13.1 三角形的概念（同步练习）-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

13.1 三角形的概念 一．选择题（共8小题） 1．（2025•孝感模拟）如图，等腰三角形OAB的底边OB在x轴上，A（1，2）．将等腰三角形OAB向下平移1个单位长度后，点B的对应点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 2．（2025春•金山区期末）在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 3．（2025春•上海校级月考）在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 4．（2024秋•姜堰区期末）如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm 5．（2025•城关区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 6．（2025春•江岸区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和点E分别在AB和AC上，且DE＝AE．连接DE，过点A作DE的平行线MN，若∠C＝40°，则∠BAN的度数为（　　） A．40° B．45° C．55° D．70° 7．（2025•长沙模拟）如图，直线a∥b，直线c分别交直线a，b于点A，B，点C是直线a上一点，且CA＝CB．若∠ACB＝70°，则∠1的度数等于（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 8．（2025春•香坊区校级期中）如图，等腰△ABC，周长为36，AB＝AC，AD⊥BC于D，AD＝12，则AC的长为（　　） A．5 B．9 C．13 D．15 二．填空题（共5小题） 9．（2025春•崇明区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　 ． 10．（2025•北碚区模拟）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，EC＝ED，∠CED＝96°，则∠BED＝ 　 　 ． 11．（2025•兴庆区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝　 　 ． 12．（2025春•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝2，则AC＝ 　 　 ． 13．（2025春•稷山县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD．若∠ABC＝50°，则∠BAD的度数为　 　 ． 三．解答题（共2小题） 14．（2024春•广安区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 15．（2024秋•思明区校级期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，过D作DF⊥BE于F． （1）求证：BD＝DE； （2）请猜想FC与BF间的数量关系，并证明． 13.1 三角形的概念 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025•孝感模拟）如图，等腰三角形OAB的底边OB在x轴上，A（1，2）．将等腰三角形OAB向下平移1个单位长度后，点B的对应点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 【考点】等腰三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移． 【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质、线段的和差求出OB＝2，再根据坐标与图形性质求解即可． 【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C， ∵AO＝AB， ∴OC＝BC， ∵A（1，2）， ∴OC＝BC＝1， ∴OB＝2， ∴点B的坐标是（2，0）， ∴等腰三角形OAB向下平移1个单位长度后，点B的对应点的坐标是（2，﹣1）， 故选：A． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质，熟记等腰三角形的性质、坐标与图形性质是解题的关键． 2．（2025春•金山区期末）在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【考点】三角形． 【专题】三角形． 【答案】C 【分析】根据三角形的分类方法进行分析作答． 【解答】解：在△ABC中，0＜∠A＝92°＜180°，则△ABC是钝角三角形． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形，掌握三角形的分类方法是解题的关键． 3．（2025春•上海校级月考）在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【考点】三角形． 【专题】三角形；数据分析观念． 【答案】D 【分析】根据三角形的概念解答即可． 【解答】解：∵∠ABC＝89°， 则∠ABC是锐角， ∴△ABC是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的分类是解题的关键． 4．（2024秋•姜堰区期末）如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm 【考点】等腰三角形的性质． 【答案】B 【分析】分两种情况：①底为2cm，腰为4cm时，求出三角形的周长即可； ②底为4cm，腰为2cm时；2+2＝4，由三角形的三边关系得出不能构成三角形． 【解答】解：分两种情况： ①底为2cm，腰为4cm时， 等腰三角形的周长＝2+4+4＝10（cm）； ②底为4cm，腰为2cm时， ∵2+2＝4， ∴不能构成三角形； ∴等腰三角形的周长为10cm； 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 5．（2025•城关区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD计算即可得解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣30°）＝75°， ∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D， ∴BC＝BD， ∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键． 6．（2025春•江岸区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和点E分别在AB和AC上，且DE＝AE．连接DE，过点A作DE的平行线MN，若∠C＝40°，则∠BAN的度数为（　　） A．40° B．45° C．55° D．70° 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AC＝CB，∠C＝40°， ∴∠BAC＝∠B（180°﹣40°）＝70°， ∵DE＝AE， ∴∠ADE＝∠BAC＝70°， ∵MN∥DE， ∴∠BAN＝∠ADE＝70°． 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．（2025•长沙模拟）如图，直线a∥b，直线c分别交直线a，b于点A，B，点C是直线a上一点，且CA＝CB．若∠ACB＝70°，则∠1的度数等于（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠CAB＝∠ABC＝55°，再根据“两直线平行，内错角相等”求解即可． 【解答】解：∵CA＝CB，∠ACB＝70°， ∴∠CAB＝∠ABC＝55°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠CAB＝55°， 故选：B． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关键． 8．（2025春•香坊区校级期中）如图，等腰△ABC，周长为36，AB＝AC，AD⊥BC于D，AD＝12，则AC的长为（　　） A．5 B．9 C．13 D．15 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】设BD＝a，根据等腰三角形的性质得BC＝2BD＝2a，再根据△ABC的周长为36得AB＝18﹣a，在Rt△ABD中由勾股定理求出a＝5，进而得BC＝2a＝10，然后根据三角形的面积公式可求出△ABC的面积． 【解答】解：设BD＝a， 由条件可知CD＝BD＝a， ∴BC＝2BD＝2a， ∵△ABC的周长为36， ∴AB+AC+BC＝36， 即2AB+2BD＝36， ∴AB＝18﹣BD＝18﹣a， 在Rt△ABD中，AB＝18﹣a，BD＝a，AD＝12， 由勾股定理得：（18﹣a）2＝a2+122， 解得：a＝5， ∴AC＝AB＝18﹣5＝13， 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题） 9．（2025春•崇明区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　45°或135°　 ． 【考点】等腰三角形的性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°． 【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝45°， ∴∠A＝45°， 即顶角的度数为45°． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴∠BAC＝135°． 故答案为45°或135°． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算． 10．（2025•北碚区模拟）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，EC＝ED，∠CED＝96°，则∠BED＝ 　42°　 ． 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】42°． 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠D＝42°，再根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：∵EC＝ED，∠CED＝96°， ∴∠C＝∠D（180°﹣∠CED）＝42°， ∵AB∥CD， ∴∠BED＝∠D＝42°， 故答案为：42°． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关键． 11．（2025•兴庆区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝　115°　 ． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】115°． 【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解． 【解答】解：由条件可知∠B＝∠C， ∵∠BAC＝130°， ∴， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：115°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键． 12．（2025春•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝2，则AC＝ 　2　 ． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】2． 【分析】根据等角对等边即可解答． 【解答】解：∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 13．（2025春•稷山县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD．若∠ABC＝50°，则∠BAD的度数为　40°　 ． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】三角形． 【答案】40°． 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质即可解答． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点， ∴AD是△ABC的中点， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． 三．解答题（共2小题） 14．（2024春•广安区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】几何图形． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数． 【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A， ∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°， ∴∠A＝36°． 则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°． 又BD是AC边上的高， 则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°． 【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°． 15．（2024秋•思明区校级期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，过D作DF⊥BE于F． （1）求证：BD＝DE； （2）请猜想FC与BF间的数量关系，并证明． 【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝60°，BD是AC边上的高，则∠DBC＝30°，再由题中条件求出∠E＝30°，即可判断△BDE的形状． （2）根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得出DC＝2FC，BC＝2DC，从而证得BF＝3FC． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD⊥AC， ∴AD＝CD，∠DBC∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CDE+∠E， ∴∠E＝30°， ∴∠DBE＝∠E， ∴BD＝DE； （2）BF＝3FC； 证明：∵DF⊥BE，∠BCD＝60°， ∴DC＝2FC， ∵BD⊥AC，∠DBC＝30°， ∴BC＝2DC， ∴BC＝4FC， ∴BF＝3FC． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $