•黄浦区期中）如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数． 22．（2024秋•贵阳期末）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC于点F． （1）求证：∠ADE＝∠EFC； （2）若∠ACB＝80°，∠A＝60°，求∠DCB的度数． 15.3 等腰三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•柳州期末）下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【专题】三角形；几何直观． 【答案】D 【分析】过A点作BC的垂线，垂足为D，则线段AD是△ABC的高，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：线段AD是△ABC的高的是． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此类问题的关键． 2．（2024秋•潼南区期末）如图，小李在池塘一侧选取了点O，测得OA＝20m，OB＝13m，则池塘两岸A，B间的距离可能是（　　） A．7m B．27m C．34m D．43m 【考点】三角形三边关系． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到7＜AB＜33，即可得到答案． 【解答】解：连接AB， 由三角形三边关系定理得到：OA﹣OB＜AB＜OA+OB， ∴20﹣13＜AB＜20+13， ∴7＜AB＜33， ∴A，B间的距离可能是27m． 故选：B． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 3．（2024秋•柳州期末）已知△ABC中∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【考点】三角形内角和定理． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】根据∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设出∠A，∠B，∠C分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理求出x即可． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴设∠A，∠B，∠C分别为x，2x，3x， ∴x+2x+3x＝180°， ∴6x＝180°， ∴x＝30°， ∴∠A，∠B，∠C分别为x＝30°，2x＝2×30°＝60°，3x＝3×30°＝90°， ∴△ABC的最大内角为90°， ∴△ABC是直角三角形， 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确的设出未知数并求出各角的度数是解决问题的关键． 4．（2024秋•大余县期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．6 D．8 【考点】等边三角形的性质；平行线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】首先求出，然后证△DEF为等边三角形即可求出△DEF的周长． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且边长为8． ∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8， ∵点E，F是BC边的三等分点， ∴， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴， ∴△DEF的周长是：DE+DF+EF＝3EF＝38． 故选：D． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，解答此题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，理解两个角都等于60°的三角形是等边三角形是解答此题的关键． 5．（2024秋•白云区期末）如图，在△ABC中，∠A＝40°，外角∠ACD＝100°，则∠B的度数是（　　） A．100° B．80° C．60° D．40° 【考点】三角形的外角性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【解答】解：∵∠A＝40°，∠ACD＝100°， ∴∠B＝∠ACD﹣∠B＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 6．（2024秋•渭源县期末）如果等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个内角分别是（　　） A．80°和40° B．40°和40° C．100°和100° D．100°和40° 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】判定等腰三角形的顶角是100°，求出等腰三角形的底角是40°，即可得到答案． 【解答】解：∵等腰三角形的一个内角是100°， ∴等腰三角形的顶角是100°， ∴等腰三角形的底角是（180°﹣100°）＝40°， ∴另两个内角是40°和40°． 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 7．（2025•沙坪坝区校级开学）把一根长12的铁丝按下面的长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A．6、4、2 B．6、3、2 C．7、3、2 D．5、5、2 【考点】三角形三边关系． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果． 【解答】解：A、4+2＝6，故6、4、2不能组成三角形，不符合题意； B、3+2＜6，故6、3、2不能组成三角形，不符合题意； C、3+2＜7，故7、3、2不能组成三角形，不符合题意； D、2+5＞5，故5、5、2能组成三角形，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，掌握组成三角形的条件是解题的关键． 8．（2024秋•五华区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【考点】直角三角形的性质． 【答案】A 【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE． 【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°， ∴∠C＝∠BDF＝∠BAD， ∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°， ∴∠C＝∠ADE， ∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3， 故选：A． 【点评】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余． 9．（2024秋•义乌市期末）如图，两根竹竿AB和DB斜靠在墙CE上，∠ACB＝90°，∠DBF＝110°，则∠ADB的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【考点】三角形的外角性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】A 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠DBF＝110°， ∴∠ADB＝∠DBF﹣∠ACB＝20°． 故选：A． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 10．（2024秋•庄浪县期末）如图是某支架的侧面示意图，经测量，∠BAC＝48°，∠BCE＝117°，则图中∠CBD的度数为（　　） A．69° B．89° C．111° D．165° 【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】由三角形外角的性质得出∠BCE＝∠BAC+∠ABC，即可求出∠ABC的度数，再根据邻补角互补即可求出 ∠CBD的度数． 【解答】解：∵∠BCE是△ABC的外角， ∴∠BCE＝∠BAC+∠ABC， ∵∠BAC＝48°，∠BCE＝117°， ∴∠ABC＝117°﹣48°＝69°， ∴∠CBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣69°＝111°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，邻补角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2025春•南岗区校级月考）在△ABC中，BD和BE分别为△ABC的高和角平分线，∠A＝30°，∠DBE＝10°，则∠ABC的度数为　100°或140°　 ． 【考点】三角形内角和定理；解一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；三角形；运算能力． 【答案】100°或140°． 【分析】设∠ABC＝x°，则∠C＝100°x°或∠C＝80°x°，利用三角形内角和定理，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设∠ABC＝x°，则∠C＝90°﹣（x°﹣10°）＝100°x°或∠C＝90°﹣（x°+10°）＝80°x°， 根据题意得：30°+x°+100°x°＝180°或30°+x°+80°x°＝180°， 解得：x＝100或x＝140， ∴∠ABC的度数为100°或140°． 故答案为：100°或140°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及解一元一次方程，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 12．（2025春•金山区期末）在△ABC中，若∠C＝60°，∠B＝2∠A，则∠A＝　40　 °． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力． 【答案】40． 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠A的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝2∠A， ∴∠A+∠B+∠C＝∠A+2∠A+60°＝180°， ∴∠A（180°﹣60°）＝40°． 故答案为：40． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 13．（2025春•嘉定区期末）在△ABC中，如果∠A＝36°，∠B＝44°，那么△ABC是　钝角　 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【考点】三角形内角和定理． 【专题】三角形；运算能力． 【答案】钝角． 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠C＝100°，由∠C＝100°＞90°，即可得出△ABC是钝角三角形． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝44°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣36°﹣44°＝100°， ∵∠C＝100°＞90°， ∴△ABC是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 14．（2024秋•广州期末）如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝　35　 °． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】计算题；三角形；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，已知∠A＝75°，∠B＝65°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解． 【解答】解：如图， 由折叠的性质可得∠CDE＝∠C'DE，∠CED＝∠C'ED， ∵∠A＝75°，∠B＝65°， ∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°， ∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°， ∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣325°＝35°． 故答案为：35． 【点评】本题考查了折叠变换的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和即可得到结论． 15．（2025春•杨浦区期中）如图，将一副三角板的一边叠合，图中∠α的大小为 　75　 °． 【考点】三角形的外角性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】75． 【分析】由直角三角形的性质求出∠CBD＝30°，由对顶角的性质得到∠ABE＝∠CBD＝30°，由三角形的外角性质即可求出∠α的度数． 【解答】解：∵∠ACF＝90°， ∴∠BCD＝180°﹣90°＝90°， ∵∠D＝60°， ∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABE＝∠CBD＝30°， ∴∠α＝∠A+∠ABE＝45°+30°＝75°． 故答案为：75． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 三．解答题（共7小题） 16．（2025春•鲤城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠ACB＝60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求∠BAC和∠E的度数． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】∠BAC＝80°，∠E＝20°． 【分析】由三角形内角和定理求出∠BAC＝80°，由角平分线定义得到∠DCE＝60°，由三角形的外角性质求出∠E＝∠DCE﹣∠B＝20°． 【解答】解：∵∠B＝40°，∠ACB＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°， ∵CE是∠ACD的平分线， ∴∠DCE∠ACD， ∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝120°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠E＝∠DCE﹣∠B＝60°﹣40°＝20°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由三角形外角的性质得到∠E＝∠DCE﹣∠B． 17．（2025春•尧都区校级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解都是正数． （1）求a的取值范围； （2）化简：|a+1|﹣|1﹣a|； （3）查阅资料发现：若要三条线段首尾相接构成一个三角形，必须满足任意两边之和大于第三边．如果上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为12，求a的值． 【考点】等腰三角形的性质；绝对值；二元一次方程组的解；解一元一次不等式组；三角形三边关系． 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】（1）a＞1； （2）2； （3）a＝5． 【分析】（1）运用加减消元法得，代入②得，结合方程组的解都是正数，得，，再解得a＞1，即可作答． （2）由（1）得a＞1，再化简|a+1|﹣|1﹣a|，即可作答． （3）根据等腰三角形的定义，进行分类讨论，算出a的值，要结合三角形的三边关系进行判断，即可作答． 【解答】解：（1）， 则①﹣②得2x＝a+5， ∴， 把代入②，得， 解得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解都是正数， ∴， 解得a＞﹣5， ∴， 解得a＞1， 即a＞1； （2）∵a＞1， ∴|a+1|﹣|1﹣a| ＝a+1﹣（a﹣1） ＝2； （3）①当x为腰，y为底时， 根据题意，得2x+y＝12， 即， 解得：a＝5； 此时，x＝5，y＝2，三边长为5、5、2可以构成等腰三角形； ②当y为腰，x为底时， 根据题意，得x+2y＝12． 即， 解得：a＝7． 此时，x＝6，y＝3，三边长为6、3、3不能构成等腰三角形； 综上所述：a＝5． 【点评】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解二元一次方程组，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．（2025春•沈北新区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长是8cm，△ABD的周长是10cm，AB比AC长多少厘米？ 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【专题】三角形；运算能力． 【答案】2厘米． 【分析】由三角形的中线定义得到BD＝CD，于是得到△ABD与△ACD周长的差＝AB﹣AC＝2厘未． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣8＝2（厘米）， ∴AB比AC长2厘米． 【点评】本题考查三角形的中线，关键是由三角形的中线定义得到△ABD与△ACD周长的差＝AB﹣AC． 19．（2025春•龙口市期中）在数学研究中，一般经历观察、猜想、验证、结论四个过程，也是我们常用的几何探究方式． 在同一平面内，请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． （1）若边BA和边BE所在直线重合，如图1所示，求∠CBD的度数； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使∠CBD＝90°，求如图2所示的∠ABE的度数； （3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后将三角板BDE绕着点B旋转，使得∠ABD与∠ABE中其中一个角是另一个角的两倍，请求出∠ABE的度数． 【考点】三角形内角和定理；角的计算；余角和补角． 【专题】三角形． 【答案】（1）105°；（2）15°；（3）20°，40°，60°或120°． 【分析】（1）根据∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+60°＝105°，解答即可； （2）根据图形利用角度的和差即可解答； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【解答】解：（1）根据题意，得∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+60°＝105°； （2）∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝∠EBD+∠ABC﹣∠CBD＝15°； （3）当边BE在边AB右侧时，如图，设∠ABE＝x， 则有2x＝x+60， 解得x＝60°； 或x＝2（x﹣60）， 解得x＝120°； 当边BE在边AB左侧时，如图， 设∠ABE＝x， 则有x+2x＝60°， 解得x＝20°， 或x＝2（60﹣x）， 解得x＝40°； 综上所述，∠ABE 的度数为20°，40°，60°或120°． 【点评】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． 20．（2024秋•襄城县期末）如图，CD是△ABC的高线，E为BC边上的一点，连接AE交CD于点F，∠BCD＝10°，∠AEB＝75°． （1）求∠BAE的度数； （2）若AE平分∠BAC，求∠ACD的度数． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】（1）25°； （2）40°． 【分析】（1）由三角形外角的定义及性质可得∠CFE＝65°，再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出∠AFD＝∠CFE＝65°，最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得∠BAC＝2∠BAE＝50°，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【解答】解：（1）∵∠BCD＝10°，∠AEB＝75°，∠AEB＝∠BCD+∠CFE， ∴∠CFE＝75°﹣10°＝65°， ∴∠AFD＝∠CFE＝65°， ∵CD是△ABC的高线， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BAE+∠AFD＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣65°＝25°； （2）∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE＝50°， ∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝40°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 21．（2025春•黄浦区期中）如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】110°． 【分析】根据三角形的内角和可得∠A的度数，再利用外角的性质可得∠FBC的度数． 【解答】解：在△AEC 中，FA⊥EC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠C＝70°． ∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°． 【点评】本题考查三角形的内角和与外角的性质，求出∠A的度数是解题关键． 22．（2024秋•贵阳期末）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC于点F． （1）求证：∠ADE＝∠EFC； （2）若∠ACB＝80°，∠A＝60°，求∠DCB的度数． 【考点】三角形内角和定理；平行线的性质． 【专题】三角形． 【答案】（1）见解析； （2）∠DCB＝50°． 【分析】（1）由平行线的性质得∠ADE＝∠B，再证明AB∥EF，则∠B＝∠EFC，再计算角的等量代换，即可作答． （2）结合垂直定义得出∠BDC＝90°，再运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B， ∵CD⊥AB，EF⊥CD， ∴AB∥EF， ∴∠B＝∠EFC， ∴∠ADE＝∠EFC； （2）解：∵∠ACB＝80°，∠A＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝40°， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DCB＝180°﹣90°﹣40°＝50°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和性质，垂直定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $